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Continuidad absoluta
(Anexo p. 34)
Una función real valuada x(·) definida sobre [a, b] es absolutamente continua sobre [a, b] si dado
ε > 0 existe δ > 0 tal que
n
X
|x(t0i ) − x(ti )| < ε
i=1
para cualquier colección finita
{(t0i , ti )}
de intervalos abiertos disjuntos tales que
n
X
i=1
|t0i − ti | < δ.
Una función absolutamente continua es continua, y además verifica las siguientes propiedades
(Royden, 1968):
• Si x(·) es absolutamente continua sobre [a, b] entonces es de variación acotada sobre [a, b].
• Si x(·) es absolutamente continua tiene derivada en casi todo punto.
• Si x(·) es absolutamente continua sobre [a, b] y x0 (t) = 0 en casi todo punto, entonces x(·) es
constante.
• Una función x(·) es una integral indefinida si y sólo si es absolutamente continua.
• Cada función absolutamente continua es la integral indefinida de su derivada
Referencias
Royden, H. L. (1968) Real Analysis, 2da. Ed., Macmillan, Londres.
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