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9
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 1
PÁGINA 180
Las figuras geométricas surgen como una idealización de las formas y estructuras observables en la naturaleza. Una de las creaciones humanas
donde mejor se aprecia esta inspiración es la arquitectura. Gaudí imitó
las parábolas que trazan los surtidores de agua. También las circunferencias son muy frecuentes, tanto en la naturaleza como en la arquitectura.
1
Mira a tu alrededor y encuentra objetos creados por el hombre o elementos de
la naturaleza que tengan las formas geométricas siguientes:
a) Polígonos.
b) Circunferencias.
c) Parábolas.
d) Elipses.
Respuesta libre. Por ejemplo:
Parábolas: La trayectoria que sigue cualquier objeto que lanzamos y dejamos caer.
Elipses: La línea que marca la superficie del agua que hay en un vaso medio lleno.
Un corte oblicuo en una barra de chorizo.
PÁGINA 181
ANTES DE COMENZAR, RECUERDA
1
En un decágono regular (10 lados), calcula la suma de todos sus ángulos, y las
amplitudes de uno de sus ángulos y de su ángulo central.
144°
Suma total: 180° · 8 = 1 440°
1 440°
Un ángulo:
= 144°
10
360°
Ángulo central:
= 36°
10
36°
2 Determina un triángulo rectángulo y nombra sus lados en cada figura.
h
l
l
b-b'
b-b'
—
2
l/2
d/2 y d'/2
a
h
r
r
d
t
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
r
d
c/2
9
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 2
PÁGINA 182
1
ì ì ì ì
ì
ì
Di cuáles de los ángulos A, B, C, D, E y F están inscritos en la correspondiente circunferencia.
ì
B
ì
D
ì
ì
F
ì
A
ì
C
E
ì ì
ì
Están inscritos en la circunferencia los ángulos A, F y D, ya que son los únicos
que tienen el vértice sobre la circunferencia y sus lados la cortan.
2
Di, razonadamente, el valor de estos ángulos:
ì ì ì
ì
ì
ì
F
ì
FAC, ACF, AFC, FBD, BDE, DEF, BFE
A
E
B
D
C
La circunferencia está dividida en 6 arcos iguales. La medida de cada uno de ellos es
360° = 60°.
6
ì 3 · 60°
ì
ì
FAC =
= 90°
ACF = 60° = 30°
AFC = 2 · 60° = 60°
2
2
2
ì 2 · 60°
ì 3 · 60°
ì 4 · 60°
FBD =
= 60°
BDE =
= 90°
DEF =
= 120°
2
2
2
ì
BFE = 3 · 60° = 90°
2
PÁGINA 183
3
F
¿Cuál es la medida angular de cada uno de los ocho
arcos iguales en que se ha dividido la circunferencia?
ì
ì
ì
E
G
ì
Di el valor de los ángulos ABC, ACB, FDE, DEF,
ì
ì
DFG, FGD.
B
A
D
C
La medida angular de cada uno de los ocho arcos iguales en que se ha dividido la
circunferencia es 360° = 45°.
8
ì 2 · 45°
ì
ì
ABC =
= 45°
DFG = 4 · 45° = 90°
ACB = 4 · 45° = 90°
2
2
2
ì
ì
ì
FDE = 45° = 22° 30'
FGD = 3 · 45° = 67° 30' DEF = 5 · 45° = 112° 30'
2
2
2
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
9
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 3
4
Halla:
ì
a) CAD = ➀
ì
ì
b) ADB = ➁
ì
d) AVD = a
c) ADV
A
C
1
40°
100°
2
a
V
D
B
AB = 100°
CD = 40°
ì
a) CAD = ➀ = 40° = 20°
2
ì
b) ADB = ➁ = 100° = 50°
2
ì
c) ADV = 180° – ➁ = 180° – 50° = 130°
ì
d) AVD = 180° – ➀ – 130° = 180° – 20° – 130° = 30°
5
¿Cuál es la medida angular de cada uno de los diez arcos iguales? Halla el valor de los ángulos
ì ì ì ì ì
B
C
ì
CAB, ABC, BCA, CAD, ADC, ACD.
A
D
La medida angular de cada uno de los diez arcos iguales en que se ha dividido la circunferencia es 360° = 36°.
10
ì
ì
ì
CAB = 36° = 18°
CAD = 3 · 36° = 54°
ABC = 180° = 90°
2
2
2
ì
ì
ì
ADC = 180° = 90°
BCA = 4 · 36° = 72°
ACD = 2 · 36° = 36°
2
2
2
6
Halla:
ì
a) CBD = ➀
ì
ì
b) ADB = ➁
ì
d) AVB = a
c) BVD
A
C
a
100°
V
40°
2
1
B
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
D
AB = 100°
CD = 40°
9
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 4
ì
ì
a) CBD = ➀ = 40° = 20°
2
b) ADB = ➁ = 100° = 50°
2
ì
c) BVD = 180° – ➀ – ➁ = 180° – 20° – 50° = 110°
ì
d) AVB = a = 180° – 110° = 70°
PÁGINA 185
1
a) Midiendo sobre el plano del problema resuelto de la página anterior, di cuáles
son las distancias reales entre A y C y entre A y F.
b) Si la distancia real entre dos lugares de este mismo plano fuera de 12 km, ¿a qué
distancia estarían en el plano?
—
—
a) En el plano, midiendo, obtenemos AC = 3 cm, AF = 8,9 cm. Por tanto, en la
realidad la distancia de A a C es 3 cm Ò 200 000 = 600 000 cm = 6 km, y la
distancia de A a F es 8,9 cm Ò 200 000 = 17,8 km.
b) 12 km en la realidad corresponden a 12 km = 1 200 000 cm = 6 cm.
200 000
200 000
2
Construye un plano de tu habitación a escala 1:100.
Respuesta individual.
3
Descompón en triángulos las figuras siguientes, de manera que, para probar si
son o no semejantes, reduzcamos el problema a la semajanza de triángulos:
1
2'
2
3
3'
1'
PÁGINA 187
1
Prueba que los polígonos de la actividad 3 de la página 185 son semejantes.
Se comprueba que 1 y 1' tienen dos ángulos respectivamente iguales.
Análogamente, en 2 y 2' y en 3 y 3' .
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
9
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 5
2
Repite el razonamiento del ejercicio resuelto 2. Si el lado del pentágono mide 12 cm,
¿cuánto mide su diagonal?
A
A
1
A
1'
12
D
2'
d
E
2
B
B
C
d
12
D
12
E
d – 12
C
d = 12
8 d 2 – 12d = 144 8 d = 6 + 6√5 = 19,4 cm
12 d – 12
PÁGINA 188
1
En los siguientes triángulos rectángulos, se dan dos catetos y se pide la hipotenusa (si su medida no es exacta, dala con una cifra decimal):
a) 37 cm y 45 cm
b) 16 cm y 30 cm
a = hipotenusa
a) a = √372 + 452 = √3 394 ≈ 58,3 cm
2
b) a = √162 + 302 = √1 156 = 34 cm
En los siguientes triángulos rectángulos, se da la hipotenusa y un cateto, y se pide
el otro cateto (exactamente o con una cifra decimal):
a) 45 cm y 37 cm
b) 39 cm y 15 cm
c = cateto que falta
a) c = √452 – 372 = √656 ≈ 25,6 cm
b) c = √392 – 152 = √1 296 = 36 cm
PÁGINA 189
De un rombo conocemos una diagonal, 24 cm, y el lado, 13 cm. Halla la otra diagonal.
x = √132 – 122 = √25 = 5 cm
La otra diagonal mide 2 · 5 = 10 cm.
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
13 cm
12 cm
3
24 cm
x
9
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 6
4
Una circunferencia tiene un radio de 15 cm. Una recta, r, corta a la circunferencia en dos puntos, A y B. La distancia entre A y B es de 18 cm. ¿Cuál es la
distancia del centro de la circunferencia a la recta?
La distancia del centro de la circunferencia a
la recta es 12 cm.
d
18 cm
d = √152 – 92 = √144 = 12 cm
9 cm
A
15 cm
B
5
Averigua cómo son los triángulos de lados:
a) 7 cm, 8 cm, 11 cm
b) 11 cm, 17 cm, 15 cm
c) 34 m, 16 m, 30 m
d) 65 m, 72 m, 97 m
a) 72 + 82 = 113; 112 = 121
Como 112 > 72 + 82, entonces el triángulo es obtusángulo.
b) 112 + 152 = 346; 172 = 289
Como 172 < 112 + 152, entonces el triángulo es acutángulo.
c) 162 + 302 = 1 156; 342 = 1 156
Como 342 = 162 + 302, entonces el triángulo es rectángulo.
d) 652 + 722 = 9 409; 972 = 9 409
Como 972 = 652 + 722, entonces el triángulo es rectángulo.
6
Halla el radio de la circunferencia sabiendo que:
—
OP = 39 cm
—
PT = 36 cm
T
P
O
r = √392 – 362 = √225 = 15 cm
7
—
r1 = 15 cm, r2 = 6 cm, O1O2 = 41 cm
Halla la longitud del segmento T1T2.
T1
r1
O1
T2
r2
O2
T1
9 cm
O1
T2
r2
x
41 cm
O2
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
La longitud del segmento T1T2 es igual que x:
x = √412 – 92 = √1 600 = 40 cm
9
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 7
PÁGINA 190
1
Averigua si el triángulo de lados 29 cm, 35 cm y 48 cm es rectángulo, acutángulo u obtusángulo. Halla la longitud de la altura sobre el lado mayor.
292 + 352 = 2 066; 482 = 2 304
Como 482 > 292 + 352, el triángulo es obtusángulo.
29 cm
35 cm
h
x
48 – x
48 cm
Aplicamos el teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos:
°
x 2 + h2 = 292
2
2
2
2
¢ Restando: x – (48 – x) = 29 – 35
2
2
2
(48 – x) + h = 35 £
Se resuelve la ecuación y se obtiene x = 20 cm.
Calculamos h:
202 + h2 = 292 8 h = 21 cm
La altura sobre el lado mayor mide 21 cm.
2
Los lados de un trapecio miden 13 m, 20 m, 19 m y 40 m, respectivamente. Los
dos últimos son paralelos. Halla la altura del trapecio.
Aplicamos el teorema de Pitágoras en
los dos triángulos rectángulos:
19 m
13 m
a
a
x
20 m
21 – x
40 m
°
a 2 + x 2 = 132
¢
2
2
2
a + (21 – x) = 20 £
Restando: x 2 – (21 – x)2 = 132 – 202
Se resuelve la ecuación y se obtiene x = 5 m.
Ahora se obtiene el valor de a: a 2 + 52 = 132 8 a = 12 m
La altura del trapecio mide 12 m.
PÁGINA 191
1
Define como lugar geométrico una circunferencia de centro C y radio 8 cm.
La circunferencia de centro C y radio 8 cm es el lugar geométrico de los puntos P
—
cuya distancia a C es 8 cm: CP = 8 cm
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
9
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 8
2
Dadas dos rectas paralelas, r y s, ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos que
equidistan de ambas? Dibújalo.
r
d/2
t
d
s
La recta t es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas r y s.
A la recta t se la llama paralela media a r y s
3
Dibuja en negro una recta r. Dibuja en rojo el lugar geométrico de los puntos
cuya distancia a r es 1 cm. (ATENCIÓN: son dos rectas).
r
1 cm
1 cm
4
Dibuja una semicircunferencia de diámetro AB. Defínela como lugar geométrico (arco capaz de 90°).
90°
A
B
La semicircunferencia de diámetro AB (el arco rojo) es el lugar geométrico de los
puntos desde los cuales se ve el segmento AB bajo un ángulo de 90°. Se llama arco
capaz de 90° para el segmento AB.
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
9
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 9
PÁGINA 193
1
Toma una trama como la del ejercicio resuelto 1 (puedes sacarla del CD-ROM) y dibuja en ella:
a) Dos elipses con d = 14 y d = 24. b) Dos hipérbolas con d = 8 y d = 4.
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
F
F'
F
F'
9
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 10
2
Toma una trama como la del ejercicio resuelto 2 (puedes sacarla del CD-ROM) y dibuja en ella:
a) Una parábola de foco F y directriz d2.
b) Una parábola de foco F y direcctriz d3.
d2
d3
F
PÁGINA 194
1
Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 10 m, 17 m y 21 m.
Aplicamos la fórmula de Herón:
Perímetro = p = 10 + 17 + 21 = 48 m; s = 48 = 24 m
2
A = √24 · (24 – 10) · (24 – 17) · (24 – 21) = √7 056 = 84 m2
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
9
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 11
2
Halla el área del hexágono regular en el que cada uno de sus lados mide 10 cm.
Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar la apotema.
10 cm
ap = √102 – 52 = √75 ≈ 8,66 cm
3
ap
5c
m
10 cm
A = 10 · 6 · 8,66 = 259,8 cm2
2
Halla el área de un rombo de lado 3 dm, sabiendo que una diagonal mide 46 cm.
Lado = 3 dm = 30 cm
23 cm
30 cm
x = √302 – 232 = √371 ≈ 19,26 cm
La otra diagonal mide 2 · 19,26 = 38,52 cm
A = 46 · 38,52 = 885,96 cm2
2
x
4
Dos de los lados de un triángulo isósceles miden 30 cm y 13 cm. Halla su área.
30 cm
Los lados iguales del triángulo isósceles miden 30 cm, y el
otro lado, 10 cm.
No puede ser de otra forma, porque si los lados iguales miden 10 cm el otro no podría medir 30 cm.
(10 + 10 = 20 < 30).
30 cm
10 cm
Aplicamos la fórmula de Herón:
p = 30 · 2 + 10 = 70 cm
s = 35 cm
A = √35(35 – 30)2 · (35 – 10) ≈ 147,9 cm2
PÁGINA 195
1
a)
Halla el área de la parte coloreada en las figuras siguientes:
10 cm
b)
c)
6 cm
120°
4c
m
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
m
6c
d)
9
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 12
a)
1 cm
ACÍRCULO GRANDE = π ·
52
≈ 78,54
cm2
ACÍRCULO PEQUEÑO = π · 12 ≈ 3,14 cm2
3 cm
AELIPSE = π · 5 · 3 ≈ 47,12 cm2
5 cm
APARTE COLOREADA = 78,54 – 2 · 3,14 – 47,12 = 25,14 cm2
2
2
b) APARTE COLOREADA = π · 6 · 120° – π · 4 · 120° ≈ 20,94 cm2
360°
360°
c) APARTE COLOREADA = 2 · 6 · 9 = 36 u2
3
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
3u
9u
d) ATRIÁNGULO = 3 · 9 = 13,5 u2
2
ASECTOR PARÁBOLA = 36 u2 (según el ejercicio anterior)
A
APARTE COLOREADA = SECTOR PARÁBOLA – ATRIÁNGULO =
2
= 36 – 13,5 = 4,5 u2
2