1. No category

Capítulo 2
Transporte eléctrico
P
�ra crear una corriente eléctrica en un alambre de cobre, se necesita una carga
positiva en un extremo y una carga negativa en el otro. Históricamente, se elaboraron
dos teorías de la corriente eléctrica: La teoría convencional es la más antigua de las dos
y establece que la corriente fluye de una carga positiva a una negativa. La teoría del
electrón indica que la corriente fluye de una carga negativa a una positiva.
Este hecho, en principio contradictorio, se debe a razones históricas. Las teorías
básicas que explican el funcionamiento de la electricidad, son anteriores al conocimiento
de la existencia de los electrones. En todas estas teorías y estudios iniciales se toma,
por convenio, que éste era el sentido de circulación de la corriente eléctrica.
2.1.
2.1.1.
Corriente eléctrica
Transporte de carga y densidad de corriente
Las corrientes eléctricas se deben al movimiento de portadores de carga. La corriente
eléctrica en un hilo es la medida de la cantidad de carga que pasa a través de un punto
del hilo por unidad de tiempo.
� �
∆Q
1C
I=
(1A) =
(2.1)
∆�
1�
La corriente de un Ampere equivale a 6� 2 · 1018 electrones por segundo.
Importante Lo que cuenta es siempre el transporte de carga neto, con la debida
106
2.1. Corriente eléctrica
consideración al signo. El movimiento de un cuerpo neutro supone el transporte de una
gran cantidad de carga, pero no hay corriente debido a que se mueven exactamente el
mismo número de cargas positivas que negativas con la misma velocidad media.
Es convencional asignar a la corriente la misma dirección que el flujo de carga positiva.
Para describir el transporte de carga en un volumen tridimensional, usaremos el concepto
de densidad de corriente. Vamos a considerar valores medios de las magnitudes. Además,
consideraremos que nuestra escala de distancias es tal que en toda pequeña región existe
un gran número de partículas.
Supongamos un sistema donde, en promedio, hay � partículas por ��3 moviéndose
todas con el mismo vector velocidad ν� y transportando la misma carga �. Imaginemos un
cuadro de área � fijo con cierta orientación. ¿Cuantas partículas atraviesan el cuadro en
un tiempo ∆�?
Figura 2.1: Cargas en movimiento a través de un rectángulo de área a.
Las partículas destinadas a atravesar el cuadro en los próximos ∆� segundos serán
las que están ahora en el prisma oblicuo. El cuadro es la base del prisma y la longitud
de su arista es ν∆�, que es la distancia que recorre una partícula en un tiempo ∆�. Las
partículas fuera del prisma no alcanzan o no aciertan a la ventana.
2.1. Corriente eléctrica
107
Figura 2.2: Cargas en movimiento que atraviesan un prisma en un
intervalo ∆�.
El volumen del prisma es V = �ν∆� cos θ = � · ν� ∆�. En promedio, el número de
partículas que se encuentran en este volumen es ��
� · ν� ∆�. De este modo, la corriente a
través del cuadro (valor medio de la carga que atraviesa el cuadro por unidad de tiempo)
es
�(��
� · ν� ∆�)
I(�) =
= ���
� · ν� �
(2.2)
∆�
Supongamos ahora que tenemos distintas partículas, que difieren en la carga y en el
vector velocidad. Denotando cada clase por el sub-índice �, la k-ésima partícula tiene
una carga �� en cada partícula, se mueve con velocidad ν�� , y está presente con una
concentración media de �� partículas por ��3 , lo que da
I(�) = �1 �1 � · ν�1 + �2 �2 � · ν�2 + � � � = � ·
�
�
�� �� � �
(2.3)
A la magnitud vectorial que multiplica el área � le llamamos densidad de corriente �J
�
�
�
A
�J =
�� �� �
�
(2.4)
��2
�
Ahora, en un conductor, los electrones tienen una distribución de velocidades casi al
azar, que varían considerablemente en módulo y dirección. Sea �� el número de electrones
108
2.1. Corriente eléctrica
por unidad de volumen de todas las velocidades, podemos dividir los electrones en grupos,
cada uno de los cuales contiene electrones con casi la misma celeridad y dirección.
La velocidad media de todos los electrones se calcula sumando cada grupo
ponderando cada velocidad por el número de electrones en el grupo, y dividiendo por el
número total de electrones
1 �
� =
�� � �
(2.5)
��
�
Recordando que para el electrón tenemos que la carga � = −�, entonces
�J� = −�
�
�
�� ν�� = −��� ν�� �
(2.6)
La corriente a través del cuadro depende sólo de la velocidad media de los portadores
de carga.
2.1.2.
Corrientes estacionarias
La corriente I que circula a través de cualquier superficie S es precisamente la integral
de superficie
�
�
I = �J · �S�
(2.7)
�
Hablamos de un sistema de corriente estacionaria cuando el vector densidad de
corriente �J permanece constante con el tiempo en todo punto. Las corrientes estacionarias
deben obedecer a la ley de conservación de la carga.
Si los portadores de carga positivos salen de la superficie, la carga dentro de la
superficie se agota, y �J dejará de ser constante. La solución es que se cree carga en el
interior de la superficie, pero esto viola la ley de conservación de la carga
�
�
�J · �S
�=
�
V
� · �J�ν ⇒ ∇
� · �J = 0
∇
(corrientes estacionarias)�
(2.8)
2.1. Corriente eléctrica
109
Supongamos que la corriente ahora no es estacionaria, siendo �J función del tiempo
�
�
�J · �S
� = − �� = − �
ρ�ν
(2.9)
��
�� �
��
�
�
�J · �S
�=
� · �J�ν = − �
∇
ρ�ν
(2.10)
�� �
�
V
� · �J = − ∂ρ
∇
(corriente no estacionarias))
(2.11)
∂�
Ambas ecuaciones expresan la conservación de la carga: no puede salir carga de un
lugar sin disminuir la cantidad de carga allí existente.
2.1.2.1.
Ejercicio
La cantidad de carga � que pasa a través de una superficie de área 1 [��2 ] varía con
el tiempo de acuerdo con la expresión �(�) = 4� 3 − 6� 2 + 6.
Solución
(a) ¿Cuál es la intensidad de corriente instantánea a través de la superficie en � = 2 [�]?.
��(�)
�
=
(4� 3 − 6� 2 + 6) = 12� 2 − 12�
��
��
⇒ I(2[�]) = 12(2)2 − 12(2) = 24 [A]
I(�) =
(b) ¿Cuál es el valor de la densidad de corriente?
�
�
�
�
�
I(�) = J · �S = I = J �S =J(�)S
�
�
I(�)
12� 2 − 12�
=
S
S
� �
2
12(2[�]) − 12(2[�])
A
6
⇒J(2[�]) =
=
24
·
10
10−6
�2
J(�) =
(c) ¿En qué instante alcanza la mínima intensidad de corriente instantánea?
I(�) = 12� 2 − 12�
∂I(�)
∂
= (12� 2 − 12�) = 14� − 12 = 0 ⇒ � = 0� 5 [�]
∂�
∂�
∂2 I(�)
= 24 > 0
por lo que corresponde a un mínimo.
∂� 2
110
2.1.2.2.
2.2. Ley de Ohm
Ejercicio
Por un alambre de cobre de 2� 54 [��] de diámetro circula una corriente de 0� 5 [A].
Calcule la velocidad media de los electrones. Suponga que la concentración de electrones
libres es 8 · 1028 [electrones/�3 ].
Solución
La densidad de corriente está dada por J = I/A = ��V� , de modo que
V� =
2.2.
2.2.1.
� �
I
I
4I
−6 �
=
=
=
7�
71
·
10
�
�
2
��A
�
��πD 2
��π D2
Ley de Ohm
Conductividad eléctrica y Ley de Ohm
En clases pasadas se llegó a la conclusión de que el campo eléctrico en el interior
de un conductor es igual a cero, afirmación sólo cierta si el conductor está en equilibrio
electrostático. Cuando las cargas no están en equilibrio existe un campo eléctrico en el
conductor.
En un conductor, siempre que se mantenga una diferencia de potencial en él, se
� En algunos materiales,
establecerá una densidad de corriente �J y un campo eléctrico E.
la densidad de corriente es proporcional al campo eléctrico
�J = σ E
�
σ : conductividad eléctrica.
(2.12)
Los materiales que obedecen la ecuación anterior se dice que siguen la Ley de Ohm, en
honor a Georg Simon Ohm (1789-1854). La ley de Ohm afirma que en muchos materiales
(incluyendo la mayor parte de los metales) la relación de la densidad de corriente �J con
� es una constante σ que es independiente del campo eléctrico que
el campo eléctrico E
produce la corriente.
2.2. Ley de Ohm
111
Figura 2.3: Sección de un alambre portador de corriente.
De un extremo al otro del alambre se mantiene una diferencia de potencial ∆V =
VB −VA , lo que genera en el alambre un campo electrostático y una corriente. Si el campo
eléctrico es uniforme, entonces
∆V = −
�
A
B
� · ��� = E
E
�
L
0
�� = EL�
(2.13)
por lo tanto, podemos expresar la magnitud de la densidad de corriente en el alambre
como
∆V
J = σE = σ
�
(2.14)
L
ahora, dado que
I=
�
S
�J · �S
� =J
�
S
�S = JA�
entonces podemos escribir la diferencia de potencial como
L
∆V = J =
σ
�
L
σA
�
I =RI
⇒R =
L
σA
resistencia del conductor.
(2.15)
(2.16)
(2.17)
Podemos definir la resistencia como la relación existente entre la diferencia de
potencial aplicada a un conductor y la corriente que pasa por el mismo
∆V
L
R=
=
I
σA
�
�
1V
(1[Ω]) =
�
1A
(2.18)
112
2.2. Ley de Ohm
El recíproco de la conductividad es la resistividad ρ = 1/σ [Ω�]. De manera que

 ρ����� = 1� 7 · 10−8 [Ω · �]
L 
R =ρ
(2.19)
ρ������� = 640 [Ω · �]
A 

10
14
ρ������ = 10 − 10 [Ω · �]
(a) Material Óhmico
(b) Material no Óhmico
Figura 2.4: Gráficos de corriente I en función del voltaje V, para
materiales óhmicos y no óhmicos
2.2.1.1.
Ejemplo
Por un alambre de radio uniforme de 0� 26 [��] fluye una corriente de 10 [A] producida
por un campo eléctrico de magnitud 110 [V /�]. ¿Cuál es la resistividad del material?
Solución
La resistencia eléctrica está dada por
R=
Lρ
V
=
A
I
La diferencia de potencial entre los bordes del alambre está dada por
De este modo tendremos que
R =ρ
V =
E
L
L
EL
EA
π� 2 E
=
⇒ ρ=
=
= 233� 61 [µΩ�]
A
I
I
I
2.2. Ley de Ohm
2.2.1.2.
113
Ejemplo
Los cables coaxiales se utilizan ampliamente para la televisión por cable, entre
otras aplicaciones electrónicas. Un cable coaxial está constituido por dos conductores
cilíndricos concéntricos. La región entre los conductores está totalmente llena de silicio.
La fuga de corriente a través del silicio, en la dirección radial, no es deseada. El radio del
conductor interno es � = 0� 5 [��] y el radio externo es � = 1� 75 [��], siendo la longitud
L = 15 [��]. Calcule la resistencia del silicio entre los conductores.
Solución
Mediante la Ley de Gauss tenemos
�
� · �S
� = ����
E
ε0
�
Lλ
E �S =
ε0
�
Lλ
E(2π�L) =
ε0
2�λ
�=
ˆ�
⇒ E
�
�
⇒
⇒
La diferencia de potencial es
Pero
∆V = V� − V� = −
� �
�
⇒ V = 2�λ ln
�
de modo que
�
�
�
� · �S
� = −2�λ
E
V = IR
⇒ R=
�
�
�
��
= −2�λ ln
�
V
V
V
=
=
I
JA
σ EA
� �
� �
2�λ ln ��
V
ρ
�
R=
= 2�λ
=
ln
σ EA
2πL
�
� σ (2π�L)
Otra opción es tomar el diferencial
�R =
ρ
ρ
�� =
��
A
2π�L
� �
�
�
114
De esta forma tendremos que
R=
�
2.2. Ley de Ohm
�
�
�R =
ρ
2πL
�
�
�
��
ρ
=
ln
�
2πL
� �
�
�
Reemplazando en esta ecuación los valores dados, y conociendo que ρ�� = 640 [Ω�],
entonces
� �
ρ
�
R=
ln
= 851 [Ω]
2πL
�
Vamos a comparar esta resistencia con la del conductor interno del cable en un tramo
de 15 [��]. Suponiendo que el conductor está hecho de cobre, ρ�� = 1� 7 · 10−8 [Ω�],
tendremos
� �
ρ
�
R = ln
= 3� 2 · 10−5 [Ω]
A
�
Esta resistencia es mucho menor que la resistencia radial. Así, prácticamente toda la
corriente corresponde a cargas moviéndose a lo largo del cable, y una fracción muy
pequeña se fuga en la dirección radial.
2.2.1.3.
Ejemplo
Un alambre tiene forma de cono circular truncado. Los radios de los extremos son �1 y
�2 , y el largo es L. Si la abertura es pequeña, encontrar una expresión para la resistencia
entre los extremos del alambre.
Figura 2.5: Cono circular truncado.
Solución
2.2. Ley de Ohm
115
Considerando un diferencial de cono de radio � y longitud ��, la diferencial de
resistencia será
��
�R = ρ 2
π�
Para expresar el radio como función de �, se calcula la ecuación de la recta
�2 − �1
�(�) =
� + �1
L
Integrando tendremos que:
�
ρ L
��
L
R=
�
�2 = ρ
�
−�
π 0 �1 + 2 2 �
π�1 �2
L
�
��
1
Donde hemos usado que
=−
.
2
�(�� + �)
(� + ��)
2.2.2.
Modelo de conducción eléctrica
Pensemos en un conductor como un arreglo de átomos con un conjunto de electrones
libres (electrones de conducción). Los electrones de conducción obtienen movilidad cuando
los átomos libres se condensan en un sólido. En ausencia de un campo eléctrico, los
electrones de conducción se mueven al azar a través del conductor con velocidades
promedio del orden de los 106 [�/�].
En ausencia de campo no existe corriente eléctrica en un conductor dado que la
velocidad media de los electrones libres es igual a cero. Esto es, en promedio, se mueven
tantos electrones en una dirección como en la dirección contraria, y por lo tanto, no se
presenta un flujo neto de cargas
Figura 2.6: Movimiento aleatorio de un portador de carga en un
conductor en ausencia de campo eléctrico.
116
2.2. Ley de Ohm
Diferente es cuando se aplica un campo eléctrico. En este caso, además de
experimentar el movimiento aleatorio, los electrones libres derivan lentamente en
dirección opuesta a la del campo eléctrico, con una velocidad media mucho menor
(10−4 [�/�]) que sus velocidades promedio entre las colisiones (106 [�/�]).
Figura 2.7: Movimiento aleatorio de un portador de carga en un
conductor, en presencia de campo eléctrico.
En nuestro modelo suponemos que el movimiento de un electrón después de una
colisión es independiente de su movimiento antes de la misma. Además, la energía
adicional adquirida por los electrones en el campo eléctrico se pierde hacia los átomos
del conductor cuando entran en colisión los electrones y los átomos. Así, la energía
transmitida a los átomos incrementa su energía vibratoria, aumentando entonces la
temperatura del conductor
� = ��
F� = �E
�
�=
�
�E
�
�
(2.20)
(2.21)
Esta aceleración, que ocurre sólo durante un corto intervalo de tiempo entre las
colisiones, le permite al electrón adquirir una pequeña velocidad de arrastre (velocidad
media).
Si definimos � = 0 como el instante siguiente después de una colisión, y � al momento
en que ocurre la siguiente colisión, entonces
� = � + �� = � +
�
�E
�
�
(2.22)
2.2. Ley de Ohm
117
Figura 2.8: Instante entre colisiones.
Si suponemos que las velocidades iniciales están distribuidas en forma aleatoria,
entonces el valor promedio será ν�� = 0. El valor promedio del segundo término de la
�
ecuación anterior es (�E/�)τ,
donde τ es el intervalo de tiempo promedio entre colisiones
sucesivas. Dado que el valor promedio de � es igual a la velocidad media � entonces
�τ �
� =
E�
(2.23)
�
Recordando la definición de densidad de corriente tendremos que
Usando la ley de Ohm
��2 τ �
�� = ���
ν� =
E�
�
2
�J = σ E
� = �� τ E�
�
�
tendremos que la conductividad y resistividad de un conductor es
��2 τ
�
1
� �
ρ= =
E�
σ
��2 τ
σ=
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
El intervalo de tiempo promedio τ entre colisiones sucesivas esta relacionado con la
distancia promedio entre colisiones � (trayectoria libre media) y la velocidad promedio ν̄:
2.2.3.
Resistencia y temperatura
τ=
�
ν̄
(2.28)
En un rango limitado de temperatura, la resistividad de un conductor varía
prácticamente de manera lineal en función de la temperatura
ρ = ρ0 (1 + α(T − T0 ))�
(2.29)
118
2.2. Ley de Ohm
donde ρ es la resistividad a cierta temperatura, ρ0 es la resistividad a alguna temperatura
de referencia T0 , y α es el coeficiente de temperatura de resistividad.
ρ = ρ0 + ρ0 α(T − T0 )
ρ − ρ0 = ρ0 α(T − T0 )
⇒ α=
ρ − ρ0
∆ρ
=
�
ρ0 (T − T0 )
ρ0 ∆T
(2.30)
(2.31)
(2.32)
siendo ∆ρ = ρ − ρ0 el cambio en la resistividad durante el cambio de temperatura
∆T = T − T0 .
Material
Plata
cobre
Platino
Oro
Silicio
α ( ◦C )
3� 8 · 10−3
3� 9 · 10−3
3� 92 · 10−3
3� 4 · 10−3
−75 · 10−3
Cuadro 2.1: coeficientes α (temperatura de resistividad) para distintos
metales.
Como la resistencia es proporcional a la resistividad, entonces
R = R0 (1 + α(T − T0 ))�
(2.33)
El uso de esta propiedad nos permite realizar mediciones precisas de la temperatura
midiendo cambios en la resistencia del material.
2.2.3.1.
Ejemplo
Un termómetro para resistencias, que mide la temperatura al determinar el cambio en
la resistencia de un conductor, esta hecho de platino y tiene una resistencia de 50 [ω] a
20 [◦ C ]. Cuando se le sumerge en un recipiente que contiene indio fundido, su resistencia
aumenta a 76� 8 [ω]. Calcule el punto de fusion del indio.
2.2. Ley de Ohm
119
Solución
⇒
R = R0 (1 + α(T − T0 ))
R − R0 = R0 α(T − T0 ) = R0 α∆T
⇒
∆T = T − T0 =
R − R0
= 137◦ C
αR0
T = 137◦ C + T0 = 137◦ C + 20◦ C = 157◦ C
�
Para metales como el cobre, la resistividad es prácticamente proporcional a la
temperatura. Sin embargo, a muy bajas temperaturas siempre existe una región no lineal y
la resistividad alcanza un valor finito conforme la temperatura se acerca al cero absoluto.
Esta resistividad residual está causada principalmente por la colisión de electrones
con impurezas y con imperfecciones en el metal. Por otro lado, la resistividad a altas
temperaturas (región lineal) se debe a las colisiones entre los electrones y los átomos
metálicos.
(a) Metal
(b) Semicondutor
Figura 2.9: Gráfico de resistividad ρ en función de la temperatura T .
Es importante señalar que los semiconductores presentan valores de α (coeficiente
entre temperatura y resistividad) negativos, es decir, la resistividad disminuye con el
aumento de la temperatura. Esto se debe a un aumento en la densidad de los portadores
de carga a temperaturas elevadas. Los portadores de carga se asocian con impurezas
atómicas.
120
2.2.4.
2.2. Ley de Ohm
Superconductores
Los superconductores son aquellos materiales que reducen su resistencia hasta cero
cuando llegan a una cierta temperatura T� conocida como temperatura crítica. Este
fenómeno fue descubierto en 1911 por el físico holandés Heike Kamerlingh-Onnes (18531926) mientras trabajaba con mercurio.
Figura 2.10: Gráfico de la resistencia del mercurio en función de la
temperartura.
Las resistividades de los superconductores son inferiores a 4 · 10−25 [Ω�], alrededor
de 1017 veces menor que la resistividad del cobre. Los superconductores se clasifican en:
Materiales cerámicos de altas temperaturas críticas
Materiales superconductores metálicos
Material
T� [◦ K ]
Nb
9,46
Al
1,19
HgBa2 Ca2 Cu3 O8
YBa2 Cu3 O7
Pb
Hg
134
92
7,18
4,15
Cuadro 2.2: Materiales superconductores
2.2. Ley de Ohm
121
Si llegase a identificarse un superconductor a la temperatura ambiente, su impacto
sobre la tecnología sería tremendo. El valor de T� es sensible a la composición química,
a la presión, y a la estructura molecular del material.
Una vez que se ha establecido en un superconductor una corriente, persiste sin
necesidad de una diferencia de potencial aplicado (R = 0 (Ω)).
Aplicación: Imanes superconductores, donde la magnitud del campo magnético es 10
veces mayor que la de los electroimanes normales.
2.2.5.
Potencia eléctrica
En los circuitos eléctricos típicos, la energía se transfiere de una fuente (una batería)
a algún dispositivo (ampolleta).
Figura 2.11: Circuito eléctrico simple, formado por una batería (∆V ),
una resistencia (R) y cables de conexión.
En este circuito podemos pensar que se está entregando energía a un resistor. Dado
que los alambres también tiene resistencia, parte de la energía es entregada a los
alambres y parte a la resistencia. Supondremos que la resistencia de los alambres es
tan pequeña en comparación con la resistencia del circuito, que ignoraremos la energía
suministrada a los alambres.
A medida que una carga Q positiva se mueves desde � hasta � a través de la batería,
la energía potencial eléctrica del sistema aumenta en un valor Q∆V , en tanto que la
energía potencial química de la batería se reduce en la misma cantidad
∆U = Q∆V �
(2.34)
122
2.2. Ley de Ohm
Sin embargo, a medida que la carga se mueve desde � hasta � a través del resistor,
el sistema pierde esta energía potencial eléctrica durante las colisiones de los electrones
con átomos del resistor. En este proceso la energía se transforma en energía interna que
corresponde a un incremento en el movimiento de vibración de los átomos en el resistor.
Cuando la carga regresa al punto �
Energía Química → Resistor → Vibración Moléculas (Calor)
Consideremos ahora la velocidad a la cual el sistema pierde energía potencial
eléctrica conforme la carga Q pasa a través de la resistencia
P≡
�U
�(Q∆V )
=
= I∆V �
��
��
(2.35)
donde P se define como la potencia, que representa la rapidez a la cual se entrega
energía a la resistencia. Como ∆V = IR entonces
P = I∆V = I 2 R =
(∆V )2
R
[Watts]�
(2.36)
Las líneas de transmisión verdaderas efectivamente tienen resistencia, y se entrega
potencia a la resistencia de esos alambres. Las compañías eléctricas buscan minimizar
la potencia transformada en energía interna en las líneas y maximizar la energía
transformada al consumidor. Como el cobre es caro, usan cables con una menor sección
transversal y así, con una mayor resistencia
pero como la potencia es
R =ρ
L
A
A pequeño → R grande�
P = I 2 R = I∆V �
(2.37)
(2.38)
entonces como la resistencia es grande, usan una corriente pequeña para que la potencia
suministrada a los cables no sea tan elevada. Pero para mantener una corriente pequeña,
deben transferir la energía a un voltaje elevado. En algunos sitios, la potencia es
transportada a diferencias de potencial de 765[�V ] o más. Una vez que la electricidad llega
a la ciudad, la diferencia de potencial se reduce a 4 [�V ] mediante un transformador. Otro
transformador reduce el potencial hasta 220 [V ] antes de que finalmente la electricidad
llegue a su hogar. Cada vez que se reduce el potencial, la corriente aumenta en el mismo
factor, conservándose la misma potencia.
2.3. Circuitos
2.2.5.1.
123
Ejemplo
Una lámpara eléctrica de 10 [Ω] se etiqueta a 100 [W ] (maxima potencia permitida).
¿Cual es el máximo voltaje de operación que soportaría?.
Solución
2.2.5.2.
P = IV =
Ejemplo
V2
R
⇒V =
√
PR = 31� 62 [V ]
Un calentador eléctrico funcíona aplicando una diferencia de potencial de 120 [V ] a
un alambre de Nicromo que tiene una resistencia total de 8 [Ω]. Determine la corriente
que pasa por el alambre y la potencia nominal del calentador.
Solución
V
= 15 [A]
R
P = I 2 R = 1800 [W ]
V = IR
2.3.
Circuitos
2.3.1.
Fuerza electromotriz
Y
⇒I=
� sabemos que las cargas se mueven por la diferencia de potencial que produce una
batería. Como la diferencia de potencial es constante, también la corriente en el
circuito es constante en magnitud y dirección, y recibe el nombre de corriente directa.
La bateria se conoce como una fuente de fuerza electromotriz (fem). La fem ε de una
batería es el voltaje máximo posible que está puede suministrar entre sus terminales.
La terminal positiva de la batería se encuentra a un potencial más alto que la negativa.
Debido a que una batería verdadera está hecha de materia, existe una resistencia al flujo
de las cargas dentro de la batería. Esta resistencia se conoce como resistencia interna r.
124
2.3. Circuitos
Figura 2.12: Circuito de una fuente de fem ε de resistencia interna �
conectada a una resistencia externa R.
Conforme pasamos de la terminal negativa a la positiva, el potencial aumenta en una
cantidad ε. Sin embargo, a medida que nos movemos a través de la resistencia �, el
potencial disminuye en una cantidad I�
∆V = V� − V� = ε − I��
(2.39)
ε es el voltaje en circuito abierto, es decir, el voltaje terminal cuando la corriente es
igual a cero. Por ejemplo, una pila tiene una fem de 1�5 [V ]. La diferencia de potencial
real depende de la corriente. El voltaje terminal ∆V debe ser igual a la diferencia de
potencial entre los extremos de la resistencia externa R, conocida como resistencia de
carga
�
∆V = IR
∆V = ε − I�
ε = I� + IR ⇒ I =
ε
ε
ε
�≈ �
= �
�
R +�
R
R 1+ R
(2.40)
si multiplicamos la ecuación anterior por la corriente tendremos
P = Iε = I 2 R + I 2 ��
(2.41)
2.3. Circuitos
125
Figura 2.13: variación del potencial en el circuito en serie de � hasta
�.
2.3.1.1.
Ejemplo
Una batería tiene una fem de 30[V ]. El voltaje en las terminales de la batería disminuye
a 24 [V ] cuando se disipan 25 [W ] de potencia en un resistor externo R.
(a) ¿Cuál es el valor de R?
P = IV =
V2
V2
⇒ R=
= 23� 01 [Ω]
R
P
(b) ¿Cuál es la resistencia interna de la batería?
La fem está dada por
ε = IR + I�
= V + I�
de manera que
2.3.2.
=V +
�=
P
�
V
(ε − V )V
= 5� 76 [Ω]
P
Resistores en serie y en paralelo
En una conexión en serie, si una carga Q sale de un resistor R1 , deberá también
entrar en el segundo resistor R2 . De otra forma, la carga se acumularía en el alambre
126
2.3. Circuitos
entre los resistores. Por lo tanto, en un intervalo dado, la misma carga pasa a través de
ambos resistores
Figura 2.14: conexión de dos resistencias en serie.
En una combinación en serie de dos resistores, las corrientes son las mismas en
ambos resistores, ya que la cantidad de carga que pasa a través de R1 , también pasa a
través de R2 en el mismo intervalo de tiempo
∆V = IR1 + IR2 = I(R1 + R2 ) = IR�� �
La resistencia equivalente de tres o más resistores conectados en serie es
R�� = R1 + R2 + R3 + � � �
(2.42)
(2.43)
La resistencia equivalente de una conexión en serie de resistores es la suma
algebraica numérica de las resistencias individuales, y es siempre mayor a cualquier
resistencia individual.
Importante: Si una parte de la serie crea un circuito abierto, la serie completa dejará
de funcionar.
Consideremos ahora dos resistores conectados en paralelo. Cuando las cargas llegan
al punto � (unión), éstas se dividen en dos; una parte pasa a través de R1 y el resto a
través de R2 . De esta manera tenemos menos corriente en cada resistor individual que
la que sale de la batería.
2.3. Circuitos
127
Figura 2.15: conexión de dos resistencias en paralelo.
Por otro lado, como ambos resistores están conectados a los terminales de la batería,
la diferencia de potencial aplicada a los resistores es la misma
I = I1 + I2 =
∆V
∆V
+
= ∆V
R1
R2
�
1
1
+
R1 R2
�
=
∆V
�
R��
La aplicación de este análisis a tres o más resistores nos da:
1
1
1
1
=
+
+
+ ����
R��
R1 R2 R3
(2.44)
(2.45)
El inverso de la resistencia equivalente de dos o más resistores conectados en paralelo
es igual a la suma de los inversos de las resistencias individuales. Además, la resistencia
equivalente es siempre menor que la resistencia más pequeña en el grupo.
Los circuitos domésticos siempre están alambrados de manera que los aparatos
queden conectados en paralelo. Cada aparato opera independientemente de los demás,
de manera que si un interruptor se abre, los demás permanecerán cerrados. Finalmente,
todos los aparatos funcionan al mismo voltaje.
2.3.2.1.
Ejemplo
Considere la combinación de resistores de la figura (2.16).
128
2.3. Circuitos
Figura 2.16: Circuito formado por resistencias de diferentes valores.
(a) Determine la resistencia entre los puntos � y �.
R�� = 9� 11 [Ω]
(b) Si la intensidad de corriente en el resistor de 5 [Ω] es de 1 [A], .cual es la diferencia
de potencial entre los puntos � y �?.
2.3.2.2.
Ejemplo
V�� = 97� 2 [Ω]
Imagine cinco resistores conectados como se muestra en la figura. Determine la
resistencia equivalente entre los puntos � y �.
Solución
Figura 2.17
Debido a la simetría del circuito, las corrientes en las ramas �� y ad deben ser
iguales; en consecuencia, también deben ser iguales los potenciales en los puntos � y �.
2.3. Circuitos
129
Esto significa que ∆V�� = 0 y que no existe ninguna corriente entre los puntos � y �.
Como resultado, los puntos � y � pueden conectarse entre sí sin afectar al circuito. De
este modo R�� = 1 [Ω]
2.3.3.
Leyes de Kirchhoff
Los circuitos sencillos pueden analizarse utilizando la expresión ∆V = IR y las leyes
para las combinaciones en serie y paralelo de los resistores. Para analizar circuitos más
complejos utilizaremos las leyes de Kirchhoff.
Ley de las uniones
La suma de las corrientes que entran a cualquier unión debe ser igual a la de las
corrientes que salen de ella.
�
I������� =
�
I������ �
(2.46)
La primera ley de Kirchhoff es un enunciado de la conservación de la carga eléctrica.
Todas las cargas que entran en un punto dado deben abandonarlo debido a que la carga
no puede acumularse en ese punto.
Figura 2.18: Regla del nodo (unión) de Kirchhoff.
Esto es análogo a una manguera con agua que encuentra una bifurcación. El agua
no puede acumularse en la manguera.
Ley de las mallas
La suma de las diferencias de potencial aplicadas a todos los elementos alrededor de un
circuito cerrado debe ser igual a cero:
�
circuito
cerrado
∆V = 0
(2.47)
130
2.3. Circuitos
La segunda ley de Kirchhoff es una consecuencia de la ley de conservación de la energía.
Imaginemos que movemos una carga alrededor de un circuito cerrado. Cuando la carga
regresa al punto de partida, el sistema carga-circuito debe tener la misma energía total
que la que tenía antes de mover la carga.
La energía potencial se reduce donde la carga pasa a través de una caída de tensión
−IR en una resistencia o donde sea que se mueva en dirección contraria a través de una
fuente fem. La energía potencial aumenta donde la carga pasa a través de la terminal
negativa a la positiva de una batería
Figura 2.19: Reglas para determinar los cambios de potencial a través
de una resistencia y una batería.
En general, para resolver un problema de circuito en particular, el número
de ecuaciones independientes que se necesitan es igual al número de corrientes
desconocidas.
Importante: Cualquier capacitor (condensador) en un circuito funciona como una rama
abierta; es decir, la corriente en la rama que contiene al capacitor es igual a cero bajo
condiciones de estado estable.
2.3.3.1.
Ejemplo
Un circuito de una sola malla contiene dos resistores y dos baterías.
2.3. Circuitos
131
Figura 2.20: Circuito en serie, donde las polaridades de las baterías
están opuestas una de la otra.
(a) Determine la corriente en el circuito.
�
De la malla tenemos que
∆V = ε1 − IR1 − ε2 − IR2 = 0, de modo que I = −0� 33 [A].
El signo negativo de I indica que la dirección de la corriente es la opuesta a la
dirección supuesta.
(b) ¿Qué potencia se entrega a cada resistor?.
La ecuación de potencia es P = IV = I 2 R, de modo que P1 = I 2 R1 = 0� 87 [W ] y
P2 = I 2 R2 = 1� 1 [W ].
(c) ¿Cuál es la potencia entregada por la batería de 12 [V ]?.
La batería de 12 [V ] entrega una potencia de P� = Iε2 = 3� 96 [W ]. La mitad de esta
potencia es entregada a los dos resistores, mientras que la otra mitad es entregada
a la batería de 6 [V ], la cual está siendo cargada por la batería de 12 [V ].
(d) ¿Qué pasaría si la polaridad de la batería de 12 [V ] se invierte?.
�
De la malla tenemos que
∆V = ε1 − IR1 + ε2 − IR2 = 0, de modo que I = 1� 0 [A].
La corriente sería mayor e iría en la dirección contraria.
2.3.3.2.
Ejemplo
Determine la diferencia de potencial entre los puntos � y � en el circuito de la figura,
y las corrientes I1 , I2 e I3 .
132
2.3. Circuitos
Figura 2.21
Solución
De la unión c se tiene que I2 = I1 + I3 .
�
De la malla de la izquierda tenemos que
∆V = 9[V ] − (9[Ω])I1 − (1[Ω])I2 = 0.
Y de la malla de la derecha tenemos que V = 9[V ] − (9[Ω])I1 − (1[Ω])I2 = 0.
Entonces tenemos tres ecuaciones para tres incógnitas, de modo que las corrientes serán:
como
19
[A] = 0� 655 [A]
29
I2 = I1 + I3 = 3� 1 [A]
I1 =
I2 = 9 − 10I1 : [A] = 2� 45 [A]
Finalmente la diferencia de potencial entre el punto a y b será:
V�� = −(9[Ω])I1 − 8 [V ] = −13� 895 [V ]
2.3.4.
Carga de un condensador
Se le llama circuito RC a un circuito que contiene una combinación en serie de un
resistor y un capacitor. La figura muestra un circuito RC en serie. Supongamos que el
capacitor de este circuito está inicialmente descargado. No existirá corriente mientras el
interruptor esté abierto
2.3. Circuitos
133
(a) Circuito descargado, � < 0.
(b) Circuito cargándose, � > 0.
Figura 2.22: Circuito para la carga de un condensador, antes y después
de cerrar un interrupor.
Si el interruptor se cierra en � = 0 [�], la carga comenzará a fluir, estableciendo una
corriente en el circuito, y el capacitor comenzará a cargarse. Conforme las placas se
cargan, la diferencia de potencial aplicada al capacitor aumenta. Una vez que se alcanza
la carga máxima, la corriente en el circuito es igual a cero, ya que la diferencia de
potencial aplicada al capacitor es igual a la suministrada por la batería. Aplicando la ley
de Kirchhoff tendremos
�(�)
ε−
− I(�)R = 0
(2.48)
�
En el instante en que se cierra el interruptor (� = 0 [�]), la carga del capacitor es igual a
cero.
ε
I(� = 0) ≡ I0 =
(corriente en � = 0)
(2.49)
R
En este caso, la diferencia de potencial aparece aplicada por completo al resistor. Cuando
el capacitor ha sido cargado a su valor máximo Q, las cargas dejan de fluir, la corriente
en el circuito es igual a cero, y la diferencia de potencial de la batería aparece aplicada
al capacitor.
si I = 0 ⇒ Q = C ε
Ahora, recordando que I(�) =
ε−
��(�)
, tenemos
��
(carga máxima)
�(�)
��(�)
−R
=0
C
��
��(�)
ε
�(�)
εC − �(�)
⇒
= −
=
��
R
C
RC
(2.50)
(2.51)
(2.52)
134
2.3. Circuitos
Para encontrar una expresión para �(�), resolvemos esta ecuación diferencial separable,
�
0
�(�)
��(�)
εC − �(�)
=
��
RC
��(�)
��
=−
�(�) − εC
RC
� �
��(�)
1
=−
��
�(�) − εC
RC 0
Realizando el cambio de variable � = �(�) − εC tenemos
�
�(�)−εC
−�C
ln
�
��
= ln
�
�(�) − εC
−εC
�
�
�(�) − εC
−εC
�
=−
RC
�
�
=−
(2.53)
(2.54)
(2.55)
�
RC
·�
(2.57)
)
(2.59)
⇒ �(�) = εC (1 − ��/RC )
�/RC
�(�) = Q(1 − �
(2.56)
(2.58)
Esta es la carga de un condensador cargándose. De la misma forma tendremos la corriente
de carga,
��(�)
ε
I(�) =
= exp−�/RC
(2.60)
��
C
(a) Carga en función del tiempo.
(b) Corriente en función del tiempo.
Figura 2.23: Gráficas de carga y corriente para un circuito RC.
2.3. Circuitos
2.3.4.1.
135
Ejemplo
Considere un circuito RC con un capacitor de capacitancia C descargado, un resistor
de resistencia R, una batería cuya fem es ε y un interruptor. En el instante � = 0 el
interruptor se cierra.
(a) ¿Cuánto tiempo le tomará al capacitor llegar a la mitad de su carga final?.
Q
Q
�(�) = εC (1 − ��/RC ) = (1 − ��/RC ) =
C
2
� �
1
⇒ � = −RC ln
= 0� 693RC
2
(b) ¿Cuánto tiempo le tomará al capacitor llegar a su carga total?.
Como (�) = Q(1 − exp�/RC ), la carga total se alcanzará cuando exp�/RC = 0. Como este
término nunca es cero, la carga máxima se logra en � → ∞
(c) Exprese el voltaje en función del tiempo.
V (�) =
2.3.5.
�(�)
Q
= (1 − ��/RC ) = ε(1 − ��/RC )
C
C
Descarga de un capacitor
Consideremos un circuito formado por un capacitor de carga inicial Q, un resistor y
un interruptor
(a) Circuito cargado, � < 0.
(b) Circuito dencargandose, � >
0.
Figura 2.24: Circuito para la descarga de un condensador.
136
2.3. Circuitos
Cuando el interruptor está abierto, existe una diferencia de potencial Q/C aplicada
al capacitor y una diferencia de potencial igual a cero aplicada al resistor, ya que I = 0.
Si el interruptor se cierra en � = 0, el capacitor comienza a descargarse a través del
resistor
�(�)
− I(�)R = 0
C
�(�)
��(�)
−
−R
=0
C
��
� �(�)
� �
��(�)
1
=−
��
�(�)
RC 0
Q
−
�(�) = Q�−�/RC �
(2.61)
(2.62)
(2.63)
(2.64)
Diferenciando la expresión con respecto al tiempo, obtenemos la corriente instantánea
en función del tiempo
�(�) = Q�−�/RC / ��
2.3.5.1.
Ejemplo
��(�)
Q −�/RC
= I(�) = −
�
= −I0 �−�/RC �
�(�)
RC
(2.65)
(2.66)
Un capacitor de 3 [µF ] con una carga inicial de 63 [µC ] se descarga a través de un
resistor de 25 [�Ω].
(a) Calcule la intensidad de corriente en el resistor 8 [��] después de que el resistor se
conecta a través de las terminales del capacitor.
Q −�/RC
�
⇒ I(8 [��]) = 755� 01 [µA]
RC
(b) ¿Qué carga queda en el capacitor después de 6 [ms]?.
�(�) = Q�−�/RC ⇒ I(6 [��]) = 2� 77 [µC ]
(c) ¿Cuál es la máxima intensidad de corriente que circula en el resistor?.
I��� =
R
= 840 [µA]
RC
2.3. Circuitos
2.3.5.2.
137
Ejemplo
El circuito mostrado en la figura se ha conectado hace mucho tiempo.
Figura 2.25
(a) ¿Cuál es el voltaje a través del capacitor?. Como ha pasado mucho tiempo, el capacitor
se considerará completamente carga
R5 = 2 [Ω] + 6 [Ω] = 8 [Ω]
R6 = 4 [Ω] + 5 [Ω] = 9 [Ω]
Como los resistores R5 y R6 están conectados en paralelo, la diferencia de potencial a
través de ellos es igual a la diferencia de potencial entre los terminales de la batería.
V
9
= [A]
R5
9
V
I2 =
= 1 [A]
R6
I1 =
La diferencia de potencial a través de las placas del capacitor es
V�� = V� − V� = (3 [Ω])I1 − (3 [Ω]I2 = 1� 75[V ]
(b) Si la batería se desconectara, ¿cuánto tiempo le toma al capacitor descargarse hasta
1/10 de su voltaje inicial?.
Si la batería se desconecta entonces:
R5 = 2 [Ω] + 4 [Ω] = 6 [Ω]
R6 = 6 [Ω] + 5 [Ω] = 11 [Ω]
138
2.3. Circuitos
Como los resistores R5 y R6 están conectados en paralelo, entonces la resistencia
equivalente seria R�� = 3� 88 [Ω]. Luego tendremos que:
�(�)
Q
V0
= �−�/RC =
C
C
10
⇒ � = RC ln 10 = 26� 2 [µ�]
V (�) =
2.3.6.
Medidores eléctricos
El amperímetro
es un aparato que mide la corriente. Cuando se utiliza un amperímetro para medir
corrientes directas, debe conectarse de tal manera que las cargas entren al instrumento
por la terminal positiva y salgan por la negativa. Idealmente, un amperímetro debe tener
una resistencia cero para que la corriente a medir no se vea alterada
Figura 2.26: Amperímetro conectado en serie que permite medir la
corriente.
El voltímetro
es un aparato que mide la diferencia de potencial. La diferencia de potencial aplicada
al resistor R2 se mide al conectar el voltímetro en paralelo con R2 . La terminal positiva
del voltímetro debe estar conectada al extremo del resistor que tenga el potencial más
alto. Un voltímetro ideal tiene una resistencia infinita que impide que la corriente pase
a través de él
2.3. Circuitos
Figura 2.27: Voltímetro conectado en paralelo que permite medir la
diferencia de potencial.
139
140
2.3. Circuitos