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UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE MATEMÁTICAS
MA-0540 PRINCIPIOS DE ANÁLISIS I
CARTA AL ESTUDIANTE
II CICLO 2015
Horario: Martes 10:00-12:50, Viernes 11:00-12:50
Aula: 404FM
Requisitos: MA-0304
Tipo de curso: Teórico-Práctico
Créditos: 5
Horas: 5
1.
Información general
Reciba la más cordial bienvenida al curso MA-540: Principios de Análisis I. En este
documento encontrará información sobre los aspectos del curso que usted debe conocer,
tales como objetivos, contenidos, evaluación y bibliografı́a.
Este curso está dirigido a estudiantes de la carrera Enseñanza de la Matemática,
y tiene como objetivo fundamentar teóricamente las bases del análisis matemático,
especı́ficamente en los tópicos de lı́mites, continuidad, derivación, e integración. Estos
temas se cubrirán formalmente, con las demostraciones de los teoremas y resultados
más importantes. También se espera lograr un desarrollo de las habilidades del cálculo
de lı́mites, derivadas e integrales.
2.
Objetivo general
Contribuir a la formación matemática del estudiante, de su habilidad para interpretar y deducir analı́ticamente resultados del análisis, propiciando el uso correcto del
lenguaje de la matemática para expresar ideas de manera rigorosa y coherente. Se
aprenderán las técnicas básicas de razonamiento y demostración en el campo del análisis matemático. Se pretende además fomentar un espı́ritu crı́tico mediante la discusión
de los conceptos fundamentales y desarrollar el pensamiento lógico-matemático.
3.
Objetivos especı́ficos
1. Definir formalmente el concepto de lı́mite de una función en un punto dado.
1
2. Demostrar y aplicar los teoremas más importantes referentes a lı́mites de funciones.
3. Calcular lı́mites de funciones usando la definición, las propiedades, y la regla de
L’Hôpital.
4. Definir formalmente el concepto de continuidad de una función en un punto dado.
5. Probar la continuidad de una función de manera algebraica y mediante propiedades.
6. Demostrar y aplicar los teoremas más importantes referente a la continuidad de
funciones.
7. Definir formalmente el concepto de diferenciabilidad de una función en un punto
dado.
8. Demostrar y aplicar los teoremas más importantes referente a las derivada de una
función.
9. Calcular derivadas de funciones usando la definición y las reglas de derivación.
10. Definir formalmente el concepto de integrabilidad de una función según Riemann.
11. Demostrar y aplicar los teoremas más importantes referente a la integral de funciones.
12. Calcular integrales mediante diferentes técnicas de integración.
4.
Contenidos
Lı́mites y continuidad: (4 semanas) Definición de lı́mite, propiedades básicas
de lı́mites, cálculo de lı́mites, criterio de sucesiones para lı́mites, criterios de divergencia, lı́mites laterales, lı́mites en infinito y lı́mites al infinito. Definición de continuidad,
continuidad de las funciones polinomiales, continuidad de las funciones exponencial y
logarı́tmica, continuidad de la inversa de una función continua, imagen continua de un
intervalo, teorema del valor intermedio, funciones continuas sobre intervalos cerrados.
Derivación: (5 semanas) Concepto de derivada, definiciones y propiedades básicas, derivadas de funciones elementales, álgebra de derivadas, regla de la cadena, la
derivada de la función inversa de una función diferenciable, derivación implı́cita, teorema de Rolle, máximos y mı́nimos de funciones diferenciables, derivadas de segundo
orden y concavidad, gráficas de funciones, aplicaciones varias.
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Integración: (6 semanas) Definición y propiedades básicas, integral definida, integral de Riemann, sumas superiores e inferiores, integrales indefinidas, métodos de
integración, teorema del valor medio, teorema fundamental del cálculo, aplicaciones a
diversos tipos de problemas. Construcción de algunas funciones elementales usando integración: función logaritmo, funciones trigonométricas, aplicaciones al cálculo de las
integrales.
5.
Metodologı́a
Los contenidos serán expuestos en clase, dando énfasis a la comprensión de conceptos y al uso correcto del lenguaje matemático. Se presentarán suficientes ejemplos,
principalmente para dirigir el estudio. Las lecciones deben ser complementadas, por el
estudiante, con la lectura y el análisis de otros enfoques y, sobre todo, con el trabajo constante de los ejercicios propuestos, ası́ como de los que aparezcan en su estudio
particular. Además se promoverá la participación del estudiante en clase, mediante
la exposición de los ejercicios asignados en tareas. También se realizarán sesiones de
ejercicios donde se fomentará el trabajo en grupo.
6.
Evaluación
La evaluación sumativa incluirá los siguientes rubros:
Tres exámenes: 25 %, 30 % y 30 %.
Tareas: 15 %. Las tareas se deben presentar por escrito y de manera individual.
Este rubro incluirá además la exposición de los ejercicios resueltos por parte de
los y las estudiantes en clases.
Los exámenes se realizarán las siguientes fechas:
Examen
Examen 1
Examen 2
Examen 3
Ampliación
Dı́a
Martes
Martes
Martes
Martes
22 de setiembre
27 de octubre
1 de diciembre
8 de diciembre
Hora
10am
10am
10am
10am
Contenido
Lı́mites y continuidad
Derivación
Integración
Temas con nota menor a 70
Para realizar examen de reposición, se debe entregar al profesor la solicitud por
escrito acompañada con el documento oficial que justifique debidamente la razón de su
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ausencia al examen respectivo, según las causas y periodos que el Reglamento de Régimen Académico Estudiantil considera como válidas. Una vez aprobada la reposición, el
profesor le indicará al estudiante la fecha de reposición.
7.
Referencias bibliográficas
1. R. G. Bartle y D. R. Sherbert, Introducción al Análisis Matemático de una
Variable, Limusa Wiley, 1996.
2. R. Courant y F. John, Introduction to Calculus and Analysis, Vol I, SpringerVerlag, 1989.
3. J. Stewart, Cálculo de una Variable. Trascendentes Tempranas, Thomson Editores, Columbia, 2001.
4. M. Spivak, Calculus. Cálculo Infinitesimal, Reverté, 1988.
5. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 2da. edición, 1966.
6. B. Demidovich, Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático, Editorial MIR,
1973.
7. T. Apostol, Análisis Matemático, Reverté, 1996.
8.
Atención a estudiantes
Profesor: Juan Gabriel Calvo.
Correo electrónico: [email protected]
Teléfono: 2511 3417.
Oficina: 206 CIMPA (Nuevo edificio de Matemática, Ciudad de la Investigación).
Horario: Martes 2-3pm, Viernes 2-4pm, o con cita previa.
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