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Ingeniería Civil Industrial
Estadística Aplicada 1
Facultad de Ingeniería y Ciencias Geológicas / Escuela de Ingeniería
2° Semestre 2012
Guía de Apoyo 10
Pruebas de Hipótesis
1.
Antes de convenir en la compra de un pedido grande de hojas de polietileno, para un tipo de cables eléctricos de
alta presión, llenos de aceite para submarino, una compañía desea ver evidencia concluyente de que la verdadera
desviación estándar de grosor del forro es menor de 0,05 mm ¿Cuáles hipótesis deben probarse y por qué? En este
contexto, ¿cuáles son los errores de tipo I y tipo II?
2.
Se toman muestras de agua utilizada para el enfriamiento, mientras se descarga de una planta eléctrica en un río.
Se ha determinado que la temperatura media del agua descargada sea a lo sumo de 150ºF, así no habrá efectos
negativos en el ecosistema del río. Para investigar si la planta cumple los reglamentos que prohíben una
temperatura media del agua descargada arriba de 150ºF, se toman 50 muestras en horas seleccionadas al azar y se
registra la temperatura de cada una. ¿Qué formulación es la correcta? Describa los errores del tipo I y tipo II
respectivos. ¿Cuál tipo de error considera sea más grave? Explique.
3.
Para controlar las especificaciones de un medicamento de nuevo diseño se ha seleccionado una muestra de 20
píldoras de dicho medicamento. Se está analizando la cantidad media de miligramos de paracetamol por píldora; y
para ello se observa el peso total de esta sustancia contenido en el conjunto de las 20 píldoras de la muestra,
resultando ser 9800 mg.
a) Realizando contraste de hipótesis con error del tipo I del 5%, indique a que conclusiones llega acerca de la
especificación de 500 mg por píldora, teniendo en cuanta que de los datos de la muestra se sabe que s =
5,66.
b) ¿Qué respondería al apartado si le informan que la varianza poblacional es 50?
c)
Teniendo en cuenta que la varianza poblacional es la del apartado anterior, obtenga la potencia del
contraste para una hipótesis alternativa de 490 mg.
4.
Se han medido 100 láminas de acero en una planta de fábrica, obteniéndose de estas medidas un valor medio de
0,256 mm y una varianza muestral de 0,01 se pide:
a) Verifique el buen funcionamiento de esta fábrica, con un nivel de significación del 5%, comprobando la
veracidad de la afirmación del director de la misma, que asegura que su producción tiene un grosor medio de
0,253 mm.
b) Calcule la potencia de la prueba que usted ha realizado en a), para una producción con grosor medio de 0,21
mm.
5.
El Centro de Alumnos de Ingeniería Civil Industrial sospecha que la participación de estudiantes de primer año en la
Semana Mechona es demasiado baja, presumiéndose que ésta sería la causa de los malos resultados que se
producen año a año en las competencias contra las demás carreras. Si se logra comprobar que el nivel de
participación está por debajo del 40%, se implementarán políticas especiales de integración, para lograr que los
estudiantes de primero se sientan más identificados con la carrera, y eso los motive a participar en mayor medida.
De esta forma, se obtuvo una lista de las personas que participaron activamente de las competencias de este año,
obteniéndose un total de 20. Utilice un nivel de significación del 1%.
a) Si este año ingresaron 90 personas a las carrera, ¿cree usted necesaria la implementación de la política
especial de integración?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el Centro de Alumnos aplique la nueva política de integración cuando no es
necesario?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el Centro de Alumnos no aplique la nueva política cuando en realidad sí era
necesario y la verdadera proporción de participación de los alumnos de primer año es del 35%?
d) Para las letras b) y c) identifique gráficamente las probabilidades por las que se le preguntan.
6.
Se ha desarrollado una nueva técnica de fabricación del componente de una antena de radiofrecuencia, mediante
la cual se afirma que se obtienen componentes que en término medio son capaces de soportar frecuencias
máximas superiores a 7 GHz. Se sabe que la distribución de las frecuencias máximas soportadas por los
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componentes así fabricados tienen una desviación estándar de 400 MHz. Se quiere comprobar si es cierto que en
media al menos soportan 7 GHz, para lo cual el departamento de control de calidad ha desarrollado un test de
hipótesis para la medida de 100 componentes con una región de rechazo de x < 6900 MHz. Se pide:
a) Calcule la probabilidad de que siendo realmente cierta la afirmación de que la frecuencia máxima de trabajo es
superior a 7 GHz, se concluya que esto no se cumple.
b) Calcule la probabilidad de aceptar como cierto que se superan dichos 7 GHz en media, si realmente se superan
los 6,94 GHz.
c) ¿Cuál es el valor de la frecuencia máxima que en media debería tener la población de componentes para que
la potencia del test fuera de 89,25%?
d) ¿Para qué valores la potencia aumentará: para los superiores del resultado de la letra c o para los inferiores?
7.
Los dueños de un sitio web están interesados en obtener información acerca del comportamiento de las visitas que
recibe el sitio. Particularmente, les gustaría conocer más acerca de la verdadera proporción diaria de visitas que
siguen el link de uno de sus auspiciadores principales. En un día determinado, 22 de 542 visitas siguieron el link del
auspiciador.
a) El contrato con el auspiciador indica que si la verdadera proporción de visitas que sigue el link es menor al 5%,
éste tendrá el derecho de recibir una rebaja en la tarifa mensual que paga al sitio para mantener ahí su
publicidad. ¿Indican los datos que será necesario cambiar la tarifa?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la tarifa efectivamente se rebaje cuando la verdadera proporción de visitantes
que siguen el link es del 4%? ¿Cuál es su respuesta si verdadera proporción de visitantes que siguen el link es
del 6%?
c) Represente gráficamente las probabilidades por las que se le pregunta en la letra b.
d) De qué tamaño debería ser la muestra para asegurar que la diferencia entre la verdadera proporción diaria de
clientes que siguen el link y su estimación no sea mayor a 1%.
8.
La precisión de un espectrofotómetro, empleado para medir la concentración de monóxido de carbono, se mide
tomando lecturas en un gas industrial (denominado gas inerte) en el cual la concentración es 70 ppm (conocida en
forma muy precisa). Si las lecturas sugieren que el espectrofotómetro no funciona bien, éste deberá ser
recalibrado. Suponga que si está bien calibrado, la concentración medida de muestras de gas inerte está
normalmente distribuida.
a) Con base en las seis lecturas 85, 77, 82, 68, 72 y 69, calcule el valor p y responda si es necesario volver a
calibrar.
b) ¿De qué tamaño debería ser la muestra para asegurar que el largo del intervalo de confianza sea menor que 8?
9.
Se toma una muestra de 50 cascos utilizados por corredores de motocicletas, y se exponen a una prueba de
impacto. En 18 de los cascos se observa cierto daño.
a) Encuentre un intervalo de confianza bilateral del 95% para la verdadera proporción de casos que muestran
daño como resultado de la prueba (no puede utilizar directamente la fórmula de IC, sino que debe obtenerla a
partir del enunciado de probabilidad respectivo).
b) ¿Cuántos cascos deben probarse para tener una confianza del 95% de que el error al estimar el verdadero
valor de p sea menor que 0,02?
c) La Cía. productora ha declarado que si la verdadera proporción de cascos que presentan daños es mayor que
el 35%, se verá obligada a re-estudiar los materiales con los que se confeccionan los cascos. Implemente y lleve
a cabo un test estadístico que entregue una conclusión con respecto a este caso. Llegue a una conclusión
prescindiendo de los niveles de significación.
d) Si la verdadera proporción de cascos que muestra daño es del 37%, ¿Cuál es la probabilidad de detectar esta
desviación?
10. Una cadena de restaurantes de comida rápida contrasta cada día que el peso medio de sus hamburguesas es al
menos de 320grs. Si esta condición no se cumpliera, se necesitaría un ajuste en el proceso de producción. Se puede
asumir que los pesos de las hamburguesas siguen una distribución normal, con una desviación típica de 30 grs. La
regla de decisión adoptada es rechazar la hipótesis nula si el peso medio muestral es menor de 308 grs.
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a) Si se seleccionan muestras aleatorias de n = 36 hamburguesas, ¿cuál es la probabilidad de cometer un error de
Tipo I usando esta regla de decisión?
b) Si se seleccionan muestras aleatorias de n = 9 hamburguesas, ¿cuál es la probabilidad de cometer un error de
Tipo I usando esta regla de decisión? ¿Es igual esta respuesta a la del apartado anterior? ¿Por qué?
c) Se supone que el verdadero peso medio es de 310 grs. Si se seleccionan muestras aleatorias de 36
hamburguesas, ¿cuál es la probabilidad de cometer un error de Tipo II usando esta regla de decisión?
11. Los representantes del Centro de Alumnos de la carrera de Lobotomía de la Universidad Nacional están
conduciendo un estudio para determinar si existe diferencia entre las calificaciones obtenidas por los alumnos que
asisten al curso de Estadística con dos profesores diferentes A y B. Sean µ1 y µ2 los verdaderos promedios de las
calificaciones obtenidas por los alumnos de los profesores A y B respectivamente. El muestreo de calificaciones
llevado a cabo por el CEAL se indica a continuación:
Profesor A
3,7
4,5
3,3
3,8
5,5
5,3
4,8
Profesor B
3,7
3,6
5,1
4,9
4,5
4,0
-
a) El presidente del CEAL sospecha que las notas de ambos paralelos poseen variabilidades diferentes ¿Qué
respondería usted con un nivel α = 0,1? Identifique las zonas de rechazo para la Ho ¿Se podría estimar un valor
p para este caso? Si se pudiera: ¿Cuál es el valor p y de qué manera lo interpreta?
b) ¿Qué tipo de procedimiento debe llevarse a cabo para aclarar la duda de la directiva del CEAL con respecto a la
diferencia entre las verdaderas medias de calificación? Justifique su respuesta y desarrolle el procedimiento.
No puede asumir el nivel de significación de la pregunta anterior.
12. La pintura de una autopista se surte en dos colores: blanco y amarillo. El interés se centra en el tiempo de secado
de la pintura; se sospecha que la de color amarillo se seca más rápido que la blanca. Se obtienen mediciones de
ambos tipos de pintura. Los tiempos de secado (en minutos) son los siguientes
Blanca 120
Amarilla 126
132
124
123
116
122
125
140
109
110
130
120
125
107
117
129
120
a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre los tiempos de secado medios,
suponiendo que las desviaciones estándar poblacionales son iguales. Suponga además que el tiempo de
secado se distribuye normalmente.
b) ¿Podría afirmarse que la pintura amarilla se seca más rápidamente que la blanca? (no se base en el nivel de
confianza de la letra b).
c) ¿Podría decirse que el supuesto de que las desviaciones poblacionales son iguales es correcto? ¿Cuál es el
valor p de esta prueba?
13. Se utilizan dos máquinas diferentes de moldeo por inyección para la fabricación de piezas de plástico. Una pieza se
considera defectuosa si presenta un encogimiento significativo o si le falta un color. Se tomaron dos muestras
aleatorias, cada una de tamaño 300, y se encuentran 15 piezas defectuosas en la muestra de la máquina 1,
mientras que sólo 8 en la muestra de la máquina 2. ¿Es razonable concluir que la máquina 2 produce menos partes
defectuosas que la máquina 1?
14. El artículo “Agronomic Performance of Winter Versus Spring Wheat” presentó los resultados de un experimento
para comparar el rendimiento del trigo Sundance (que crece en invierno) y el de Manitou (que crece en primavera),
en Kg/Ha. En la tabla siguiente se muestran datos obtenidos en diferentes ubicaciones geográficas.
Trigo
Sundance
Manitou
Lugar 1
3201
2386
Lugar 2
3095
2011
Lugar 3
3297
2616
Lugar 4
3644
3094
3/4
Lugar 5
3604
3069
Lugar 6
2860
2074
Lugar 7
3470
2308
Lugar 8
2042
1525
Lugar 9
3689
2779
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¿Hay evidencia suficiente para decir que el rendimiento promedio real del trigo de invierno es más de 500 kg/Ha mayor
que el del trigo de primavera?
15. En cierto estudio se encontró que la desviación estándar muestral de concentración de sodio en la sangre de m =
20 anguilas de mar fue de 40.5, mientras que la desviación estándar muestral de concentración para n = 20
anguilas de agua dulce fue 32.1. Suponiendo normalidad de las dos distribuciones de concentración, averigüe si la
información sugiere alguna diferencia entre varianzas de concentración para los dos tipos de anguilas.
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