1. No category

Una circunferencia de radio a se encuentra sobre el plano xy con su centro en el origen. Conduce una corriente I’ que circula
en sentido contrario al de las manecillas del reloj cuando es vista desde los valores positivos de z hacia el origen. Una
corriente I muy larga es paralela al eje x y esta dirigida en sentido positivo de x, intersecando el eje z positivo a una distancia
d del origen. Encontrar la fuerza total sobre el circuito C que conduce a I.
Ÿ Planteamiento
Ó
Idl ' × dl M R
Μ0 I I '
Ó
FC'®C = àà
4Π
R3
`
dl ' = a dΦ ' Φ = 8- a SenΦ ', a CosΦ ', 0< dΦ
dl = 8dx, 0, 0<
Ó
R = 8x - a CosΦ ', - a SenΦ ', d<
R=
Hx - a CosΦ 'L2 + a2 Sen2 Φ ' + d2
Μ0 I I ' ¥ a H- a SenΦ ' dxL 8x - a CosΦ ', - a SenΦ ', d<
Ó
FC'®C = âΦ' âx
à à
3
4Π
-¥ 0
IHx - a CosΦ 'L2 + a2 Sen2 Φ ' + d2 M 2
Ÿ Resolviendo
Clear@F, Fx, FΦ, FcD
F=
H- a Sin@ΦDL 8x - a Cos@ΦD, - a Sin@ΦD, d<
IHx - a Cos@ΦDL2 + Ha Sin@ΦDL2 + d2 M 2
3
;
Fx@x_D = Integrate@F, xD;
FΦ = Limit@Fx@lD - Fx@- lD, l ® ¥D
:0, -
4 a2 Sin@ΦD2
4 a d Sin@ΦD
,
- a2
-2
d2
+ a2
Cos@2 ΦD
Fc = FullSimplifyB-
Μ0 Il Ic
4Π
- a2
- 2 d2 + a2 Cos@2 ΦD
>
* Integrate@FΦ, 8Φ, 0, 2 Π<D,
d Ε Reals && d > 0 && a Ε Reals && a > 0F
:0, - 1 +
d
Ic Il Μ0 , 0>
a2
+ d2
Ó
FC'® C = -Μ0 I I' 1 -
d
`
y
a2 + d2
Considérese las dos corrientes rectas infinitamente largas que se muestran en la figura. I’ coincide con el eje y. I es paralela
al plano yz, se encuentra a una distancia Ρ del mismo, cruza el eje x en y = z = 0 y forma un angulo Α con el plano xy, como
`
1
esta mostrado. Demostrar que la fuerza sobre I de C ejercida por I’ de C’ es igual a - 2 Μo I I ' CotΑ x
2
Lab#1 FS-415 (Repaso Mathematica).nb
Considérese las dos corrientes rectas infinitamente largas que se muestran en la figura. I’ coincide con el eje y. I es paralela
al plano yz, se encuentra a una distancia Ρ del mismo, cruza el eje x en y = z = 0 y forma un angulo Α con el plano xy, como
`
1
esta mostrado. Demostrar que la fuerza sobre I de C ejercida por I’ de C’ es igual a - 2 Μo I I ' CotΑ x
Ÿ Planteamiento
Ó
I dl ‰ AI ' dl ' ‰ RE
Μo
Ó
FC'®C =
àà
4Π
R3
z = y tanΑ
dz = dy tanΑ
dl ' = dy ' `
y
dl = dy `
y + dz `
z = 80, 1, tanΑ< dy
Ó
R = 8Ρ, y - y ', z< = 8Ρ, y - y ', y tanΑ<
R=
Ρ2 + Hy - y 'L2 + y2 tan2 Α
Ó
dl ‰ Adl ' ‰ RE = 9- Ρ, y tan2 Α, - y tanΑ= dy ' dy
Μo I I ' ¥ ¥
Ó
FC'®C =
à à
4Π
-¥ -¥
9- Ρ, y tan2 Α, - y tanΑ=
IΡ2
+ Hy - y 'L2
3
+ y2
tan2
ΑM
dy ' dy
2
Ÿ Resolviendo
Clear@F, Fy1, Fy, FcD
F=
9- Ρ, y tanΑ2 , - y tanΑ=
IΡ2
+ Hy -
tanΑ2 M 2
3
y1L2
+
y2
;
Fy1@y1_D = Integrate@F, y1D
:- HH- y + y1L ΡL “
ItanΑ2 y2 + Ρ2 M
y2 + tanΑ2 y2 - 2 y y1 + y12 + Ρ2
,
ItanΑ2 y H- y + y1LM “
ItanΑ2 y2 + Ρ2 M
y2 + tanΑ2 y2 - 2 y y1 + y12 + Ρ2
,
- HtanΑ y H- y + y1LL “
ItanΑ2 y2 + Ρ2 M
y2 + tanΑ2 y2 - 2 y y1 + y12 + Ρ2
>
Fy = Limit@Fy1@sD - Fy1@- sD, s ® ¥D
:-
2 tanΑ2 y
2Ρ
tanΑ2
y2
+ Ρ2
2 tanΑ y
,-
,
tanΑ2
y2
+ Ρ2
tanΑ2 y2 + Ρ2
>
Lab#1 FS-415 (Repaso Mathematica).nb
Fc@y_D = Integrate@Fy, yD
:-
2 ArcTanA
tanΑ y
Ρ
tanΑ
FullSimplifyB
E
, LogAtanΑ2 y2 + Ρ2 E, -
Μo Ic Il
LogAtanΑ2 y2 + Ρ2 E
tanΑ
>
* Limit@Fc@sD - Fc@- sD, s ® ¥DF
4Π
:-
Ic Il
Ó
FC'®C = -
tanΑ2
Ρ2
Ρ Μo
, 0, 0>
2 tanΑ2
Μo I I'
tanΑ2
Ρ2
2 tanΑ2
Ρ
Ó
`
FC'®C = - 12 Μo I I' CotΑ x
`
x=-
Μo I I'
tanΑ
Ρ
2 tanΑ2
Ρ
Μo I I' `
`
x=x
2 tanΑ
3