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Congreso Nacional de Control
Automático, AMCA 2015,
Cuernavaca, Morelos, México.
69
Evaluación de Diferenciadores Numéricos para la
Obtención de Velocidad y Aceleración en
Control de Motores Eléctricos
Hoover Mujica ∗ Gerardo Espinosa-Pérez ∗
∗
Facultad de Ingenierı́a - UNAM, Edificio Posgrado 2do piso, C.U., 04510,
México D.F. e-mail: [email protected], [email protected]
Resumen: Para alcanzar alto desempeño dinámico en las estrategias de control de motores eléctricos,
es necesario estimar correctamente velocidad y aceleración del rotor a partir de la posición medida por
un codificador incremental. El problema radica en que dicha señal se encuentra cuantificada, es decir
presenta pequeños escalones como resultado del muestreo y promediación del sensor. Estos escalones se
incrementan en número conforme aumenta la velocidad del rotor generando el nocivo efecto Nyquist,
lo cual hace que obtener sus derivadas sea una tarea no trivial. En este artı́culo se busca ilustrar cuál
es el método de diferenciación numérica que tiene un mejor comportamiento en términos del error de
seguimiento de velocidad, cuando es implementado en conjunto con un controlador no lineal basado
en pasividad para motores de inducción. Para tal propósito, se evalúa bajo las mismas condiciones a
dicho controlador con tres diferenciadores numéricos. El primero es un diferenciador sucio de tercer
orden más términos de compensación propuesto en este trabajo, el segundo es un observador de
altas ganancias y el tercer método es un diferenciador de Levant óptimo en su versión recursiva. Los
resultados muestran que con el primer algoritmo se realiza un mejor control de velocidad debido a que
presenta menos ruido, también se observa un mejor seguimiento de la norma de flujos magnéticos de
rotor, menor error en las corrientes de estator y correcto rechazo de perturbaciones de par de carga
impuesto en el eje del rotor.
Palabras clave: Control no lineal basado en pasividad, Motor de inducción, Diferenciador numérico.
1. INTRODUCCIÓN
La estimación de la derivada temporal de una señal contaminada con ruido es un problema ampliamente estudiado
desde varios años atrás (Belanger, 1992). Se han propuesto
muchas soluciones fundamentadas principalmente en filtros
lineales limitados en frecuencia, buscando ası́ evitar la
amplificación de ruido presente en la señal, sin embargo
esta técnica genera desfase a la salida. Otras propuestas
de solución recurren al uso de algoritmos que emplean
altas ganancias, que como se sabe, propician la aparición
del fenómeno de peaking. No obstante, con el objetivo de
atenuar el ruido amplificado, reducen las altas ganancias
degradando con esto la estimación de la derivada. En ese
sentido, se han propuesto métodos óptimos para la elección
de las ganancias como los propuestos en (Levant, 2003)
para un diferenciador con efectos discontinuos y también
en (Vasiljevic and Khalil, 2008) para el observador de alta
ganancias (HGO por sus siglas en inglés). Logrando ası́ un
compromiso adecuando entre la obtención de la derivada
temporal y la amplificación de ruido.
Con respecto al control de máquinas eléctricas, una de
las metodologı́as no lineales más importantes es el Control
Basado en Pasividad (PBC por sus siglas en inglés), esta
técnica parte de un enfoque energético, ya que explota
las propiedades naturales de disipatividad de energı́a de
los sistemas a controlar (Ortega and Espinosa, 1991), esta
caracterı́stica permite obtener alto desempeño dinámico.
Reserva de Derechos No. En trámite, ISSN. En trámite
El objetivo de este trabajo es mostrar, con un experimento
razonable, qué método de diferenciación numérica permite
obtener un mejor desempeño dinámico del PCB de MI
(motores de inducción) para el seguimiento de velocidad
y norma de flujos magnéticos de rotor. Para tal propósito,
se compararon tres algoritmos de diferenciación numérica
teniendo como criterio de selección los errores de velocidad, aceleración, corrientes de estator, norma de flujos de
rotor y la capacidad de rechazo a perturbaciones de par
de carga. Para realizar una evaluación justa de los tres
algoritmos, se emplearon las mismas ganancias para el PCB
en cada experimento. Algunos de los parámetros de los
diferenciadores se eligieron de acuerdo a los sugeridos en
(Vasiljevic and Khalil, 2008) y (Levant, 2005). Sin embargo, se determinó que un mejor criterio de sintonı́a para
la comparación en igualdad de condiciones es, ajustar la
respuesta en frecuencia de cada uno de los diferenciadores
hasta que el controlador responda de forma similar en el
error de velocidad ante una perturbación de par de carga.
La organización del artı́culo es de la siguiente forma: En la
Sección 2 se presenta el modelo matemático del MI trifásico.
La Sección 3 está dedicada a describir al PBC, a los tres
algoritmos de diferenciación numérica y la asignación de sus
parámetros de sintonı́a. Las condiciones del experimento
ası́ como los parámetros del MI se presentan en la Sección
4, la evaluación y discusión de los resultados obtenidos
se presentan en la Sección 5 y en la última sección se
establecen las conclusiones.
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2. MODELO MATEMÁTICO DEL MI
El modelo del MI trifásico de múltiples pares de polos tipo
jaula de ardilla empleado en este artı́culo, está representado
en un plano bifásico ortogonal equivalente por medio de la
transformación de Blondel (Blondel et al., 1913). En este
marco de referencia y por la consideración de que las fases
son simétricas y además distribuidas sinusoidalmente, se
evita la dependencia explı́cita de la posición del rotor, lo
que reduce el número de ecuaciones diferenciales que lo
describe (Liu et al., 1989). También se supone la existencia
de una relación lineal entre flujos magnéticos y corrientes
eléctricas, se considera la permeabilidad magnética en los
núcleos laminados infinita despreciando los efectos en las
ranuras, las pérdidas en el hierro y en los devanados. Dado
esto y de la aplicación de la Ley de Gauss y la Ley de
Ampere (Meisel, 1984) se tiene que
ψs
Ls I2 Lsr I2 Is
=
(1)
ψr
Lsr I2 Lr I2 Ir
donde ψ , [ψsT , ψrT ]T ∈ R4 es el vector de encadenamientos
de flujos, I , [IsT , IrT ]T ∈ R4 es el vector de corrientes,
I2 ∈ R2×2 la matriz identidad y los escalares Ls , Lr ,
Lsr > 0 son las inductancias en estator, rotor y mutua
respectivamente. Los subı́ndices (·)s y (·)r son usados para
denotar variables de estator y rotor respectivamente.
Este modelo, conocido en la literatura como el modelo ab
(Seely, 1962), (Meisel, 1984), modelo de Stanley (Krishnan,
2001) o modelo en el marco de referencia fijo al estator
(Krause et al., 2002), está dado por
Lsr Rr
np Lsr
Us
I˙s = −γIs +
(2a)
ωJ ψr +
ψ
−
r
2
σLr
σLr
σ
Rr Lsr
Rr
ψr + (np ωJ ) ψr +
Is
(2b)
ψ̇r = −
L
Lr
r
τL
1 np Lsr T
B
ω−
(2c)
I J ψr −
ω̇ =
J
Lr s
J
J
|
{z
}
τe
donde τe es el par electromagnético, ω la velocidad en el
eje del motor, Rs , Rr > 0 las resistencias en estator y rotor
respectivamente, np el número de par de polos, J > 0 la
inercia del rotor, B ≥ 0 el coeficiente de amortiguamiento
mecánico o fricción viscosa, τL el par de carga externo
aplicado al eje del rotor, Us ∈ R2 los voltajes de estator,
L2
σ̄ = 1 − Lssr
Lr el coeficiente de dispersión o coeficiente de
Blondel con σ = Ls σ̄, mientras que
2
Lsr Rr
Rs
0 −1
γ=
= −J T .
+
,
J ,
1 0
σL2r
σ
3. CONTROL BASADO EN PASIVIDAD Y MÉTODOS
DE DIFERENCIACIÓN
Se considera el PBC no lineal para el seguimiento de velocidad y norma de flujos magnéticos de rotor reportado en (Mujica and Espinosa-Pérez, 2014), especificamente
lı́mt→∞ |ω −ωd | = 0 y lı́mt→∞ |kψr k−kψrd k| = 0, donde ωd
es la velocidad deseada y kψrd k la norma de flujos magnéticos de rotor deseada, bajo las siguientes suposiciones:
S.1 Se miden las corrientes de estator Is , velocidad ω y
aceleración del rotor ω̇, estas dos últimas mediciones
70
serán estimadas por los métodos de diferenciación que
se desean evaluar en este trabajo.
S.2 Todos los parámetros del modelo (2) son conocidos.
S.3 El par de carga τL (t) es una función desconocida, pero
estimada por el controlador mediante la ecuación (8).
S.4 La velocidad deseada del rotor ωd (t) es una función
acotada y dos veces diferenciable.
S.5 La norma de flujo magnético de rotor deseada kψrd k
es una función exógena estrictamente positiva, suave y
acotada.
3.1 Controlador No Lineal Basado en Pasividad
Considerando al modelo del MI descrito en (2) se define el
error de estados y su dinámica como
#
#
"
"
ėIs
e Is
e = eψr = x − xd =⇒ ė = ėψr = ẋ − ẋd (3)
ėω
eω
donde el vector de estados x , [IsT , ψrT , ω]T ∈ R5 . Por
lo tanto, el vector de estados deseados se establece como
T
T
, ωd ]T . La estructura de la ley de control
, ψrd
xd , [Isd
aplicada a los voltajes de estator está dada por
2
np Lsr
Lsr Rr
˙
Us = σ Isd +
J ωd ψrd +
+ Rs Isd
Lr
L2r
Lsr Rr
(4)
ψrd − KIs eIs ,
−
L2r
donde se incluye un término de amortiguamiento constante
KIs en el error de corrientes eIs , además el vector de
corrientes deseadas de estator está dado por
Lr
Rr
Isd =
ψrd ,
(5)
ψ̇rd − np ωd J ψrd +
Rr Lsr
Lr
mientras que los flujos de rotor deseados variantes en el
tiempo se obtienen como solución del sistema dinámico
β̇
Rr
β
,
ψ
,
ψ
(0)
=
τ
J
ψ
+
ψ̇rd = np ωd +
rd
rd
d
rd
0
np β 2
β
(6)
el par electromagnético deseado τd se define como
τd = J ω̇d + Bωd + τ̂L − Kω eω ,
(7)
donde
Z
τ̂L = −Kωi
eω dt,
Kωi > 0,
τ̂L (0) = 0.
(8)
La derivada temporal de Isd requerida para la implementación de la ley de control (4) se obtiene analı́ticamente y
está dada por
!
#
"
Lr
τd
τ̇d − 2τd β̇
˙
J ψrd +
J ψ̇rd
Isd =
Lsr np
β
β2
#
!
!
"
ψ̇rd
Lr
β̇
β̈β − β̇ 2
ψ̇rd +
ψrd +
+
,
(9)
Rr Lsr
β2
β
Lsr
al igual que la derivada temporal de τd , definida por
τ̇d = J ω̈d + B ω̇d + τ̂˙L − Kω ėω .
(10)
3.2 Diferenciador Sucio de Tercer Orden Compensado
Se propone un método de diferenciación numérica fundamentado en un sistema lineal al que llamaremos diferenciador sucio de tercer orden compensado descrito por
Octubre 14-16, 2015.
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1
3
λ2
1
z5 −
1
λ3
1
ż5
z˙4 = z5
(11d)
2
2
z˙5 = −λ2 z4 − 2λ2 z5 + λ2 ω̄d
(11e)
donde θ es la posición de rotor medida por el codificador
incremental unido al eje del rotor, z1 la posición filtrada,
ω = z2 la velocidad de rotor, ω̇ = z3 la aceleración, ωd = z4
la velocidad deseada o de consigna para el PBC, ω̇d = z5 la
aceleración deseada y ω̄d ≈ ωd la señal exógena que define
el perfil de velocidad que el usuario desea alcanzar, con
T
T
[z1 (0) z2 (0) z3 (0) z4 (0) z5 (0)] = [θ(0) 0 0 ω̄d (0) 0] .
La estabilidad del sistema dinámico descrito en (11) se
cumple para todo λ1 > 0 y λ2 > 0. Sin embargo, como
primera aproximación, se recomienda asignar a λ1 , λ2 >
2|max(ω̇d )| (dos veces el valor máximo de aceleración
deseada, ası́ se preserva el contenido frecuencial de la señal
de entrada). Note, que conforme λ1 → +∞, este método
será una mejor aproximación al operador derivada, por
lo htanto más sensible ial ruido mientras que el término
λ31 λ31 z4 + λ32 z5 − λ13 ż5 → 0. Este último es empleado
1
1
para compensar el desfase natural del sistema compuesto
por (11a)-(11c). Para la evaluación de este diferenciador se
consideró λ1 = 1350 y λ2 = 2200.
3.3 Diferenciador Basado en Observador de Alta Ganancia
4. CONDICIONES DE EVALUACIÓN
La evaluación fue realizada en una simulación realista implementada en MATLAB-Simulink. La sintonı́a del PBCMI elegida para la evaluación de los tres métodos de diferenciación fue la misma. Se eligió como ganancia eléctrica
KIs = 80, ganancias mecánicas Kω = 1 y Kωi = 45, el periodo de muestreo fue de 0.1 ms, el perfil de seguimiento de
velocidad deseado para el PCB se muestra en la Figura 1(b),
la cuantización de la posición se realizó considerando un
codificador incremental de 1024 ppr aplicando θ = qdθ̄/qe,
donde el operador d·e genera el mı́nimo valor entero de su
argumento, θ̄ es la posición sin ser cuantizada y q = 2π/4096
el intervalo de cuantización. El resultado del proceso de
cuantización de la posición del rotor se observa en la Figura 1(a). La Figura 1(c) muestra el perfil de aceleración
deseado y en la Figura 1(d) se presenta el par de carga
aplicado al eje del rotor con una magnitud máxima de 4 Nm.
En la Tabla 1, se muestran los parámetros del MI.
200
0.12
150
0.1
0.08
0.06
0.04
3.4 Diferenciador de Levant óptimo recursivo
Se eligió este método de diferenciación para ser evaluado
en conjunto con el PBC-MI debido a que es uno de
los más citados en la literatura especializada, por otro
lado, tiene como cualidad que el error de estimación de
la derivada decrece conforme se incrementa la tasa de
muestreo, sin embargo requiere de una elección adecuada
de los parámetros α1 , α2 , α3 y L para lograr convergencia
del error de estimación a cero, lo cual no es del todo
ventajoso. Además presenta el tı́pico efecto de castañeo
(Chawda et al., 2011). Este algoritmo está descrito por
η˙1 = ν1 = −α1 L1/3 |η1 − θ|
2/3
sign (η1 − θ) + η2
1/2
(13a)
η˙2 = ν2 = −α2 L1/2 |η2 − ν1 | sign (η2 − ν1 ) + η3 (13b)
η˙3 = −α3 Lsign (η3 − ν2 )
(13c)
donde η2 es la velocidad de rotor estimada y η3 la aceleración (Levant, 2003). Para la evaluación de este diferenciador
0
0.25
50
0
−50
−150
0.255
0.26
0.265
0.27
Tiempo [ s ]
0.275
0.28
−200
0
(a) Medición de posición cuantizada
4
6
8
10
Tiempo [ s ]
12
14
6
ω̇d
400
16
τL
4
200
0
−200
−400
−600
0
2
(b) Velocidad de rotor deseada
Par de carga [ Nm ]
Aceleración angular [ rad/s ]
2
100
−100
0.02
600
Se considera al observador lineal de alta ganancia (Vasiljevic and Khalil, 2008) dado por
µ1
(12a)
ς˙1 = − (ς1 − θ) + ς2
ε
µ2
ς˙2 = − 2 (ς1 − θ) + ς3
(12b)
ε
µ3
(12c)
ς˙3 = − 3 (ς1 − θ)
ε
donde ς2 es la velocidad de rotor estimada y ς3 la aceleración. Para la evaluación de este diferenciador se consideró µ1 = 3, µ2 = 3, µ3 = 1 y ε = 0.0017.
ωd
θ
Velocidad angular [ rad/s ]
λ31 θ+ λ3 z4 +
se consideró α1 = 3, α2 = 1.5, α3 = 1.1 como se sugiere en
(Levant, 2005) y L = 192070 que respeta la cota mı́nima
necesaria para el perfil de velocidad aplicado.
Posición cuantizada [ rad ]
z˙1 = z2
(11a)
z˙2 = z3
(11b)
z˙3 = −λ31 z1 − 3λ21 z2 − 3λ1 z3
+ λ31 θ+3λ21 z4 + 3λ1 z5 − λ22 z4 − 2λ2 z5 + λ22 ω̄d (11c)
|
{z
}
h
i
71
2
0
−2
−4
2
4
6
8
10
Tiempo [ s ]
12
14
16
(c) Aceleración de rotor deseada
−6
0
2
4
6
8
10
Tiempo [ s ]
12
14
16
(d) Par de carga impuesto
Figura 1. Condiciones de evaluación del PBC
Tabla 1. Parámetros motor de inducción
Voltaje / potencia nominal
Par de polos
Resistencia de estator
Resistencia de rotor
Inductancia de estator
Inductancia de rotor
Inductancia mutua
Fricción viscosa
Coeficiente momento de inercia
220 V / 1 HP
np = 2
Rs = 2.516 Ω
Rr = 2.6361 Ω
Ls = 0.4340 mH
Lr = 0.4402 mH
Lsr = 0.4100 mH
B = 1.95 × 10−4 N·m·s/rad
J = 6.9198 × 10−3 kg·m2
5. EVALUACIÓN DEL CONTROLADOR
En esta sección se compara el desempeño del PBC con cada
algoritmo diferenciador por separado, buscando identificar
cuál de ellos contribuye de mejor forma a la obtención
de alto desempeño dinámico. En la Figura 2 se muestra
el error de velocidad alcanzado por el controlador con
cada diferenciador numérico, en la Figura 3 se observa
un acercamiento del error de velocidad, esta última figura
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2
72
3.5
eω
eω
3
1.5
2.5
Error velocidad angular [ rad/s ]
Error velocidad angular [ rad/s ]
1
0.5
0
−0.5
2
1.5
1
0.5
0
−1
−0.5
−1.5
−1
−2
0
2
4
6
8 Tiempo [ s ] 10
12
14
16
−1.5
3.9
3.95
4
Tiempo [ s ]
4.05
4.1
(a) Sucio 3er orden compensado
(a) Sucio 3er orden compensado
2
3.5
eω
eω
3
1.5
2.5
Error velocidad angular [ rad/s ]
Error velocidad angular [ rad/s ]
1
0.5
0
−0.5
2
1.5
1
0.5
0
−1
−0.5
−1.5
−1
−2
0
2
4
6
8 Tiempo [ s ] 10
12
14
16
−1.5
3.9
3.95
4
Tiempo [ s ]
4.05
4.1
(b) Observador de alta ganancia
(b) Observador de alta ganancia
3.5
2
eω
eω
3
1.5
2.5
Error velocidad angular [ rad/s ]
Error velocidad angular [ rad/s ]
1
0.5
0
−0.5
2
1.5
1
0.5
0
−1
−0.5
−1.5
−1
−2
0
2
4
6
8 Tiempo [ s ] 10
12
14
16
−1.5
3.9
3.95
4
Tiempo [ s ]
4.05
4.1
(c) Levant óptimo recursivo
(c) Levant óptimo recursivo
Figura 3. Comparación del error de velocidad (métrica)
Figura 2. Comparación del error de velocidad
sirvió de métrica para la elección de los parámetros λ1 , ε y
L que corresponden a cada diferenciador respectivamente.
Como se sabe, incrementar la magnitud de estos parámetros
logra aproximar mejor el valor estimado al valor de la
verdadera derivada, permitiendo al PBC-MI rechazar más
rápidamente la perturbación de par de carga, sin embargo
incrementa el ruido en la velocidad. De forma inversa, el
reducir la magnitud de estos parámetros limita al PBC-MI a
tener un comportamiento más conservador, incrementando
el error de velocidad y reduciendo la capacidad de rechazar
perturbaciones. Por lo tanto, se eligieron los valores de
dichos parámetros teniendo como consigna que el error de
velocidad máximo permisible en el tiempo t = 4 s sea
3.31 rad/s. Siguiendo este procedimiento se puede comparar
a los tres diferenciadores en igualdad de condiciones a pesar
de tener propiedades estructurales muy distintas. Planteado
este escenario, se busca identificar cuál es el diferenciador
que amplifique menos ruido y obtenga mejor desempeño.
En las Figuras 2 y 3 se observa que con los tres diferenciadores se rechazar correctamente la perturbación de par
de carga, sin embargo el primer diferenciador presenta menor contenido de ruido en la velocidad, obteniendo 0.2767
rad/s de Error Cuadrático Medio (ECM), en comparación
a 0.2780 rad/s y 0.3023 rad/s para HGO y diferenciador de
Levant respectivamente.
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1
73
0.8
eIsa
eIsb
0.8
kψ rd k
kψ r k
0.7
Norma flujo magnético de rotor [ Wb ]
Error corriente de estator [ A ]
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
−0.6
0.1
−0.8
−1
0
0
2
4
6
8 Tiempo [ s ] 10
12
14
16
0
2
(a) Sucio 3er orden compensado
4
6
8 Tiempo [ s ] 10
12
14
16
(a) Sucio 3er orden compensado
1
0.8
eIsa
eIsb
0.8
kψ rd k
kψ r k
0.7
Norma flujo magnético de rotor [ Wb ]
Error corriente de estator [ A ]
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
−0.6
0.1
−0.8
−1
0
0
2
4
6
8 Tiempo [ s ] 10
12
14
16
0
2
(b) Observador de alta ganancia
4
6
8 Tiempo [ s ] 10
12
14
16
(b) Observador de alta ganancia
1
0.8
eIsa
eIsb
0.8
kψ rd k
kψ r k
0.7
Norma flujo magnético de rotor [ Wb ]
Error corriente de estator [ A ]
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
−0.6
0.1
−0.8
−1
0
0
2
4
6
8 Tiempo [ s ] 10
12
14
16
0
(c) Levant óptimo recursivo
2
4
6
8 Tiempo [ s ] 10
12
14
16
(c) Levant óptimo recursivo
Figura 4. Comparación de error de corriente de estator
Ahora bien, si se observa la Figura 4 se aprecia que el error
en corrientes de estator eIs es prácticamente cero para el
diferenciador propuesto en este trabajo y aproximadamente
el 5 % del valor nominal de corriente para el HGO y el
diferenciador de Levant. La razón del porque de este resultado se deduce claramente en la ecuación (9), donde el PBC
requiere para su implementación de τd y τ˙d definidas en (7)
y (10), esto implica que para no tener remanentes (error de
corrientes) en la ecuación (9), se debe proporcionar el error
de velocidad eω y su respectiva derivada ėω . Dicho esto,
se afirma que el único algoritmo que obtiene una versión
de bajo ruido de ω y su respectiva derivada exacta ω̇ es
el diferenciador propuesto en este trabajo, debido a que
Figura 5. Comparación de seguimiento de norma de flujos
estructuralmente se asemeja a una cadena de integradores
donde ż2 := z3 (véase la ecuación (11b)). Las Figuras 2 y 6
cotejan la afirmación anterior. Por ejemplo, en la Figura 2 la
relación de magnitud promedio del eω entre las subfiguras es
2(a) < 2(b) < 2(c). Se esperarı́a entonces que se preserve
esta misma relación de magnitud en sus derivadas, dado
que las señales del error de velocidad tienen una frecuencia
mayor a la unidad, sin embargo esto no es ası́ como se
muestra en la Figura 6.
Por otro lado, los errores en las corrientes de estator, mostrados en la Figura 4, inducen mayor contenido frecuencial
en la acción de control, como se ve en la Figura 7, debido a
Octubre 14-16, 2015.
200
0
−200
0
−2
−4
−6
0
400
200
0
4
6
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Tiempo [ s ]
12
14
16
0
8
10
Tiempo [ s ]
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16
0
−2
−4
−6
0
2
4
6
8
10
Tiempo [ s ]
12
14
16
(b) Observador de alta ganancia
τe
4
2
0
−2
−4
−6
0
4
6
8
10
Tiempo [ s ]
12
14
(b) Observador de alta ganancia
0
2
4
6
8
10
Tiempo [ s ]
12
14
16
(c) Levant óptimo recursivo
Figura 6. Comparación del error de aceleración
300
300
Usa
Usb
Usa
Usb
200
Voltaje de estator [ V ]
200
100
0
−100
100
0
−100
−200
−200
8
10
Tiempo [ s ]
12
14
16
(a) Sucio 3er orden compensado
−300
0
2
4
6
8
10
Tiempo [ s ]
12
14
16
(b) Observador de alta ganancia
300
Usa
Usb
200
Voltaje de estator [ V ]
12
14
16
REFERENCIAS
0
6
8
10
Tiempo [ s ]
200
−600
4
6
Logrando ası́ obtener una versión de la velocidad de rotor
con menos ruido y su respectiva primera derivada exacta.
400
−400
2
4
Figura 8. Comparación de estimador de par de carga
eω̇
600
2
(c) Levant óptimo recursivo
16
2
Error aceleración angular [ rad/s ]
2
−200
Voltaje de estator [ V ]
6
2
6
−600
2
(a) Sucio 3er orden compensado
−300
0
4
τe
4
−400
−600
0
2
(a) Sucio 3er orden compensado
−200
−400
Par de carga estimado [ Nm ]
2
2
Error aceleración angular [ rad/s ]
400
6
τe
4
eω̇
600
74
Par de carga estimado [ Nm ]
eω̇
600
2
Error aceleración angular [ rad/s ]
que en la ecuación (4) aparece el término KIs eIs . Además el
eIs degrada el seguimiento de la norma de flujos magnéticos
de rotor, como se aprecia en la Figura 6. Este inconveniente
se acentúa cuando el estimado de la aceleración no es bueno,
como en el diferenciador de Levant, vea la Figura 6(c).
Finalmente, en la Figura 8 se muestra el valor estimado
del par de carga obtenido por el PBC, con lo cual se afirma
que reconstruye al par de carga aplicado y es por esa razón
que puede rechazar dicha perturbación.
Par de carga estimado [ Nm ]
Congreso Nacional de Control
Automático, AMCA 2015,
Cuernavaca, Morelos, México.
6
100
0
−100
−200
−300
0
2
4
6
8
10
Tiempo [ s ]
12
14
16
(c) Levant óptimo recursivo
Figura 7. Comparación de la acción de control
6. CONCLUSIONES
Dada la comparación de tres algoritmos de diferenciación
numérica evaluados en conjunto con un PCB-MI, y tras
establecer una métrica justa de elección de los parámetros de sintonı́a para cada diferenciador, se afirma que
el diferenciador sucio de 3er orden compensado propuesto
en este artı́culo, ofrece un mayor desempeño dinámico del
conjunto PBC-MI en comparación a los otros dos métodos
de diferenciación numérica. Es decir, presenta menor error
de seguimiento de velocidad, corrientes de estator y norma de flujos magnéticos de rotor, además produce menor
contenido armónico en los voltajes de estator y permite
estimar mejor el par de carga. Estas cualidades se deben a
que su estructura se asemeja a una cadena de integradores.
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Octubre 14-16, 2015.