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IES ALFONSO MORENO
CURSO 2014-2015
BRUNETE
3º ESO
“UN CACHITO DE LA ALHAMBRA”
Se llama mosaico a todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas que
no pueden superponerse, ni puede dejar huecos sin recubrir y en el que los ángulos que
concurren en un vértice deben sumar 3600.
Con esta práctica, vamos a intentar crear nuestros propios mosaicos basándonos en los
mosaicos nazaríes que han hecho de la Alhambra una joya geométrica y arquitectónica1.
Nunca fueron mejor aplicadas las Matemáticas, en este caso la Geometría, ya que sirvieron
para manifestar sus creencias en un bello alarde de ingenio que se traduce en una creatividad
sin precedentes en el diseño de los mosaicos de la Alhambra.
Para ello:
1. Visionado del vídeo “Las geometría se hace arte” del programa “Más por menos” de
RTVE.
2. Realización de actividades usando el programa Geogebra.
3. Boceto de los mosaicos a crear.
4. Creación de tres mosaicos con diferentes materiales.
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La Alhambra es Patrimonio de la Humanidad desde 1984
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS:”Mosaicos”.
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ACTIVIDAD 1: Construcción del hueso.
A continuación se explicará detalladamente la construcción del Hueso, polígono nazarí cuya base es un
cuadrado (esta figura se usa en algunos mosaicos de la Alhambra de Granada).
Vamos a realizar una figura Geogebra llamada hueso.ggb, y a partir de él crearemos una plantilla que nos
servirá para diseñar un mosaico.
Podemos intentar hacer la práctica directamente o bien seguir las siguientes indicaciones:
1. Dibujar un cuadrado. Para ello, seleccionar de la barra de herramientas “polígono” o “polígono
regular”.
En el primer caso, dibujar vértice A y haciendo un clic tras otro en la
vista gráfica, permite crear los vértices B, C y D de un cuadrado que
se cierra reiterando un clic sobre A.
En el segundo caso, dibujar los
vértices A y B, y señalar que
buscamos 4 vértices.
2. Trazar las diagonales del cuadrado usando el comando “segmento”
(tercera tecla) y
picar sobre los puntos A y C; luego picar
sobre B y D.
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3. Elegir “punto medio o centro” (segunda tecla)
Se etiquetará como E.
4.
Con
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para hallar el punto medio del segmento AB.
“mediatriz” (cuarta tecla), trazar las mediatrices de los segmentos AE y BE.
5. Con la herramienta “Intersección” (segunda tecla)
mediatrices con las diagonales obteniendo los vértices
hallar los puntos de corte de las
F, G, H e I.
6. Hallar los vértices F’ y G’ de la figura por simetría axial de los puntos F y G. Y los vértices H’ e I’ por
simetría axial de los puntos H e I.
Para ello seleccionar la herramienta “simetría axial” (novena tecla),
luego sobre el lado AB. Proceder de forma análoga con el resto de
picar sobre el punto F y
los puntos.
7. El Hueso será el polígono formado por los puntos A, F’, G’, B, G, H, C, H’, I’, D, I, F, A. Para construirlo
utilizar la herramienta, “polígono”, y hacer clic sobre los vértices indicados anteriormente.
8. Cambiar el color y grosor del polígono hueso para que
quede como en la figura de la derecha.
9. Guardar el fichero con el nombre de hueso.ggb, borrando
previamente el cuadrado, las diagonales, las mediatrices, y
todos los elementos que han servido para la construcción.
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ACTIVIDAD 2: Mosaico a partir del hueso.
Mosaico: Construcción geométrica que resulta de recubrir todo el plano.
Tesela: Motivo mínimo que se repite para formar el mosaico.
Para formar el mosaico:
a) Giramos el primer hueso 900 alrededor de uno de los vértices anteriores (por ejemplo A). Usaremos la
herramienta “rota alrededor de un punto” (octava tecla)
b) El mosaico se construye por simetría central de cada hueso respecto a cada uno de los vértices de 900.
(A, B, C, D). En este paso utilizaremos la herramienta “simetría central” (novena tecla)
Es decir:
1. Abrir el documento hueso.ggb y cambiamos el nombre por mosaico
hueso.ggb, dejando únicamente visible los vértices de 900, es decir, A, B, C, D.
2. Girar 900 el hueso alrededor del vértice A. Seleccionar primero el hueso, y a
continuación el punto A y el valor numérico 900 en sentido
antihorario. Obtendremos entonces la figura:
3. Realicemos ahora simetría central de cada hueso respecto a cada uno de los vértices de 900 (A, B, C,
D), para obtener el mosaico de la figura. Para ello hacer clic sobre uno de los huesos y sobre el vértice A.
Proceder de forma análoga con dicho
hueso sobre los vértices B, C y D. Realizar
la misma operación con el otro hueso.
Continuar con el mismo procedimiento
con cada uno de los huesos generados.
Guardar con el nombre mosaico
hueso.ggb, y cerrar.
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ACTIVIDAD 3: Construcción del Pétalo.
El Pétalo es un polígono nazarí cuya base es un rombo formado por dos triángulos equiláteros.
Igual que en las actividades anteriores, vamos a realizar una figura Geogebra llamada petalo.ggb, y a
partir de él crearemos una plantilla que nos servirá para diseñar un mosaico.
Podemos intentar hacer la práctica directamente o bien seguir las siguientes indicaciones:
1. Construir un triángulo equilátero usando la herramienta de “polígono regular” (ABC)
2. Usar simetría central del vértice C con respecto a los vértices A y B. Los nuevos puntos serán C’ y C’’
3. Haciendo centro en los puntos A, B, C’, C’’, construir cuatro circunferencias de radio el lado del
triángulo. Usaremos el comando “circunferencia (centro, punto)”
(tecla sexta de la barra de
herramientas).
4. Crear el punto de intersección de las cuatro circunferencias (será el vértice inferior del Pétalo). Utilizar
la herramienta “Intersección de dos objetos”. Será el
vértice D. Se obtendrá la figura:
5. El Pétalo está formado por cuatro arcos, tal como
se muestran en la figura. Para obtenerlos
procedamos de la siguiente forma:
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a) Hallar el arco CA, para ello utilizar la herramienta “arco de circunferencia” (tecla sexta de barra de
herramientas) y
hacer clic en el centro de la circunferencia (B), sobre el punto C y sobre el
punto
A.
Se
dibujará en otro color el arco buscado y con un grosor intermedio.
b) Construir los arcos DA, BD y BC como en el apartado a.
Nota: Para las construcciones de los arcos se deberá tener en cuenta el orden señalado.
Ocultar todos los elementos utilizados para la construcción.
6. Guardar la construcción con el nombre petalo.ggb.
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ACTIVIDAD 4: Construcción de un mosaico a partir del Pétalo.
Utilizando como tesela el pétalo podemos construir un mosaico. El mosaico se puede formar trasladando
el pétalo mediante dos vectores
1. Vamos a partir de la figura anterior que se encuentra en el archivo
r
r
petalo.ggb. Definamos los vectores de traslación u = AB y v = CD (las
diagonales del rombo).
Para ello utilizar “vector” (tecla tercera de
la barra de herramientas)
y picar sobre los vértices en el orden
señalado.
r
2. Realicemos la traslación del pétalo según el vector u = AB . Para ello utilizar
la herramienta “traslación”
y luego seleccionar un arco y el vector
r
u = AB .
Proceder de forma análoga con el resto de los arcos.
r
3. Análogamente al paso anterior, proceder usando esta vez el vector v = CD . Quedará entonces la
figura de la forma siguiente:
r
4. Trasladando los arcos de los pétalos nuevos, sucesivamente, según los vectores u = AB y
r
v = CD creamos el mosaico. Guardar el archivo como mosaico petalo.ggb.
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ACTIVIDAD 5: Construcción de la Pajarita.
La Pajarita es otro polígono nazarí cuya base es un triángulo equilátero.
Igual que en las actividades anteriores, vamos a realizar una figura Geogebra llamada pajarita.ggb, y a
partir de él crearemos una plantilla que nos servirá para diseñar un mosaico.
Podemos intentar hacer la práctica directamente o bien seguir las siguientes indicaciones:
1. Construir un triángulo equilátero usando la herramienta de “polígono regular” (ABC)
2. Usar simetría axial del vértice C con respecto al lado AB, para obtener el vértice C’.
3. Hallar los “puntos medios” de los lados AB y AC’. Se etiquetarán como D y E
4. Hallar la circunferencia que pasa por los punto A, D y E. Aunque el programa de Geogebra permite
determinar la circunferencia que pasa por tres puntos, lo haremos siguiendo los siguientes pasos:
a) Hallamos las mediatrices de los segmentos AD y AE. La intersección de ambas será el centro de la
circunferencia buscada. El centro se designará por F. Para este paso, usar las herramientas
“mediatriz” e “intersección” (cuarta tecla y segunda tecla, respectivamente).
b) Construir la circunferencia con centro en el punto anterior que pase por A.
5. Construir el arco de circunferencia AD. Para ello utilizar “arco de circunferencia” (tecla sexta). Dibujar
más grueso el arco.
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A partir de este arco construiremos la pajarita. Para ello:
6. Girar el arco creado 600 respecto al vértice A. Utilizando la herramienta “rota alrededor de un punto”
(octava tecla) hacemos clic sobre el arco, punto A y ángulo de 600 en sentido antihorario.
7. Determinamos el “punto medio” del lado AC. Este punto será G. Utilizando “simetría central” sobre el
arco girado respecto al punto medio G, construir el nuevo tramo de la pajarita.
8. Girar el arco creado 600 respecto al vértice C.
9. Hallar el “punto medio” del lado CB. Este punto será H. Utilizando “simetría central” sobre el arco
girado respecto al punto medio H, construir el nuevo tramo de la pajarita.
10. Girar el arco creado 600 respecto al vértice B, completando la pajarita.
Es conveniente ocultar todos los puntos que se han generado en los vértices y dejar visibles sólo los
puntos de partida.
11. Guardar la construcción con el nombre pajarita.ggb. Si arrastramos el punto A o B se observa la
integridad de la figura.
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ACTIVIDAD 6: Construcción de un mosaico a partir de la Pajarita.
Utilizando como tesela la pajarita podemos construir un mosaico. El mosaico se puede formar
trasladando el pétalo mediante dos vectores
1. Vamos a partir de la figura anterior que se encuentra en el archivo
r
r
pajarita.ggb. Definamos los vectores de traslación u = AB y v = CA (dos lados
del triángulo). Para ello utilizar “vector” (tecla tercera de la barra de
herramientas) y picar sobre los vértices en el orden señalado.
r
2. Realicemos la traslación del pétalo según el vector v = CA . Para ello utilizar la
r
herramienta “traslación” y luego seleccionar un arco y el vector v = CA .
Proceder de forma análoga con el resto de los arcos.
r
3. Análogamente al paso anterior, proceder usando esta vez el vector u = AB . Quedará entonces la
figura de la forma siguiente:
r
4. Trasladando los arcos de las pajaritas nuevas, sucesivamente, según los vectores u = AB y
r
v = CD creamos el mosaico. Guardar el archivo como mosaico pajarita.ggb.
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