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Mecánica Clásica 1
Prof. Cayetano Di Bartolo
Departamento de Fı́sica
Universidad Simón Bolı́var
Esta guı́a está basada en los manuscritos que elaboré para los cursos de Mecánica que dicté
en la Universidad Simón Bolı́var. La guı́a todavı́a requiere de modificaciones y correcciones,
y es mi esperanza que en algún momento se convierta en un libro. Si el lector desea hacerme
alguna observación puede escribirme a la dirección [email protected]
AGRADECIMIENTOS
El libro se está realizando con la magnı́fica colaboración de mi esposa Jacqueline Geille,
quién contribuye en todos los aspectos de su elaboración. También agradezco al Profesor
Lorenzo Leal, de la Universidad Central de Venezuela, que muy amablemente me facilitó sus
notas para el curso de Mecánica.
Ultima actualización: Julio de 2004
2
Dinámica de un sistema de partı́culas
En este capı́tulo trataremos con sistemas de partı́culas. Se definirán “cantidades extensivas”
que permitirán describir el movimiento global del sistema. Se definirán los momentos lineal
y angular del sistema y sus energı́as cinética y potencial. Se estudiarán los sistemas con
masa variable y se tratará el problema de dos cuerpos.
2.1
Centro de masa y momentum.
Consideremos un sistema formado por N partı́culas.
Llamaremos mα a la masa de la partı́cula α-ésima y rα a
su vector posición en algún referencial S. Supondremos
que existen fuerzas externas e internas al sistema. Llamaremos Fαe a la fuerza externa total sobre la partı́cula
α-ésima y Fα,β a la fuerza que sobre dicha partı́cula
aplica la β-ésima.
m1
mN
O
rα
mα
S (referencial)
Para determinar la evolución del sistema, i.e. el movimiento de cada partı́cula, debemos
resolver las ecuaciones de movimiento de todas ellas. Si el referencial S es inercial el conjunto
de ecuaciones es
N
e
Fα,β , α ∈ {1, ..., N }
(2.1)
mα r̈α = Fα +
β=1
donde Fα,α = 0. Se trata de 3N ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas. En
muchas ocasiones este problema es difı́cil de resolver si no imposible. Sin embargo todavı́a
cabe la posibilidad de estudiar la traslación global del sistema y para ello es útil el concepto
de centro de masa del sistema.
El centro de masa del sistema se define como un punto cuyo vector posición es
rcm ≡
1 mα rα
M α
con
M≡
α
25
mα
(2.2)
(2.3)
26
Mecánica Clásica 1
C. Di Bartolo (Julio de 2004)
la masa total del sistema. Nótese que si todas las masas son iguales el centro de masa
coincide con el centro geométrico del sistema. Una cantidad ı́ntimamente relacionada con el
centro de masa es el momentum total del sistema. Llamaremos pα = mα ṙα al momentum
(o momento lineal) de la partı́cula α-ésima. Se define el momentum total del sistema en el
referencial S como
pα =
mα ṙα
(2.4)
P ≡
α
α
y es inmediato que
P = M ṙcm .
(2.5)
Para obtener la ecuación de movimiento que satisface el centro de masa en el referencial
S (supuesto inercial) comencemos sumando las ecuaciones de movimiento (2.1)
mα r̈α =
α
Fαe +
α
Fα,β
.
β
Como
Fα,β = −Fβ,α
⇒
α
Fα,β = 0
β
se llega a la ecuación
mα r̈α = F Ext ,
(2.6)
α
donde
F Ext ≡
Fαe
(2.7)
α
es la fuerza externa neta que actúa sobre el sistema. De derivar respecto al tiempo las
ecuaciones (2.4) y (2.2) se obtiene finalmente que la ecuación (2.6) es equivalente a
M r̈cm = Ṗ = F Ext .
(2.8)
Esta ecuación es la ecuación de movimiento para el centro de masa y nos dice que el centro
de masa se mueve igual de como lo harı́a una partı́cula con masa igual a la total del sistema
y bajo una fuerza igual a la fuerza externa neta que actúa sobre el sistema. Al resolver la
ecuación se obtiene la trayectoria del centro de masa que proporciona una idea del desplazamiento global del sistema. De (2.8) se obtiene la ley de conservación del momento lineal
(válida en referenciales inerciales):
F Ext = 0
⇔
P = cte
⇔
ṙcm = cte .
(2.9)
C. Di Bartolo
27
Dinámica de un sistema de partı́culas
En particular el centro de masa de un sistema aislado se mueve con velocidad constante
respecto a cualquier referencial inercial.
2.2
Sistemas con masa variable.
Llamamos sistemas de masa variable a sistemas de partı́culas con una distribución de masa
no discreta cuya masa total varı́a en el tiempo. En esta sección escribiremos la ecuación de
movimiento que satisface el centro de masa de tales sistemas.
Consideremos un sistema de partı́culas con una distribución continua de masa. Etiquetaremos los puntos del
sistema con uno o varios parámetros reales designados colectivamente con la letra λ y llamaremos r(t, λ) a sus vectores
posición. El elemento de masa en el punto r(t, λ) del sistema
lo escribiremos como
ρdλ
r(t, λ)
dm = ρ(λ)dλ
donde dλ puede ser el elemento de longitud, área o volumen y ρ(λ) es la densidad de masa
correspondiente. Esto significa que la masa total del sistema es
ρ(λ)dλ
(2.10)
M=
Λ
donde Λ es la región de integración o conjunto de valores de λ.
Para este sistema la ecuación (2.6) toma la forma
∂2
F =
r(t, λ)ρ(λ)dλ
2
Λ ∂t
(2.11)
con F la fuerza neta sobre el sistema. El centro de masa y el momento lineal del sistema
satisfacen
∂r
d
ρdλ .
(2.12)
M ṙcm =
r(t, λ)ρdλ
y
P =
dt Λ
Λ ∂t
Si Λ = Λ(t) y las velocidades son funciones continuas del tiempo se cumple que
d
∂r
F = P
con
P =
ρdλ = M ṙcm .
dt
Λ ∂t
(2.13)
Pero si Λ es función del tiempo como en los sistemas de masa variable la ecuación anterior
no es válida. ¿Cómo obtener una ecuación de movimiento para el centro de masa de tales
sistemas? Veremos que algunos problemas de masa variable pueden pensarse como sistemas
28
Mecánica Clásica 1
C. Di Bartolo (Julio de 2004)
que coliden o interaccionan. Comenzaremos estudiando cómo se relacionan los cambios de
momentum de dos sistemas que chocan.
Sea un sistema continuo de partı́culas SA ∪ SB compuesto de dos subsistemas que no varı́an su masa, supondremos que las velocidades de todas las partı́culas son
funciones continuas del tiempo. Sean PA y PB sus momentos y F la fuerza neta sobre el sistema compuesto.
Entonces (2.13) conduce a
F =
SA ∪ SB
SA
SB
d
(PA + PB ) .
dt
(2.14)
Si integramos la ecuación anterior en el intervalo de tiempo [t, t + ∆t] y llamamos ∆P a los
cambios en los momentos se obtiene que
t+∆t
F · dt = ∆PA + ∆PB = mA ∆vA + mB ∆vB
(2.15)
t
donde hemos llamado mA , mB , vA y vB a las masas y velocidades de los centros de masa de
los subsistemas SA y SB .
Algunos problemas de masa variable pueden entenderse como el problema de subsistemas
que acabamos de estudiar. Consideremos un sistema S(t) de masa variable M (t) y centro de
masa con velocidad V (t). Supondremos que SB es la porción de este sistema que se agrega o
se pierde en el intervalo [t, t + ∆t]; llamemos m = mB a la masa de esta porción y ∆v = ∆vB
al cambio de velocidad de su centro de masa en el intervalo. Entonces el cambio de masa
del sistema S(t) en el intervalo [t, t + ∆t] es
|M (t + ∆t) − M (t)| = m ≡ mB .
(2.16)
Supondremos que cuando SB forma parte del sistema S la velocidad de su centro de masa
coincide con la del resto del sistema,i.e., vB = vA = vA∪B .
Si se trata de un sistema que gana masa podemos tomar que
S(t) = SA
M (t) = mA
S(t + ∆t) = SA ∪ SB
∆V = vA∪B (t + ∆t) − vA (t) = ∆vA .
Si se trata de un sistema que pierde masa tomamos
S(t) = SA ∪ SB
M (t) = mA + mB
S(t + ∆t) = SA
∆V = vA (t + ∆t) − vA∪B (t) = ∆vA .
Si ahora suponemos que el intervalo de tiempo ∆t es muy pequeño (infinitesimal) al igual que
∆V y ∆M mientras que ∆v es finito, entonces la ecuación (2.15) conduce para cualquiera
C. Di Bartolo
29
Dinámica de un sistema de partı́culas
de los dos casos considerados a la ecuación
dM dV
∆v
+
F =M
dt
dt (2.17)
donde M , V y F son respectivamente la masa del sistema, su velocidad y la fuerza que
actúa sobre el mismo; todas son cantidades al tiempo t. Por otro lado ∆v es el cambio en
la velocidad (entre t y t + dt) de la masa que deja o se agrega al sistema.
Ejemplo 2.1 (Un cohete).
Un cohete con masa inicial M0 y velocidad inicial V0 (respecto a un sistema de referencia
inercial) se mueve quemando combustible y expulsando los gases resultantes a una velocidad
constante µ respecto al cohete. Hallaremos la velocidad del cohete en función de su masa
M (M < M0 ).
Partiremos de la ecuación (2.17). Como no hay fuerzas externas al sistema cohete+gases
colocamos F = 0. Llamaremos M (t) a la masa del cohete, V (t) a su velocidad y v a la
velocidad del combustible expelido por el cohete respecto al referencial inercial. El cambio
de v entre los tiempos t y t + dt es ∆v = (V + µ) − V = µ, luego
dM
dV
1 dM
d
dV
−
µ ⇒ 0=M
−
µ = M [V − µln(M )]
0=M
dt
dt
dt
M dt
dt
⇒
V − µ ln(M ) = cte = V0 − µ ln(M0 )
por lo cual
V = V0 + µ ln
2.3
M
M0
Momento angular y torque.
En esta sección definiremos el momento angular y el torque de un sistema de partı́culas.
Estas cantidades están relacionadas con la rotación del sistema como veremos mas adelante.
Dada una partı́cula de masa mα definimos su momento
angular en el referencial S y respecto a un punto Q como
d
LαQ |S ≡ mα rα,Q ×
(2.18)
rα,Q ,
dt
S
mα
rα
rα,Q
Q
O
S
rQ
30
Mecánica Clásica 1
C. Di Bartolo (Julio de 2004)
donde rα,Q = rα − rQ es el vector posición de la partı́cula respecto al punto Q. El punto Q
no necesariamente está fijo en S. Nótese que dos referenciales con distinto origen pero que
no rotan entre sı́ miden los mismos momentos angulares.
Para un sistema de N partı́culas se define el momento angular del sistema respecto al
punto Q como
d
rα,Q .
LαQ |S =
mα rα,Q ×
LQ |S ≡
dt
S
α=1
α=1
N
N
(2.19)
Dejaremos como un pequeño ejercicio para el lector demostrar que si se cambia de referencial
se cumple que
N
LQ |S = LQ |S +
(2.20)
mα rα,Q × WS |S × rα,Q ,
α=1
y si se cambia de punto de referencia entonces
LQ |S = LP |S + M ( rcm,P × ṙP,Q |S + rP,Q × ṙcm,Q |S ) .
(2.21)
En particular, si tomamos Q como el origen y P como el centro de masa se obtiene
LO |S = Lcm |S + M rcm × ṙcm |S .
(2.22)
A la cantidad Lcm |S cuando S es inercial se le suele llamar momento angular interno.
La derivada temporal del momento angular está relacionada con el torque. El torque de
un sistema de partı́culas respecto al punto Q se define por
NQ ≡
rα,Q × Fα =
α
α
rα,Q × Fαe +
α
rα,Q × Fα,β .
El último término de esta expresión se anula si suponemos que la
fuerza interna entre cualquier par de partı́culas es paralela a la lı́nea
de unión entre las dos partı́culas,
rα,β × Fα,β = 0 .
(2.23)
β
rα,β
mα
(2.24)
Esta suposición se conoce con el nombre de “versión restringida de
la tercera ley de Newton”. Veamos la demostración:
α,β
1
(rα,Q × Fα,β + rβ,Q × Fβ,α )
2 α,β
1
1
(rα,Q − rβ,Q ) × Fα,β =
rα,β × Fα,β = 0 .
=
2 α,β
2 α,β
rα,Q × Fα,β =
Fα,β
mβ
Dinámica de un sistema de partı́culas
31
En consecuencia sólo contribuyen al torque las fuerzas externas
rα,Q × Fαe .
NQ =
(2.25)
C. Di Bartolo
α
A continuación veamos cómo se relacionan el torque y la derivada temporal del momento
angular. Calculemos la derivada de LQ en un referencial inercial S.
d
mα rα,Q × r̈α,Q |S =
rα,Q × (Fα − mα r̈Q |S )
LQ =
dt
S
α
α
luego
d
LQ = NQ − M rcm,Q × r̈Q |S .
dt
S
(2.26)
Esta ecuación juega un papel muy importante en la dinámica de rotación del sistema, principalmente en sistemas rı́gidos (i.e. sistemas en los cuales no varı́an las distancias relativas
de las partı́culas que los componen). Como caso particular esta ecuación conduce a
coincide con el centro de masa o
d
(2.27)
LQ = NQ si Q
dt
está fijo en algún referencial inercial
S
Volveremos sobre esta ecuación cuando estudiemos la rotación de un cuerpo rı́gido. Por
último para los puntos Q que se mencionan en esta última ecuación se cumple la ley de
conservación del momento angular,
NQ = 0
2.4
⇔
LQ = cte .
(2.28)
Energı́a en un sistema de partı́culas.
En esta sección definiremos para un sistema de partı́culas sus energı́as cinética, potencial y
mecánica total.
Energı́a cinética: La energı́a cinética de la partı́cula α-ésima se define como
1
Tα ≡ mα |ṙα |2
2
(2.29)
y en un referencial inercial su variación es igual al trabajo realizado por la fuerza total que
actúa sobre la partı́cula. Si llamamos Γα a la trayectoria que sigue la partı́cula en el lapso
[t0 , tf ] el trabajo total sobre la partı́cula es
32
Mecánica Clásica 1
WΓα (Fα ) ≡
C. Di Bartolo (Julio de 2004)
Γα
Fα · drα =
mα r̈α · drα =
Γα
tf
d 1
mα |ṙα |2 · dt
dt 2
t0
luego
WΓα (Fα ) = Tα .
(2.30)
La energı́a cinética del sistema se define como la suma de las contribuciones individuales
T ≡
1
α
2
mα |ṙα |2
(2.31)
y debido a (2.30) cumple que su variación es igual al trabajo neto realizado por todas las
fuerzas internas y externas que actúan sobre el sistema, esto es
∆T = W
Ext
+W
Int
=
α
Γα
Fαe
· drα +
α,β
Γα
Fα,β · drα .
(2.32)
Por último dados tres referenciales S, S y S dejamos al lector la demostración de las
siguientes dos relaciones:
T |S = T |S + WS |S · Lcm |S +
1
mα |WS |S × rα |2
2 α
si O = O = c.m.
(2.33)
y
1
T |S = T |S + M |vcm |2
2
si O = c.m. y WS |S = 0
(2.34)
donde vcm es la velocidad del centro de masa en el referencial S. Al término M |vcm |2 /2 se le
llama energı́a cinética de traslación del sistema en el referencial S y a T |S energı́a cinética
de rotación del sistema en S.
Energı́a potencial. Una fuerza F (r) es conservativa si y solo si existe una función potencial V (r) que satisfaga
F (r) = −∇V (r)
(2.35)
donde ∇ es el operador gradiente respecto a la coordenada r. Si llamamos ·Γ y Γ· a los
puntos inicial y final de una curva Γ entonces el trabajo realizado por la fuerza a lo largo de
dicha curva es
C. Di Bartolo
33
Dinámica de un sistema de partı́culas
WΓ (F ) ≡
Γ
F (r) · dr = V (r ·Γ) − V (r Γ·) = −∆V .
(2.36)
Las fuerzas que actúan sobre cada partı́cula del sistema pueden ser conservativas y no
conservativas. Llamaremos Vα (rα ) a la energı́a potencial asociada a la fuerza conservativa,
neta y externa que actúa sobre la partı́cula α-ésima. El trabajo realizado por las fuerzas
externas es entonces
W
Ext
=
α
Γα
Fαe · drα = −∆V Ext + W ExtNC ,
(2.37)
donde Γα es la trayectoria recorrida por la partı́cula α-ésima, V Ext es el potencial externo
neto dado por
Vα (rα ) ,
(2.38)
V Ext ≡
α
y W ExtNC es el trabajo realizado por las fuerzas externas no conservativas.
A continuación trataremos el problema de calcular el trabajo realizado por las fuerzas
internas. En primer lugar si suponemos que el espacio es homogéneo debe cumplirse que
las fuerzas internas son solamente función de las posiciones relativas de las partı́culas, i.e.,
Fα,β (rα , rβ ) = Fα,β (rα − rβ ). En segundo lugar supondremos que las fuerzas internas son
conservativas
(2.39)
Fα,β (rα,β ) = −∇αβ Vαβ (rα,β ) ,
donde Vαβ es el potencial asociado a la fuerza Fα,β y ∇αβ es el gradiente en las coordenadas
rα,β . Como Fα,β = −Fβ,α entonces
−∇αβ Vαβ (rα,β ) = ∇βα Vβα (rβ,α ) = −∇αβ Vβα (rβ,α )
luego
Vαβ (rα,β ) = Vβα (rβ,α ) .
(2.40)
También supondremos que se satisface la versión restringida de la
tercera ley de Newton, luego
Fα,β (rα,β ) = Fα,β (rα,β )ûα,β .
mα
(2.41)
rα,β
Si expresamos en coordenadas esféricas el gradiente en (2.39) y lo
comparamos con la expresión anterior se obtiene que
Vαβ (rα,β ) = Vαβ (rαβ ) con rαβ = |rα,β | .
(2.42)
Esto significa que Fα,β = Fα,β (rαβ )ûα,β es una fuerza central.
mβ
ûα,β
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Mecánica Clásica 1
C. Di Bartolo (Julio de 2004)
Calculemos el trabajo realizado por las fuerzas internas cuando el sistema evoluciona
desde el instante t0 al instante tf .
Int
W0→f
luego
1 tf =
· drα =
Fα,β · ṙα dt =
[Fα,β · ṙα − Fα,β · ṙβ ] dt
2 t0 αβ
Γα
t0
α
αβ
1 tf 1 tf =
Fα,β (rα,β ) · ṙα,β dt = −
∇αβ Vαβ (rα,β ) · ṙα,β dt
2 t0 αβ
2 t0 αβ
FαInt
tf
Int
= −∆V Int
W0→f
(2.43)
con V Int el potencial interno neto definido como
1 Vαβ (rαβ ) =
Vαβ (rαβ ) .
V Int ≡
2 αβ
α β<α
(2.44)
Note que hay una única contribución a la energı́a potencial por cada par de partı́culas.
Al introducir (2.43) y (2.37) en (2.32) se obtiene que
con
∆E = W ExtNC
(2.45)
E ≡ T + V Ext + V Int
(2.46)
la energı́a del sistema. Nótese que si todas las fuerzas son conservativas entonces la energı́a
se conserva, i.e., ∆E = 0.
2.5
Problema de dos cuerpos.
Un problema de gran importancia es el del movimiento de dos
partı́culas que interactúan entre sı́. Este problema se simplifica considerablemente si lo descomponemos en el movimiento
del centro de masa y el movimiento relativo de una partı́cula
respecto a la otra.
Hagamos el cambio de variables
(r1 , r2 ) → (rcm , r)
(2.47)
r2
M2
c.m.
O
rcm
r1
r
M1
con
M1 r1 + M2 r2
M1 + M 2
r = r1,2 = r1 − r2 .
rcm =
(2.48)
(2.49)
C. Di Bartolo
Dinámica de un sistema de partı́culas
35
Es inmediato que
µ
r
M1
µ
r2 = rcm −
r
M2
M 1 M2
,
µ ≡
M1 + M 2
r1 = rcm +
(2.50)
(2.51)
(2.52)
donde µ se conoce como la masa reducida del sistema.
Las ecuaciones de movimiento de las dos partı́culas son
M1 r̈1 = F1e + F1,2
M2 r̈2 = F2e + F2,1 .
(2.53a)
(2.53b)
A su vez estas ecuaciones conducen a ecuaciones de movimiento para las variables rcm y r,
M r̈cm = F1e + F2e
e
F1
F2e
µr̈ = F1,2 + µ
−
M1 M2
(2.54a)
(2.54b)
donde M = M1 + M2 es la masa total del sistema. Los conjuntos de ecuaciones (2.53) y
(2.54) son equivalentes. La ecuación diferencial (2.54a) proporciona la evolución del centro
de masa del sistema y la ecuación (2.54b) nos dice como evoluciona el vector r visto desde
un sistema de referencia inercial. Esta última ecuación admite otra lectura; nos dice cómo es
la trayectoria de M1 vista por un observador no inercial con origen en M2 pero sin rotación
respecto a los sistemas inerciales.
Nótese que si
F1e
Fe
= 2
M1
M2
(2.55)
el problema se convierte en el de dos cuerpos que no interaccionan. Esto puede suceder si,
por ejemplo, no hay fuerzas externas o si M1 y M2 sienten sólo la fuerza gravitatoria de
partı́culas muy alejadas comparadas con r. En este caso se cumple que
M r̈cm = F Ext
µr̈ = F1,2 .
(2.56)
(2.57)
Por último evaluemos en las nuevas variables la energı́a cinética y el momentum angular
del sistema. Llamaremos S a un sistema de referencia inercial cualquiera y S al referencial
solidario con el centro de masa pero tal que WS |S = 0. Se tiene entonces que
1
1
1
T |S = M1 (ṙ1, cm )2 + M2 (ṙ2, cm )2 = µ|ṙ|2
2
2
2
(2.58)
36
Mecánica Clásica 1
C. Di Bartolo (Julio de 2004)
1
1
1
T |S = T |S + M |ṙcm |2 = µ|ṙ|2 + M |ṙcm |2 .
2
2
2
(2.59)
La energı́a cinética aparece como la suma de las energı́as cinéticas de dos partı́culas ficticias,
una de masa M en el centro de masa y otra de masa µ con vector posición r. De manera
similar para el momento angular también se encuentra que se puede escribir como la suma
de los momentos angulares de las dos partı́culas ficticias, esto es
Lcm = µ r × ṙ
(2.60)
L0 = Lcm + M rcm × ṙcm = µ r × ṙ + M rcm × ṙcm .
(2.61)
Finalmente de (2.27) se obtiene la ecuación que obedece la derivada del momento angular
d
d
Ext
.
Lcm = (µ r × ṙ) = Ncm
dt
dt
S
2.6
(2.62)
Resortes ideales.
En esta sección estudiaremos parcialmente el problema de dos partı́culas interactuando por
medio de un resorte ideal. Un estudio completo tendrá que esperar al capı́tulo sobre fuerzas
centrales.
Un resorte ideal de constante elástica K y longitud
natural l es un dispositivo sin masa que aplica en sus
extremos una fuerza restitutiva proporcional a la diferencia de su longitud r = |r1 − r2 | y su longitud natural,
i.e.,
F2,resorte = +K(r − l) ûr
F1,resorte = −K(r − l) ûr ,
(2.63)
(2.64)
r
2
K
r2
1
ûr
r1
donde
r
(2.65)
con r ≡ r1,2 = r1 − r2 .
r
Si lo deseamos podemos tomar al resorte como parte de una de las partı́culas o cómo un tipo
de fuerza de interacción entre ellas y escribir simplemente
ûr =
F1,2 = −F2,1 = −K(r − l) ûr .
(2.66)
Debe tenerse en cuenta que esta fuerza siempre es paralela a la lı́nea de unión entre las dos
partı́culas,“los resortes ideales no se doblan”.
C. Di Bartolo
Dinámica de un sistema de partı́culas
37
A continuación demostremos que la energı́a potencial asociada a un resorte es
1
V = K(r − l)2 ,
2
(2.67)
F1,2 = −∇r V (r) .
(2.68)
esto significa que
Para demostrarlo usamos la expresión del gradiente en esféricas,
∂
µ̂θ ∂
µ̂ϕ ∂
1
−∇V (r) = − µ̂r
+
+
K(r − l)2 = −K(r − l) ûr .
∂r
r ∂θ r senθ ∂ϕ 2
Si este sistema está aislado su energı́a se conserva y de acuerdo a (2.46) y (2.59) viene
dada por
1
1
1
E = µ|ṙ|2 + M |ṙcm |2 + K(r − l)2 ,
(2.69)
2
2
2
con µ la masa reducida y M la masa total del sistema. También se conserva su momentum
por lo cual su centro de masa se mueve con velocidad constante,
P = M Vcm = constante .
(2.70)
De acuerdo a (2.62) otra cantidad que se conserva es el momento angular en el referencial
centro de masa,
(2.71)
Lcm = µ r × ṙ = constante .
Las consecuencias de esta última ecuación las estudiaremos en el capı́tulo de fuerzas centrales,
sin embargo mencionaremos que una de ellas es que las dos partı́culas se mueven en un plano
constante.
La forma de tratar en general con la ecuación de movimiento del vector r también será
abordada en el capı́tulo de fuerzas centrales. Nosotros trataremos ahora sólo con el caso
particular de las dos partı́culas moviéndose sobre una lı́nea recta que pasa por el centro de
masa y tiene dirección ûr = û =constante. En este caso la ecuación 2.57 conduce a
µr̈ + K(r − l) = 0 .
(2.72)
Esta ecuación se conoce como la ecuación de movimiento de un oscilador armónico unidimensional y su solución general es
r − l = A cos(w t + θ0 )
(2.73)
donde A y θ0 son constantes de integración y
w=
K
.
µ
El movimiento relativo de las partı́culas es oscilante con un perı́odo τ = 2π/w.
(2.74)