1. No category

Universidad de los Andes
2015-II
Cálculo Diferencial
Respuestas y Sugerencias - Primer Simulacro Parcial 1
Elaborado por Sandor Ortegón
1
−1, −
. La ayuda es tener presente que la expresión dentro del logaritmo debe
2
ser mayor que 0 y la expresión dentro del seno inverso debe estar entre -1 y 1. Ası́ que en cada
parte saca “un dominio” y luego debe intersectar esos dos resultados. Observe que la expresión
dentro del logaritmo se puede simplificar factorizando.
x+1
x
e
−1
e +1
−1.
Procede
con
la
mecánica
de
siempre,
tomar
y
=
ln
,
2. Respuesta: f −1 (x) = ln
1 − 2ex
2ex+1 + 1
intercambiar los roles de x, y ... luego resolver para y.
√
2 x2 − 1
−1
. La ayuda es como de costumbre darle un nombre
3.
a) Respuesta: sen(2 sec (x)) =
x2
−1
de ángulo a sec (x) y armar el triángulo rectángulo.
π 3π π 5π
, ,
. La ayuda es usar identidad
b) Respuesta: Las distintas soluciones son x = ,
2 2 6 6
trigonométrica, luego pasar todo a un lado, factorizar y mirar posibles casos. Use aquello de
ubicar ángulos en los cuadrantes para mirar todas las soluciones.
1. Respuesta:
4.
a) Respuesta: Al evaluar en numerador y denominador, da cero. Se debe racionalizar el numerador y el denominador, a fin√de encontrar ese factor (x − 8) que se pretende factorizar arriba
y abajo. Al multiplicar
por √ x − 4 + 2 arriba y abajo se logra racionalizar el numerador; al
√
multiplicar por ( 3 x)2 + 2( 3 x) + 4 se logra el cometido en el denominador (hay que tener
presente la fórmula de diferencia de cubos a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )). Deberı́a dar 3 el
lı́mite.
b) El lı́mite no existe. Como se hizo en un ejercicio del taller, calcule lı́mites cuando x tiende
al número por izquierda y derecha. Por la definición del valor absoluto vista en casos (que
puede ser x + 6 o (−(x + 6)) según el caso), calcule el lı́mite. Ahora, para que el lı́mite exista,
por izquierda y por derecha debe dar el mismo lı́mite, cosa que no sucederá aqui (por un
lado le dará 7 y por el otro -7)
c) La recta x = 2 es una asintota vertical y dado que al evaluar da algo como “-9/0”, se intuye
que el lı́mite da algo como ±∞ Para saber lo del lı́mite lateral, simplemente haga una tabla
de signos con eso sabe si el lı́mite da −∞ o +∞. Lé dará lı́m f (x) = −∞
x→2+
5. La primera condición dice P (0) = 100, o sea Ce0t = 100. De allı́ se despeja C. La segunda condición
dice P (2) = 8100, o sea Cek·2 = 8100. Como ya se conocı́a C, se saca logaritmo natural y se despeja
k, resultando en k = ln 9. La pregunta que se hace es hallar P (1,5) o sea Celn 9·1,5 y reemplazando
en los valores de C, k y usando propiedades se simplifica a 2700.
1
Universidad de los Andes
2015-II
Cálculo Diferencial
Respuestas y Sugerencias - Segundo Simulacro Parcial 1
Elaborado por Sandor Ortegón
1. Respuesta: [1/3, 1] . La ayuda es tener presente que la expresión dentro del logaritmo debe ser
mayor que 0 y la expresión dentro del seno inverso debe estar entre -1 y 1. Ası́ que en cada parte
saca “un dominio” y luego debe intersectar esos dos resultados. Observe que la expresión dentro
del logaritmo se puede simplificar factorizando. Es similar al del primer simulacro.
2.
3.
4.
a) Respuesta: Como de costumbre, la idea es darle nombre de ángulo, digamos θ a arctan(x2 ).
Se pregunta entonces por cos(2θ). Usando identidad de coseno del ángulo doble resultará igual
1 − x4
.
a
1 + x4
b) Respuesta: Resultará la ecuación tan2 (x) − 3 = 0 (pasando todo a un solo lado). Las
π 2π 4π 5π
distintas soluciones en el intervalo [0, 2π] son x = ,
,
,
.
3 3 3 3
1
1 − x3
a) Respuesta: f −1 (x) = ln
.
2
x3 − 2e
b) Como se ve que aparece todo el tiempo un “ln(x − 2)”, la idea es primero despejar ese
logaritmo (es decir, como si le dieran un nombre de variable y = ln(x − 2) y despejar y) y al
final usar exponencial para despejar x. Resultará x = e9 + 2
p
a) Respuesta: Se hizo en clase, la respuesta es 3 −8/10
b) Al evaluar en x = −2 resultan numerador y denominador iguales a 0. Al factorizar x−(−2) =
x + 2 arriba y abajo se consigue encontrar el lı́mite (abajo toca factorizar suma de cubos).
−1
La respuesta será
.
3
c) Al tomar casos respecto del valor absoluto (y hacer tabla de signos de x2 + x − 2 para saber
cuando esta expresión es positiva y cuando negativa), resultará que el lı́mite por izquierda
es igual a 3 y por derecha igual a −3. En consecuencia el limite no existe.
d ) Este limite da igual a 0 y es ejercicio tı́pico para aplicar teorema del emparedado. Se hizo
en clase.
5.
a) El lı́mite es igual a 3/2. Es un ejercicio “truculento” de un nivel que se duda aparezca en
el parcial 1, pero se puede hacer de manera elemental (otros estudiantes con conocimiento
piensan en la regla de L’Hospital, pero ese es un tema no visto aún en el curso y que no
sen(3x)
está permitido para el parcial 1). La idea es reescribir el lı́mite como lı́m
· cos(2x) ·
x→0
3x
2x
y separar los lı́mites (y en cada parte usar el limite conocido mencionado).
sen(2x)
b) Este limite por izquierda y derecha es igual a +∞.
1
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2015-II
Cálculo Diferencial
Respuestas y Sugerencias - Tercer Simulacro Parcial 1
Elaborado por Sandor Ortegón
1.
a) En primer lugar, como (g◦f )(x) = g(f (x)), se asume que lo que está “adentro”,
o sea f (x), debe estar definido; es decir, que x + 2 ≥ 0, o lo mismo x ≥ −2.
Esa el la primera desigualdad que necesitamos.
En segundo lugar, vemos que
√
x+2−1
( x + 2)2 − 1
x+1
= ln
(g ◦ f )(x) = ln √
= ln
x+2−4
x−2
( x + 2)2 − 4
x+1
>0
x−2
Haciendo tabla de signos (se dejan los detalles al estudiante) y usando el hecho
que el denominador no puede ser 0, se concluye que el conjunto solución de esa
segunda desigualdad es (−∞, −1) ∪ (2, ∞).
Para que esta expresión esté definida, se debe cumplir que
Intersectando los conjuntos solución de ambas desigualdades, el conjunto solución es [−2, −1) ∪ (2, ∞); ese es el dominio de g ◦ f .
Comentario: Hay estudiantes que creen equivocadamente (tal ve alguien les
dijo o interpretaron mal lo que alguien les dijo) que el dominio de la composición
g ◦ f es la intersección de los dominios de f y g; claramente esto es falso (y en
este ejemplo puede ensayar hacerlo ası́ y como es de esperarse obtendrá una
respuesta distinta e incorrecta).
17
−1
b) Le damos nombre θ al ángulo desconocido sec
. Ası́ que la pregunta es
8
cos(2θ)
hallar cot(2θ) =
sen(2θ)
17
−1
Usando la función inversa, se puede reescribir la relación de θ = sec
8
17
como sec(θ) =
, lo cual podemos interpretar en un triángulo rectángulo
8
donde el la hipotenusa mide 17 y el cateto adyacente a α mide 8; por Teorema
de Pitágoras, el cateto opuesto mide 15 (verificar!).
Ası́ que se cumple lo siguiente (usando identidades de ángulo doble):
8
cos(2θ)
cos2 θ − sen2 θ
cot(2θ) =
=
= 17
sen(2θ)
2 sen θ cos θ
2
1
2
−
15
17
15 2
17
8
17
=−
161
240
Respuestas y Sugerencias
2
s
2.
a) Al reflejar sobre la recta y = x, resulta la relación x =
3
ey − 1
. Nuestra
ey + 1
misión es despejar y en términos de x
ey − 1
ey + 1
3 y
x (e + 1) = ey − 1
x3 ey + x3 = ey − 1
x3 + 1 = ey − x3 ey
x3 + 1 = ey (1 − x3 )
x3 + 1
= ey
3
1−x
3
x +1
= y = f −1 (x)
ln
1 − x3
x3 =
Para describir en palabras lo que se hizo, note que al manipular, lo que se hace
es “pasar lo que tenga y a un lado, lo que no tenga y al otro lado ... luego
despejo ey y sólo al final saco logaritmo para despejar y.
b) Usando propiedades de logaritmos,
1
1
ln(43 ) + [ln 2 − ln(400)]
3
2
1
1
r = · 3 ln(4) + [ln 2 − ln(400)]
3
2
1
r = ln(4) + [ln(2/400)]
2
1
r = ln(4) + [ln(1/200)]
2
r = ln(4) + ln (1/200)1/2
r = ln 4 · (1/200)1/2
r=
Ahora, como nos preguntan por e−2r podemos multiplicar por 2 y resulta
2
2r = 2 ln 4 · (1/200)1/2 = ln 4 · (1/200)1/2 = ln (16 · (1/200)) = ln (2/25)
Ası́ que
−2r = − ln (2/25) = ln (2/25)−1 = ln (25/2)
Usando el hecho que eln x = x, “forzamos” a poner el exponente como logaritmo
25
de una expresión. Entonces e−2r =
2
3.
a) Aquı́ se observa al evaluar en x = 1 que da una indeterminación de tipo 0/0.
Ası́ que se racionaliza para factorizar x − 1 arriba y abajo. La respuesta es 1/4.
b) Se puede factorizar un x arriba y abajo y cancelarlo. El limite resultante no se
puede simplemente evaluar, pues queda indeterminación del tipo −1/0, asi que
sabemos que el limite es ±∞ dependiendo del signo. Al hacer tabla de signos
Respuestas y Sugerencias
3
nos damos cuenta que cerca y a la izquierda de 0 la expresión es negativa, asi
x2 − x
que lı́m+ 3
= −∞
x→0
x + 2x2
c) El limite no existe. Porque si se separa el valor absoluto por casos (dependiendo
si x + 2 es positivo o negativo), resulta que
1
1
1
1
−
= lı́m +
−
=0
lı́m
x→−2
x→−2+
x + 2 |x + 2|
x+2 x+2
Mientras de otro lado,
−1
2
1
−
= lı́m −
= −∞
lı́m −
x→−2
x→−2
x+2 x+2
x+2
Por si acaso, ese segundo limite se haya sabiendo que es indeterminación de
tipo 2/0, ası́ que el lı́mite es ±∞ y con tabla de signos se halla que en este
caso el lı́mite lateral es −∞. De modo que los lı́mites laterales son diferentes y
el lı́mite dado no existe.
4. Sabemos que la fórmula es P (t) = Cekt donde C, k son constantes. Si tomamos t en
horas, sabemos que P (0) = 100, de donde C = 100, mientras que si P (2) = 6400
deducimos que k = ln(64). El ejercicio pide evaluar P (5/3) (100 minutos equivale a
5/3 horas) y resultará igual a 3200. Se necesita usar propiedades de logaritmos para
llegar a tener esa expresión bien simplificada.
5.
a) lı́m f (x) = −2
x→−1
b) lı́m f (x) no existe, por izquierda el lı́mite es −2, por derecha es 2.
x→2
f (x)
= 1; como f (x) = x − x2 alrededor de 1 (no es un caso “limı́trofe”
x→1 x − 1
como en −1 y en 2), entonces simplemente se hace la división, se factoriza para
cancelar y resulta que el limite es igual a 1.
1
π
6. f (x) =
cos 2x +
se ajusta a la gráfica dada.
10
2
c) lı́m