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Introducción a la Fı́sica Cuántica
Tarea 4
A entregar: Miércoles 21 de octubre de 2015
Problemas del Oscilador Armónico
Problema 19.
Haga los siguientes cálculos para los eigenestados del oscilador armónico
simple |ni:
Los valores esperados de los operadores x
b y pb ası́ como sus dispersiones:
2
2
h(∆b
x) i y h(∆b
p) i. Con ésto encuentre el producto de las dispersiones y luego
compare con el principio de incertidumbre. Sugerencia: use los operadores
de ascenso y descenso vistos en clase para facilitar los cálculos.
Problema 20.
Partiendo de las propiedades de los polinomios de Hermite y de la definición,
vista en clase, de los operadores de ascenso y descenso demuestre explı́citamente
las siguientes relaciones:
b
a|ni =
b
a† |ni =
√
√
n|(n − 1)i
n + 1|(n + 1)i
Usando ésto, encuentre los elementos de matriz para los eigenestados del
oscilador: hm|b
a|ni y hm|b
a† |ni.
Problema 21.
Considere una partı́cula sujeta al potencial de oscilador armónico
1
V (x) = mω 2 x2
2
tal que al tiempo t = 0 se encuentra en el estado
r
2
mω mω
Ψ(x, 0) = A 1 − 2
x exp −
x2
~
2~
1
a) Normalice Ψ(x, 0), es decir, encuentre A.
b) ¿Cuál es el valor esperado de la energı́a?
c) ¿Cuál es la función de onda de la partı́cula a un tiempo t arbitrario?
Sugerencia: Sabemos que los eigenestados del oscilador armónico forman una base ortonormal y completa, haga uso de esto para reescribir
Ψ(x, 0). Aunque para reescribir la función de onda necesitará hacer uso de
los polinomios de Hermite, después para efectuar los cálculos, intente pasar a
la notación de kets, ya que esto facilita la visualización de cálculos, es decir,
X
Ψ(x, 0) =
an φn (x)
n
pero Ψ(x, 0) = hx|Ψ(0)i =
P
n
an hx|ni, por lo tanto |Ψ(0)i =
2
P
n
an |ni