Estadıstica I Grado en Matemáticas, UAM, 2014-2015 Hoja 5
Estad´ıstica I
Grado en Matem´
aticas, UAM, 2014-2015
Hoja 5. Estimadores. Momentos y m´
axima verosimilitud
Sobre estimadores
1. Comprueba que si T1 y T2 son estimadores insesgados de un par´
ametro de θ, entonces, para
todo λ ∈ (0, 1), Z = λT1 + (1 − λ)T2 es estimador insesgado de θ.
2. Sean T1 y T2 dos estimadores insesgados de un par´
ametro θ que act´
uan sobre muestras de
no 2n):
tama˜
no n. Formamos el estimador U (que act´
ua sobre muestras (X1 , . . . , X2n ) de tama˜
U (X1 , . . . , X2n ) =
Comprueba que Vθ (U ) =
1
4
1
T1 (X1 , . . . , Xn ) + T2 (Xn+1 , . . . , X2n ) .
2
Vθ (T1 ) + Vθ (T2 ) .
3. Tenemos una variable X que toma los valores {−1, 0, +1} con probabilidades respectivas
−1
(2 + θ)/4
0
θ/4
+1
(2 − 2θ)/4
para θ ∈ [0, 1].
a) Consideremos el estad´ıstico N1 dado por
N1 = h1 (X1 , X2 , . . . , Xn ) ,
donde h1 (x1 , x2 , . . . , xn ) = n´
umero de {xj = −1}. Observa que N1 ∼ bin(n, (2 + θ)/4). Comprueba que el estad´ıstico
4
T 1 = N1 − 2
n
es un estimador insesgado de θ.
b) Consideremos el estad´ıstico N2 dado por
N2 = h2 (X1 , X2 , . . . , Xn ) ,
umero de {xj = 0}. Observa que N2 ∼ bin(n, θ/4). Comprueba
donde h2 (x1 , x2 , . . . , xn ) = n´
que el estad´ıstico
4
T 2 = N2
n
es un estimador insesgado de θ. ¿Cu´al de los estimadores, T1 o T2 , es m´
as eficiente?
c) Supongamos que la muestra (x1 , x2 , . . . , x100 ) tiene las siguientes frecuencias:
−1
60
0
16
1
24
¿Cu´al es la estimaci´
on de θ si usamos T1 ? ¿Y si usamos T2 ?
4. La variable X tiene una distribuci´on dada por dos par´ametros δ > 0 y λ > 0, de manera
que
X = δ + Y , donde Y ∼ exp(λ) .
Los par´
ametros δ y λ son desconocidos.
a) Sea mn = m´ın(X1 , X2 , . . . , Xn ). Comprueba que
E(mn ) = δ +
1
nλ
y que
E(X) = δ +
1
.
λ
b) Comprueba que
n
(X − mn )
n−1
T1 =
es un estimador insesgado de 1/λ y que
T2 =
n
(mn − X/n)
n−1
es un estimador insesgado de δ.
5. Sea (X1 , X2 , . . . , Xn ) muestra aleatoria de X ∼ ber(p). Consideremos los estad´ısticos
T1 = X
T2 = m´ın(X1 , X2 , . . . , Xn ).
y
Demuestra que
ECM(T1 ) =
1
p(1 − p) ,
n
ECM(T2 ) = pn − 2pn+1 + p2 .
6. Sea (X1 , X2 , . . . , Xn ) una muestra aleatoria de una variable X ∼ exp(λ). Queremos estimar
el par´
ametro θ = 1/λ.
a) Compara la eficiencia para estimar θ de los estad´ısticos insesgados
T1 = X
y
T2 = n m´ın(X1 , X2 , . . . , Xn ) .
b) Sea ahora T3 el estad´ıstico
n
Uω = ω
Xj .
j=1
donde ω es una constante, ω = 0. Observa que Uω es estimador insesgado de θ si y s´olo si
ω = 1/n. Halla ω para que el ECM sea m´ınimo.
7. Sea T un estimador de un par´ametro θ. Supongamos que Eθ (T ) = αθ y que Vθ (T ) = βθ2 ,
donde α y β son dos constantes fijas.
Halla r (en funci´
on de α y β) para que ECMθ (rT ) sea m´ınimo. Apl´ıcalo al caso en el que
X ∼ Unif[0, a] y al estimador T = m´ax(X1 , . . . , Xn ) de a.
´xima verosimilitud
M´
etodo de momentos y ma
8. Calcula los estimadores por m´axima verosimilitud para a) par´
ametro λ de X ∼ poiss(λ);
b) par´
ametro p de X ∼ bin(N, p), con N dado.
9. Calcula el estimador por m´
axima verosimilitud del par´
ametro θ ∈ [0, 1] para la variable X
que toma tres valores −1, 0, +1 con probabilidades respectivas
−1
(2 + θ)/4
0
θ/4
+1
(2 − 2θ)/4
10. Sea Θ = {0, 1} y consid´erense las dos funciones de densidad (con soporte en (0, 1))
alternativas dadas, para x ∈ (0, 1), por
√
f (x; 0) = 1 ,
f (x; 1) = 1/(2 x) .
Determina el estimador de m´axima verosimilitud del valor de θ ∈ {0, 1}.
11. Sea X1 , X2 , . . . , Xn muestra aleatoria de la funci´on de densidad que depende del par´ametro
θ ∈ Θ = (0, +∞) dada por
si x > θ ,
θ/x2 ,
f (x; θ) =
0,
si x ≤ θ .
Obt´en los estimadores de θ por m´
axima verosimilitud y por el m´etodo de momentos.
ejercicios adicionales
12. Sea X ∼ unif(a, b), con a < b. Determina los estimadores de a y b por m´
axima verosimilitud y por el m´etodo de momentos.
13. Consid´erese, para θ > 0, la funci´
on de densidad dada
⎧
⎪
si x ≤ 0 ,
⎨0,
f (x; θ) = 1 − e−θ ,
si x ∈ (0, 1) ,
⎪
⎩ −θx
θe
,
si x ≥ 1 .
Sea T el estad´ıstico:
T (X1 , . . . , Xn ) =
1
# Xj ∈ (0, 1); 1 ≤ j ≤ n ,
n
que registra la proporci´on de la muestra que est´a por debajo de 1. Y sea Y el estad´ıstico
Z(X1 , . . . , Xn ) =
1
n
Xj ,
1≤j≤n: Xj ≥1
que registra el promedio respecto de n de aquellos valores de la muestra por encima de 1.
a) Comprueba que Eθ (T ) = 1 − e−θ y que Eθ (Z) = e−θ 1 + 1/θ .
b) Comprueba que el estimador m´aximo veros´ımil M de θ viene dado impl´ıcitamente por
la ecuaci´on:
1
1
1
−
.
=Z−
T M
e −1 M
M
14. Un arquero (con nula experiencia) dispara n veces a una diana de radio θ (desconocido). En
cada lanzamiento logra darle al disco, pero en lugares completamente aleatorios cuyas distancias
al centro del disco son r1 , r2 , . . . , rn . Determina el estimador de m´axima verosimilitud del radio
del disco.
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