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3.
Plano y
espacio
Matemáticas 3º ESO
1. Poliedros
2. Pirámides
3. Sólidos de revolución
4. La esfera y la Tierra
5. Figuras planas
6. Traslaciones, giros y
simetrías
7. Representar e imaginar
62
Plano y espacio
1. Poliedros

DIAMANTES Y DELTAEDROS
Un triángulo equilátero es un diamante1. Dos triángulos equiláteros unidos por un lado forman un
diamante2. Tres triángulos equiláteros unidos por los lados forman un diamante?3.
a)
Dibuja todos los diamantes
b)
Añadiendo unas pestañas a un diamante apropiado podrás construir un tetraedro. ¿Con qué
diamantes4 puedes construir tetraedros?
c)
Dibuja todos los diamantes5 que puedas. ¿Cuántos hay?
d)
Observa que utilizando algunos diamantes como recortables es posible obtener sólidos cuyas
caras son triángulos equiláteros. Estos sólidos se llaman DELTAEDROS. Por ejemplo, el
tetraedro es un deltaedro4. Dibuja algunos diamantes6 con los que puedas construir un
deltaedro6.
e)
Se puede construir un deltaedro a partir de un diamante5? ¿Y a partir de un número impar de
triángulos equiláteros? ¿Por qué?
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Matemáticas 3º ESO
f)
Dibuja algunos diamantes8 con los que puedas construir un deltaedro8 u octaedro. ¿Qué
diferencias observas entre un deltaedro6 y un octaedro?
g)
Construye deltaedros de 10, 12, 14, 16, 18 o 20 caras. ¿Son todos ellos poliedros regulares?
¿Hay algunos cóncavos o son todos convexos?

HEXAMINÓS Y CUBOS
Las figuras planas compuestas por seis cuadrados unidos por los lados se llaman hexaminós.
Averigua qué hexaminós se corresponden con el desarrollo plano de un cubo.
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Plano y espacio

POLIEDROS REGULARES
Un poliedro es regular si sus caras son todas iguales y están dispuestas siempre de la misma forma,
es decir, en cada vértice confluye el mismo número de aristas y caras y éstas están ordenadas
siempre de la misma forma. Los únicos poliedros regulares son: el tetraedro, el octaedro y el
icosaedro (los tres son deltaedros), el cubo (que tiene 6 caras cuadradas) y el dodecaedro, que tiene
12 caras pentágonos regulares, y puede obtenerse a partir del siguiente recortable:
a) Añade las pestañas necesarias y construye un dodecaedro a partir de este recortable.
b) Elige uno de los hexaminós que dan origen al cubo, añade las pestañas necesarias y constrúyelo

POLIEDROS SEMIRREGULARES
1) En las siguientes figuras tienes los desarrollos planos de diversos cuerpos geométricos. Dibújalos
en cartulina, añade las pestañas necesarias, recórtalos y móntalos.
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Matemáticas 3º ESO
2) Los poliedros obtenidos se llaman respectivamente tetraedro truncado, rombododecaedro, cubooctatedro y sólido de Kelvin. Todos ellos son poliedros semirregulares. Explica las diferencias de
estos sólidos con los poliedros regulares.
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Plano y espacio

FÓRMULA DE EULER
En cada uno de los poliedros que has construido en las actividades anteriores (poliedros regulares,
deltaedros y poliedros semirregulares) cuenta el número de caras, vértices y aristas. Como lo haces?.
Completa la siguiente tabla:
POLIEDRO
C=núm. de caras V=núm. de vértices A=núm. de aristas
CUBO
TETRAEDRO
OCTAEDRO
ICOSAEDRO
DODECÀEDRO
TETRAEDRO TRUNCADO
CUBO OCTAEDRO
SÓLIDO DE KELVIN
ROMBODODECAEDRO
Observa la tabla y busca una relación entre los tres números C, V y A.
La relación que has encontrado se llama FÓRMULA DE EULER. ¿Será cierta la fórmula de Euler
para otros poliedros no regulares?. Mira a ver si se cumple en el deltaedro
deltaedros de 8, 10, 12, 14, 16 y 20 caras. Prueba también con algunos poliedros cóncavos. Por
ejemplo, averigua si el siguiente poliedro “marco de ventana” cumple o no la fórmula de Euler:
C + V = A + 2
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Matemáticas 3º ESO
2. Pirámides

PIRÁMIDES
La pirámide es un poliedro limitado por un ángulo poliedro y un plano que corta todas sus
aristas en puntos distintos del vértice.
La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base.
Las pirámides se pueden clasificar así:



Pirámides rectas y oblicuas.
Pirámides regulares e irregulares.
Pirámides de base triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.
En una pirámide regular, llamamos apotema a la altura de una cualquiera de sus caras
laterales. La apotema de la pirámide forma, junto con la apotema de la base y la altura de la
pirámide, un triángulo rectángulo.
1) Utiliza las plantillas de polígonos troquelados y gomas elásticas para construir distintos tipos de
pirámides.
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Plano y espacio
2) En la siguiente figura tienes el desarrollo plano de una pirámide de base pentagonal. Sobre una
cartulina reproduce este desarrollo plano, recórtalo y móntalo. Calcula la altura de esta pirámide,
utilizando el teorema de Pitágoras.
3) Una pirámide pentagonal regular ¿es un poliedro regular?. ¿Por qué?.

PIRÁMIDE DE KEOPS
La pirámide de Keops tiene una base cuadrangular cuyo lado mide 227 m y cuya altura es de 138 m.
a) ¿Cuántos metros mide la recta que une su vértice con el punto medio de cada lado de la base?.
b) ¿Cuánto mide la arista de la pirámide?.

TRONCO DE PIRÁMIDE
Una figura geométrica derivada de la pirámide es el tronco de pirámide, que resulta ser un
trozo de aquella comprendido entre la base y un plano que la corta. Supondremos que el
plano de corte es paralelo a la base de la pirámide.
Dibuja el desarrollo de un tronco de pirámide cuadrada, regular, cuyas aristas midan: las de la base
mayor 4 cm, las de la base menor 2 cm y las laterales 5 cm. Halla su altura.
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Matemáticas 3º ESO

DEL TRONCO A LA PIRÁMIDE
Recuerda que dos polígonos son semejantes si tienen sus ángulos homólogos iguales y sus
lados homólogos proporcionales.
Ángulos (o lados) homólogos son los que ocupan la misma posición en los dos polígonos.
La razón de semejanza es el cociente entre las longitudes de los lados homólogos.
AB
AC
BC


r
A' B' A' C' B' C'
Si conocemos las dimensiones de un tronco de pirámide, ¿podemos determinar las
dimensiones de la pirámide de la que procede?. Observa en la figura adjunta que, por
semejanza de los triángulos AMN y ABC, se cumple:
AM MN

AB
BC
y
AN MN

AC BC
lo que permite calcular la altura y la arista lateral de la pirámide si se conocen la altura, la
arista lateral y las aristas básicas del tronco de pirámide. Para determinar los segmentos
MN y BC se puede usar el teorema de Pitágoras o bien propiedades del polígono de que se
trate.
Una pirámide cuadrangular regular tiene de arista básica 8 cm y de arista lateral 9 cm. Trazamos un
plano paralelo a la base a 2 cm de ella, obteniendo así un tronco de pirámide. ¿Cuál es la arista
lateral de este tronco de pirámide?.
Ten en cuenta que el lado de un hexágono regular coincide con el radio de su circunferencia
circunscrita.
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Plano y espacio
3. Sólidos de revolución

GENERANDO SÓLIDOS
Existen sólidos que no son poliedros. En efecto, un bote, un embudo, una pelota o un
huevo, son cuerpos no poliédricos, ya que carecen de caras poligonales. Estos objetos
pertenecen a una nueva familia, la de los sólidos de revolución. Sólidos de revolución son
los que se obtienen al hacer girar una figura plana alrededor de un eje.
El cilindro como rotación de El cono como rotación de
un rectángulo alrededor de un triángulo rectángulo
un lado.
alrededor de un cateto.
La esfera como rotación de
un semicírculo alrededor de
su diámetro.
Los segmentos AB que generan las respectivas superficies del cilindro y el cono reciben el
nombre de generatriz, siendo en el caso del cilindro equivalente a su altura. Los tres sólidos
de revolución anteriores (cilindro, cono y esfera) son los más conocidos, pero no son los
únicos. Los alfareros utilizan el torno para obtener bellas piezas que no son más que sólidos
de revolución.
1) Recorta piezas de cartón con formas de rectángulo, triángulo isósceles y círculo, pasando
después a perforarlas oportunamente como muestran las siguientes figuras.
Utiliza un hilo elástico a fin de crear un eje de giro en cada una de ellas y observarás que, al
tomar los extremos y girar estos con gran rapidez, producirás con dichas piezas el efecto óptico
de los sólidos de revolución. Identifica cada uno de ellos.
2) Para las diferentes piezas que observas a continuación dibuja los cuerpos de revolución que se
obtienen al someterlas a un giro alrededor del eje indicado.
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Matemáticas 3º ESO
3) Dibuja la figura que genera, al girar, cada uno de los cuerpos de revolución siguientes:
4) Dibuja el cuerpo de revolución que se engendra en cada uno de los siguientes casos:

CILINDROS
En la vida diaria nos resultan familiares objetos como un vaso, un bote, un rodillo o una
tubería; todos ellos son ejemplos de cilindros.
Un rectángulo genera un cilindro de revolución, también llamado cilindro recto, por tener su
generatriz perpendicular a la base; no obstante, al igual que en prismas, también existen
cilindros oblicuos como el de la siguiente figura. Este se obtiene al cortar un cilindro de
revolución por dos planos paralelos no perpendiculares a sus generatrices.
Cilindro recto de altura h y
base circular de radio r
Cilindro oblicuo
Por ejemplo, los envases del tipo “tetrabrick” se construyen a partir del cilindro.
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Plano y espacio
1) Dibuja los cilindros que se generan al girar el rectángulo ABCD:
a) alrededor de CD;
b) alrededor de BD.
2) Una caja con tapa tiene forma de cilindro recto, cuya generatriz mide 10 cm y el radio de la base
5 cm. Averigua si puede caber en ella un lápiz de 14 cm de longitud.

DESARROLLO PLANO DEL CILINDRO
Haciendo un corte al cilindro recto a lo largo de una generatriz y desplegando sobre el plano,
observamos cómo su desarrollo plano está compuesto por un rectángulo y dos círculos iguales a las
bases.
Esta figura es el desarrollo plano de un cilindro recto, de altura 15 cm y diámetro de la base 10 cm.
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que aparece en el desarrollo plano?.
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Matemáticas 3º ESO

TUBO CILÍNDRICO
Se ha construido un tubo cilíndrico soldando, por los lados más cortos, un rectángulo de chapa de 20
cm de largo por 15 cm de ancho. ¿Cuál es el diámetro del tubo?.

CONOS
Un triángulo isósceles, en su rotación alrededor de su altura, genera un cuerpo geométrico
denominado cono recto o cono de revolución.
La idea de cono es sugerida por objetos como un embudo o un cucurucho.
Al igual que en los prismas, pirámides y cilindros, también existen conos oblicuos, los cuales
se obtienen al cortar un cono recto por un plano no perpendicular a su eje de rotación, como
puedes ver en la siguiente figura.
Cono recto de altura h y
base circular de radio r
Cono oblicuo
1) Dibuja los conos que se obtienen al girar el triángulo rectángulo ABC:
a) alrededor del lado AC;
b) alrededor del lado BC.
2) Un cono recto tiene una generatriz de 15 cm y un diámetro de la base de 6 cm. ¿Cuál es su
altura?.
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Plano y espacio

UN CONO
Halla la generatriz de un cono de revolución de 12 cm de altura y cuya base tiene un radio de 5 cm.

DESARROLLO PLANO DE UN CONO
Haciendo un corte al cono recto a lo largo de una generatriz y desplegando sobre el plano,
observamos cómo su desarrollo plano lo componen un sector circular de radio la generatriz
del cono, junto con un círculo igual a la base del cono.
1) ¿Qué ángulo tiene el sector circular que se ha de cortar para construir en cartulina un cono de 4
cm de radio de la base y 9 cm de altura?.
2) Construye un círculo de 5 cm de radio. Recorta un sector circular de 120º para formar la
superficie lateral de un cono. ¿Cuánto mide su generatriz?. ¿Cuál es la longitud de la base?.
¿Cuál es el radio de la base?.
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
TRONCO DE CONO
En la industria encontramos con frecuencia piezas de forma cónica, si bien, puede
suceder que éstas no sean un cono propiamente dicho, sino una parte de él; es el caso
de algún tipo de vaso, tapones de corcho, etc.
Si nos imaginamos un cono cortado por un determinado plano obtenemos otra cuerpo
geométrico denominado tronco de cono. Si el cono es recto y el plano de corte es
paralelo a la base, obtenemos un tronco de cono recto. En otro caso, obtenemos un
tronco de cono oblicuo, como puedes ver en la siguiente figura.
Tronco de cono recto
Tronco de cono oblicuo
Para obtener el desarrollo plano de un tronco de cono recto haremos un corte a dicho tronco
a lo largo de la generatriz y desplegaremos la figura sobre el plano. El resultado se muestra
en la siguiente figura:
1) Sean R y r los radios de las bases de un tronco de cono recto, cuya altura es h y cuya generatriz
es g. ¿Qué relación existe entre R, r, h y g?.
2) Los radios de las bases de un tronco de cono de revolución son 80 cm y 40 cm, y la altura 30 cm.
Calcula la generatriz de dicho tronco de cono. Calcula también la altura del cono del cual procede
dicho tronco de cono. Dibuja a escala su desarrollo plano.
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Plano y espacio
4. La esfera y la Tierra

LA ESFERA
Objetos como una pelota, una canica o un globo aerostático, nos recuerdan el cuerpo de
revolución obtenido por rotación de un semicírculo alrededor del diámetro: la esfera.
Recipientes de uso industrial también adoptan la forma esférica.
La propiedad que define la esfera es la de que todos sus puntos están a igual distancia de
un punto interior llamado centro; dicha distancia se llama radio de la esfera.
Como en la circunferencia, podemos hablar de diámetros, de rectas secantes, de cuerdas,
de rectas tangentes, que tocan a la esfera en un solo punto.
Una propiedad interesante de la esfera es que la recta tangente a la esfera desde un punto
exterior es perpendicular al radio de la esfera, como puedes ver en la figura adjunta.
Desde un punto A exterior a una esfera de 24 cm de diámetro, distante del centro 20 cm, trazamos la
recta tangente a la misma, que la toca en el punto B. Calcula la longitud del segmento AB.

PARALELOS Y MERIDIANOS
Imagina que cortas la esfera de radio R con un plano que pasa por el centro O. Todos los
puntos de la esfera que están sobre el plano distan R de O y forman una circunferencia de
centro O y radio R. Como R coincide con el radio de la esfera, la sección que se forma se
llama círculo máximo de la esfera. La circunferencia correspondiente se llama circunferencia
máxima.
La rotación de la Tierra se produce alrededor de un eje de giro que corta a la superficie
terrestre en dos puntos, llamados polos. El eje de giro se llama eje polar.
En la superficie terrestre los meridianos son secciones imaginarias por planos que contienen
al eje polar, y por tanto al centro de la Tierra. Son, por tanto, circunferencias máximas.
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Matemáticas 3º ESO
En el plano, la distancia más corta entre dos puntos es la del segmento rectilíneo que los
une. En la superficie esférica, dados dos puntos siempre hay una circunferencia máxima
que pasa por ellos. Esos dos puntos dividen a la circunferencia máxima en dos arcos. La
distancia más corta entre dos puntos sobre la superficie esférica es la longitud del más corto
de esos dos arcos. La línea de distancia más corta entre dos puntos sobre una superficie se
llama distancia geodésica.
Como la superficie de la Tierra es aproximadamente esférica, el vuelo más corto entre dos
ciudades es el que sigue un arco de circunferencia máxima que pasa por esos dos puntos.
Si se corta la esfera con un plano P que no pasa por el centro, ¿qué se obtiene?.
Imagínate trazada la recta perpendicular a P por O. Corta a P en C. Si M y N son dos puntos
de la sección de P con la esfera, resulta que los triángulos rectángulos OMC y ONC son
iguales, ya que OM = ON = R y OC es común. Así, CM = CN.
Por tanto, todos los puntos de la sección están a la misma distancia del punto C, es decir, P
corta a la esfera en un círculo de centro C, el pie de la perpendicular a P desde O.
En la superficie terrestre los paralelos son secciones imaginarias obtenidas al cortarla por
planos perpendiculares al eje polar. El paralelo que pasa por el centro de la Tierra se llama
ecuador. Los paralelos son siempre círculos paralelos al plano del ecuador.
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Plano y espacio
1) El metro, unidad de medida de longitud, se definía antiguamente como la diezmillonésima parte
de un cuadrante de meridiano terrestre. Es decir, un meridiano terrestre tiene 40000000 de
metros. Utilizando este resultado, calcula aproximadamente el radio de la Tierra.
2) Una esfera de 5 cm de radio es cortada por un plano que pasa a 3 cm de su centro. ¿Cuál es el
radio de la circunferencia que determina el plano sobre la esfera?.
El radio que pasa por un punto de la superficie esférica se llama radio vector de dicho punto.
3) Los radios vectores de dos puntos A y B situados en la superficie de una esfera de 60 cm de
diámetro forman un ángulo de 45º. ¿Cuál es la distancia geodésica entre dichos puntos?.
4) ¿Cuál sería la distancia geodésica entre dos puntos de la superficie esférica anterior si sus radios
vectores forman un ángulo de 120º?.

COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Estamos acostumbrados a ver representada la esfera terrestre mediante mapas de muy
diversos tipos, sin embargo, ninguna de tales representaciones es exacta, puesto que la
superficie esférica no es desarrollable, es decir no se puede desplegar sobre un plano.
Existen distintas formas de representar en un plano la superficie terrestre: proyección
homolográfica, proyección sinusoidal, proyección ecuatorial de Mercator. Todas ellas se
basan en romper la superficie esférica y desplegarla aproximadamente sobre un plano de
diversas maneras. Pero estas representaciones son siempre aproximadas.
Por cada punto A de la Tierra, distinto de los polos, pasa un único meridiano y un único
paralelo. Pero hay otro punto A’ que comparte con A ambas líneas. Por eso, cuando
hablamos de meridiano del lugar hacemos referencia a la semicircunferencia que pasa por
los polos y por ese lugar. A la otra semicircunferencia se le llama antimeridiano del lugar.
Con este convenio, a cada par de líneas, meridiano y paralelo, le corresponde un único
punto de la Tierra. Se establece así un sistema de coordenadas sobre la superficie terrestre.
Los paralelos se designan por su distancia angular al ecuador y añadiendo si están por
encima (norte, N) o por debajo (sur, S) de éste. El ángulo que mide esta distancia se llama
latitud. En la gráfica están señalados algunos paralelos.
79
Matemáticas 3º ESO
Los meridianos se designan por su distancia angular a un meridiano que se toma como
origen y haciendo referencia a si quedan a su derecha (este, E) o a su izquierda (oeste, W).
El ángulo que mide esta distancia se llama longitud. El meridiano que se toma como origen
se llama meridiano cero o meridiano de Greenwich y pasa muy cerca de Castellón.
De este modo, a cada punto de la Tierra se asocian dos valores, llamados longitud (hace
referencia a su meridiano) y latitud (hace referencia a su paralelo).
En la figura adjunta, el punto A se designa: 40º longitud este, 50º latitud norte. El punto B se
designa: 60º longitud este, 70º latitud sur.
La longitud puede variar desde 180º oeste a 180º este; la latitud de 90º norte a 90º sur.
1) Los paralelos son circunferencias menores. Calcula lo que mide el perímetro de los siguientes
paralelos: a) 30º; b) 50º; c) 80º.
2) Completa las siguientes frases con las palabras longitud o latitud, según corresponda:
a) Todos los puntos que están en un meridiano tienen la misma ___________________.
b) Todos los puntos que están en el mismo paralelo tienen la misma _________________.
c) Los puntos del hemisferio Norte tienen ________________ positiva.
d) Los puntos al Oriente del meridiano de Greenwich tienen _______________ positiva.

LATITUD Y LONGITUD
a) ¿Qué longitud de meridiano corresponde a un ángulo central de 1º?. ¿Y de un minuto?.
b) ¿Un grado de latitud equivale siempre a la misma distancia sobre la superficie terrestre?. ¿Y si
los puntos tienen la misma longitud?.
c) Los puntos que se encuentran en el mismo meridiano, ¿tienen la misma longitud?.
80
Plano y espacio

¿CIERTO O FALSO?
Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas:
a) Si un plano corta a una esfera, su intersección es un círculo.
b) En una esfera existen solamente dos planos diametrales perpendiculares entre sí.
c) Todos los puntos situados en un mismo meridiano tienen la misma longitud.
d) Todos los paralelos son círculos máximos.
e) Por dos puntos de la superficie de una esfera pasa un único círculo máximo.
f)
Los meridianos son paralelos al ecuador.
g) Todos los puntos que están en el mismo paralelo tienen la misma latitud.
h) La latitud mide la posición de los meridianos.

BARCOS
Un barco va de un punto A situado en las costas de África de 30º latitud N y 10º longitud oeste a otro
B en las costas de América de 30º latitud N y 80º longitud oeste, siguiendo el paralelo común.
¿Qué distancia ha recorrido?.
¿Qué distancia recorrería si la diferencia de longitudes de los dos puntos fuera de 180º?.
¿Qué distancia recorrería en este último caso si pudiera navegar de un punto a otro siguiendo un arco
de círculo máximo?.
81
Matemáticas 3º ESO

GEOMETRÍA ESFÉRICA
Sobre una esfera, al unir tres puntos de su superficie mediante círculos máximos, obtenemos un
triángulo de lados no rectilíneos llamado triángulo esférico.
Sobre una esfera de estiropor, con ayuda de chinchetas y gomas elásticas, investiga las propiedades
de los triángulos esféricos:

La suma de los tres ángulos de un triángulo esférico ¿es igual a 180º?.

En un triángulo esférico, cada uno de los lados ¿es menor que la suma de los otros dos?.

¿Qué es un triángulo rectángulo sobre la superficie esférica?.

FIGURAS ESFÉRICAS
Son numerosos los cuerpos con forma de esfera; sin embargo, otros resultan ser solamente
una parte de ésta. Por su interés estudiaremos algunas de ellas, clasificándolas en dos
tipos, según sean parte de la superficie de la esfera o bien parte de la propia esfera.
Partes de la esfera:
Cuña esférica
Segmento esférico de 1 base
Segmento esférico de 2 bases
Sector esférico de 1 base
Sector esférico de 2 bases
Semiesfera
Partes de la superficie esférica:
Huso esférico
82
Casquete esférico
Zona esférica
Plano y espacio
Observa que hay cierta correspondencia entre las partes de la esfera y las partes de la
superficie esférica. Por ejemplo, la superficie de la esfera correspondiente a una cuña es
el huso esférico, y la de un segmento esférico es el casquete esférico o la zona esférica,
según que el segmento sea de una o dos bases, respectivamente.
Los geógrafos hablan de husos horarios, casquetes polares y zonas climáticas, términos
que se corresponden con las figuras esféricas anteriormente citadas.
Observa que dos meridianos limitan entre sí un huso esférico, mientras que dos paralelos
determinan una zona esférica.
1) Sobre distintas esferas de estiropor con ayuda de chinchetas y gomas elásticas representa un
huso, un casquete y una zona esférica e identifica y describe las partes de la esfera
correspondientes.
Imagina que en el punto P situamos un foco luminoso a una altura d respecto de la esfera.
Este foco ilumina sobre la esfera un casquete esférico cuya altura h queremos determinar.
Observa en la figura adjunta que los triángulos rectángulos OTP y PMT son semejantes. Por
lo tanto, se cumple que:
aR
x
R
 x=

R +d
a R +d
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OTP, se cumple:
a 2  ( R + d) 2  R 2
83
Matemáticas 3º ESO
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OMT, se cumple:
2
2
2
p= R x  R 
a2  R2
 R + d 2
Por lo tanto, h = R - p
 R
2
 R + d 

 h = R-
2

 R2  R2
 R + d 2
R2
R +d

R 2  2
R2
 R 2  1 

R

2

R +d
  R + d 
fórmula que permite hallar la altura del
casquete esférico
2) Un globo está situado a 3000 metros de altura sobre la superficie terrestre. Calcula la altura del
casquete esférico que divisa el piloto del globo, teniendo en cuenta que el radio de la Tierra es
aproximadamente 6370 km.

CUATRO HUSOS
Dos planos que se cortan en un diámetro dividen a la superficie esférica en cuatro partes. Cada una
se llama huso esférico. Para obtener cuatro husos esféricos iguales, ¿cómo deben ser los planos
secantes?.

HUSOS HORARIOS
La Tierra gira sobre si misma (movimiento de rotación), por eso la hora varía de unos
lugares a otros. Teniendo en cuenta que tarda 24 horas en dar una vuelta completa, al
dividir 360º entre 24 h se obtiene que cada 15º de longitud significa una hora de diferencia.
La referencia es la hora solar, ya que cada estado establece una hora oficial que no
coincide siempre con la hora solar.
a) Si viajas a Asia, ¿has de adelantar o retrasar el reloj?. ¿Y si viajas a América?.
b) A continuación tienes las coordenadas terrestres aproximadas de tres ciudades:
Madrid: 40º latitud N, 4º longitud W
Nueva York: 41º latitud N, 74º longitud W
Tokio: 36º latitud N, 139º longitud E.
¿Qué diferencia horaria (hora solar) existe entre Madrid y Tokio?. ¿Y entre Madrid y Nueva York?.
¿Y entre Tokio y Nueva York?. ¿Coinciden los resultados con las horas oficiales?. Busca
información sobre las diferencias horarias oficiales.
c) La siguiente figura es un planisferio en el que figura la división terrestre en husos horarios:
84
Plano y espacio
El protagonista de la novela “La vuelta al mundo en ochenta días”, de Julio Verne, al volver a
Londres se da cuenta de que “ha ganado un día”. Estudia el mapa anterior y explica el fenómeno.

ELIPSOIDE
Algunos objetos como un balón de rugby, un melón, etc, sugieren una nueva forma
geométrica que se asemeja a una esfera deformada. Se trata del elipsoide.
Si consideramos una esfera inscrita en un cubo de arista a y deformamos dicho cubo, de
forma que se convierta en un cuboide de dimensiones b, c y d, entonces la esfera inscrita
deformada es un elipsoide, cuyas dimensiones (largo, ancho y alto) se pueden determinar a
partir de las dimensiones del cuboide.
Un elipsoide tiene, en general tres dimensiones diferentes. En el caso especial de que su
anchura coincida con su altura (b = c), se dice que tiene forma perfectamente elipsoidal o
que es un elipsoide perfecto.
85
Matemáticas 3º ESO
1) Un elipsoide está inscrito en una caja de dimensiones 20 x 30 x 55 cm, de forma que se ajusta
exactamente a las paredes de la caja. ¿Cuáles son sus dimensiones?.
2) Queremos construir una caja para guardar un balón de rugby de 32 cm de longitud y 20 cm de
ancho. Suponiendo que tiene forma perfectamente elipsoidal, ¿cuáles deben ser las dimensiones
de la caja?.
5. Figuras planas

DOS CIRCUNFERENCIAS
Dibuja dos circunferencias de radios arbitrarios. Investiga las distintas posiciones relativas de las dos
circunferencias. Estudia qué condiciones se deben cumplir para que las dos circunferencias sean:
a) exteriores.
b) tangentes exteriores.
c) tangentes interiores.
d) Interiores
e) secantes interiores
f) secantes exteriores

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
a)
Dibuja dos circunferencias de radios 5 cm y 2 cm en las posiciones que a continuación se te
indican:
1) Exteriores con sus centros a 10 cm
2) Tangentes exteriores con sus centros a 7 cm.
3) Tangentes interiores con sus centros a 3 cm.
4) Interiores con sus centros a 1 cm.
5) Secantes con sus radios a 6 cm.
6) Concéntricas
Explica en cada caso qué ocurre con la distancia d entre los centros de las circunferencias.
b) Si trazas dos circunferencias de radios 7 cm y 4 cm con sus centros situados a 10 cm de
distancia, ¿en qué posición relativa quedarán?. Trázalas y comprueba que tu respuesta es
correcta.
c) Dibuja dos circunferencias, C y C’, de radios 5 cm y 3 cm que sean tangentes interiores.
86
Plano y espacio

ÁNGULOS Y CIRCUNFERENCIAS
Según la posición del vértice de un ángulo con respecto a una circunferencia el ángulo puede ser:
central, interior, inscrito, semiinscrito o exterior. Completa en la siguiente tabla las características de
cada ángulo, observando su dibujo correspondiente.
ÁNGULOS
CARACTERÍSTICAS
El vértice del ángulo central coincide con el
centro de la circunferencia.
Ángulo central
El vértice del ángulo interior es un punto
................ ..........................................................
Ángulo interior
El vértice del ángulo inscrito es un punto
................ ........................... y los lados son
rectas..................... ..........................................
Ángulo inscrito
El vértice del ángulo semiinscrito es un punto
......... .................................. y los lados son
rectas.............. ............................................
Ángulo semiinscrito
El vértice del ángulo exterior es un
punto................. ................................. y los
lados pueden ser:
a) rectas ........................................................
b) rectas ........................................................
c) rectas ........................................................
Ángulos exteriores
87
Matemáticas 3º ESO

ÁNGULOS INSCRITOS Y SEMIINSCRITOS
Observa los ángulos inscritos y semiinscritos de las figuras adjuntas.
Con ayuda de un transportador de ángulos mide sus amplitudes y completa la siguiente tabla:
AO’B
Ángulos inscritos
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Ángulos
semiinscritos
Figura 4
AOB = AB
Figura 5
Completa también la columna correspondiente a los ángulos centrales de arco AB. Compara ambas
amplitudes.
Si tus medidas son correctas, habrás observado que: AO' B =
1
1
AOB = AB
2
2
En general se cumple: Los ángulos inscritos y semiinscritos miden la mitad del arco
comprendido entre sus lados.
En efecto: Para ángulos inscritos, como muestra la figura, tenemos: AOB=1+2 por ser
suplementario con 3. Además, el triángulo OO’B es isósceles, por lo que 1=2, y por
1
1
tanto: 1=AO’B= AOB = AB Para ángulos semiinscritos el razonamiento es análogo.
2
2
88
Plano y espacio

EL ÁNGULO DE TIRO
1) A menudo, en retransmisiones deportivas, oímos expresiones como “el jugador chutó a puerta sin
apenas ángulo de tiro”, expresión no demasiado acertada como veremos a continuación.
En el esquema adjunto y haciendo uso del transportador, mide los ángulos bajo los cuales se ve
la portería desde los puntos P1, P2 y P3.
Habrás observado, contra todo pronóstico, que los tres ángulos son iguales. Mediante regla y
compás traza la circunferencia que pasa por A, B y uno cualquiera de los puntos anteriores.
Justifica el equívoco apoyándote en la medida de ángulos inscritos en la circunferencia.
2) Para jugadores situados en las posiciones P4 y P5, ¿cuál es su ángulo de tiro?. Haz uso del
transportador y no te fíes de la intuición como los comentaristas deportivos.
Habrás observado que para ángulos interiores y exteriores a la circunferencia no rige la
misma regla que para ángulos inscritos y semiinscritos. Comprueba que para P 4, el ángulo
AB + A' B'
es interior y mide: AP4 B =
2
89
Matemáticas 3º ESO
Para P5, sin embargo, el ángulo es exterior a la circunferencia y mide: AP5 B =
AB - A" B"
2
En general, se cumple que:
Los ángulos interiores a una circunferencia miden la semisuma de los arcos comprendidos
por sus lados y las prolongaciones de éstos. Los ángulos exteriores a una circunferencia
miden la semidiferencia de los arcos comprendidos por sus lados.
Veamos con rigor el segundo de estos casos:
Puesto que 1+2=3, ya que ambos son el suplemento de AB’O’, podemos concluir
AB A' B' AB- A' B'


que: 1  3  2 
2
2
2

EN UNA CIRCUNFERENCIA
1) Un ángulo interior a una circunferencia mide 53º 12’ y el arco abarcado por sus lados 38º 15’.
¿Qué arco abarcarán las prolongaciones de sus lados?.
2) Los arcos que abarcan los lados de un ángulo exterior a una circunferencia miden 48º y 54º 30’.
¿Cuánto mide el ángulo exterior?.
3) El menor de los arcos interceptados por dos tangentes a una circunferencia trazadas desde un
punto exterior mide 70º. ¿Cuál es la medida del ángulo de las tangentes?.

INSCRITO Y CIRCUNSCRITO
Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia, y A=50º, B=70º. Se trazan tangentes por A,
B y C de modo que formen el triángulo circunscrito A’B’C’. Averigua los ángulos A’, B’ y C’ de
dicho triángulo.
90
Plano y espacio

MEDIDA DE ÁNGULOS
Para medir ángulos se utiliza un instrumento denominado goniómetro o transportador de
ángulos, cuyo manejo ya conoces de cursos anteriores. Existen dos sistemas de unidades
de ángulos: el sexagesimal y el centesimal.
En el sistema sexagesimal la circunferencia se divide en 360 partes; cada una de ellas se
denomina grado sexagesimal ( º ). Los grados se divide en 60 partes; cada una de ellas se
llama minuto ( ‘ ). Finalmente, los minutos se dividen en 60 partes, denominándose cada
una segundo ( “ ).
SISTEMA SEXAGESIMAL
1 circunferencia = 360º
1 º = 60 ‘
1 ‘ = 60 “
Las calculadoras científicas disponen de una tecla que permite trabajar con grados, minutos
y segundos sexagesimales. Se trata de la tecla º ’ ” . Veamos un ejemplo:

Paso de grados, minutos y segundos a grados sexagesimales:
Convertir 56º 42’ 37” en grados sexagesimales.
Tecleamos 56 º ‘ “ 42 º ‘ “ 37 º ‘ “

56.710278º
Paso de grados sexagesimales a grados, minutos y segundos:
Convertir 56.710278º en grados, minutos y segundos.
Tecleamos 56.710278 SHIFT º ‘ “ 56º 42º 37 que quiere decir 56º 42’ 37”
En el sistema centesimal la circunferencia se divide en 400 partes; cada una de ellas se
g
denomina grado centesimal ( ).
Los grados centesimales se dividen en 100 partes
m
denominadas minutos centesimales (
). Los minutos centesimales se dividen en 100
s
partes denominadas segundos centesimales ( ).
SISTEMA CENTESIMAL
1 circunferencia = 400
g
m
1 = 100
m
s
1 = 100
g
g
Se cumple, por lo tanto, que 1 circunferencia = 360º = 400 . Luego
1
g
=
360
 0'9º ,
400
que es la equivalencia entre el sistema sexagesimal y el centesimal.
91
Matemáticas 3º ESO
1) Expresa estos ángulos en el sistema centesimal en grados, minutos y segundos (
a) 180º
b) 235’
c) 23º 45’ 25”
d) 1300”
g
m
s
):
e) 45.2345º
2) Expresa estos ángulos en el sistema sexagesimal en grados, minutos y segundos ( º ‘ “ ):
a) 240

g
b) 145
m
g
c) 40 23
m
s
55 d) 2450
s
e) 23.5647
g
OPERACIONES CON ÁNGULOS
La calculadora permite hacer operaciones con medidas angulares fácilmente. Veamos
algunos ejemplos:

Suma de ángulos:
Sumar los ángulos =36º 45’ 23” y =27º 50’ 42”
Tecleamos 36 º ‘ “ 45 º ‘ “ 23 º ‘ “ + 27 º ‘ “ 50 º ‘ “ 42 º ‘ “ = 64.601389º SHIFT º ‘ “ 64º
36’ 5”

Diferencia de ángulos:
Calcula 45º 23’ 12” – 22º 52’ 27”
Tecleamos 45 º ‘ “ 23 º ‘ “ 12 º ‘ “ – 22 º ‘ “ 52 º ‘ “ 27 º ‘ “ =
30’ 45”

22.5125º
SHIFT º ‘ “
22º
Producto de un ángulo por un número:
Calcula 25º 42’ 15”  7
Tecleamos 25 º ‘ “ 42 º ‘ “ 15 º ‘ “ x 7 = 179.9291667º
SHIFT º ‘ “ 179º 55’ 45”

Cociente de un ángulo por un número:
Calcula 334º 43’ 28” / 8
Tecleamos 334 º ‘ “ 43 º ‘ “ 28 º ‘ “  8 = 41.840556 SHIFT º ‘ “ 41º 50’ 26”
1) Desde la ventana de tu casa observas dos coches aparcados uno junto al otro. Uno de ellos lo
ves bajo un ángulo de 15º 42’ 31” y el otro bajo un ángulo de 18º 39’ 56”. ¿Bajo qué ángulo ves
los dos coches juntos. Utiliza la calculadora.
2) Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 32º 27’. Calcula la medida de los otros
ángulos.
3) Halla la tercera parte del ángulo de 74º 46’ 13”.
4) Uno de los ángulos de un rombo mide 31º 25’. Calcula la medida de los otros tres.
92
Plano y espacio

LIBRO DE ESPEJOS
El libro de espejos es un caleidoscopio plano que sirve para construir figuras geométricas. Puede
utilizarse también como medidor de ángulos (goniómetro).
Para construir un libro de espejos necesitas: dos espejos cuadrados de 13 x 13, cinta adhesiva
transparente y cinta adhesiva ancha.
En la siguiente página tienes las instrucciones para realizar la construcción.
1) Traza un punto y una línea recta que no pase por él. Sitúa el eje del libro de espejos en el punto.
Coloca sus hojas de modo que corten a la recta. Abre y cierra las hojas del libro. Describe las
figuras que vayas observando. Con un círculo graduado, colocado en la parte superior del libro,
puedes medir el ángulo que forman en cada momento las dos hojas.
2) ¿Cómo tendrías que situar las hojas del libro de espejos respecto de la recta para que la figura
que aparezca sea un rombo?.
3) Dibuja un arco de circunferencia. Coloca el eje del libro de espejos en el punto adecuado para
que se reproduzca toda la circunferencia a la que corresponde el arco.

ÁNGULOS EN POLÍGONOS
Calcula los ángulos X, Y, Z en los siguientes polígonos regulares:
Generaliza al caso de un polígono regular de n lados. Intenta encontrar en cada caso una fórmula que
exprese cada ángulo X, Y,. Z en función del número de lados n.
93
Matemáticas 3º ESO

DIAGONALES DE LOS POLÍGONOS
La diagonal de un polígono es el segmento que une dos vértices no consecutivos. Así, un triángulo no
tiene diagonales, un cuadrado solamente tiene dos diagonales, etc.
Calcula el número de diagonales de un pentágono, un hexágono, un heptágono y un octógono
regulares. Escribe una fórmula que exprese el número de diagonales del polígono en función del
número de lados n.

POLÍGONOS ESTRELLADOS
a)
Dibuja una circunferencia de 5 cm de radio. Divide la circunferencia en 12 partes iguales. Si unes
las divisiones de 1 en 1 obtienes un dodecágono regular. ¿Que ocurre si unes las divisiones de 2
en 2, de 3 en 3, de 4 en 4, etc?.
b)
Dibuja una circunferencia de 5 cm de radio. Divide la circunferencia en 15 partes iguales. Si unes
las divisiones de 1 en 1 obtienes un polígono regular de 15 lados. ¿Qué ocurre si unes las
divisiones de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4, etc?.
c)
En general, si divides la circunferencia en n partes iguales y unes las divisiones de k en k, ¿qué
relación han de verificar n y k para que se obtengan polígonos estrellados?
d)
Utiliza el libro de espejos para generar polígonos estrellados.
94
Plano y espacio

MOSAICOS REGULARES
Aquí tienes un ejemplo de mosaico:
Puedes ver que las piezas no dejan huecos entre ellas ni se montan unas sobre otras. Si las piezas
del mosaico son polígonos regulares, todos iguales, el mosaico se llama regular.
¿Con qué polígonos regulares puedes hacer mosaicos regulares?. Para investigarlo puedes utilizar el
libro de espejos. Para estar seguro de lo que ves con el libro de espejos, guíate por las medidas de
los ángulos que confluyen en un vértice.
95
Matemáticas 3º ESO

MOSAICOS DUALES
Una vez dibujados todos los mosaicos regulares, puedes hacer lo siguiente: señala los centros de
todos los polígonos que forman el mosaico y une los que están alrededor de cada vértice. Verás que
te sale otro mosaico que se llama dual del que tenías dibujado. ¿Puedes decir cómo está relacionado
un mosaico con su dual?.
MOSAICO REGULAR
MOSAICO DUAL

MÁS MOSAICOS
Los mosaicos no tienen por qué estar hechos con polígonos regulares iguales. Ya lo has visto en
ejemplos anteriores. Dibuja otros mosaicos que se te ocurran utilizando un triángulo o un cuadrilátero
que no sea regular. Ayúdate con estas tramas.
96
Plano y espacio
¿Te atreves a intentarlo con el cuadrilátero que está dibujado aquí?.

¿EN QUÉ PROPORCIÓN?
El mosaico de la figura está formado por hexágonos, cuadrados y triángulos. ¿En qué proporción se
encuentran?.
97
Matemáticas 3º ESO

MOSAICOS SEMIRREGULARES
Los mosaicos regulares, que has encontrado anteriormente, estaban hechos con polígonos regulares
del mismo tipo. Ahora te proponemos que hagas mosaicos con polígonos regulares de varios tipos
mezclados. Por ejemplo, con hexágonos y triángulos puedes hacer, entre otras cosas, esto:
Para que los mosaicos que hagas, tengan un aspecto armonioso, vas a seguir una regla: en torno a
cada vértice siempre has de tener lo mismo y en el mismo orden. Por ejemplo, en el mosaico de
antes, en torno a cualquier vértice hay triángulo, hexágono, triángulo, hexágono. Los mosaicos que
están hechos con polígonos regulares de varios tipos y que cumplen esta regla se llaman
semirregulares.
El mosaico que está a continuación no es semirregular porque tiene vértices en torno a los cuales hay
triángulo, triángulo, hexágono, hexágono y otros en torno a los cuales hay triángulo, hexágono,
triángulo, hexágono, que no es lo mismo.
Si quieres buscar mosaicos semirregulares, recorta polígonos de las hojas de material o utiliza
polígonos de plástico o cartulina y usa el libro de espejos. ¿Cuántos mosaicos semirregulares
existen?.
Si señalas los centros de todos los polígonos que forman el mosaico y unes los que están alrededor
de cada vértice, verás que se obtiene otro mosaico que se llama dual del que tenías dibujado.
Halla los mosaicos duales de los mosaicos semirregulares que hayas obtenido en la actividad
anterior.
98
Plano y espacio

SEMIRREGULARES OTRA VEZ
Por si no los has encontrado, aquí tienes los ocho mosaicos semirregulares que existen. Observa que
están formados por dos o más clases de baldosas o losetas poligonales regulares unidas en un
vértice.
¿Por qué hay solamente ocho mosaicos semirregulares? En cada mosaico cuenta el número de
polígonos de cada clase que intervienen. Halla la proporción en que se encuentran cada uno de los
polígonos.
6. Traslaciones, giros y simetrías

FRISOS
Utilizando regla, compás y cartabón dibuja estos frisos. Explica lo que puedes hacer para realizar el
dibujo lo más fácilmente posible para que otra persona pueda hacerlo siguiendo tus indicaciones.
99
Matemáticas 3º ESO
100
Plano y espacio

TRANSLACIONES
Una translación queda definida si se conoce la dirección, sentido y longitud de la translación.
Estas tres magnitudes se representan por una flecha, llamada vector de la translación, cuyo
origen y destino indican, respectivamente, las posiciones inicial y final del objeto trasladado.
a) A las siguientes figuras aplícales una translación de vector a y otra de vector 2b. ¿Cuál es el
resultado final?.
Podemos representar la translación de vector a por medio de dos números, llamados
componentes del vector a: el primero indica cuántas unidades ha de desplazarse el objeto en la
dirección horizontal (si es positivo a la derecha, si es negativo a la izquierda); el segundo indica
cuántas unidades ha de desplazarse el objeto en la dirección vertical (si es positivo hacia
arriba, si es negativo hacia abajo).
b)
En la figura hemos efectuado una translación de vector (3, 2). Aplícale a esta figura una
translación de vector (2, -4), otra de vector (-4, 3) y otra de vector (-2,-3). ¿Cuál es el resultado
final?.
101
Matemáticas 3º ESO

GIROS
Los giros o rotaciones quedan determinados si conocemos el centre de giro O y el ángulo 
girado ( el sentit positivo de ángulos es el contrario al de las agujas del reloj ). Al giro de 180 o
se le llama simetria central.
a) Haz un giro de la figura L de 40o. Haz un giro de la figura L de -320o. Son dos giros distintos?.
Aplícale a la misma figura una simetría central.
O 
b) Aplicando un giro de centro O a la figura de la izquierda, se obtiene la figura de la derecha. Halla
el ángulo de giro y su sentido.
El sentido positivo de giro es el contrario al de las agujas del reloj.
102
Plano y espacio
c) Partiendo de la figura de la izquierda y con centro de giro en uno de sus vértices, define cinco
giros por medio de los cuales se pueda obtener la figura de la derecha.

ROSETONES
Aquí tienes algunos ejemplos de rosetones. Utilizando regla, compás y cartabón intenta dibujarlos.
Explica cómo lo haces.

SIMETRÍAS
Una simetría queda determinada al conocer su eje de simetría.
Una simetría con deslizamiento es una simetría compuesta con una
translación de dirección paralela al eje de simetría. Para definirla
necesitamos conocer el eje de simetría y el vector de translación.
a)
A la siguiente figura aplícale una simetría con deslizamiento de eje e y vector a. ¿Es indiferente
el orden en que efectúes la translación y la simetría?.
103
Matemáticas 3º ESO
b)
Coloca un espejo en distintas posiciones sobre la primera figura, de manera que puedas ver las
restantes. Dibuja sobre la figura inicial las líneas en que has de colocar el espejo (ejes de
simetría).
c)
Con ayuda de un espejo busca una a una las letras que tienen simetría horizontal, las que tienen
simetría vertical y las que tienen ambas.
A B C D E F G H I J K LM N
O P Q R S T U V WX YZ

SIMETRIAS POLIGONALES
¿Qué triángulos son simétricos? ¿Cuántos ejes de simetría tienen?
¿Qué cuadriláteros son simétricos? ¿Cuántos ejes de simetría tienen?
Estudia la simetría de diferentes polígonos (pentágonos, hexágonps, octógonos).
Estudia la simetría de la circunferencia.
104
Plano y espacio

MOVIMIENTOS
a) Este mosaico está formado por hexágonps regulares.
b) Define tres translaciones que permitan transformar la pieza A en la B, la C y la D.
c) Busca tres ejes de simetría del mosaico.
d) Observa este mosaico. Esboza qué movimientos o simetrías hay que realizar para que:
a) El punto A coincida con M.
b) El punto B coincida con N.
c) El punto C coincida con P.

COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS
a)
A la figura F aplícale dos simetrías de ejes paralelos, primero la de eje r y después la de eje s.
Llama a la figura transformada F”. ¿Qué movimiento transforma directamente F en F”?
105
Matemáticas 3º ESO
b)
Aplícale a F las mismas simetrías pero en distinto orden: primero la de eje s y después la de eje
r. ¿Cuál es ahora el movimiento resultante?
c)
A la figura P aplícale dos simetrías de ejes secantes, primero la de eje s y después la de eje r.
Llama P” a la figura transformada. ¿Qué movimiento transforma directamente P en P”?. Defínelo
completamente.
d)
Lo mismo que en el apartado c), pero aplicando primero la simetría de eje r y después la de eje
s. ¿Cuál es el movimiento resultante?
La composición de dos simetrías de ejes paralelos es una traslación de vector perpendicular
a los ejes, de módulo el doble de la distancia entre los ejes y cuyo sentido es el que va del
primero al segundo.
La composición de dos simetrías de ejes secantes es un giro cuyo centro es el punto de
intersección de los ejes y cuyo ángulo es el doble del ángulo formado por los dos ejes, con
el sentido que va del primer eje al segundo.

MERCEDES
Fíjate en el logotipo de Mercedes:
e1 es un eje de simetría, que transforma el punto 2 en el 3, el 3 en el 2 y deja el 1 invariante;
1 2 3 
 . a este rectángulo de números se le llama matriz.
esto lo expresamos así: e1  
1 3 2 
La recta
106
Plano y espacio

Escribe tú los otros ejes de simetría utilizando esta notación.

Hay otro tipo de simetrías, las de rotación. Podemos mover la figura haciendo centro en el punto
P y girando... ¿cuántos grados para que la figura coincida consigo misma? Si llamamos G1 a ese
giro, que convierte 12, 23, 31, será:
 1 2 3

G1  
 2 3 1

Describe todas las posibles autosimetrías (movimientos que convierten una figura en sí misma)
del logotipo de Mercedes (hay 6). Una de ellas recibe el nombre de identidad. ¿Cuál?

Si ya has escrito todas en forma de matriz, esto te ayudará a contestar la siguiente cuestión.
Supongamos que aplicas una simetría e1 y, a continuación, un giro G1 . ¿Existe algún
movimiento que equivalga a estos dos seguidos? Veamos: si con e1 se transforma 23 y con
G1 se transforma 31, el movimiento equivalente deberá transformar 21. Completa la
descripción de ese movimiento. ¿Cuál es?
1 2 3

  ...
 1


Pon su nombre en la casilla X de este cuadro. Termina de completar el cuadro siguiendo el
mismo procedimiento:
G1
e1
X
107
Matemáticas 3º ESO

INVARIANTES
¿Qué movimientos dejan invariantes las figuras siguientes?. Construye la tabla de composición.
7. Representar e imaginar

TETRACUBOS
1) ¿Cuántos sólidos distintos se pueden formar uniendo cuatro cubos por sus caras?. Los cuerpos
obtenidos reciben el nombre de tetracubos. Utilizando cubitos engarzables construye todos los
tetracubos posibles y dibújalos a continuación en la trama isométrica.
108
Plano y espacio
2) Construye algunos pentacubos (sólidos formados al unir cinco cubos por sus caras) y dibújalos en
la trama isométrica. ¿Cuántos crees que hay?.

DEL DIBUJO A LA CONSTRUCCIÓN
Material: policubos engarzables y folios punteados en trama isométrica.
Construye con cubos las figuras representadas aquí:
109
Matemáticas 3º ESO

DE LA CONSTRUCCIÓN AL DIBUJO
Material: policubos engarzables y folios punteados con trama isométrica.
Construye distintos sólidos con el número de cubitos que desees y dibuja los cuerpos obtenidos en la
trama isométrica. Procura empezar por lo fácil y haz paulatinamente construcciones más complejas.

PLANTA, ALZADO Y PERFIL
1) Si miramos desde arriba esta construcción hecha con policubos
vemos esto
Escribe la posición desde la que se mira la misma construcción para ver esto otro.
110
Plano y espacio
2) Dibuja como se vería esta pieza desde los puntos de vista (1), (2) y (3).

EL CENTRO DE UN CUBO
Imagina un cubo. Ahora imagina sólo los vértices. Ahora sólo los vértices de la cara de arriba.
Imagina el centro del cubo. Une el centro del cubo con los cuatro vértices de arriba mediante
segmentos. ¿Qué figura se forma así?. El volumen de esa pirámide, ¿qué parte es del volumen del
cubo?.

¿TRIÁNGULOS EN EL CUBO?
Imagina un cubo sólido. Fíjate en uno de sus vértices. ¿Cuántas aristas concurren en ese vértice?.
Toma el punto medio de cada una de las tres aristas que van a ese vértice. Si cortas con una cuchilla
por un plano que pase por esos tres puntos medios, ¿qué forma tiene la sección?.
Imagina otros cortes al cubo por planos paralelos al anterior, de forma que el sentido de avance sea
hacia el interior del cubo. ¿Se obtienen siempre triángulos equiláteros?.
Las secciones son triángulos equiláteros hasta que llegas a los tres vértices del cubo de los que
parten las tres aristas. Pero, ¿y después?. ¿Qué polígonos se obtienen?.
¿Se puede cortar un cubo de modo que la sección sea un hexágono regular?. ¿Cómo?.
111
Matemáticas 3º ESO

TOMOGRAFÍAS
La tomografía es una técnica que se emplea en medicina para obtener la imagen interna de un
órgano. Para ello se hacen radiografías del órgano que dan una vista de planos paralelos del mismo.
La figura primera muestra la aplicación de esta técnica a un cilindro y en la figura siguiente
observamos su tomografía correspondiente.
1) Averigua a qué sólidos corresponden las siguientes tomografías:
2) Dibuja las radiografías que obtendríamos si el cuerpo es un cilindro y la posición la que se indica
en el dibujo siguiente:
3) De un cuerpo geométrico sabemos que en cualquier posición, las secciones por planos paralelos
muestran siempre imágenes de la misma forma pero de distinto tamaño. ¿Cuál puede ser la
forma del cuerpo?.
112
Plano y espacio

CORTANDO UN CONO Y UN CILINDRO
Tenemos un cono y un cilindro. Mediante secciones planas de estos cuerpos geométricos se obtienen
las siguientes figuras:
Averigua de qué cuerpo es cada una de las secciones y mediante qué plano se consigue.

CORTANDO EL TETRAEDRO
Imagina un tetraedro regular. Toma los puntos medios de las tres aristas que concurren en un vértice.
Imagina que has dado un corte por el plano que pasa por esos tres puntos y que desechas el
tetraedro de la esquina. Haz lo mismo con las cuatro esquinas. Imagina lo que queda después de
quitar las cuatro esquinas. Haz un desarrollo plano de la figura que queda. Constrúyela en el espacio
con cartulina.
113
Matemáticas 3º ESO

CORTANDO EL CUBO
Imagina un cubo. Toma los puntos medios de las aristas que concurren en un vértice. Imagina que
has dado un corte por el plano que pasa por esos tres puntos y que desechas el tetraedro de la
esquina. Haz lo mismo con las seis esquinas. Imagina lo que queda después de haber quitado las
seis esquinas. Haz un desarrollo plano del sólido que queda. Constrúyelo en el espacio con cartulina.
El sólido obtenido es un poliedro hecho con dos tipos de polígonos regulares: cuadrados y triángulos
equiláteros.
114