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CURSO COMPLEMENTARIO JUNIO 2015
GRADO 8°
DOCENTE: Carolina Tejero – Ricardo Castillo
ASIGNATURA: Matemáticas
PERIODO(S): I y II
Propósito Explicar el procedimiento utilizado para resolver una situación problémica donde se
involucren las operaciones con expresiones algebraicas y los diferentes casos de factorización.
Temáticas a reforzar:
I periodo
Pensamiento: Transformar expresiones matemáticas en expresiones equivalentes
haciendo uso de los casos de factorización.
-
Repaso números reales
Algebra (operaciones básicas)
Factorización
Semejanza de triángulos.
Resolución de problemas.
II período
Pensamiento: Utilizar los casos de factorización para encontrar la longitud y el área
de algunos polígonos.
-
Factorización
Áreas y perímetros.
Resolución de problemas.
GUIA DE REFUERZO DE ALGEBRA
I y II PERIODO
El algebra es una rama de las matemáticas que permite
representar situaciones reales de manera simbólica. Para ello
se utilizan números y letras las cuales simbolizan los valores
desconocidos en una expresión. Por ejemplo, en la expresión”
el doble de la suma de dos números”, se desconocen cuáles
son los dos números; solo se sabe que su suma se multiplica
por dos, puesto que se dice que es el doble. Si los números
desconocidos, se representan con la letra x,y,z, entonces, la
expresión algebraica que representa el enunciado es: 2(x+z). Expresiones como 2(x+z) se
denominan expresiones algebraicas. En una expresión algebraica se indican números
desconocidos y conocidos. A los números conocidos se le llaman constantes y a los desconocidos
cuyo valor puede cambiar se le llaman variables. Las expresiones algebraicas que no presentan
ninguna variable bajo el signo radical se llaman expresiones racionales. Y las que presentan
alguna variable bajo el signo radical se llaman expresiones irracionales.
ENSEÑANZAS - EJEMPLOS
OPERACIONES BASICAS CON POLINÓMIOS
La suma y resta combinada de varios polinomios, se tiene en cuenta la eliminación de los
signos de agrupación y luego la reducción de términos semejantes. También para sumar o
restar dos o más polinomios se puede realizar la operación en forma vertical, para ello,
primero se ordenan los polinomios y luego se escriben uno debajo del otro, de tal forma que
los términos semejantes queden en la misma columna.
Ejemplo:
La multiplicación de dos polinomios se efectúa multiplicando todos y cada uno de los términos
de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro y sumando todos los productos
obtenidos, reduciendo términos semejantes, el resultado de la suma de estos productos
generan un nuevo polinomio, de grado la suma del grado de ambos polinomios. Generalmente
se ordenan ambos polinomios en orden creciente o decreciente.
Otra forma es: Multiplicar cada uno de los términos y colocarlos debajo de su respectivo semejante y al final
operarlos:
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRÁICA
Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los
términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.
POLINOMIOS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
En algunas operaciones entre polinomios aparecen simultáneamente sumas, restas y
multiplicaciones, con los signos de agrupación. En este caso, se realizan los siguientes pasos:
1. Se resuelven las operaciones indicadas entre los paréntesis. 2. Luego se eliminan los signos
de agrupación. 3. Por último se reducen los términos semejantes.
ACTIVIDADES
12. Resuelve los siguientes productos:
ENSEÑANZAS - EJEMPLOS

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es
preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la
primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el
doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo,
más el cubo del segundo término.

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad
menos el cuadrado de la segunda.
CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES O BINOMIO CUADRADO
Demostración:
Regla: El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la
primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Aplica la regla del BINOMIO AL CUADRADO a los siguientes EJEMPLOS:
1. (x + 5)
2
=
=(x)
2
+ 2 ( x )( 5) + (5)
= x
2
+ 10 x + 25
2.(x + 3)
=( x)
2
2
2
+ 2 ( x )(3) + (3)
2
2
=x +6x+9
CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
Demostración:
Regla: El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la
primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Aplicar la regla del CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES a los siguientes EJEMPLOS:
1. (2x − 3)
2
2
= (2x) − 2 (2x) (3) + (3)
2
2
= 4x − 12 x + 9
2. 2(2x - 5)
= (2x)
2
2
- 2 ( 2x )(5) +( 5)
2
= 4x2 - 20 x + 25
CUBO DE UN BINOMIO
Regla: Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del
primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo
término.
Signos: cuando el signo es positivo, todos los signos son positivos; cuando el signo es negativo los signos van
intercalados, empezando con +( como se ve a continuación )
a) signo positivo:
3
b) signo negativo: (a - b)
= a3 – 3 a2 b + 3 a b2 – b3
Aplicar la regla del CUBO DE UN BINOMIO a los siguientes EJEMPLOS:
1.
3
3
2
2
(x + 3) = x + 3 ( x ) (3) + 3 (x)( 3) + (3)
2. = x
3
3. 2. (2x - 3)
4. = 8x
2
+ 27 x + 27
3
= (2x)
+ 9 x
3
- 36 x
2
3
- 3 · (2x)
2
3
(3) + 3 (2x)( 3)
2
– (3)
3
+ 54 x - 27
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
Regla: El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos
el cuadrado de la segunda
Demostración:
ACTIVIDADES
A) Desarrollar en el cuaderno los siguientes ejercicios aplicando las reglas respectivas de los productos notables vistos
anteriormente ( binomio al cuadrado y binomio al cubo) :
2
1. (x + 5)
2
2. (7a + b)
2
3 2
3. (4ab + 6xy )
4
2 2
4. (x + y )
2
5. (8 - a)
4
2 2
6. (3x -5y )
5
3 2
7.(x - 4x )
.
a+1
a-2 2
8 (x - 4x )
3
9. (x + 4)
3
10 (5x + 2y)
2
3
11. (2x y + 4m)
3
12. (1 - 4y)
3
4 3
13. (3a - 7xy )
4
4 3
14. (2x - 8y )
B) Aplica la regla del producto de la suma por la diferencia de dos cantidades a los siguientes ejercicios en el cuaderno:
1. (5a + 10b)(5a - 10b)=
2
3
2
3
2. ( 7x - 12y )(7x + 12y )=
3. (x-13)(x+13)=
4. (9x – 2) (9x + 2)=
5. (3y +2/7 x)(3y -2/7 x)=
PROBLEMAS DE RECUPERACIÓN
Los siguientes problemas deben ser resueltos en el cuaderno con los procedimientos
respectivos y entregados a más tardar el próximo 1° de junio a las 7: 00 am.

Propósito: Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones
algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.
Intenciones didácticas:
Que los alumnos apliquen la multiplicación de monomios y polinomios en la resolución de problemas.
Situación 1.
1. Analicen la siguiente figura; luego respondan lo que se pide:
12
4
2x
a) ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo blanco?
b) ¿Cuál es el perímetro y el área del rectángulo blanco?
c) ¿Cuál es el perímetro y el área de la parte sombreada?

Propósito: Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones
algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.
Intenciones didácticas:
Que los alumnos realicen multiplicaciones de monomios y polinomio al resolver problemas.
Situación 2.
Se está armando una plataforma con piezas de madera como las siguientes:
x
x
x
4
Plataforma
De acuerdo con las dimensiones que se indican en los modelos:
a) ¿Cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de la plataforma?
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la plataforma?
c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de la plataforma?
d) Si x es igual a 50 cm, ¿cuál es el perímetro y área de la plataforma?
e) Resolver los siguientes ejercicios:
(13x)(12 y) 
6m(15m  3n) 
4a(7b  2a) 

 2 x 2 y 3 (3x 2 y  5x  6 y  2) 
Propósito: Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones
algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.
Intenciones didácticas:
Que los alumnos realicen divisiones de un polinomio entre un monomio al resolver problemas.
Situación 3.
a) ¿Cuánto mide el largo del siguiente rectángulo?
A = 6a2 + 15a
3a
?
b) Resolver los siguientes ejercicios:
18a 2  6ab

3a
64 x 2 y  12 xy

2 xy

Propósito: Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones
algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.
Intenciones didácticas: Que los alumnos obtengan la regla para calcular el cuadrado de la suma de
dos números.
Consigna. Con las siguientes figuras (Fig. A, Fig. B y Fig. C) se pueden formar cuadrados cada vez
más grandes, ver por ejemplo el cuadrado 1, el cuadrado 2 y el cuadrado 3. Con base en esta
información completen la tabla que aparece enseguida.
Situación 4
Fig. A
Fig. B
1
Fig. C
1
x
x
1
x
Cuadrado 1
Cuadrado 2
Cuadrado 3
Núm. de
cuadrado
1
2
3
4
5
6
A
Medida de
un lado
x+1
Perímetro
4(x+1)=
x+a
Área
(x+1)2 =(x+1)(x+1)=x2+x+x+1=x2+2x+1
(x + a)2 = (x + a)(x + a) =
Para calcular el área de cada cuadrado, en todos los casos se elevó al cuadrado una suma de dos
números y en todos los casos el resultado final, después de simplificar términos semejantes, son tres
términos. ¿Cómo se obtienen esos tres términos sin hacer la multiplicación?___________________
______________________________________________________________
Consultatr el caso de factorización trinomio cuadrado perfecto.

Propósito: Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones
algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.
Intenciones didácticas: Que los alumnos obtengan la regla para calcular el cuadrado de la
diferencia de dos números.
Situación 5
a) De un cuadrado cuyo lado mide x, (Fig. A), se recortan algunas partes y queda un cuadrado
más pequeño, como se muestra en la figura B. ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la
Fig. B?
Fig. A
Fig. B
5
x
x
x
5
x
b) resolver los siguientes ejercicios:
a) (x + 9)2 =
b) (x – 10)2 =
c) (2x +y)2=
d) (x + m)(x + m) =
e) (x - 6)(x -6 ) =
EVALUACION DE LAS ACTIVIDADES
1. Al simplificar los términos semejantes en el polinomio 8abc 2 + 3ab2c + (-8abc2) queda: No
olvide los procedimientos.
a. 3ab 2c
b. 3abc2
c. 19 abc2
d. 19 ab2c
2. De
7
1
1
x  3  x queda: no olvidar procedimiento.
2
2
a. 11x
b.10 +x2
c.10 + x
d. 11x2
3. Elimine los paréntesis y combine los términos semejantes.
7x-3(x+y) – (x+y)
a. 10x + 4y
b. 3x + 4y
c. 3x – 4y
d. -3x - 4y
4. Elimine los paréntesis y combine los términos semejantes.
3[3(x+2) – 10] + [5+2 (5+x)]
a. 2x+2
b. 2x-2
c. 11x+3
d. 11x-3
Un matemático empedernido decidió hacer un mapa de un terreno en el que
hay cuatro fincas que se comunican por caminos de herradura.
5. Los factores que representan la distancia que separan las fincas El sol y La luna son:
a. (x + 3)(x + 3)
b. (x - 4)(x + 4)
c. (x - 5)(x + 3)
d. (3x + 5)(3x + 5)
6. Los factores que determinan la distancia entre las fincas La montaña y Las estrellas son:
a. (x - 5)(x + 3)
b. (3x + 3)(x + 3)
c. (3x + 5)(3x + 5)
d. (x - 4)(x + 4)
7. Los factores que determinan el perímetro del hexágono son:
a. (x - 12)(x - 2)
b. (x + 12)(x - 2)
c. (x + 12)(x + 2)
d. (x + 12)(-x - 2)
8. El perímetro del Triángulo esta determinado por los factores:
NOTA:
RESUELVE LAS ACTIVIDADES DE FORMA ORGANIZADA
PREPARADO PARA LA SUSTENTACIÓN.
EN EL CUADERNO Y VEN
NUNCA CONSIDERES EL ESTUDIO COMO UNA
OBLIGACIÓN SINO COMO UNA OPORTUNIDAD DE
ENTRAR EN EL BELLO Y MARAVILLOSO MUNDO DEL
SABER.
Albert Einstein
Att:
Andrea Carolina Tejero Ruiz.
Lic. En Matemáticas.
Colegio CAFAM Los Naranjos.