1. Educación

5
Soluciones a la autoevaluación
Pág. 1
1 Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:
—
a) x 3 – 8 = 0
b) √x – 1 = 6
c)
a) x = 2
b) x = 37
1 = 1
x–3
7
c) x = 10
1
2 ¿Cuáles de los valores 0, –1, , 1 son soluciones de la ecuación 3x 2 – 4x + 1 = 0?
3
x = 0:
x = –1:
1
x= :
3
x = 1:
3 · 0 – 4 · 0 + 1 ? 0 8 0 no es solución.
3(–1)2 – 4(–1) + 1 = 3 + 4 + 1 ? 0 8 –1 no es solución.
1 2
1
1 4
1
3
–4 +1= – +1=0 8
es solución.
3
3
3 3
3
3 · 12 – 4 · 1 + 1 = 3 – 4 + 1 = 0 8 1 es solución.
()
3 Busca por tanteo, con calculadora, una solución exacta de la ecuación:
x 4 – x 3 = 500
x 4 – x 3 = 500 8 Solución x = 5
4 Busca por tanteo, con calculadora, una solución aproximada de la ecuación
2 x = 325.
2 x = 325 8 Solución x ≈ 8,34
5 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x + 2 – x – 4 = 2
b) 1 (1 – x) = 1 (2 – x)
4
2
3
4
(
)
a) x + 2 – x – 4 = 2 8 4 x + 2 – x – 4 = 4 · 2
4
2
4
2
x + 2 – 2(x – 4) = 8 8 x + 2 – 2x + 8 = 8 8 –x + 2 = 0 8 x = 2
b) 1 (1 – x) = 1 (2 – x) 8 4(1 – x) = 3(2 – x) 8 4 – 4x = 6 – 3x 8
3
4
8 4 – 6 = 4x – 3x 8 x = –2
6 Resuelve las siguientes ecuaciones (recuerda que decir que no tiene solución o
que tiene infinitas soluciones también es resolver):
a) 3(3 + 2x) – (1 – x) = 2(4 + 3x) + x
b) 2x + 3 = 1 – x
3
c) 3(x – 2) + 5(x + 1) = 2(2x + 7) + 4(x + 2)
d) 5 – 6x – 4 = x – 3
5
Unidad 5. Ecuaciones
5
Soluciones a la autoevaluación
Pág. 2
a) 3(3 + 2x) – (1 – x) = 2(4 + 3x) + x 8 9 + 6x – 1 + x = 8 + 6x + x 8 0x = 0
Tiene infinitas soluciones.
b) 2x + 3 = 1 – x 8 2x + 3 = 3 – 3x 8 5x = 0 8 x = 0
3
c) 3(x – 2) + 5(x + 1) = 2(2x + 7) + 4(x + 2) 8
8 3x – 6 + 5x + 5 = 4x + 14 + 4x + 8 8 0x = 23
No tiene solución.
d) 5 – 6x – 4 = x – 3 8 25 – 6x + 4 = 5x – 15 8 44 = 11x 8 x = 4
5
7 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula general:
b) 7x 2 – 63 = 0
a) 5x 2 – 10x = 0
d) 2x 2 + 50 = 0
c) 4x 2 = 18x
a) 5x 2 – 10x = 0 8 5x(x – 2) = 0
b) 7x 2 – 63 = 0 8 x 2 =
63
=9
7
x=0
x=2
x=3
x = –3
x=0
x = 9/2
c) 4x 2 = 18x 8 4x 2 – 18x = 0 8 2x(2x – 9) = 0
d) 2x 2 + 50 = 0 8 2x 2 = –50 8 x 2 = –25
No tiene solución.
8 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x 2 – 2x – 15 = 0
b) 4x 2 – 20x + 25 = 0
c) 2x 2 – 6x + 5 = 0
d) 6x 2 – 7x + 4 = 2 + 6x
a) x 2 – 2x – 15 = 0 8 x =
2 ± √ 22 – 4 · (–15) 2 ± 8
=
2
2
b) 4x 2 – 20x + 25 = 0 8 x =
c) 2x 2 – 6x + 5 = 0 8 x =
x=5
x = –3
20 ± √ 202 – 4 · 4 · 25 20 ± 0
5
=
8 x=
2·4
8
2
6 ± √ 62 – 4 · 2 · 5 6 ± √ – 4
=
4
4
No tiene solución.
d) 6x 2 – 7x – 4 = 2 + 6x 8 6x 2 – 13x – 6 = 0 8
8 x=
13 ± √ 132 – 4 · 6 · (–6) 13 ± 17,69
≈
12
12
Unidad 5. Ecuaciones
x ≈ 2,56
x ≈ –0,39
5
Soluciones a la autoevaluación
Pág. 3
9 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula general:
a) 2 – x – 2 + x = 2x + 7 – 2x + 5
4
2
4
3
b) 2x + 3(x – 4)2 = 37 + (x + 3)(x – 3)
c) x (x – 1) – x (x + 1) + 3x + 4 = 0
3
4
12
2
d) (x + 1)x – (2x – 1) = 3x + 1 – 1
8
2
4
8
( )( )
e) x – 1 x + 1 = (x + 1)2 + 1
2
2
a) 2 – x – 2 + x = 2x + 7 – 2x + 5
4
2
4
3
(
8
) (
)
8 12 2 – x – 2 + x = 12 2x + 7 – 2x + 5 8
4
2
4
3
8 3(2 – x) – 6(2 + x) = 3(2x + 7) – 4(2x + 5) 8
8 6 – 3x – 12 – 6x = 6x + 21 – 8x – 20 8 –7x = 7 8 x = –1
b) 2x + 3(x – 4)2 = 37 + (x + 3)(x – 3) 8
8 2x + 3(x 2 – 8x + 16) = 37 + x 2 – 9 8
8 2x + 3x 2 – 24x + 48 = 37 + x 2 – 9 8 2x 2 – 22x + 20 = 0 8
x = 10
11 ± √ 112 – 4 · 10 11 ± 9
8 x 2 – 11x + 10 = 0 8 x =
=
x=1
2
2
c) x (x – 1) – x (x + 1) + 3x + 4 = 0 8
3
4
12
[
]
8 12 x (x – 1) – x (x + 1) + 3x + 4 = 0,12 8
3
4
12
8 4x(x – 1) – 3x(x + 1) + 3x + 4 = 0 8
8 4x 2 – 4x – 3x 2 – 3x + 3x + 4 = 0 8 x 2 – 4x + 4 = 0 8
8 x=
4 ± √ 42 – 4 · 4 4
= =2
2
2
2
d) (x + 1)x – (2x – 1) = 3x + 1 – 1 8
8
2
4
8
[
] [
]
2
8 8 (x + 1)x – (2x – 1) = 8 3x + 1 – 1 8
8
2
4
8
8 4x(x + 1) – (2x – 1)2 = 2(3x + 1) – 1 8
8 4x 2 + 4x – 4x 2 + 4x – 1 = 6x + 2 – 1 8 2x = 2 8 x = 1
Unidad 5. Ecuaciones
5
Soluciones a la autoevaluación
Pág. 4
e)
( )( )
x – 1 x + 1 = (x + 1)2 + 1 8
2
2
(
)
x2
x2
– 1 = x 2 + 2x + 1 + 1 8 4
– 1 = 4(x 2 + 2x + 2) 8
4
4
8 x 2 – 4 = 4x 2 + 8x + 8 8 3x 2 + 8x + 12 = 0 8
8
–8 ± √ 82 – 4 · 3 · 12 –8 ± √ –80
=
2
2
No tiene solución.
8 x=
10 Luis tiene 5 años más que su hermano Miguel, y su padre tiene 41 años. Dentro de 6 años, entre los dos hermanos igualarán la edad del padre. ¿Qué edad
tiene cada uno?
EDAD HOY
EDAD DENTRO
DE 6 AÑOS
x+5
x
41
x+5+6
x+6
41 + 6
LUIS
MIGUEL
PADRE
° 47 = x + 11 + x + 6
¢ 47 = 2x + 17
£ 30 = 2x 8 x = 15
Luis tiene 20 años, y Miguel, 15 años.
11 Un ciclista que marcha a 18 km/h tarda 3 horas en alcanzar a otro que le llevaba una ventaja de 24 km. ¿Qué velocidad lleva el que va delante?
8 18 km/h
x es la velocidad del ciclista que va delante.
24 km
Se acercan a una velocidad de (18 – x) km/h y en 3 horas tienen que recorrer
los 24 km que los separan.
3(18 – x) = 24 8 54 – 3x = 24 8 30 = 3x 8 x = 10
Va a 10 km/h.
12 De un depósito lleno de agua se vacían sus 2/5 y después 300 litros. Si aún
quedó 1/10, ¿cuál es la capacidad del depósito?
x es la capacidad del depósito.
2
1
x – x – 300 = x 8 10x – 2x – 3 000 = x 8 5x = 3 000 8 x = 600 l
5
10
La capacidad del depósito es 600 litros.
Unidad 5. Ecuaciones
5
Soluciones a la autoevaluación
Pág. 5
13 Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide 2 cm menos
que la altura y la diagonal mide 10 cm.
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
10
cm
x 2 + (x – 2)2 = 102 8
x
8 x 2 + x 2 – 4x + 4 = 100 8
8 2x 2 – 4x – 96 = 0 8
8 x 2 – 2x – 48 = 0 8
x–2
8 x=
2 ± √ 22 – 4(–48) 2 ± 14
=
2
2
La altura mide 8 cm, y la base, 6 cm.
Unidad 5. Ecuaciones
x=8
x = –6. No vale.