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Algebra
Matricial:
Inversa
Lateral
Izquierda de
una Matriz
Departamento
de
Matemáticas
Inversa
Izquierda
Inversa Lateral Derecha
Teorema
Sea A una matriz m × n: Existe una matriz X tal que
X · A = In si y sólo si el rango de A es n. En caso de que X
exista, se le llamará una inversa lateral izquierda de la matriz A.
Demostración Sabemos que C AT ⊆ Rn y que Rn = C (In ). También
sabemos que el rango de A esla dimensión
de C (A), que es la
T
misma que la dimensión de C A . Si el rango de A es n,
entonces C AT = Rn = C (In ). En particular,
C (In ) ⊆ C AT , y por lo tanto, existe Y tal que AT · Y = In .
De donde, al tomar transpuestas tenemos que YT · A = In . La
matriz buscada X es YT . Por otro lado, si existe X tal que
X · A = In ,entonces
AT · XT = In . Y portanto,
C (In ) ⊆ C AT y por lo tanto, n ≤ dim C AT
≤ n. Por
tanto, dim C AT
= n y por lo tanto el rango de A es n.
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Inversa
Izquierda
Observe que una inversa lateral izquierda de A es una inversa
lateral derecha de AT , la cual será obtenida resolviendo la
ecuación ATh · Y = Iin . Y para ello, podemos reducir la matriz
aumentada AT |In :
• Si en esta reducida hay un renglón de ceros a la izquierda,
la matriz AT tiene rango menor que n y por lo tanto, AT
no tiene inversa lateral derecha. Por consiguiente, A no
tiene inversa lateral izquierda.
• Si por otro lado, todo renglón a la izquierda tiene pivote;
podemos calcular una inversa lateral derecha de AT
tomando la parte derecha de la reducida de la aumentada
e insertando renglones de ceros en la posición de las
variables libres, si hubieran. Transponiendo la inversa
lateral derecha de AT obtenemos una inversa lateral
izquierda de A.
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Ejemplo del cálculo de una inversa lateral izquierda:
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