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Epidemiología Matemática: virus,
bacterias y… malware
Ángel Martín del Rey
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Física Fundamental y Matemáticas
Universidad de Salamanca, Salamanca, España
[email protected]
2 de diciembre de 2015
Bachillerato de Investigación y Excelencia, I.E.S. “Vaguada de la Palma”, Salamanca
Introducción
• La Modelización Matemática es una de las ramas de las Matemáticas
de mayor uso en Medicina.
• Grosso modo, el objetivo fundamental de la Modelización Matemática
es la descripción, simulación y predicción del comportamiento de
fenómenos de todo tipo.
Interpretación
Problema
existente en el
mundo real
Resultados y
Conclusiones
Simplificación
Modelo de
Trabajo
Simulación
Representación
Modelo
Computacional
Modelo
Matemático
2
Implementación
ÁngelMar*ndelRey,2014
Introducción
• ¿Qué buscamos con un modelo matemático?
‣ Representación matemática de un determinado fenómeno de tal
forma que su análisis teórico y numérico proporcione información
para entender mejor los mecanismos que lo rigen.
‣ Implementación computacional para poder realizar simulaciones.
• ¿Cuál es el interés de la modelización matemática?
‣ Interés académico: estudio de las propiedades matemáticas del
modelo y sus implicaciones.
‣ Interés práctico: dotar al gestor de una herramienta informática que
permita predecir y simular comportamientos y tomar decisiones de
control.
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ÁngelMar*ndelRey,2014
La Epidemiología Matemática
• La Epidemiología Matemática es la disciplina científica que se ocupa
del diseño y análisis de modelos matemáticos que simulan la
propagación de agentes infecciosos (virus, bacterias,…) y código
malicioso (troyanos, gusanos computacionales,…).
• La Epidemiología Matemática trata de dar respuesta a las siguientes
preguntas:
‣¿Cuál será el alcance final de la epidemia?
‣¿Cuál será el efecto de las medidas de
prevención y de control tomadas?
‣¿Qué medida tomada será más eficiente y
eficaz?
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ÁngelMar*ndelRey,2014
La Epidemiología Matemática: algo de historia
• El primer modelo epidemiológico de carácter matemático apareció en
1760 y es debido a Daniel Bernoulli.
‣ Estudiaba la propagación de la viruela.
‣ Estaba basado en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:
(
)
⎧ u '(t) = − λ (t) + µ (t) u(t)
⎪
⎨
⎪⎩ w'(t) = 1 − c(t) λ (t)u(t) − µ (t)w(t)
(
)
u(0) = 1
w(0) = 0
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ÁngelMar*ndelRey,2014
La Epidemiología Matemática: algo de historia
• En 1906, W.H. Hamer propuso un modelo matemático discreto para
estudiar la propagación del sarampión.
‣ Hamer sugiere que la evolución de una epidemia depende de la tasa
de contacto entre los individuos susceptibles de contraer la
enfermedad y los individuos infectados con capacidad de
transmitirla (individuos infecciosos).
‣ Este principio de acción de masas establece que la
incidencia (número de nuevos casos por unidad de
tiempo) es proporcional al producto de la densidad
de individuos susceptibles por la densidad de
individuos infecciosos.
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ÁngelMar*ndelRey,2014
La Epidemiología Matemática: algo de historia
• En 1911, R. Ross desarrolla un modelo matemático basado en
ecuaciones diferenciales para predecir el comportamiento de un
brote infeccioso de malaria.
‣ En dicho modelo se explica la relación entre el número de
mosquitos y la incidencia de la malaria en humanos.
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ÁngelMar*ndelRey,2014
El Modelo de Kermack-McKendrick: Historia
• El objetivo de este taller es presentar el modelo de KermackMcKendrick para estudiar la propagación de malware.
• El modelo de Kermack-McKendrick fue inicialmente desarrollado en
1927 para estudiar la propagación de la peste bubónica y es
considerado como la piedra angular de los modelos que se
propusieron posteriormente.
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ÁngelMar*ndelRey,2015
El Modelo de Kermack-McKendrick
• Su característica fundamental es que se trata del primer modelo
compartimental en el que la población es dividida en tres clases
diferentes:
‣ Individuos Susceptibles.
‣ Individuos Infecciosos.
‣ Individuos Recuperados
Suscep'ble
a
Infectado
b
Recuperado
• Otra aportación extremadamente importante de este trabajo es la
introducción del Teorema Umbral que permite determinar cuando un
brote infeccioso se convierte en epidémico.
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El Modelo de Kermack-McKendrick: el SEDO
• La dinámica del modelo viene regida por el siguiente sistema de
ecuaciones diferenciales ordinarias:
variación del número de susceptibles
⎧ S ' ( t ) = −a ⋅ S ( t ) ⋅ I ( t ) La
es proporcional a dicho número de susceptibles
⎪⎪
La variación del número de infectados es el balance
I
'
t
=
a
⋅
S
t
⋅
I
t
−
b
⋅
I
t
(
)
(
)
(
)
(
)
⎨
entre una proporción de susceptibles y una de infectados
⎪
La variación del número de recuperados
⎪⎩ R' ( t ) = b ⋅ I ( t ) es proporcional al número de infectados
Coeficiente de transmisión: a = k ⋅ q, Tasa de recuperación: b = T −1 ,
k : contactos efectivos con infectados por unidad de tiempo,
q : probabilidad de que un contacto efectivo acabe en contagio,
T : duración del periodo infeccioso.
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El Modelo de Kermack-McKendrick: el R0
• El número reproductivo básico asociado al modelo propuesto es:
a⋅N
R0 =
.
b
de manera que se verifica que:
‣ Si R0 < 1 no se producirá una epidemia.
‣ Si R0 > 1 se producirá una epidemia.
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El Modelo de Kermack-McKendrick: el R0
Simulación I: R0 > 1
1
a = 0.001, b = , S(0) = 99, I ( 0 ) = 1, R ( 0 ) = 0,
24
R0 ≈ 2.3760.
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El Modelo de Kermack-McKendrick: el R0
Simulación II: R0 < 1
1
a = 0.001, b = , S(0) = 30, I ( 0 ) = 1, R ( 0 ) = 0,
24
R0 = 0.96.
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El Modelo de Kermack-McKendrick: el R0
• El número reproductivo básico se puede definir como el número
esperado de dispositivos infectados causados por el contagio de un
único dispositivo infeccioso en una población enteramente
susceptible:
a⋅N q⋅k⋅N
R0 =
=
= q ⋅ k ⋅T ⋅ N.
b
1/T
k ⋅T =
q ⋅ k ⋅T =
R0 = q ⋅ k ⋅T ⋅ N =
contactos efectivos de cada dispositivo con el dispositivo
infectado durante todo su periodo infeccioso
contactos efectivos de cada dispositivo con el infectado
durante todo su periodo infeccioso y que acaban en
contagio
contactos efectivos totales con el dispositivo infectado
durante todo su periodo infeccioso y que acaban en
contagio
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ÁngelMar*ndelRey,2015
El Modelo de Kermack-McKendrick: el R0
• El objetivo en el control de cualquier epidemia es conseguir que el
número reproductivo básico sea menor que 1.
• ¿Cómo se consigue ello?
‣
a⋅N
R0 =
b
‣
‣
‣
Disminuyendo a haciendo disminuir el número de contactos k
mediante aislamiento.
Disminuyendo a haciendo disminuir la probabilidad q de que un
infectado contagie a un susceptible.
Disminuyendo N aplicando programas de vacunación.
Aumentando b mejorando el tratamiento de los infectados.
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El Modelo de Kermack-McKendrick: Soluciones
• Evolución del número de dispositivos susceptibles, S(t):
S (t ) = S ( 0 ) ⋅ e
a
− R( t )
b
susceptibles
800
600
400
0 < S ( ∞ ) = lim S ( t ) = S ( 0 ) e
200
t→∞
20
40
60
80
a
− R( ∞ )
b
.
100
horas
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El Modelo de Kermack-McKendrick: Soluciones
• Evolución del número de dispositivos infectados, I(t):
‣ I(t) satisface:
⎛ S (t ) ⎞
b
I ( t ) = N − S ( t ) + log ⎜
.
⎟
a
⎝ S (0) ⎠
‣ Si R0 < 1, entonces I(t) es monótona decreciente de manera que:
I ( ∞ ) = lim I ( t ) = 0.
t→∞
‣ Si R0 > 1, entonces I(t) crece hasta alcanzar su valor máximo:
b b
⎛ a ⋅ S (0) ⎞
I max = N − − log ⎜
,
⎟
⎝ b ⎠
a a
y posteriormente decrece de manera que: I ( ∞ ) = lim I ( t ) = 0.
t→∞
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El Modelo de Kermack-McKendrick: Soluciones
• Evolución del número de infectados, I(t):
infectados
I max = I (t max )
150
b
S(t max ) =
a
R0 > 1
100
50
I ( ∞ ) = lim I ( t ) = 0
t→∞
t max
20
40
60
80
100
horas
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ÁngelMar*ndelRey,2015
El Modelo de Kermack-McKendrick: Soluciones
• Evolución del número de dispositivos recuperados, R(t):
⎛ S (t ) ⎞
b
R ( t ) = N − S ( t ) − I ( t ) = − log ⎜
.
⎟
a
⎝ S (0) ⎠
recuperados
700
R ( ∞ ) = lim R ( t ) = N − S ( ∞ )
600
t→∞
500
400
300
200
100
20
40
60
80
100
horas
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ÁngelMar*ndelRey,2015
Algunas conclusiones
• La mayor parte de los modelos se encuentran basados en SEDOs (son
deterministas, globales y continuos).
• Aunque desde el punto de vista matemático se encuentra bien
fundamentados y gracias a la Teoría Cualitativa de SEDOs es posible
analizarlos en detalle, presentan serios inconvenientes:
‣ No tienen en cuenta las características individuales de los
dispositivos.
‣ La topología del sistema es homogénea.
‣ No son capaces de predecir el comportamiento individual.
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ÁngelMar*ndelRey,2015
Algunas conclusiones
• Estas deficiencias se podrían subsanar si utilizáramos modelos
individuales:
‣ Modelos basados en autómatas celulares.
‣ Modelos basados en agentes.
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ÁngelMar*ndelRey,2015
Aplicaciones
• Ejemplo: Brote de ébola
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Aplicaciones
• Ejemplo: Brote de ébola (continuación)
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ÁngelMar*ndelRey,2014
Aplicaciones
• Ejemplo: Brote de ébola (continuación)
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ÁngelMar*ndelRey,2014
Aplicaciones
• Ejemplo: Brote de ébola (continuación)
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ÁngelMar*ndelRey,2014
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