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Guı́a No 1.
Problemas Elementales de Manipulación Algebraica
Larry J. Mendoza C.*
Programa de Olimpiadas Matemática
Estado Vargas - Venezuela
[email protected]
Resumen
El propósito de esta sesión introductoria, es familiarizar al estudiante, con una serie de problemas
muy elementales. Estos están relacionados con las operaciones básicas de la aritmética y el álgebra
elemental. La resolución del mismos, son más que simple aplicaciones y manipulaciones de las
operaciones algebraicas que están sujetas a ciertas restricciones llamadas leyes o propiedades. Estos
tipos de problemas, son para que el estudiante pueda desarrollar una serie de técnicas, métodos
y destrezas para obtener la habilidad requerida que le permita llegar a la solución correcta de los
problemas de Olimpiadas Matemática en Venezuela. Aunque hay excelente material publicado por
la Internet, tanto colecciones de problemas, como textos con teorı́a y diversas guı́as, que por lo
general, no están clasificados por el tipo de estrategias a usar.
1.
Introducción.
Estos problemas están dirigidos a estudiante
de los primeros años del ciclo básico de los
liceos, que aspiran participar en la primera
etapa de la Olimpiada Juvenil de Matemática
en el Estado Vargas - Venezuela. Con este
tipo de problema, se pretende atender las
deficiencias y dificultades, a la que se enfrentan los
estudiantes en las aplicaciones y manipulaciones
de las seis operaciones algebraicas: adición,
sustracción, multiplicación, división, potenciación
y radicación, que le impiden resolver problemas
de una manera eficaz y satisfactoria en las áreas
de: álgebra elemental, geometrı́a, trigonometrı́a,
entre otras. Esta lista de problemas, es para
empezar nuestro primer entrenamiento con un
precalentamiento. Los mismo no son difı́ciles
varı́an desde muy sencillo, hasta aquello que
representa un reto a la habilidad del estudiante.
Te sugerimos que le dediques tiempo suficiente a
los problemas que no puedas resolver. Discútelo
con tus compañeros, o profesores, sobre como
realizar el mismo, pero no permitas que te
lo resuelvan. Como dice el Prof. Flores de
la Universidad Autónoma de Nuevo León de
Mexico:“ Un problema que tú no resuelves es
como un chicle masticado ” y en un sentido más
amplio podemos interpretar las palabras de un
gran matemático Paúl Halmos que, la resolución
de problemas es el corazón de la matemática.
*
Universidad Nacional Experimental Politécnica “ Antonio José de Sucre” Vicerrectorado “ Luis Caballero Mejı́as” Departamento de Ciencias Básicas
1
Larry J. Mendoza C. - Feb. - 2014 Problemas Elementales de Manipulación Algebraica
2.
2
Problemas.
Problema 1.
¿Cuál es la suma de todos los números que están escritos en la siguiente tabla:?
1
2
8
A 130
9
3
7
B 135
9
1
5
4
6
5
6
4
2
9
3
8
1
7
5
2
8
5
C 140
7
5
3
D 145
E 150
Problema 2. En la siguiente tabla ambas filas de números tienen la misma suma. ¿Cuál es el valor de
x, para que ambas filas tenga el mismo valor?
2
12
A 99
Problema 3.
B 100
3
13
4
14
5
15
6
16
7
17
C 119
8
18
9
19
199
x
D 209
E 289
Simplificar la siguiente expresión:
S = 1 − (2 − (3 − (4 − 5))) − (6 − (7 − (8 − (9 − 10))))
A
− 53
Problema 4.
B
− 15
C
− 10
D
−5
E 0
Calcular el valor de la siguiente expresión:
2
103 ÷ (10 ÷ 5)3 × 4 − (13 − 8)2 + 3 − 33 + 9 × 2
A 0
Problema 5.
B 1
C 2
D 3
E 4
Simplificar:
−1 !2 3 −1
2
8
1
+
÷2
4
2
23
A 68
B 256
C 260
D 288
E 512
Larry J. Mendoza C. - Feb. - 2014 Problemas Elementales de Manipulación Algebraica
Problema 6.
3
Hallar el mayor número de veces que aparece el 2 como factor en el producto:
1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × 11 × 12 × 13 × 14 × 15 × 16 × 17 × 18 × 19 × 20
A 10
Problema 7.
B 12
A 216
Problema 9.
A
16
20
Problema 10.
D 20
E 24
¿Cuál de los siguientes números es mayor?
A 94 × 27 × 32
Problema 8.
C 18
B 47 × 53 × 32
C 91 × 9 × 96
D 93 × 54 × 16
E 94 × 99 × 8
¿Cuál de los siguientes números es más grande?
B 48
C 85
D 95
¿Cuál de la siguiente expresión no es igual a 54 ?
−1
4×2
5÷2
B
C
5×2
4÷2
D
42
52
E 483
E
4+4
5+5
¿Cuál es el valor de la siguiente expresión:
(3x − 2)(4x + 1) − (3x − 2)4x + 1 =?
si x = 4?.
A 0
Problema 11.
B 1
C 10
E 12
Simplificar la siguiente expresión:
46 × 69 × 94
÷
99 × 66 × 44
A 130
D 11
B 135
C 140
7 !−1
3
=?
2
D 145
E 150
Larry J. Mendoza C. - Feb. - 2014 Problemas Elementales de Manipulación Algebraica
Problema 12.
4
Calcular el valor de la siguiente relación:
22001 · 32003
=?
62002
A
1
6
B
Problema 13.
1
3
1
2
C
D
2
3
3
2
E
El resultado de simplificar la siguiente expresión:
20132 + 2013
=?
2013 + 2013
A 1
B 1007
Problema 14.
D 20132
C 2013
E 4026
Calcula el valor de la siguiente expresión:
2n × 6n+3
=?
3n+1 × 4n
A 144
B 108
Problema 15.
C 72
D 36
E 48
Simplificar la siguiente expresión:
2n+1 + 2n+1 + 2n+3 + 2n+4 + 2n+5
=?
2n−1 + 2n−2 + 2n−3 + 2n−4
B 2n
A 64
C 1
0
2
92
Si A = 5 +
+ 3
5
3
Problema 16.
y
D 16
B=
3 −1
A
+ (1 − A)2
E 32
+
A
27
−1
, entonces, hallar el
valor de: (A + B)
A 74
B 76
Problema 17.
C 77
D 78
E 79
Si la letras a, b, c, d, e, f , g y h representan números que cumplen la siguiente condición:
a = 50,
b = a2 ,
c = 3b ,
d = 4c ,
e = d5 ,
f = 6e ,
g=
7
f
y
h=
8
g
entonces, hallar el producto de: a · b · c · d · e · f · g · h =?
A 384
B 400
C 420
D
480
7
E
500
3
Larry J. Mendoza C. - Feb. - 2014 Problemas Elementales de Manipulación Algebraica
Problema 18.
A b
c2 −d2
cd
Problema 19.
bc
bd
y z = , entonces z − x =?
d
c
Si x =
b
cd
B
d2 − c2
C
x2 y 2
− x2
y2
d
cb
B
x2 y 2
− x3
C
y3
(b)
1−y
y
D
b
c
d2 − c2
E
b
d
c2 − d2
x−1 y −1
=?
x−3 − y −3
y3
xy
− x3
1
1+
1
y+
y−
y−
A
b2 − c2
Simplifique la siguiente expresiones:
(a)
A
5
B
y+1
y
C
y2 − 1
y
D
1
y
x3 − y 3
ab
E
=?
1
y
D
y−1
y
E
y2 + 1
y
x3 y 3
x−y