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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No. 1
UNIDAD ACADÉMICA
UNIDAD TEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL
INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA
COMPETENCIA
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
Interpretar
el
significado
geométrico y analítico de la
 Determina la antiderivada de funciones utilizando las reglas
integral definida teniendo en
básicas de integración
para dar solución a problemas de
cuenta sus propiedades para la
aplicación en diferentes contextos
resolución de problemas
 Interpreta la integral definida y su resultado de acuerdo a su
entorno de aplicación.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
R e a l i za r l a s a c t i v i da d e s q u e a c o nt i n u a c i ó n s e e n u n c i an t e n i e n d o e n c u en t a la
c a r p et a g uí a d e A p un t e s d e l Pr o f e so r
ACTIVIDAD No 1
Resuelve las siguientes integrales indefinidas:
a.
b.
c.
4
 (3x  5 x 
3 x 7
  6e x  11)dx
2
x
8x 8

11
3
21
x




5
e

4

 dx
  9 10 5 x4 2 x x6



3
Obtén y  f ( x) si se sabe que y ''( x)  20 x  12 x  18 ;
y '(2)  100
y(4)  1300
ACTIVIDAD No 2
Resuelva las siguientes situaciones problemicas:
a. Cierta empresa tiene la siguiente función de costo marginal:
dC
 1.5 x3  3.3x 2  4.4 x  12 , donde x es el nivel de producción en cientos de unidades y C es
dx
el costo en pesos; también se sabe que 600 unidades (x = 6) cuestan $2,500.
a) Obtén la función de costo total.
b) Calcula el costo de producir 2,500 unidades.
c) ¿Cuál es el costo fijo para la empresa?
d) ¿En cuánto se incrementan sus costos si la producción aumenta de 2,500 a 3,000 unidades?
Contesta esta pregunta utilizando dos procedimientos diferentes.
b. Una empresa sabe que su ingreso marginal es I ( x)  400 x  6 x , para 50  x  100 , donde x
2
es el nivel de ventas en unidades y I ( x) es el ingreso en dólares; su ingreso por la venta de 60
unidades es de $ 288,000 dólares.
a) Obtén la función de ingreso I ( x)
b) Obtén la función de demanda p(x)
c) Calcula su ingreso si vende 75 unidades.
d) Calcula el precio del artículo para una demanda de 75 unidades.
e) Calcula la demanda en el mercado si el precio sube 15%.
Ing. Edgar Vargas Ruiz
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1
f) ¿En qué porcentaje se incrementó la demanda para la condición del inciso e?
g) ¿Cuál es la elasticidad de la demanda?, ¿De qué tipo es?
h) Para la condición del inciso e, ¿aumenta, disminuye o permanece constante el ingreso del
fabricante, y por qué?
i) ¿Cuál es el ingreso para el fabricante, según la condición del inciso e?
j) ¿Cuál es el porcentaje de incremento del ingreso, de acuerdo con el resultado del inciso i?
c. Para cierto país, la razón de cambio del porcentaje P de hogares con televisión por cable se
puede aproximar mediante la siguiente función P(t ) 
4
 5 , para 5  t  10 , donde t es el
t
número de años transcurridos a partir de 1995 (t = 5) y hasta el año 2000 (t = 10). Se sabe que
en 1998 (t = 8) el porcentaje de hogares con televisión por cable resultó ser de 54.32% (P =
54.32)
a) Obtén la función P  f (t ) que representa el porcentaje de hogares con televisión por cable.
b) Calcula el porcentaje de hogares con televisión por cable en el año de 1995 y en el año 2000.
c) ¿Cuál es la razón de cambio del porcentaje de hogares con televisión por cable en el año
1995? Interpreta este resultado.
d) ¿Cuál es la razón de cambio del porcentaje de hogares con televisión por cable en el año
2000? Interpreta este resultado.
e) ¿Cuál es el incremento en el porcentaje de hogares con televisión por cable de 1995 a 2000.
ACTIVIDAD No 3
Teniendo en cuenta las siguientes reglas de integración
 k dx = k x + C
x n +1
n
 x dx =
n +1
  f ( x)  g (x) dx =  f (x)dx   g (x)dx
 k f ( x)dx = k  f ( x)dx
x
+ C , para n  - 1
1
dx = 
dx
 ln x + C
x
e
x
dx =
e x +C
Encuentra la integral indefinida:
a.
e.

x4 dx

b.
3 x
dx
2
f.
x
1

10
dx
1
5
5
x
i.
 1+ u+ u + u  du
j.
l.
 2
x  3 4 x dx
m.
o.

x ( x + 10) dx
p.
2
4
5

Ing. Edgar Vargas Ruiz
c.
dx
2

g.


5 4
x dx
d.
8  u  du
h.


7
2

4
x9
dx
3 x
e dx
5
 2x 2 8 4 
 x  dx

3 
 7
k.
 x 8.3 9 x6 +3 x 4 + x 3  dx

n.

q.


1 
3
 x  3  dx
x

x 4 + 10 x 2
5x2
dx
x 6 (2  x) dx
20 x 4  3x 2 +15 x
5x 2
dx
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1
ACTIVIDAD No 4
Determina la función
a.
c.
y = f(x) sujeta a las condiciones iniciales indicadas:
dy
= 3 x 2 2 x
dx
d 2y
2
= x 1
si
si y (3)  20
y '(0)  1; y (1)  5
dx
ACTIVIDAD No 5
b.
y ' = x2  2x ; y ( 2)  1
d.
f ' '( x) = 84 x 2  18 x ,
f ' (4)  1656; f (1)  17
Encuentra la función de costo para cada una de las siguientes funciones de costo marginal:
dC
 C´ ( x) = 0.2x2 +5x ; el costo fijo es de $10
dx
dC
b.
 C´( x)  x 2 110 x  2800 ; el costo fijo es de $5000
dx
a.
1
c. C´( x)  x 2 ; 16 unidades cuestan $60
d. C´( x)  0.0015x3  0.033x2  0.44x  0.25 ; 10 unidades cuestan $25
ACTIVIDAD No 6
Encuentra la función de demanda. Tenga presente que si x = 0  R (0)= 0.
a.
dR
1
 R '( x)  15  x
dx
15
b.
dR
 R´( x)  50  3x  x2
dx
ACTIVIDAD No 7
Resuelva las siguientes situaciones problema de la rama de la economía y la administración
a. La utilidad marginal por la venta de x cientos de artículos de un producto es P´( x)  4  6 x  3x2 , y la
“utilidad” cuando ningún artículo se vende es de - $40. Encuentra la función de utilidad.
b. Las importaciones (en miles de millones de dólares) a Estados Unidos desde Canadá a partir de 1988
han cambiado a una razón dada por f ( x)  1.26x2  5.5x  8.33 , donde x es el número de años
desde 1988. Estados Unidos importó $82 mil millones en 1988. Encuentra:
 La función que dé las importaciones en el año x.
 ¿Cuál fue el valor de las importaciones desde Canadá en 1993?
d. El costo marginal de cierta empresa está dada por C '  x   24  0.03x  0.006 x 2 . Si el costo de
producir 200 unidades es de $22700, encuentre:
- La función de costo
Los costos fijos de la empresa
- El costo de producir 500 unidades.
c. La función de ingreso marginal de cierta empresa es R  x   20  0.02 x  0.003x 2
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1
- Encuentre la función de ingreso.
- ¿Cuál es la función de demanda del producto de la empresa?
d. La función de utilidad marginal de una empresa es P '  x   5  0.002 x y la empresa obtiene una
Utilidad de $310 al venderse 100 unidades. ¿Cuál es la función de utilidad de la empresa?
e. La propensión marginal al consumo, en millones de unidades monetarias, u.m, es
dC
0.2
.
 0.3 
dY
4 y
Cuando el ingreso es cero, el consumo vale 100 millones de u.m. Halle la función de consumo.
e. La propensión marginal al ahorro es
2
. Cuando el ingreso es cero, el consumo vale dos mil millones
3
de u.m. Halle la función consumo.
f. Si el ingreso marginal I '  x   10  24 x  9 x 2 , Halle las funciones de ingreso y demanda.
3
g. Si el flujo de inversión esta dado por I (t )  20t 7 y la acumulación inicial de bienes de capital a t  0
es igual a 25 , determine la función que representa el capital K .
ACTIVIDAD No 3
Resuelve los problemas por medio de la integral definida
a. Para cierto fabricante de artículos de cerámica, la función de ingreso marginal en pesos por cada
100 unidades adicional vendidas diariamente es I   55  0.4 x , para 0  x  150 .
- Calcula el incremento en sus ingresos, cuando la producción y venta diaria aumenta de 2,000 a
8,000 unidades, mediante una integral definida.
- Obtén la función de ingreso para el fabricante.
- A partir de la función del inciso b, calcula nuevamente el incremento en sus ingresos cuando sus
ventas diarias aumentan de 2,000 a 8,000 unidades.
- ¿Cuál es la función de demanda para el fabricante?
- ¿A qué precio debe dar el artículo para que su ingreso sea máximo?
- ¿Cuál es el ingreso máximo?
- ¿Cuál es la demanda diaria en el mercado cuando su ingreso es máximo?
- En las condiciones de los incisos e y g, ¿cuál es la elasticidad puntual de la demanda? ¿De qué
tipo es?
b. Cierta empresa conoce que su utilidad marginal está dada por la siguiente función para
2
0  x  50 : U ( x)  3x  60 x  2,000 en dólares por tonelada adicional producida y vendida
semanalmente.
- Calcula, mediante una integral definida, el incremento en su utilidad cuando la producción y venta
aumenta de 20 a 30 toneladas.
- Obtén la función de utilidad para la empresa si se conoce que al inicio (x = 0) tenía pérdidas por
$15,000 dólares.
- Con la información obtenida en el inciso b, ¿podrías decir cuáles son los costos fijos de la
empresa? ¿Por qué?
- Calcula la utilidad semanal de la empresa cuando se producen y venden 20 unidades.
- Calcula la máxima utilidad semanal posible para la empresa.
- ¿Cuál es el nivel de producción y ventas para tener máxima utilidad?
- ¿Cuál es el nivel de producción y ventas para que la empresa deje de tener pérdidas y comience
a tener ganancias?
Ing. Edgar Vargas Ruiz
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1
c.
El gerente de una compañía estima que la compra de una determinada pieza de equipo resultará
en un ahorro en los costos de operación para la compañía. La razón de cambio de ahorro en el
costo de operación es A( x)  4,000 x  1,000 en dólares/año, para 0  x  10 , cuando el equipo
ha estado en uso durante x años.
- ¿Cuál es el ahorro en los costos de operación en los primeros 5 años?
- Si el precio de compra es de 36,000 dólares, ¿cuántos años de uso se requieren para que el
equipo se pague por sí solo?
d.
Para el producto de un fabricante, el ingreso marginal y el costo marginal están dados
67
respectivamente por
C ' ( x)  0.2 x  5 ; para 4  x  20 , donde x es el nivel
I ' ( x) 
2
3 2
x
de producción y ventas en miles de unidades y I, C son respectivamente el ingreso y los costos de
fabricación en miles de pesos.
- Calcula el incremento en la utilidad del fabricante si el nivel de producción y ventas aumenta de
10,000 a 15,000 unidades.
- Calcula el incremento en el ingreso y el incremento en los costos para los niveles del inciso a.
- Obtén las funciones de ingreso, costo y utilidad, si se conoce que para un nivel de producción y
ventas de 5,000 unidades el costo de fabricación es de $200,000 y el ingreso es de $250,000.
EVALUACIÓN
INTEGRALES INDEFINIDAS
1. Evalué las siguientes integrales
a.

 2t  3
3t
2
dt
b.
x 8
dx
3
x
 2
1. 2. La función de costo marginal de una empresa es
c.
e
Ln( x2 3)
dx
C( x)  30  0.05x
a. Determine la función de costo C(x), si los costos fijos de la empresa son de $2000 por mes.
b. ¿Cuánto costará producir 150 unidades en un mes?
c. Si los artículos se pueden vender a $55 cada uno, ¿Cuántos deben producirse para maximizar la
utilidad?
2
2. 3. La función de ingreso marginal de cierta empresa es I ( x)  30  0.01x  0.002 x .
a. Encuentre la función de ingreso.
b. ¿Cuánto ingreso se obtendrá por la venta de 100 unidades del producto de la empresa?
c. ¿Cuál es la función de demanda del producto de la empresa?
4. La función de utilidad marginal de una empresa es U ( x)  15  0.003x y la empresa obtiene una
utilidad de $310 al venderse 20 unidades. ¿Cuál es la función de utilidad de la empresa?
3. 5. Find the antiderivative F of that satisfies the given condition.
a. f ''( x)  6  x3  3x5
b. f ( x)  4 x3  11x  5 , F (1)  10
Ing. Edgar Vargas Ruiz
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1
c. f ''(t ) 
2
, F (4)  20 , f (4)  7
t

d. f ( x)  4  3 1  x 2

1
, F (1)=0
4. 6. Verificar las siguientes igualdades:
9
3
dx  3  c
4
x
x
1
1
3
4
  4 x  x2 ) dx  x  x  c
x2 1
2( x 2  3)
dx

c
 x 32
3 x

a.
b.
c.
5. 7. Hallar la integral indefinida y verificar la respuesta por derivación:

a.
3
b.
x dx
1
 x3 dx
c.
x3  1
 x dx
d.
e2 x  3e x
 e x dx
INTEGRALES DEFINIDAS
1. Obtenga las siguientes integrales definidas:
a)
d)
1  x
3

1
0
3
 2 x  1 dx
b)
3
3x 2 e x dx
e)
1  4
2
3
1

x  2 x 2 dx
 x3  4 x 2  3 

 dx
x2


c)
f)
 0 x  3x
2
3
2
 2  dx
3
 3x 
2  x  2  dx
2. Aplicaciones de la integral
a) La función Costo Marginal de un producto cuando se producen X unidades, viene dada por
C '( x)  6 x2  2 x  3 . Obtenga la función costo total sabiendo que el costo total para producir 10
unidades es de $494.000. Si para el mismo problema la utilidad viene expresada por
U ( x)  10 x3  25 x 2  10 x  5.000 ; obtenga la función Ingreso Total y el valor del Ingreso Total
3
2
para X = 20 unidades.
b) La función Costo Marginal de una empresa viene expresada por C '( x) 
la Función Costo Total sabiendo que para X=0 los Costos Totales son:
500
11000
. Obtenga
x
13
13
150000
13
Conteste además las siguientes preguntas:
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1
i.
¿Cuáles son los costos fijos de producción?
ii. ¿Cuáles son los costos totales de producir X = 40; y; X = 80 unidades?
iii. ¿Cuántas unidades minimizan el Costo Total? ¿Cuánto valen esos Costos Mínimos?
iv. Grafique y analice la función Costo Total.
BIBLIOGRAFÍA




APUNTES DEL DOCENTE
STEWART James , Cálculo conceptos y aplicaciones, editorial Thomson
HOFFMANN, Cálculo para administración, economía y ciencias sociales, editorial Mc Graw Hill
LARSON Ron, Cálculo, editorial MC Graw Hill
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1.1
UNIDAD ACADÉMICA
UNIDAD TEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL
INTEGRAL DEFINIDA
COMPETENCIA
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
Interpretar
el
significado
geométrico y analítico de la  Interpreta la integral definida y su resultado de acuerdo a su
integral definida teniendo en
entorno de aplicación
cuenta sus propiedades para la  Utiliza el teorema del valor medio para calcular integrales
resolución de problemas
sencillas
 Utiliza las propiedades y los teoremas fundamentales del cálculo
para la solución de problemas
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
R e a l i za r l a s a c t i v i da d e s q u e a c o nt i n u a c i ó n s e e n u n c i an t e n i e n d o e n c u en t a la
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ACTIVIDAD No 1
Calcular las siguientes integrales definidas:

a.

d.
8 dx

1
x 4 dx
e.
2
27
8
b.
1

g.
j.
2
4
1
3
 e x dx
5
h.

6
2


2x2
dx
7
0.5
1
1
dx
x10
c.
f.
3
2
( y + 2 y +1) dy
2
i.



9
dt
2
32
2
5
0
x4
dx
2
(1+ u +u 2 +u 5 ) du
0
1 
3
 x - 3  dx
x

ACTIVIDAD No 2
Resolver las siguientes situaciones aplicadas a la economía.
a. Para cierto fabricante la función de utilidad marginal es p ´( x)  3x 2  90 x  5400 , calcula el
incremento en la utilidad, cuando la demanda aumenta de 50 a 60 unidades. Utiliza una integral
definida.
b. Para cierto fabricante la función de ingreso marginal es R´(x)  3x 2  60 x , Calcula el incremento
en el ingreso, cuando la demanda aumenta de 15 a 20 unidades. Utiliza una integral definida.
c. Una empresa ha encontrado que su razón de gastos por día (en cientos de dólares) por cierto tipo de
trabajo está dada por E '( x)  4 x  2 , donde x es el número de días desde que se inició el trabajo.
-Calcula el gasto total si el trabajo dura 10 días.
-¿Cuánto se gastará en el trabajo del décimo al vigésimo día?
-Si la empresa no quiere gastar más de $50,000 en el trabajo, ¿en cuántos días debe terminarlo?
Departamento Ciencias Básicas
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1.1
d. Un empleado nuevo en cierto trabajo mejorará su eficiencia con el tiempo de manera que le tomará
menos horas producir un artículo por cada día en el trabajo, hasta cierto punto. Suponga que la razón
de cambio del número de horas que le toma a un trabajador en una cierta fábrica producir el artículo
x-ésimo está dada por H ( x)  20  2 x .
-¿Cuál es el número total de horas requeridas para producir los primeros 5 artículos?
-¿Cuál es el número total de horas requeridas para producir los primeros 10 artículos?
e. Si se ha conducido un camión grande x miles de millas, la razón de los costos de reparación en
dólares por milla está dada por C '( x)  0.05 x
conduce el camión:
3
2
. Calcula los costos totales de reparación si se
 100,000 millas ( x  100 );
 400,000 millas ( x  400 ).
ACTIVIDAD No 3
Aplique las propiedades de la integral definida para resolver los siguientes ejercicios.
a. En la función definida gráficamente por:
Se sabe :


c
f ( x)dx  6
y
a



c
f ( x)dx  4 . Halle e indique lo que representa.
b
b
f ( x)dx
a
b

f ( x)dx
c
b. Calcular


3 x
3
f ( x)dx
siendo f ( x)  
3

0
c. Encuentra el valor de b tal que

b
si x  1

 .
si x  1

6  x  1 x  1 dx  4 .
0
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1.1
d. Calcula

1
3
 x2
f ( x)dx si f ( x)  
x
si 0  x  2 

si 2  x  4
ACTIVIDAD No 4
Resuelva las siguientes situaciones matemáticas aplicadas a la economía y l administración.
a. Una tienda se da cuenta de que sus ventas cambian a una tasa dada por
S '(t )   3 t 2  300 t
Donde t es el número de días después de terminada una campaña publicitaria y 0  t  30
Encuentre la venta total durante la primera semana después de que se termino la campaña
(t=0 a t=7)
Encuentre la venta total durante la segunda semana después de que se termino la campaña
(t=7 a t=14)
b. Se puede considerar que el ingreso de una cadena de servicio de cambio de aceite fluye de
manera continua con una tasa anual dada por
f (t )  10000 e 0.02 t
(dólares / año)
Encuentre el ingreso total para esta cadena durante los primeros 2 años.
c. La tasa de depreciación de un edificio está dada por D '(t )  3000(20  t ) dólares al año, con
0  t  20 ; vea la siguiente figura.
Use la gráfica para encontrar la depreciación total del edificio durante los primeros 10 años.
Use la integral definida para encontrar la depreciación total durante los primeros 10 años.
d. Hallar el valor de k tal que el valor medio de la función f ( x)  x 4  1 sobre el intervalo  k , k 
es cero.
e. El costo de producir x unidades de cierto articulo es C ( x)  x 2  400 x  2000
Use C(x) para encontrar el costo promedio de producir 1000 unidades
Encuentre el valor promedio de la función del costo C(x) sobre el intervalo de 0 a 1000.
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1.1
EVALUACIÒN
Resuelve los siguientes ejercicios teniendo en cuenta los teoremas fundamentales del cálculo.
ACTIVIDAD No 1
a.
d  t3 x  e x 
dx 

dt  t 2 2 x  1 
b.
d2
dt 2

t
2  3ln x dx
t
e.

d t

dt   1
x 2  4 dx 
t
1

c.
d2
dt 2
d.
d  3t 2

dx 
 2
4
dt 
3t

t
1
2 x3  5 dx

x 2  4 dx 

f. Hallar F '(1) si:
3 t 1

F (t ) 





 2 x  cos x  dx
1

F (t ) 
t 1
2
 3x
t2

F ( x) 
x 1
x2
3
 1 dx
2
3t
3
 1 dt
BIBLIOGRAFÍA




APUNTES DEL DOCENTE
STEWART James , Cálculo conceptos y aplicaciones, editorial Thomson
HOFFMANN, Cálculo para administración, economía y ciencias sociales, editorial Mc Graw Hill
LARSON Ron, Cálculo, editorial MC Graw Hill
Departamento Ciencias Básicas
I - 2014
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No 2
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
ASIGNATURA: CALCULO INTEGRAL
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
UNIDAD ACADÉMICA
UNIDAD TEMÁTICA
COMPETENCIA
Resolver cualquier tipo
integral aplicando las técnicas
integración,
técnicas
aproximación
o
tablas
integrales.
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
de
 Desarrolla integrales de funciones de variable real aplicando los
de
diferentes métodos de integración
de
 Desarrolla integrales mediante el uso de tablas de integrales
de
 Aplica el concepto de integral en la solución de problemas de su
entorno académico.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
R e a l i za r l a s a c t i v i d a d e s q u e a c o n t i nu a c i ó n s e e n u n c i a s t e n i e n d o e n c u en t a l a
c a r p et a g uí a d e A p un t e s d e l Pr o f e so r
ACTIVIDAD No 1
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando la integración por sustitución simple, teniendo en cuenta los
siguiente pasos:
1. Elija una sustitución de la forma u  u ( x) que simplifique el integrando
2. Expresar toda la integral en términos de u y du
3. La integral dada debe estar en la forma
 f ( x)dx   f (u)du
calculándose en forma directa por la
tabla de integrales básicas
4. Luego se reemplaza el valor de u en la antiderivada obtenida en el paso anterior, quedando de la
forma:
 f ( x)  F  u ( x)   k
a.
 x 3x  1 dx
d.
y2
dy
y3  8
h.


2
1
b.
e.
1
 x ( Lnx) 2 dx

e
2
1
dx
c.
 3t
2
x
x
x
 2x e
c.
dx
x 1
dx
2x  x 1
1 1
5
f.  2   1 dx
x x

i.
g.
3
t 2  7 dt
6
u2
3
 u 4u 

2
1
du
2
3 x 1
 3x  1 e dx
0
1
ACTIVIDAD No 2
Resuelve los siguientes ejercicios por integración por partes teniendo en cuenta los siguientes pasos:
1. Elija las funciones u y dv , no olvide las consideraciones planteadas en la guía Apuntes del
docente
2. Expresar toda la integral en términos de u y du
3. Organice los datos en la siguiente forma
u
dv 
du 
v
4. Sustituya en la fórmula de integración por partes
Ing. Edgar Vargas Ruiz
 u dv  u v   v du
I - 2014
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No 2
5. Complete la integración al hallar la integral
 v du . Entonces  f ( x) dx  u v   v du
No olvide agregar la constante de integración C al final del cálculo de las integrales indefinidas.
e2
1
a.
x Ln
 x  dx
3
b.

e. x x  6 dx
f.


  x  1 x  2
8
2
1

dx
2
x3 e x dx
c.
g.



4
1
x
dx
x5
 Ln  x
2
 x  Lnx  dx
h.  e x e x  1 dx
2
d.
 x  dx
2
j. Ln x  1  x 2 dx
i. Ln 2 x dx
ACTIVIDAD No 3
Use la integración por fracciones parciales para resolver los siguientes ejercicios.
x
a.
d.
g.

2
dx
 25
b.
x 1
dx
3
x  x2  6x
2 x 2  25 x  33
  x  1  x  5
2
e.
dx
h.

6 x  15
dx
x 2  3x
c.
2x 1
  x  1

dx
3
f.
x3  2 x
dx
x 2  3x  2
i.

x  16
dx
x  2x  8

t2  t 1
dt
 2t  1  t 2  1

x2  x  1
dx
x 1
2
ACTIVIDAD No 4
1. Use una tabla de integrales para hallar las integrales siguientes:
a.
1
 x  2  3x  dx

b. x 2 2  5 x dx
c.

9  x2
dx
x
d.

1
9  2x 
2
3
2
dx
ACTIVIDAD No 5
Use la integración por sustitución o por partes para resolver los siguientes problemas.
1. En cierta sección del país, se estima que dentro de t semanas, el precio del pollo crecerá a una tasa
de p '(t )  3


t  1 centavos por kilogramo por semana. Si actualmente el pollo cuesta 3 dólares
por kilogramo, ¿Cuánto costará dentro de 8 semanas?
2. El ingreso marginal por la venta de x unidades de cierto artículo se estima que será
2
R '( x)  50  3.5 xe 0.01x dólares por unidad, donde R(x) es el ingreso en dólares.
a. Determine R(x), suponiendo que R(0)=0
b. ¿Qué ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?
3. Un derrame de petróleo en el océano tiene una forma aproximadamente circular, con radio R (t) pies,
Ing. Edgar Vargas Ruiz
I - 2014
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No 2
t minutos después del inicio del derrame. El radio crece a una tasa de R '(t ) 
21
pies
min
0.07t  5
a. Determine una expresión para R (t), suponiendo que R=0 cuando t=0.
b. ¿Cuál es el área A   R 2 del derrame después de 1 hora?
4. El valor de reventa de una cierta máquina industrial disminuye a una tasa que depende de su edad.

t
Cuando la máquina tiene t años, la tasa a la cual cambia su valor es 960 e 5 dólares por año.
a. Exprese el valor de la máquina en términos de su edad y de su valor inicial
b. Si originalmente la máquina valía 5200 dólares. ¿Cuánto valdrá cuando tenga 10 años?
5. El propietario de una cadena de comida rápida determina que si se ofertan x miles de unidades de
una nueva comida el precio marginal a ese nivel de oferta estará dado por:
p '(t ) 
x
 x  3
2
dólares por unidad , donde p(x) es el precio (en dólares) por unidad a la cual todas
las x unidades se venderán.
Actualmente se ofertan 5000 unidades a un precio de 2.20 dólares por unidad.
a. Determine la función de oferta p(x) (precio).
b. Si se ofertan 10000 alimentos a restaurantes en la cadena, ¿qué precio unitario se deberá cobrar
para que se vendan todas las unidades?
6. Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es  0.1x  1 e
0.03 x
dólares por unidad cuando x
unidades se han producido. El costo total de producir 10 unidades es 200 dólares. ¿Cuál es el costo
total de producir las primeras 30 unidades?
7. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado a una tasa
 0.2 t
de 4000 t e
juegos por semana, en donde t es el número de semanas desde el lanzamiento del
juego. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras 4 semanas?
8. Un fabricante determina que cuando se producen x cientos de unidades de una mercancía, la
utilidad generada es p(x) miles de dólares, donde p( x) 
500 Ln  x  1
 x  1
2
¿Cuál es la utilidad promedio en el intervalo de 0  x  10 ?
EVALUACIÓN
Técnicas de integración
1. Cierto o falso (justifique)
Al calcular u dv por partes

a. Se seleccionaron las partes u y dv y se calcularon las partes du y v
b. La diferencial ( con frecuencia dx) siempre se selecciona como parte de dv
c. Para
2. Para

3x
e
Lnx
x4
2x
dx , podríamos elegir u = 3x y dv  e 2x dx
dx
Ing. Edgar Vargas Ruiz
I - 2014
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No 2
a. Identifique u y dv
b. Encuentre du y v
c. Termine el cálculo de la integral.
BIBLIOGRAFÍA






APUNTES DEL DOCENTE
STEWART James , Calculus, Early Trascendentals.5a Ed. International Thomson,2003
PURCELL Edwin J, Cálculo con geometría analítica. 4a Ed.Pearson- Prentice Hall
LARSON Ron, Cálculo.McGraw-Hill,2003
ARYA, Jagdish C y LARDNER, Robin W.Matematicas aplicadas a la administración y a la economía.
4a edición. Prentice Hall, 2002
HOFFMANN, Laurence D y BRADLEY, Gerald L. Cálculo para administración, economía y ciencias
sociales. 7ª Ed. McGraw-Hill,2001
Ing. Edgar Vargas Ruiz
I - 2014
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No 3
UNIDAD ACADÉMICA
UNIDAD TEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
ASIGNATURA: CALCULO INTEGRAL
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
COMPETENCIA
Aplicar los conceptos básicos y
las técnicas de integración a la
modelación y resolución de
problemas propios del área de
ingeniería o administración en
que se imparte la materia
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
 Calcula el valor del área del plano encerrada entre curvas
utilizando la integral definida.
 Identifica integrales impropias de acuerdo a las propiedades
 Determina la convergencia o la divergencia de integrales
impropias
 Plantea y resuelve problemas mediante la integral aplicados a los
negocios.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
R e a l i za r l a s a c t i v i d a d e s q u e a c o n t i nu a c i ó n s e e n u n c i a s t e n i e n d o e n c u en t a l a
c a r p et a g uí a d e A p un t e s d e l Pr o f e so r
ACTIVIDAD No 1
Determine el área de la región limitada por la gráfica de la función dada y el eje x en los límites
indicados:
81 2
u
4
128 2
Solución : A 
u
3
1) y  x3 ; x  3 , x  0 .
2) y  8 x  x 2 ;
3) y  x

4, 8

Solución : A 
.
1 ; x  0 , x  4 .
4) y  ( x  1)( x  2)( x  3) ;

0, 3
x2  1
1
; x , x3 .
2
2
x
6) y  sen x ;   ,   .
5) y 
7) y 
1
1
; x , x2 .
2
x x
2
8) y  x3  x ;

1 , 1

.
Solución : A  2 u 2

.
Solución : A 
11 2
u
4
11 2
u
6
Solución : A  4 u 2
Solución : A 
Solución : A  ln 2 u 2
Solución : A 
1 2
u
2
ACTIVIDAD No 2
Resolver las siguientes integrales impropias con límites de integración infinitos(o de primera especie)
teniendo en cuenta el siguiente procedimiento:
1. Determinar en cual de los tres casos se encuentra la integral impropia.
2. Aplique la fórmula para el caso seleccionado y calcule la integral definida(puede ser inmediata o por
alguna técnica de integración)
3. Calcule el límite(si es necesario utilice la regla de L’Hopital)
4. Determine su convergencia o divergencia.
DPTO. CIENCIAS BÁSICAS
I-2014
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No 3
Ten presente las siguientes formulas:

a
t
a f ( x)dx
f ( x)dx  lim
t 
b
 f ( x)dx 
b
p f ( x)dx
lim
p 

0
t
f ( x)dx
  f ( x)dx  plim p f ( x)dx  lim
t  0


Ejercicios

x
1.
5
4.
 x e dx
3
0
9  x2


dx
 x2  6 x  12

1
5. 
dx
2
x Lnx
dx
2.
2 x



x
e dx
3.

0
ex
dx
1  e2 x
ACTIVIDAD No 3
Resolver las siguientes integrales impropias con discontinuidades infinitas(o de segunda especie)
teniendo en cuenta el siguiente procedimiento:
1. Determinar en cual de los tres casos se encuentra la integral impropia.
2. Aplique la fórmula para el caso seleccionado y calcule la integral definida(puede ser inmediata o por
alguna técnica de integración)
3. Calcule el límite(si es necesario utilice la regla de L’Hopital)
4. Determine su convergencia o divergencia.
Ten presente las siguientes formulas:
b
t
a
f ( x)dx  lim
b
f ( x)dx  lim
p f ( x)dx
f ( x)dx  lim
t
a
b
a
t b
p a 
t c
a f ( x)dx
b
a
f ( x)dx  lim
p c
b
p f ( x)dx
Ejercicios
1.
dx
2
1
3
2.
x  4x  4x
3
2
5.
DPTO. CIENCIAS BÁSICAS
3
xdx

x2  9
5
dx
2 xdx
6
0
x
2
 4
2
3.
3
6.

1
0
I-2014
1
0
1
dx
x2
x Lnx dx
4.
4
0
dx
dx
x  2x  3
2
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No 3
ACTIVIDAD No 4
Resolver las siguientes integrales impropias mixtas(o de tercera especie) teniendo en cuenta el siguiente
procedimiento:
1. Dividir la integral impropia en una de primera especie y otra de segunda especie
2. Aplique la fórmula apropiada para cada uno de los casos seleccionados y calcule la integral
definida(puede ser inmediata o por alguna técnica de integración)
3. Calcule el límite(si es necesario utilice la regla de L’Hopital)
4. Determine su convergencia o divergencia.
Ejercicios
1.

1
dx
2.
x x2 1

0
e x dx
x
ACTIVIDAD No 5
Resuelve los siguientes ejercicios aplicados a los negocios y a la administración
1. Se pensó que los cambios en las leyes tributarias de cierto país durante la década de 1980 ayudarían
en gran medida a los ricos a expensas de los pobres. Las curvas de Lorentz para la distribución del
ingreso en 1980 y en 1990 se presentan a continuación. Encuentre el coeficiente de Gini para el
ingreso para ambos años y determine si la distribución del ingreso es más o menos equitativa en
1990 que en 1980. ¿Cual fue el efecto de las leyes tributarias?
1980
y  0.916 x 1.821
1990
y  0.896 x1.878
2. En un esfuerzo para hacer que la distribución del ingreso sea más equitativa, el gobierno de un país
aprueba una ley tributaria que cambia la curva de Lorentz de un año de
y  0.99 x2.1 a y  0.32 x2  0.68 x para el año siguiente. Encuentre el índice de Gini para el
ingreso para ambos años y compare la distribución del ingreso antes y después de que se aprobó la
ley tributaria. Interprete el resultado.
3. Suponga que para cierto producto, la función de demanda es p  200 e
 0.01x
y la función de oferta
es p  200 x  49 .
a. mediante el uso de la calculadora Voyage 200 encuentre el punto de equilibrio del mercado
b. Encuentre el superávit del consumidor y del productor
4. Un monopolio tiene una función de costo total de C ( x)  500  2 x 2  10 x para su producto, el cual
tiene una función de demanda
p
1 2
x  2 x  30 . Encuentre el superávit del consumidor en el
3
punto donde el monopolio tiene una ganancia máxima.
5. Suponga que una persona desea hacer una donación en efectivo a un hospital, la cual generará un
DPTO. CIENCIAS BÁSICAS
I-2014
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No 3
flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el momento t dada por
f (t )  20000 dólares por año . Si la tasa de interés anual es de 12% compuesto continuamente,
encuentre el valor del capital de esta perpetuidad.
6. Suponga que la producción de una máquina que se utiliza para extraer carbón se considera como un
flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el momento t dada por
f (t )  280000 14000t ( dólares al año)
Si el dinero crece a una tasa de 7% compuesto continuamente, encuentre el valor presente de esta
máquina para los próximos 8 años.
7. Suponga que
dentro de t años, un plan de inversión generará utilidades a una tasa
p '1 (t )  100  t cientos de dólares por año, en tanto que una segunda inversión generará utilidades
2
a una tasa de p '2 (t )  220  2t cientos de dólares por año.
a. ¿Durante cuantos años la tasa de rentabilidad de la segunda inversión excede a la primera?
b. Calcule el exceso neto de utilidad, suponiendo que invierte en el segundo plan durante el periodo
determinado en la parte a.
c. Trace las curvas de las tasas de rentabilidad y  p '1 (t ) y y  p '2 (t ) y marque la región
cuya área representa el exceso neto de utilidad calculado en el numeral b.
8. Se estima que dentro de t semanas, las contribuciones en respuesta a una campaña de recaudación
de fondos se recibirán a una tasa de R '(t )  5000 0.2t dólares por semana, en tanto se espera que
los gastos de campaña se acumulan a una tasa de 676 dólares por semana.
a. ¿Durante cuantas semanas excede la tasa del ingreso a la tasa del costo?
b. ¿Qué ingresos netos generará la campaña durante el periodo determinado en el inciso a)?
c. Interprete los ingresos netos del inciso b) como un área entre dos curvas
9. Después de producir 1,200 licuadoras, una empresa determina que su planta de ensamblado está
 0.16
siguiendo una curva de aprendizaje de la forma T ( x)  22 x
. Estimar el número de horashombre requeridas en el ensamblado de 3,300 licuadoras adicionales.
10. Sonido Internacional produce radioreceptores en su línea de ensamblado. Se sabe que la primera
unidad producida (equivalente a 100 aparatos) les lleva un total de 150 horas- hombre y por cada
unidad adicional de 100 aparatos, se requirió menos tiempo de acuerdo con la curva de aprendizaje
T ( x)  150 x  0.2 . Calcular el número de horas-hombre que se requerirán para ensamblar 500
radioreceptores después de que se han ensamblado los primeros 500 aparatos.
EVALUACIÓN
Área entre curvas e Integrales impropias
1. Find the value of the constant C for which the integral


0
c 
 x

 2
dx converges. Evaluate
 x  1 3x  1 
the integral for this value de C
2. For what values of m do the line
y  mx and the curve
y
x
enclose a region? Find the
x 1
2
area of the region.
3. Find the value of C such that the area of the region enclosed by the parabolas y  x 2  c 2 and
DPTO. CIENCIAS BÁSICAS
I-2014
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No 3
y  c 2  x 2 is 576.
4. Preguntas de análisis:

 2 Senxdx como una integral definida y luego como
2
a. Se obtiene el mismo resultado si se calcula
el área representada por la expresión A 


 2 Senxdx .
2

b. Si el límite de una integral impropia no existe quiere decir, que la integral diverge a  o 
5. Determine whether the statement is true or false
a. If f is continuous on  0,   and
b. If

a
f ( x)dx and

a
c. If f ( x)  g ( x) and

b
1
f ( x)dx is convergent, then
g ( x)dx are both divergent, then

a
g ( x)dx diverges, then

a

b
0
f ( x)dx is convergent ______

a  f ( x)  g ( x) dx is divergent
f ( x)dx also diverges
d. If f and g are continuous on  a, b and g ( x)  f ( x) then A 
a  f ( x)  g ( x) dx
b
_______
_______
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BIBLIOGRAFÍA
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APUNTES DEL DOCENTE
STEWART James , Calculus, Early Trascendentals.5a Ed. International Thomson,2003
PURCELL Edwin J, Cálculo con geometría analítica. 4a Ed.Pearson- Prentice Hall
LARSON Ron, Cálculo.McGraw-Hill,2003
ARYA, Jagdish C y LARDNER, Robin W.Matematicas aplicadas a la administración y a la economía.
4a edición. Prentice Hall, 2002
HOFFMANN, Laurence D y BRADLEY, Gerald L. Cálculo para administración, economía y ciencias
sociales. 7ª Ed. McGraw-Hill,2001
DPTO. CIENCIAS BÁSICAS
I-2014