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Revista NOOS Volumen 5 (2014) Pág. 1 – 13
Derechos Reservados
Facultad de Ciencias Exactas
Y Naturales
Existencia y Estabilidad de Órbitas 1 – Periódicas en un
Convertidor Cuk con Estrategia ZAD
Existence and Stability of 1-Periodic Orbits in a Cuk Converter with ZAD Strategy.
Andrés Mauricio Grisales Aguirre, Simeón Casanova Trujillo1, Andrés Felipe Amador
Rodríguez2
Nacional de Colombia, GTA Cálculo Científico y Modelamiento Matemático, Manizales – Colombia.
Universidad Javeriana, Grupo Estadística y Matemática Aplicada (EMAP), Cali – Colombia.
1Universidad
2
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Keywords: Converters, ZAD Strategy, Cuk, Poincaré Maps.
ABSTRACT: In this article we present a methodology
to be applied in order to determine the existence and
stability of 1-periodic orbits in a Cuk converter by a
modulator pulse width to the center (PWMC). In first
place, we introduce a change of variable to normalize
the model describing the operation of this converter and
reducing the number of parameters involved. This
transformation of the state variables can be applied to
converters fourth-order, in particular to the SEPIC
converter. Furthermore, it makes use of a switching
surface that fulfills with an average zero dynamics at
each sampling instant (ZAD strategy). Initially, the duty
cycle is calculated by linear approximation of sliding
surface, and then determine 1-periodic orbits in a Cuk
converter and its corresponding stability.
RESUMEN:
En este artículo presentamos una metodología a aplicar para determinar la existencia y estabilidad de órbitas
de periodo uno en un convertidor tipo Cuk mediante un controlador de ancho de pulso al centro (PWMC).
Inicialmente, presentamos un cambio de variable que permite normalizar el modelo que describe el
funcionamiento de este convertidor con el fin de reducir el número de parámetros involucrados. Esta
transformación de las variables de estado se puede aplicar al modelo de otros convertidores de orden cuatro,
como el SEPIC. Por otro lado, se hace uso de una superficie de conmutación que cumple con un promedio de
dinámica cero en cada instante de muestreo (estrategia ZAD). Inicialmente se calcula el ciclo de trabajo
mediante la aproximación lineal de la superficie de deslizamiento, para posteriormente determinar órbitas de
periodo uno existentes en el convertidor Cuk y su respectiva estabilidad.
PALABRAS CLAVE: Convertidor Cuk, Técnica ZAD, Aplicación de Poincaré, Órbitas Periódicas.
Revista NOOS, Vol. 5, No 1, Junio de 2014. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. ISSN 2346-2779
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1. Introducción
convertidores de potencia, en la cual, se fija
una salida auxiliar y se define una acción de
En la investigación sobre sistemas dinámicos
control digital que garantiza promedio cero en
aplicados a diferentes campos como la
la
biología,
potencia,
manteniendo frecuencia fija de conmutación,
osciladores de impacto, sistemas mecánicos,
robustez y estabilidad. Esta técnica es
etc. se presentan un gran número de
conocida como técnica ZAD (Zero Average
fenómenos de naturaleza no lineal [1], [8],
Dynamics) y consiste en la definición de una
[14]. Los sistemas dinámicos definidos a
superficie de conmutación sobre la cual se
trozos son objetos muy importantes de
hace evolucionar el sistema en promedio
estudio en la parte teórica y experimental,
[13]. Esta será la técnica que usaremos en
siendo investigados a profundidad en los
este artículo.
convertidores
de
salida
auxiliar
en
cada
iteración,
últimos años.
Se han utilizado diferentes técnicas de
La acción de conmutación On-Off hace que
control de la tensión en la salida del
el sistema que gobierna al convertidor Cuk,
convertidor Cuk junto con sus respectivas
sea de estructura variable, es decir, el
aplicaciones, que van desde controladores
sistema
discontinuos (control por histéresis) hasta
cambia
su
estructura
con
la
conmutación del interruptor.
controladores continuos no lineales [4], [5],
[12]. En el año 2000 se hace un estudio
Se han planteado varias estrategias con el fin
bifurcacional y del caos presente en este
de controlar ciertos estados del convertidor,
convertidor, mostrando como el sistema
por ejemplo, con el propósito de disminuir el
pierde estabilidad a través de una bifurcación
"chattering",
nuevas
de Hopf supercrítica [7]. Más adelante, en el
estrategias buscando un esquema de control
2006, se usan diferentes técnicas de control
que garantice una frecuencia de conmutación
para estudiar la dinámica de este convertidor,
fija [6].
tal como el control por modo deslizante [11].
se
han
planteado
El trabajo presentado en [9] propone una
En el 2001 Fossas y sus colaboradores
alternativa de control de fácil diseño e
plantean una nueva técnica de control para
implementación para regular el voltaje de
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salida del convertidor tipo Cuk por medio de
tiempo T. De igual forma, se ha hecho una
una retroalimentación de la salida pasiva del
discretización
error. En el 2012 se hace un análisis de las
estrategia de mapas de Poincaré, para
Bifurcaciones presentes en el convertidor
posteriormente establecer las condiciones
Cuk tipo dc – dc, tomando como parámetro
suficientes que determinan la existencia de
de variación la referencia en la corriente [9].
órbitas 1- periódicas en el sistema.
Lo
anterior
muestra
la
importancia
del
sistema
utilizando
la
de
estudiar este tipo de convertidores.
2. Modelo matemático y solución del
El artículo está organizado de la siguiente
manera:
inicialmente
establecemos
sistema.
el
sistema de ecuaciones diferenciales que
El convertidor Cuk al igual que el convertidor
describen el funcionamiento del convertidor
Buck - Boost presenta a la salida un voltaje
Cuk,
a
mayor o menor al de entrada, con polaridad
implementar un cambio de variable que se ha
invertida. La diferencia es que el convertidor
adaptado con base en el cambio propuesto
Buck - Boost está formado por un inductor y
en [12] para convertidores de orden dos.
un capacitor, y el Cuk está formado por dos
Luego, mostramos que el cambio de variable
pares de estos.
posteriormente
procedemos
aplicado al sistema del convertidor Cuk, es
efectivo también para la reducción del
El diagrama que se presenta en la Figura 1,
número de parámetros en otros convertidores
corresponde al convertidor Cuk, a partir del
de orden cuatro, como el caso del convertidor
cual se pueden obtener las ecuaciones que
tipo SEPIC.
describen
esquema,
su
En
el
Z1 es la corriente en L1 , Z 2 es
Después de haber establecido un modelo
más simplificado para el convertidor Cuk,
comportamiento.
el voltaje en
C1 , Z 3 es la corriente en L2 y
mostramos la implementación de la técnica
Z 4 es el voltaje en C 2 . Los valores de V ,
ZAD en este tipo de convertidores, tomando
L1 , L2 , C1 , C 2 y la carga R se suponen,
como
superficie
de
conmutación
una
combinación lineal del error en el voltaje y en
la corriente, y a partir de esta, hacer el
para fines de análisis, constantes;
u es un
parámetro de control que toma valores en el
cálculo del ciclo de trabajo con el que se
hace evolucionar el sistema en un período de
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conjunto discreto 0,1 y que determina el
estado
Con esta trasformación de las variables de
estado, el modelo simplificado que describe
on  off del sistema[11].
el funcionamiento del convertidor Cuk está
dado
por
el
sistema
de
ecuaciones
diferenciales
x1  (1  u ) x2  1
x2  (1  u ) x1  ux3
(1)
 x3  ux2  x4
Figura 1. Convertidor Cuk
 x 4  x3 
x4

La configuración correspondiente a este
convertidor en los estados
on  off
del
donde
sistema, genera el siguiente conjunto de
ecuaciones diferenciales:

L1
C
C
;  = 2 y  =R  1
L2
C1
L1
L1 z1  Vin  (1  u ) z2
C1 z2  (1  u ) z1  uz3
son los parámetros del sistema. El modelo
L2 z3  uz2  z4
presentado en (1), se puede expresar en la
C2 z 4  z3 
z4
R
Basándonos en el cambio de variables
propuesto para el convertidor Buck en [12],
proponemos un cambio de variables para el
sistema del convertidor Cuk, de la siguiente
siguiente forma matricial:
 0
 x1  1  u
x  
 2   0
 x3  
  
 x4   0

u 1
0
u

0
u

0
0

1

  x1  1 
    
  x2   0 


   x3   0
1   x4   0

 
0
0
1

manera:
Al variar el parámetro
z
x1  1
Vin
x3 
z3
Vin
L1
z
, x2  2 ,
C1
Vin
L1
z
, x4  4
C1
Vin
u en el conjunto 0,1 ,
obtenemos un sistema lineal de ecuaciones
diferenciales definido a trozos, que se
expresa como:
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x1 (t )  A1 x(t )  B
Correspondiente a u  0. (2)
x2 (t )  A2 x(t )  B Correspondiente a u  1.
siendo I 4 , la matriz identidad de orden 4.
(3)
donde
Una de las primeras ventajas de este cambio
de variable que hemos aplicado en el sistema
0 0
0 0


1
A1  0 


0 0

1 
0
B 
0
 
0
0
1
0
1


0 1 0

1 0 0




, A 2  0 0 0
 

1 
0 0 1


 





 
1 

 
0
0
1

0
0
1

de ecuaciones del convertidor Cuk, es la
reducción
del
número
de
parámetros
involucrados en el sistema original el cual
está
determinado
por
seis
parámetros,
mientras que en el modelo simplificado
estamos trabajando con tres y esto hace más
fácil el estudio de la dinámica de este
convertidor, tanto de forma analítica como de
forma
numérica.
comprobado
transformación
La solución de cada topología en (2) y (3),
con condición
inicial
xt 0  y tomando
t  0,  , viene dada por:
Además,
que
de
bajo
hemos
esta
misma
variables,
otros
convertidores de orden cuatro, como el
SEPIC y el ZETA, pueden ser normalizados y
reducidos a modelos con menor número de
parámetros que el sistema original.
X i (t )  i (t - t0 ) x(t0 )  i (t  t0 ) (4)
3. Planteamiento de la técnica ZAD.
donde
El sistema propuesto va a ser controlado
mediante un PWM utilizando la técnica ZAD.
i (t - t0 )  e A t t  y  i (t  t0 )   e A t   Bd .
t
i
t
0
i
En adelante, notaremos como
0
d al tiempo
en el que el sistema permanece en estado de
Teniendo
en
cuenta
cada
topología
y
conducción y llamaremos a esta variable
calculando las exponenciales matriciales, se
“ciclo de trabajo”. La técnica ZAD nos
tiene:
permitirá validar un criterio que nos ayude a
calcular (periodo a periodo) el ciclo de trabajo
 1 (t  t0 )  B  t  t0  y  2 (t  t0 )  A2
1
e
A2  t t0 

 I4 B
d . Lo que se busca es que el promedio de la
función
sx  , (que corresponde a la
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superficie de conmutación sobre la cual se
técnica PWMC con esquema de control
hace evolucionar el sistema) en cada periodo
1,0,1 .
de conmutación, sea cero.
Definimos
La modulación por ancho de pulso PWM
(Pulse-Width Modulation) es una técnica que
sx  como:
permite variar el ciclo de trabajo de una señal
con el fin de controlar la tensión de la carga,
s  x  : k1  x1  t   x1ref   k2  x2  t   x2 ref  
k3  x3  t   x3   k4  x4  t   x4 ref 
manteniendo fijo el periodo. En este artículo
(5)
trabajamos con el modulador PWMC (Pulso
al Centro Simétrico), para el cual, en un
periodo de tiempo
T , se realizan dos
conmutaciones, de forma que el intervalo de
donde x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ) y x4 (t ) representan las
tiempo [nT ,(n  1)T ] queda dividido en tres
soluciones del sistema; x1ref , x2 ref , x3ref y x4ref
subintervalos, donde el primero y el último
representan la señal de referencia y k1 , k2 , k3
tienen la misma longitud. La Figura 2 muestra
y k 4 son constantes de tiempo asociadas a la
gráficamente el funcionamiento de la técnica
PWMC y el esquema {1,0,1} .
superficie de conmutación s( x ) .
Al fijar el periodo de tiempo
que
T , imponemos
sx  tenga media cero en cada ciclo (de
este hecho deriva el nombre de la técnica
empleada), esto es:
Figura 2. Pulso al centro simétrico.

 n 1T
nT
s  x  t    0.
n 0,1,2,... . (6)
El esquema de conmutación 1,0,1 al que
4. Cálculo del ciclo de trabajo y aplicación
hemos
hecho
referencia,
de Poincaré.
estados
de
conducción
determina
del
los
sistema
on  off  on . En general, el ciclo de trabajo
A partir de la técnica ZAD calculamos el ciclo
varía periodo a periodo debido a la continua
d y construimos la aplicación de
conmutación on  off . Esto implica que el
Poincaré cuando se aplica en el sistema la
sistema sea periódicamente forzado y así la
de trabajo
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aplicación de Poincaré (que estudiaremos
A partir de (5 ) , (6 )
enseguida) es global y contiene por lo tanto
mostrada en la Figura 3, obtenemos la
toda la dinámica del sistema.
siguiente expresión para el ciclo de trabajo:
Como vamos a usar PWMC, determinamos
d
las siguientes condiciones para la variable de
control
y la aproximación
2 s  x  nT    Ts2  x  nT  
s2  x  nT    s1  x  nT  
(7)
u que aplicaremos al sistema:
donde
d

1 Si nT  t  nT  2

d
d

u  0 Si nT   t   n  1 T 
2
2

d

1 Si  n  1 T  2  t   n  1 T
s  x  nT    k1  x1  t   x1ref   k2  x2  t   x2 ref  
k3  x3  t   x3   k4  x4  t   x4 ref

k 
x 
s1  x  nT    k1  k2 x3   x2  x4   4  x3  4 


 
k3
s2  x  nT    k1 1  x2   k2 x1 
k3

x4 
k4 
x 
x  4
  3  
El cálculo del ciclo de trabajo mediante la
relación (6) implica la solución de ecuaciones
trascendentes, las cuales pueden generar un
inconveniente al momento de simular el
sistema, por tal razón la superficie
sxt  es
Con
estos
resultados,
procedemos
a
discretizar el sistema mediante la aplicación
de Poincaré.
aproximada por rectas a tramos [2], [3]. La
Sabemos que un sistema dinámico continuo
Figura 3 nos muestra esta aproximación.
se puede discretizar haciendo una adecuada
elección del hiperplano en el que las
trayectorias lo crucen formando un ángulo
distinto de cero [15].
Si d   0, T  , decimos que el ciclo de trabajo
es no saturado, en este caso, la aplicación de
Poincaré correspondiente, viene dada por la
Figura 3. Aproximación por rectas a tramos de la
expresión:
superficie de conmutación.
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d 
d 
P  xn , d n   1  n  2  T  d n  1  n  x  nT 
 2 
 2 
 dn 
 dn 
+1   2  T  d n  1  
 2 
 2 
se han tomado como constantes del sistema
los siguientes valores:
(8)
d 
d 
 1  n   2  T  d n   1  n 
 2 
 2 
Cuando el ciclo de trabajo
d adquiere los
T  0,16;   1;  =0,2128;  =0,0626.
El sistema se ha hecho evolucionar con diez
mil iteraciones usando el software MATLAB.
valores 0 ó
T , decimos que el ciclo presenta
saturación o que está saturado. En estos
casos extremos, definimos la aplicación de
Poincaré como:

Si
d n  0 , el mapa de Poincaré
correspondiente es:
P  x  nT    2 T  x  nT   2 T  (9)

Si d n  T , la aplicación de Poincaré
Figura 4. Proyección de las variables de estado
respecto al tiempo.
correspondiente es:
P  x  nT    1 T  x  nT   1 T  (10)
En esta Figura, la línea roja corresponde a
los valores de referencia para cada una de
las variables de estado y la línea azul a la
Las expresiones (8), (9) y (10) son las
evolución del sistema, donde podemos ver
ecuaciones que definen la aplicación de
que se obtiene una órbita de periodo uno.
Poincaré para el sistema dado en (1) en el
esquema de control 1,0,1 .
5. Existencia de órbitas 1- periódicas.
La Figura 4 muestra la proyección de las
Una de las primeras consecuencias de la
variables de estado respecto al periodo de
aplicación de Poincaré, es el establecimiento
tiempo
T . En cada caso se ha tomado como
constante el valor de referencia x4 ref  1,6 y
de condiciones suficientes para la existencia
de órbitas periódicas.
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Para hallar las órbitas periódicas del sistema,
es menor que
utilizamos las expresiones (8), (9) y (10),
Figura 5.
1 , como se muestra en la
hallando los puntos fijos de la aplicación de
En esta Figura se ha variado 
Poincaré dada por estas relaciones.
Para el caso de las órbitas 1 - periódicas, los
puntos fijos corresponden a los
x0 tales que
intervalo
(0.02,0.08)
en el
y se escogió α = 1 ,
β = 0.2128 .
P( x0 , d0 )  x0 , es decir, x((n  1)T )  x(nT ) .
Con esta igualdad y usando (8), obtenemos
una condición suficiente para la existencia de
órbitas 1- periódicas, cuando el ciclo de
trabajo varía en el intervalo (0,1 ) , la cual
está dada por la expresión:

d 
 d 
x ( nT )   I 4  1  n  2 (T  d n )1  n  
2


 2 

  dn 
 dn 
1  2  2 (T  d n ) 1  2 


 

d
+1  n
 2
1

 dn 
 2 (T  d n )  1   

 2 
Figura 5. Radio espectral en función del parámetro
 .
La Figura 6 muestra la proyección de las
órbitas
1 - periódicas para un periodo de
tiempo T  0,16 seg .
La existencia de órbitas 1 – periódicas en
este caso, queda sujeta a la existencia de la
inversa de la matriz
d 
d 
I 4  1  n  2 (T  d n )1  n 
 2 
 2 
resultado que se tiene ya que el radio
espectral de la matriz
 dn 
 dn 
 2 (T  d n )1  
2
 
 2 
1 
Figura 5. Órbitas 1- periódicas.
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Cuando
el
ciclo
de
trabajo
presenta
saturación, las expresiones que definen las
órbitas 1-periódicas son las siguientes:
1.
dn  0
Si
entonces
x(nT )  [ I 4  2 (T )]  2 (T ) .
1
2.
Si
dn  T
de su matriz asociada A L ) es menor que
uno entonces todos sus valores propios
quedarán dentro del círculo unidad [16].
Cuando el ciclo de trabajo no presente
saturación, la aplicación de Poincaré estará
entonces
x(nT )  [ I 4  1 (T )]1 1 (T ) .
definida por la expresión (8). Derivando
parcialmente respecto a xn , obtenemos:
El radio espectral de las matrices 2 (T ) y
JP 
1 (T ) en los casos 1 y 2, respectivamente, es
justamente uno, por lo que las expresiones
dadas en cada caso no son aplicables para la
existencia de órbitas 1 – periódicas.
6. Estabilidad de las órbitas 1 – periódicas
P P d n


xn d n xn
donde JP es la matriz Jacobiana de la
aplicación de Poincaré.
Cuando hay saturación del ciclo de trabajo,
se tiene de las expresiones (9 ) y (10 ) , que
El análisis detallado de la estabilidad de las
la matriz Jacobiana de la aplicación de
órbitas 1 – periódicas se realizó usando el
Poincaré está definida como JP  2 (T ) si
método de los multiplicadores característicos.
d  0 ; y como JP  1 (T ) si d = T .
Para aplicarlo, hallamos la matriz Jacobiana
de la aplicación de Poincaré en el punto de
equilibrio del sistema y luego determinamos
los valores propios de la matriz resultante. Si
estos valores propios están dentro del circulo
unitario, la órbita 1 – periódica es estable; en
caso contrario la órbita 1 – periódica es
Evaluando estas matrices Jacobianas en el
punto fijo, hemos encontrado numéricamente
los valores de los parámetros asociados a la
superficie de conmutación a partir de los
cuales las órbitas 1 – periódicas dejan de ser
estables.
inestable [10]. Lo anterior también se puede
ver en términos del radio espectral de la
matriz Jacobiana, donde se tiene que si el
radio espectral de un operador lineal L (o el
En las figuras 6 a 8, la línea azul representa
el radio espectral de la matriz Jacobiana
asociada a estas órbitas en los respectivos
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parámetros k1 , k 2 y k3 . En el punto exacto
donde este radio espectral pasa de ser
menor que uno a ser mayor que uno, la órbita
1 – periódica deja de ser estable y se vuelve
inestable.
Figura 8. Diagrama de estabilidad.
Radio espectral vs
k3
7. Conclusiones
El
Figura 6. Diagrama de estabilidad.
Radio espectral vs
k1
sistema
dinámico
que
modela
el
convertidor Cuk, admite un cambio de
variable que reduce la dimensión del espacio
de parámetros, facilitando así su estudio. La
discretización
del
sistema
mediante
un
muestreo cada periodo, junto con la técnica
ZAD,
permiten
algebraicas
obtener
cerradas
que
expresiones
garanticen
comportamiento periódico. En ese sentido, el
sistema presenta una variedad de órbitas de
periodo uno en un rango amplio de valores
de los parámetros k1 , k 2 y k3 . Sin embargo,
estas órbitas dejan de ser estables al variar
Figura 7. Diagrama de estabilidad.
Radio espectral vs
k2
algunos de los parámetros, generando así
una bifurcación en el sistema. Por ejemplo,
para
k1 = 4, k 3 = 5 y k 4 = 15 , la órbita 1-
periódica
pierde
aproximadamente en
estabilidad
k 2 = 13.22 .
Revista NOOS, Vol. 5, No 1, Junio de 2014. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. ISSN 2346-2779
Revista NOOS Volumen 5 (2014) Pág. 1 – 13
Derechos Reservados
Facultad de Ciencias Exactas
Y Naturales
IEEE Transactions on Power Electronics
Agradecimientos:
El
autor
Simeón
10, 1995.
Casanova Trujillo agradece a la DIMA por el
apoyo económico dentro del semillero de
[6] CASANOVA T, S. Análisis de la
investigación “existencia y control de caos en
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