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FUNCIONES
Objetivos
1. Comprender el concepto de función y relacionarlo con situaciones de la vida real
2. Determinar el dominio de una función
3. Interpretar gráficas relacionadas con situaciones reales mostrando los aspectos más
relevantes
4. Hallar la función inversa de una función
5. Identificar una función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
6. Determinar los puntos máximos y mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento
de una curva
7. Identificar las características y gráficas de las funciones lineal y cuadrática
Competencias
 Capacidad para formular, plantear, transformar y resolver problemas matemáticos.
 Identificación de regularidades, modelos y estructuras matemáticas en procesos y
situaciones problémicas.
 Capacidad comunicativa en lenguaje matemático.
 Capacidad para representar objetos matemáticos en diferentes registros o sistemas de
notación para crear, expresar y representar ideas matemáticas.
 Capacidad para juzgar la validez de un razonamiento lógico matemático.
 Habilidad para usar calculadoras y software matemáticos en la solución de problemas
matemáticos.
BASE CONCEPTUAL
INTRODUCCIÓN. Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. El
término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René
Descartes para designar una potencia x n de la variable x.
En 1694 el matemático alemán G. W. Leibniz utilizó el término para referirse a varios
aspectos de una curva, como su pendiente. La noción de función que más se utiliza en la
actualidad fue dada en el año 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (18051859).
En la vida diaria las funciones constituyen una poderosa herramienta para describir
fenómenos. Son usados por físicos, ingenieros, economistas, entre otros, para establecer por
ejemplo la variación del precio de un producto a través de los años; el crecimiento de la
población en un periodo de tiempo; la resistencia de un material a distintas temperaturas, en
fin, su uso es inevitable.
Por ejemplo, en un árbol que crece 25 cm cada año, su altura podría estar relacionada con
la edad mediante la función:
a(edad)=edadx25
Con lo que si la edad es 10 años, su altura es a(10)=250 cm.
CONCEPTOS BÁSICOS
Pareja Ordenada
Conjunto de números de la forma (a, b) con a, b ϵ R; donde a se denomina primera
componente y b segunda componente. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y
solamente si a = c y b = d.
Intervalos
Subconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos.
Finitos
 Abierto
Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, excluyendo a y b,
simbólicamente (a, b) = {x 𝜖 𝑅/ a < x <b}
Gráficamente
∞
a
b
 Cerrado
Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, incluyendo a y b,
simbólicamente [a, b] = {x 𝜖 𝑅 / a ≤ x ≤ b}
Gráficamente
a
∞
 Semi-abierto o semi-cerrado
b
(a , b] = {x 𝜖 𝑅/ a < x ≤ b}
∞
a
b
[a , b) = {x 𝜖 𝑅/ a ≤ x < b}
∞
a
b
∞
a
∞
a
Intervalos Infinitos:
(a,∞) = {x 𝜖 𝑅/ x > a}
[a,∞) = {x 𝜖 𝑅/ x ≥ a}
(-∞, a) = {x 𝜖 𝑅/ x < a}
(-∞, a] = {x 𝜖 𝑅 / x ≤ a}
∞
∞
a
a
Función
Definición. Sean A y B dos conjuntos, una función de un conjunto A en un conjunto B es
una regla que hace corresponder a cada elemento x perteneciente al conjunto A, uno y solo
un elemento y del conjunto B, que se denota y= f (x).
En símbolos, se expresa f: A → B, siendo el conjunto A el dominio de f (conjunto de
partida), y el conjunto B el codominio (conjunto de llegada-Cf).
Al conjunto formado por todos los posibles valores de x, se le llama domino de la función, se
denota por Df y al conjunto formado por todos los posibles valores de y, que son imágenes
de x a través de f se le denomina rango o recorrido de la función, se denota por Rf.
La notación y = f (x) señala que y es una función de x. La variable x es la variable
independiente, y el valor y se llama variable dependiente, y f es el nombre de la función.
Puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del
dominio, pero debe cumplirse que cada elemento del dominio sea preimagen de al menos un
elemento del codominio.
Ejemplo: En la figura se puede apreciar una función f : X  Y , con
D f  X  1,2,3,4
C f  Y  a, b, c, d 
R f  b, c, d   Y
Representación de una Función
Una función se pueden representar de forma oracional, de tabla, como diagramas de Venn,
como graficas cartesianas y por formulas.
De forma oracional Incluye hasta las manifestaciones de nuestros sentimientos o
pensamientos; pero hacemos énfasis particularmente en las reglas o consignas.
Ejemplos: “ser la madre de”, “ser la cuarta parte de”, “ser el siguiente de”, “ser el doble de…,
más 3 unidades”, etc.
En forma de Tablas de valores en las que aparecen explícitamente los pares de valores
[variable independiente – variable dependiente] que expresan la correspondencia que define
determinada función.
Ejemplos:
1. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícola
en la Sierra Nevada de Santa Marta desde el año 1999 hasta 2007
Año
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Nº de
familias
128
253
378
503
628
753
878
1003
1128
7
0.43
8
0.38
2. Fracción de artefactos que funcionan después de t años de uso
Años de uso
Fracción de
artefactos que
funcionan
1
0.88
2
3
0.78 0.69
4
0.61
5
0.54
6
0.48
9
0.33
En forma de Diagramas de Venn son diagramas se muestran los conjuntos de partida y de
llegada con sus respectivos elementos y las correspondencias establecidas entre éstos,
representadas por flechas de unión. Esta representación sólo es útil en el caso de que los
conjuntos de partida y de llegada contengan pocos elementos.
Ejemplo de función
Ejemplo de no función
En forma de Gráficas cartesianas: Son gráficas que se construyen a partir de dos ejes de
referencia –llamados ejes de coordenadas–, uno horizontal (eje de abscisas) y otro vertical
(eje de ordenadas). Habitualmente, en el primero se colocan los valores de la variable
independiente como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de izquierda a
derecha; y en el eje vertical se colocan los valores de la variable dependiente, también como
si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de abajo hacia arriba. Los valores de
ambas variables deben ser, pues, numéricos.
Ejemplo: La siguiente gráfica representa la variación de la temperatura de un enfermo de un
hospital a lo largo de un día. A partir de ella es fácil determinar la relación entre la
temperatura y las horas. Por ejemplo, la temperatura mínima se ha alcanzado a las dos de la
tarde (14:00 horas) y la máxima a las ocho de la tarde (20:00 horas).
La gráfica nos da una visión intuitiva de la relación entre dos magnitudes y el
comportamiento de una magnitud en función de la otra. Nuevamente, la temperatura del
enfermo (variable dependiente) depende de la hora del día (variable independiente).
Una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda recta vertical que corta
su grafica lo hace exactamente en un solo punto. Si una recta toca más de un punto de la
gráfica, esta no representa a una función a esto se le conoce con el nombre de criterio de la
recta vertical.
y
y
y
x
x
x
Es función
No es función
Es función
y
y
y
x
x
x
Es función
No es función
Es función
Otra forma de representar una función es a través de Fórmulas que son expresiones
algebraicas (pueden incluir números y símbolos literales) que expresan la relación existente
entre las variables independientes y la variable dependiente.
Según las fórmulas las funciones se clasifican en polinómicas o algebraicas y trascendentes,
Las polinómicas son las que se pueden representar mediante expresiones algebraicas y
pueden ser lineales, cuadráticas, cubicas, polinómiales, racionales, irracionales y por trozos
(por sección o por partes). Las trascendentes, se llaman así para distinguirlas de las
algebraicas, y son las logarítmicas, exponenciales y las trigonométricas.
Ejemplo:
Lineales
Cuadráticas
Polinómicas
Polinómicas
Las trascendentes
Polinómiales
𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 − 1
𝑓 (𝑥 ) = 3𝑥 2 + 5𝑥 − 2
𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 4𝑥 − 4
2𝑥 − 5
− 5𝑥 + 6
Racionales
𝑓 (𝑥 ) =
Irracionales
𝑓 (𝑥 ) = √𝑥 + 2
2𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5
𝑓 (𝑥 ) =
6 − 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 5
𝑓 (𝑥 ) = log 2 𝑥
𝑓 (𝑥 ) = (1200)20.25𝑥
𝑓 (𝑥 ) = cos(𝑥)
Por trozos, (por sección o
por partes )
logarítmicas
Exponenciales
Trigonométricas
𝑥2
CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES
Función Inyectiva: Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de
exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x, y)
pertenecientes a la función, las y no se repiten.
Ejemplo 1:
Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de
pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las
ordenadas) se repiten o no. En caso de que se repitan la función no es inyectiva, esto se conoce
como el criterio de la recta horizontal.
y
y
y
x
x
x
Inyectiva
Sobreyectiva
Inyectiva
Ejemplo 2: Sean los conjuntos A= {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}, y la función f: A → B definida así
f
= {(1, 2), (2, 1), (3, 3)}, se puede observar que cada elemento del conjunto B es imagen de un
solo elemento del conjunto A, por tanto la función es inyectiva o uno a uno.
Función Sobreyectiva: Sea f una función de A en B, f es una función sobreyectiva, si y sólo si
cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2: Sean los conjuntos A = { a , e , i , o , u }, B = { 1 , 3 , 5 , 7 }, y la función f: A → B
definida así f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }; luego se puede observar que f es
sobreyectiva porque no existen elementos del codominio que no sea imagen de algún
elemento del dominio.
Función Biyectiva: Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva, si y sólo si f es
sobreyectiva e inyectiva a la vez.
Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es
Inyectiva. En cambio, la función es sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al
menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos
una función BIYECTIVA.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2: Sean los conjuntos A = { a , e , i , o , u } y B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }, y la función
f: A
→ B definida así f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }; luego se puede observar que
f es Biyectiva por ser inyectiva y sobreyectiva a la vez.
ESTUDIO DEL DOMINIO DE ALGUNAS FUNCIONES REALES
Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada
elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio,
otro número real.
f:D
x

f( x) = y
Dominio de la función polinómica
El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.
f (x)= x 2 - 5x + 6
D=R
 Dominio de la función racional
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el
denominador.
Ejemplo: Sea f ( x) 
Es decir: D (f)=R-{1}

3x  4
el dominio de f serán todos los números reales menos el 1.
x 1
Dominio de una función con radical
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores
que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Como el radicando de una raíz de índice par debe ser positivo, debemos
exigir:
Tengo que exigir de nuevo:
Función Inversa
Dada la función y=f(x) su inversa f -1(x) se obtiene expresando la función x=g(y).
Gráficamente:
f: A
B
Función Directa
A
B
f: A
B
Función Inversa
B
Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada:
x
f(x)
f(x)
A
x
1. Se despeja la variable independiente x.
2. Se intercambian la x por la y, y la y por la x.
3. La ecuación obtenida es la inversa de la función dada.
4. Expresar la ecuación anterior con notación de función inversa, es decir f -1.
NOTA: No todas las funciones tienen inversa.
Ejemplos:
1.
y=4x + 1
𝑦−1
Despejando: 𝑥 = 4
2.
Intercambiando variables: y 
Función inversa: f 1 ( x) 
x 1
4
x 1
4
y=x2+1
Despejando: 𝑥 = ±√𝑦 − 1
Intercambiando variables: y   x  1
Función inversa: f 1 ( x)  x  1
Gráficas
Gráficas
y
y=x^2+1
y
y=4x+1
x=(y-1)^(1/2)
x
x=(y-1)/4
x
3.
𝑦=
𝑥+3
𝑥−2
Despejando: 𝑥 =
3+2𝑦
𝑦−1
3  2x
y 1
3  2x
Función inversa: f 1 ( x) 
y 1
Gráficas
Intercambiando variables: y 
y
4. 𝑦 = √𝑥 − 1
Despejando 𝑥 = 𝑦 2 + 1
Intercambiando variables: y  x 2  1
Función inversa: f 1 ( x)  x 2  1
Gráficas
y
x=y^2+1
y=(x+3)/(x-2)
y=(x-1)^(1/2)
x
x=(3+2y)/(y-1)
Raíces e Interceptos
x
y
Las raíces o ceros son los puntos para los
cuales f(x)=y=0, gráficamente son los
puntos donde la gráfica corta al eje de la
abscisa (x). No todas las funciones tienen
raíces, puesto que puede haber curvas que no
corten al eje "x".

Raices


x







y
= x^3-4x


Los interceptos son los puntos para los
cuales x=0, es decir los puntos donde la
curva corta al eje de la ordenada (y)
y





Intercepto




x

y = x^3-6x+3





Ejemplos: Halle las raíces y los interceptos de cada función, si existen.
1. f(x) = x2-2x-3
Gráfica
Para hallar las raíces hacemos f(x)=0
y

entonces x2-2x-3=0
Factorizando (x-3)(x+1)=0, entonces
x - 3=0 por lo que x1 = 3
y x + 1=0 por lo que x2=-1


x
Por lo tanto la función tiene dos raíces
que son x1 = 3 y x2 = -1.
Para los interceptos hacemos x=0,
remplazando en la función obtenemos

entonces x(x3-1)=0
Tenemos x1=0, x3-1=0 despejando




Por lo tanto la función tiene un
intercepto en y= -3
Para hallar las raíces hacemos f(x)=0


f(0)=-3
2. f(x)=x(x3-1)
Ra ice s


Gráfica


In te rce p tos

x3=1, de donde x2=1
Por lo que las raíces son x1=0 y x2=1
Para los interceptos hacemos x=0,
remplazando en la función obtenemos
f(0)=-1 por lo tanto la función tiene un
intercepto en y=-1
y

x


Intercep tos

Raiz


Función Creciente, Decreciente y Constante
Una función es creciente en un intervalo si para cualesquiera x1 y x2 dentro del intervalo, tal
que x1 < x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es creciente en un punto si al
incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) aumenta el valor de la
ordenada (y).
Una función es decreciente en un intervalo si para cualesquiera x1 y x2 dentro del intervalo,
tal que x1 < x2 se cumple f(x1) > f(x2). Es decir una función es decreciente en un punto si al
incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) disminuye el valor de la
ordenada (y).
Una función es constante cuando al aumentar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la
derecha) el valor de la ordenada (y) no varía.
No obstante, una función puede presentar varios máximos y mínimos. Para distinguirlos
utilizaremos los siguientes conceptos:
Ejemplo: A partir de la siguiente gráfica (muestra el perfil de una etapa de la Vuelta Ciclista a
España) estudia el crecimiento y decrecimiento de la función y los máximos y mínimos.


Los máximos relativos los alcanza en los puntos x = 50 y x = 150.
Los mínimos relativos los alcanza en los puntos x = 0, x = 175 y x = 225.
ESTUDIO DE ALGUNAS FUNCIONES PARTICULARES
FUNCIÓN LINEAL
Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo
codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de
primer grado de la forma de la forma Ax + By + C = 0 con A ≠ 0 y B ≠ 0 (A, B y C son
constantes), la cual corresponde a la ecuación general de la línea recta y su gráfica es una
línea recta.
En particular f(x) =ax + b es una función de primer grado o función lineal. Cuando se expresa
como ecuación de la forma y = mx + b se le llama ecuación pendiente-ordenada al origen,
donde m representa a la pendiente y b el valor donde la recta corta al eje de las ordenadas
(y).
La pendiente se puede calcular si se conocen dos puntos por donde pasa la recta P1(x1,y1) y
P2(x2, y2) entonces:
m
y 2  y1
x 2  x1
Conociendo la pendiente y un punto se puede encontrar la ecuación de la línea recta con la
ecuación punto pendiente:
y  y1  m( x  x1 )
Se pueden presentar las siguientes situaciones:
 m > 0: La función es creciente.
 m < 0: La función es decreciente
 m = 0: La función es constante.
 Si m es indeterminada no existe función .
Ejemplo 1: En una factura de gas natural de la empresa Metro gas se lee:
Se puede observar que el primer renglón nos indica que siempre hay un cargo fijo de 7,74
dólares, aunque no usemos el gas. El segundo renglón dice que esa casa consumió, en el
período facturado, 111 m3, y que se cobran aproximadamente 0,15 dólares por m 3
consumido. Al construir una tabla que muestre el costo aproximado en dólares en función del
consumo de gas se tiene:
Es importante tener en cuenta que la empresa de gas sólo factura aproximando a m 3 enteros.
Si tomáramos la situación real de consumo, veríamos que la tabla sólo nos informaría sobre
algunas cantidades, pero en este caso no sobre todas las cantidades posibles, que son
infinitas, recordemos que el conjunto de los números reales es un conjunto denso, es decir
que entre dos números reales, por más cercanos que estén, siempre hay infinitos. Por
ejemplo, entre 0.1 y 0.2 están 0.13, 0.167, 0.16725, etc. En cambio al definir un modelo
matemático para esta situación está nos permitirá calcular el costo real para cualquier valor
de gas consumido. Recuerde que no es lo que factura la empresa. La vendría expresada como:
C ( x)  0.15g  7.74
Donde C(x) es el costo en dólares y g es el consumo de gas en m3.
Ejemplo 2: La demanda de un producto tiene un comportamiento lineal, si se sabe que a un
precio de $ 5000 la unidad se demanda 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el
precio, la demanda crece en 500 unidades.
a. Halle la pendiente ¿qué significa?
Como el precio depende de la demanda, las parejas ordenadas tendrían la forma:
(Precio, demanda)
, es decir, x representa el precio y, y las unidades demandadas, por datos podemos considerar una
primera pareja (5000, 4000) donde x1=5000 y y1=4000 y una segunda pareja (4000, 4500) donde
x2=4000 y y2=4500.
Como sabemos que la pendiente es:
𝑚=
𝑦2 − 𝑦1 4500 − 4000
500
1
=
=
=−
𝑥2 − 𝑥1 4000 − 5000 −1000
2
Significa que por cada 1000 que se incremente el precio la demanda disminuye la mitad.
b. Halle la ecuación de la demanda
Como se conoce la pendiente y un punto utilizamos la ecuación
y  y1  m( x  x1 )
Remplazando
1
( x  5000)
2
1
y  4000   x  2500
2
1
y   x  2500  4000
2
1
y   x  6500
2
y  4000 
c. Grafique la función
Ubicamos los puntos (5000, 4000) y (4000, 4500) y trazamos la recta que corte los dos ejes
coordenados

y
Unidades Dem andadas













P recio














x


d. ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen y qué significa?
Por ecuación y gráfica la ordenada en el origen (b) es de 6500, es decir a $0 se demandan
6500 unidades.
e. ¿Qué precio máximo estaría dispuesto a pagar?
Por gráfica $13000, para un precio superior a este las unidades demandas serían negativas
Analíticamente tendríamos que hacer y=0 y remplazar en la ecuación, así:
0=-1/2 x+6500
Despejando
-6500=-1/2 x
(-6500)*(-2)=x
13000=x
x=13000
f. Para un precio de $ 4500, ¿cuál sería la demanda?
Aquí x=4500 remplazando en la ecuación se tiene
1
y   (4500)  6500  2250  6500  4250
2
Lo cual quiere decir que a $4500 se demandarían 4250 unidades
g. Para una demanda de 5240 unidades, ¿cuál debe ser el precio unitario?
Aquí y=5240 remplazando en la ecuación se tiene
1
5240 = − 𝑥 + 6500
2
Despejando
1
5240 − 6500 = − 𝑥
2
1
−1260 = − 𝑥
2
(−1260) ∗ (−2) = 𝑥
x  2520
Es decir, para demandar 5240 unidades el precio unitario tiene que ser de $2520.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Las funciones cuya fórmula es del tipo: y = a.x2 + bx + c, con a, b, c números fijos y a≠0 para
cada función, se llaman funciones cuadráticas. La gráfica de la función cuadrática tiene una
forma distintiva llamada parábola.
Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y si a < 0, abre hacia abajo.
y = x^2+2x-1
y = -x^2+2x+1
y
y
Máximo Relativo
V(-b/2a, f(-b/2a))
f(-b/2a)
Valor óptimo
Eje de Simetría
x=-b/2a
x
a<0
a>0
x=-b/2a
x
Eje de Simetría
V(-b/2a, f(-b/2a))
f(-b/2a)
Valor óptimo
Mínimo Relativo
La línea vertical que pasa por el vértice de una parábola recibe el nombre de eje de simetría
porque una mitad de la gráfica es un reflejo de la otra mitad a través de esta línea. La ecuación
del eje de simetría es
b
x
2a
El valor óptimo (ya sea máximo o mínimo) de la función se alcanza en el vértice, que es el
punto donde la parábola da la vuelta. El punto es mínimo si a > 0 y el punto es máximo si
a
< 0. La función cuadrática tiene su vértice en
  b   b 
V  
, f
 
 2 a  2a  
Los interceptos de x de la gráfica de una función y = f(x) son los valores de x para los cuales
f(x) = 0 llamados los ceros de la función. Los ceros de la función cuadrática son las soluciones
de la ecuación cuadrática que se pueden obtener a través de la fórmula general:
 b  b 2  4ac
2a
Para la gráfica de la función, se puede presentar dos situaciones:
1. Si la función tiene dos interceptos, se unen estos con el vértice
2. Para aquellos casos en que la función tenga un o ningún intercepto es necesario tabular la
información y se recomienda tomar mínimo tres valores a la izquierda y tres valores a la
derecha del eje de simetría.
x
Ejemplo 1: Si filmáramos el movimiento de una pelota, y se registrará las distintas alturas
que fue alcanzando la pelota en función del tiempo transcurrido desde que se la arrojó al aire,
se tendría una tabla como la siguiente:
Al trazar la gráfica aproximada de esta función, se puede observar que el dominio es el
intervalo de tiempo transcurrido desde que se arrojó la pelota hasta que llegó al suelo, apenas
pasados los 3 segundos de arrojada, es decir, todos los valores comprendidos entre 0 y
aproximadamente 3,1.
La expresión que da origen al movimiento de la pelota, viene dada por
h(t )  5t 2  15t  1
Donde h(t) es la altura que va alcanzando la pelota (en metros) y t es el tiempo transcurrido
(en segundos).
Ejemplo 2: María ha diseñado unos pendientes que se han de hacer con una lámina de oro. El
diseño básico consiste en una forma triangular que tiene 5 mm más de altura que el ancho de
la base. No tiene más dinero disponible que el que le permite comprar 2 250 mm2 de lámina
de oro para hacer dos de estos pendientes. Ahora necesita trabajar en las dimensiones de
cada triángulo.
Solución:
1. Comprender el problema:
Interpretación: María desea hacer unos pendientes en forma triangular, cuenta con el dinero
suficiente para comprar 2250 mm2 de lámina de oro. En su diseño la altura es 5 mm más que
el ancho de la base. ¿Cuáles son las dimensiones de los triángulos?
Datos conocidos:
Área de la lámina de oro: 2250 mm2
Dimensión de la altura: 5 mm más que el ancho de la base
Diseño de los pendientes: triángulos
Datos desconocidos:
Dimensiones del ancho y la altura
2. Desarrollar un plan:
Estrategias: hacer una figura, resolver una ecuación
Descripción: Como el diseño de los pendientes es de forma triangular, haremos una
representación gráfica ubicando la altura y la base. Se sabe que la superficie mide 2250 mm 2
lo cual representa el área del triángulo, así que aplicaremos la fórmula del área de un
triángulo, obteniendo una ecuación cuadrática donde su solución nos conducirá a hallar las
medidas de las dimensiones de los pendientes.
3.
Ejecutar el plan:
bh
, el área de cada triángulo es
2
x  ( x  h)
A
2
Como son dos los triángulos que necesitamos para
fabricar los pendientes, el área de los dos es:
A
2
Por tanto el área resultante es:
x( x  5)  2250
x  ( x  h)
2
x 2  5 x  2250
x 2  5 x  2250  0
 5  5 2  4  1  (2250)  5  25  9000  5  9025
x


2 1
2
2
 5  95
x1 
 45
2
 5  95
 50
2
De las dos soluciones obtenidas sólo nos sirve la primera (una medida no puede ser un
número negativo).
x2 
Se trata pues de unos pendientes triangulares cuya base es de 45 mm o, lo que es lo mismo,
de 4,5 cm y la altura tiene 50 mm o sea 5 cm.
4. Comprobar:
45  50 2250

 1125 mm2, los dos pendientes será: 2*(1125
2
2
mm2) = 2250 mm2 que corresponde a la cantidad de superficie disponible.
El área de un pendiente es: A 
EJERCICIOS
1. Dado los siguientes enunciados:
La función f asigna a cada número natural el resultado de sumarle 3 y elevar la suma al
cuadrado.
La función g asocia a cada número natural el resultado de elevarlo al cuadrado y sumarle 3.
a) Halla las imágenes de 2, 5 y 0 según la función f.
f(2)=
f(5)=
b) Halla las imágenes de 2, 5 y 0 según la función g.
g(2) =
g(5) =
g(0) =
c) Escribe en tu cuaderno las expresiones o fórmulas de f y de g.
f(x) =
g(x) =
f(0)=
2. Dado los siguientes diagramas sagitales, cuáles cumple con ser función, función: inyectiva,
sobreyectiva o biyectiva.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3. Determinar si las siguientes funciones son o no inyectivas.
a)
b)
c)
d)
e)
f(x) = 4x – 2
f(x) = x3 – x
f(x) = √x
f(x) = 2
f(x) = 1 – x2 – x
4. Calcula el dominio de las siguientes funciones:
5. Determina si las siguientes funciones tienen inversa. Si la inversa existe, determínala y
establece su dominio. Si la función no tiene inversa, apoya gráficamente este hecho
verificando que una recta horizontal interseca a la gráfica en más de un punto.
a) f ( x)  (4  x) 3
b) f ( x)  9  x 2
c) f ( x) 
x3
x 1
d) f ( x) 
2x  3
x 1
PROBLEMAS
1. En una ciudad tienen implantada la Ordenanza de Regulación del Aparcamiento (O.R.A.).
La norma indica que se debe pagar cierta cantidad por cada minuto y que no hay un mínimo.
Juan pone 1,20€ y el parquímetro indica que dispone de 30 minutos. Sara con 1€ tiene 25
minutos. Halla la ecuación que relaciona el precio con el tiempo y dibújala. ¿Cuánto hay que
pagar por un estacionamiento de 50 minutos? Si pago 0,84€ ¿de cuánto tiempo dispongo?
2. En un comercio aplican el 15% de descuento a todos sus productos. Halla la ecuación que
relaciona el precio rebajado con el original y dibújala. ¿Cuánto cuesta una camisa que antes
costaba 75€? He pagado por unos pantalones 42,50€ ¿cuánto costaban antes?
3. En un banco nos ofrecen un plazo fijo al 4% anual con una comisión de mantenimiento de
15€ anuales, sea cual sea la inversión realizada. Halla la ecuación que relaciona el interés
producido con el capital invertido. ¿Cuánto producirán 3000€ en un año? ¿Cuánto se ha
invertido si se han recibido 185€?
4. Quiero comprarme un teléfono móvil y he visitado varias compañías. La compañía A me
ofrece una cuota fija de 9€ al mes más 6 céntimos por minuto. La compañía B me ofrece pagar
sólo por el consumo a 0,20€/min. La compañía C me ofrece un coste de 0,10€/min con un
consumo mínimo de 10€. ¿Qué compañía me interesa más?
5. Final de etapa. En una etapa con final en alto un escapado está a 6 Km de la meta y circula
a 9 Km/h. El grupo perseguidor se encuentra a 10 Km del final corriendo a 12 Km/h.
¿Alcanzarán al escapado si mantienen las velocidades? En caso afirmativo ¿cuánto tardarán
y a qué distancia de la meta?
6. Dos excursionistas proyectan una caminata hasta un refugio de montaña, que se encuentra
a 18 km de la ciudad. Para orientarse, cuentan con un perfil del trayecto y un gráfico distancia
–tiempo confeccionado por un grupo que realizó la caminata el mes anterior. Observando el
gráfico, responder: a. ¿Cuántos kilómetros recorrieron aproximadamente hasta llegar al
primer descanso? ¿Cuánto tiempo se detuvieron? b. ¿Cuántos kilómetros recorrieron desde
ese lugar hasta alcanzar la primera cima y cuánto tiempo tardaron en subirla? c. ¿Cuántos
kilómetros hicieron en bajada? ¿Les llevó menos tiempo?
7. Asociar cada gráfica a las situaciones dadas.
a.
b.
c.
d.
Recorrido realizado por un micro urbano.
Paseo en bicicleta parando una vez a beber agua.
Distancia recorrida por un auto de carrera en un tramo del circuito.
Un cartero repartiendo el correo.
8. La siguiente gráfica nuestra el crecimiento de una persona cada 5 años:
a.
b.
c.
d.
e.
¿Cuánto midió al nacer?
¿A qué edad alcanza su altura máxima?
¿En qué período crece más rápidamente?
¿Qué intervalo de números pueden tomar la edad y la altura?
¿Por qué se pueden unir los puntos?
9. Dado los siguientes gráficos, escribir los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
a.
b.
c.
10. Dada la siguiente gráfica que representa el movimiento de un tren: El tren sale de la
estación y va ganando velocidad. En su recorrido para en varias estaciones para recoger
viajeros. Después de hacer su trayecto, el tren regresa a las cocheras sin hacer parada alguna.
a. ¿En cuántas estaciones se detiene para recoger viajeros?
b. ¿Cuánto tarda de una estación a otra?
c. ¿Qué distancia hay entre la primera y la última estación?
d. Indicar los intervalos de crecimiento, decrecimiento o constantes.
e. ¿Cuánto tarda en llegar a las cocheras, después de dejar a los pasajeros en la última
estación?
11. En el año 1896 un científico sueco fue el primero en hablar del “efecto invernadero”, como
resultado de las emisiones de dióxido de carbono en el aire. La quema de combustibles fósiles
produce 5,4 millones de toneladas de carbono al año, aproximadamente. Estas emisiones son
absorbidas por la atmósfera y por los océanos. En la tabla siguiente, se muestra el aumento
de la temperatura global que se pronostica para la tierra, considerada a partir de 1980 en
Celsius.
Año
Aumento de
Temperatura (°C)
1980
2000
2020
2040
2060
2080
0
0,42
0,84
1,26
1,68
2,1
A partir de esta información:
a. Representar gráficamente los datos de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.
b. Determinar la expresión algebraica (función lineal) que modeliza estos datos.
c. Realizar el gráfico de la función lineal obtenida.
d. Interpretar la pendiente y la ordenada al origen en el contexto del problema.
e. Predecir la temperatura estimada para los años 2014, 2030 y 2110.
12. La compañía eléctrica que suministra electricidad a las residencias familiares de un
barrio, fija un costo bimestral de $ 15,80 por residencia, si el consumo de energía no supera
los 40 kwh. Si el consumo de energía supera esa cantidad, el costo de energía suministrada
puede representarse por la siguiente función lineal:
C(x) = 0,60 + (x – 40)0,093
Donde x representa los kwh consumidos. Si una residencia abonó $318, ¿cuál fue el consumo
de energía?
13. Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un
rectángulo. Calcula el área del rectángulo en función del lado x del cuadrado.
14. Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 metros. Quiere hacer un camino
alrededor del estanque como muestra el siguiente dibujo:
La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno.
15. El director de un teatro estima que si cobra 30 € por localidad, podría contar con 500
espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias
obtenidas en función del número de bajadas del precio.
Webgrafía
http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Funciones/FTFuncionReal.pdf