1. Educación

CÁLCULO INTEGRAL
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN
CLASE # 15
6.6. Aplicaciones a la física y a la ingeniería
Trabajo
Para el estudio de este tema recordemos antes algunas unidades de medida:
Sistema métrico internacional:
masa(m): Kg, distancia(d): m, tiempo(t): s, Fuerza(F ): N , F = ma (masa aceleración),
gravedad(g) = 9:8 sm2 :
Densidad del agua: 1000 Kg
m3 :
Peso especí…co del agua:
1000
Kg
m3
9:8
m
s2
= 9800
N
m3 :
Sistema inglés:
Fuerza: libras(lb), distancia: pies(f t), gravedad = 32:2
Densidad del agua: 1:94
slug
f t3 :
Peso especí…co del agua: 62:4 flbt3 :
M asa = densidad volumen : m =
ft
:
s2
V:
Nota. Al trabajar este tipo de problemas tener en cuenta que todo esté en las mismas unidades.
Se de…ne el trabajo como la cantidad de fuerza necesaria para mover un objeto una cierta distancia.
Cuando se está trabajando con una fuerza constante, se de…ne el trabajo (W ) como
W =F
d
(N
m = J (Joule) ó f t lb)
Pero, ¿qué pasa si la fuerza es variable? En este caso la fuerza ejercida para mover un objeto se toma como
una función en cada punto xi 2 [xi 1 ; xi ] ; y suponemos que el trabajo es constante en cada subintervalo
[xi 1 ; xi ] ; mientras se realiza el movimiento desde un punto a hasta b
de donde Wi = f (xi ) x. Haciendo un tratamiento de sumas de Riemann como antes, obtenemos
W = lim
n!1
n
X
i=1
f (xi ) x =
Z
b
f (x)dx;
(f (x) = f uerza):
a
Nota. En el SMI el trabajo se mide en Joules (J) y en el SI en lb
f t:
Ejemplo. Conforme se levanta un tanque que contiene agua, esta se descarga a una tasa constante de 2
pies3 por pie de altura. Si el peso del tanque es de 200 libras y originalmente contenía 1000 pies3 de agua,
determine el trabajo efectuado al subir el tanque 500 pies:
1
Solución.
Sea xi 2 [xi 1 ; xi ] : Cuando el fondo del tanque está a la altura xi ;
hay (1000 2xi ) pies3 de agua en el tanque.
Como el peso de 1 pie3 de agua es 62:4 libras; entonces
el peso del tanque y su contenido, cuando está en xi es de
[200 + 62:4 (1000 2xi )] libras:
Y esta es la fuerza sobre el tanque. Ahora, el trabajo realizado para
subir el tanque una distancia x es
Wi = [200 + 62:4 (1000 2xi )] x:
Luego, el trabajo para recorrer 500 pies es
n
R 500
P
W = lim
Wi = 0 (62600 124:8x) dx =
= 1:57 107 lb f t:
n!1 i=1
En el siguiente ejemplo usamos una ley física llamada Ley de Hooke: la fuerza requerida para mantener un
resorte estirado x unidades más allá de su longitud natural es proporcional a x, es decir, f (x) = kx, donde
k es una constante positiva. Esta ley se cumple siempre que x no sea muy grande.
Ejemplo. Un resorte tiene una longitud natural de 15cm. Si se requiere una fuerza de 30N para
mantenerlo estirado hasta una longitud de 35cm ¿cuánto trabajo se necesita para estirarlo desde 15cm
hasta 25cm?
Solución. Grá…camente la situación es
Por la ley de Hooke:
f (x) = kx es la fuerza para estirarlo x metros más allá de
su longitud natural. Luego, al estirar el resorte de 15 cm
hasta 35 cm; se estiró 20 cm = 0:2 m, con una fuerza de 30 N . Así
30 = f (0:2) = k(0:2) =) k = 150:
De donde
f (x) = 150x:
Ahora, desde 15 cm hasta 25 cm se estira 10 cm = 0:1 m, luego
Z 0:1
W =
150xdx = 0:75 J:
0
Nota. Un procedimiento estándar para problemas que piden sacar un líquido de un tanque es
Hallar dV =) dm = dV =) dF = gdm =) dW = d dF (d : distancia) =) W =
Z
b
dW:
a
Ejemplo. El tanque que se muestra está lleno de agua. Encuentre el trabajo requerido para bombearla
2
por el tubo de salida
Solución.
Primero observamos que dV = 8 (2x) dy. Ahora debemos expresar x en términos de y: Usando semejanza
de triéngulos nos queda
3 y
3 y
3
=
=) x =
;
1:5
x
2
de donde
dV = 16
3
y
2
dy = 8(3
y)dy:
Siguiendo con el procedimiento antes mensionado
dm = dV =) dF = gdV = 9800 [8 (3
y)] dy =) dW = 78400 (3
y) (distancia) dy:
Observemos que cada diferencial debe recorrer una distancia de y + 2 para salir por el tubo, luego
dW = 78400 (3
Así,
W =
Z
y) (y + 2) dy:
3
78400 (3
y) (y + 2) dy =
= 10 058:400 J:
0
Ejemplo. Un tanque semiesférico, con un radio de 6 pies, se llena de agua a una profundidad de 4 pies.
Calcule el trabajo realizado al bombear el agua hasta la parte superior del tanque.
Solución.
En este caso es diferencial es un disco con un espesor dy: Así dV = x2 dy: Para escribir x en términos de y
usamos el hecho de que
x2 + y 2 = 36
lo cual implica dV =
36
y 2 dy:
Y usando nuestro procedimiento
dm = dV =) dF = gdV =) dW = dF (distancia) = (1:94)(32:2)
Así
W =
Z
36
6
(62:5)
36y
y 3 dy =
= 62:5
2
3
256 = 16000 lb
f t:
y 2 (y)dy: