UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR MODALIDAD A

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
MODALIDAD A DISTANCIA
ADMINISTRACIÓN EMPRESAS
AUTORES: Magister María López.
Magister Santiago Durán
QUITO, 2014
0
TABLA DE CONTENIDO
INFORMACIÓN GENERAL ................................................................................................................ 4
INFORMACIÓN GENERAL DE LA GUÍA DIDÁCTICA.................................................................. 6
............................................................................................................................................................ 7
BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA ................................................................................................ 8
VINCULACIÓN CON CONOCIMIENTOS ANTERIORES .......................................................................... 9
............................................................................................................................................................ 9
BLOQUE 1 ..................................................................................................................................... 10
1. ECUACIÓN ...................................................................................................................................... 10
INTRODUCCIÓN............................................................................................................................ 10
1.1.1. ECUACIÓN LINEAL ............................................................................................................ 10
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. .......................................................................... 12
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON LITERALES .............................................................. 13
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES FRACCIONARIAS .............................................................. 14
ECUACIONES CON RADICALES. ............................................................................................... 15
1.1.2. ECUACIONES CUADRÁTICAS. ......................................................................................... 17
Fórmula Cuadrática. ....................................................................................................................... 18
Resolución de ecuaciones fraccionarias de segundo grado. .......................................................... 20
Resolución de ecuaciones de segundo grado con radicales. .......................................................... 21
AUTOEVALUACIÓN ......................................................................................................................... 27
Recuerde: ....................................................................................................................................... 27
CONSULTAS EN EL TEXTO ...................................................................................................... 27
1.2.1.
INECUACIONES LINEALES ....................................................................................... 28
Propiedades de las desigualdades .................................................................................................... 29
INTERVALOS.- Los intervalos pueden ser abiertos o cerrados. .................................................. 30
Cuadro Representativos de los diferentes intervalos: ..................................................................... 31
RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES LINEALES .................................................................. 31
Gráficamente: ....................................................................................................................................... 32
Gráficamente. ....................................................................................................................................... 33
RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES FRACCIONARIAS ...................................................... 33
DESIGUALDADES COMPUESTAS ............................................................................................. 34
1
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES COMPUESTAS ........................................................................ 34
1.2.2. APLICACIÓN DE INECUACIONES .................................................................................. 36
0,36 + 0.11 (x – 3) < 2 .......................................................................................................................... 36
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ....................................................................................... 37
Escriba cada una de las siguientes expresiones sin utilizar el símbolo de valor absoluto ................ 38
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO ............................. 38
RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO .......................... 40
CONSULTAS EN EL TEXTO ...................................................................................................... 41
2.1. FUNCIONES ................................................................................................................................ 43
2.1.1. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN......................................................................... 44
DETERMINACIÓN DE LOS VALORES FUNCIONALES ......................................................... 46
2.1.2. FUNCIONES ESPECIALES ................................................................................................ 47
2.1.3. OPERACIONES CON FUNCIONES .................................................................................. 49
Suma de Funciones ..................................................................................................................... 49
Resta de funciones. ...................................................................................................................... 50
Multiplicación de funciones ........................................................................................................ 50
División de funciones. ................................................................................................................. 50
Composición de funciones ................................................................................................................... 50
2.2.1. COORDENADAS RECTANGULARES. .............................................................................. 52
2.2.2. Intersección y Simetrías ........................................................................................................ 53
2.2.3. GRAFICACIÓN DE FUNCIONES ...................................................................................... 55
...................................................................................................................................................... 60
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL PRIMER HEMISEMESTRE ........................... 60
PRIMER TRABAJO A ENTREGAR ....................................................................................... 60
3.1. LA RECTA..................................................................................................................................... 62
3.1.1. PENDIENTE DE UNA RECTA.- (m) .................................................................................. 62
3.1.2 ECUACIONES DE LA RECTA ............................................................................................. 65
FORMA PUNTO-PENDIENTE DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ........................................ 65
FORMA PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN. ..................................................................... 66
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS .................................................... 67
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA ....................................................................................... 67
Matemática I
2
3.1.3 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES................................................................ 68
Rectas Paralelas ........................................................................................................................... 68
Rectas Perpendiculares ............................................................................................................... 69
3.1.4. APLICACIONES DE LA RECTA ....................................................................................... 70
ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS ......................................................................... 71
AUTOEVALUACIÓN .......................................................................................................................... 73
3.2 LA PARÁBOLA ......................................................................................................................... 75
3.2.1 ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA ...................................................................................... 75
3.2.2 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA ..................................................................... 76
3.2.3 APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA ......................................................... 77
3.3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES .......................................................................... 80
3.3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES ............................................. 80
3.1.2 SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES VARIABLES ........................................ 82
3.1.3 APLICACIONES .................................................................................................................... 84
AUTOEVALUACIÓN ......................................................................................................................... 90
4.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL ..................................................................................................... 92
Definición..................................................................................................................................... 92
4.1.1 CARACTERÍSTICAS ......................................................................................................... 92
4.1.2 GRÁFICO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL .............................................................. 93
4.1.3 APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL .................................................. 94
Interés Compuesto. ................................................................................................................ 94
Modelo de crecimiento exponencial ...................................................................................... 96
4.2.1 FUNCIÓN LOGARÍTMICA .................................................................................................. 98
4.2.2 GRÁFICO DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA................................................................. 100
4.2.3 APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA ..................................................... 101
4.3 ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES ........................................................ 104
4.3.1 ECUACIONES LOGARÍTMICAS....................................................................................... 104
4.3.2
ECUACIONES EXPONENCIALES ............................................................................. 104
AUTO EVALUACIÓN ...................................................................................................................... 105
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL SEGUNDO HEMISEMESTRE ........................ 106
Matemática I
3
INFORMACIÓN GENERAL
Introducción:
¿Cuál es la génesis del estudio a distancia?
La situación cambiante de los esquemas económicos, políticos y sociales que
experimenta el mundo; así como el avance científico técnico en los diferentes ámbitos
de las ciencias naturales y técnicas, exigen un replanteamiento en los sistemas
académicos de estudios.
El desarrollo de la tecnología de punta en las telecomunicaciones ha hecho posible, la
creación de nuevas metodologías académico pedagógicas como es el caso del estudio
semipresencial y a distancia.
La Facultad de Ciencias Administrativas de la Universidad Central enfrenta un
nuevo desafío: ofrecer la modalidad profesional a distancia para cubrir las necesidades
de un mercado insatisfecho dispuesto al estudio de las Ingeniería en Administración
Pública, Administración de Empresas y Contabilidad y Auditoría.
La Matemática I es una ciencia instrumental del saber humano y por lo tanto de
orientación en la formación profesional.
Se preocupa de impartir conocimientos de carácter práctico orientados a la toma de
decisiones gerenciales como: revisar balances, estados de cuenta, avance de proyectos,
análisis estadísticos, financieros, administrativos, etc.
¿Es importante la asignatura? ¿Por qué?
Contribuye a la formación y estructura lógica del pensamiento humano y al desarrollo
de valores en los estudiantes.
Proporciona las herramientas fundamentales para la solución de problemas
relacionados con las diferentes carreras.
La Matemática I es prerrequisito para el desarrollo de las diferentes asignaturas del
área, que se impartirán en los siguientes semestres de las tres carreras, tales como:
Matemática II, Matemática Financiera, Estadística I y II e Investigación Operativa
I y II, constituye además, so-porte para otras áreas académicas como: Economía,
Contabilidad e Informática.
Matemática I
4
Objetivo General
Al finalizar el curso los estudiantes estarán en capacidad de resolver
problemas matemáticos reales relacionados con la Administración, la
Economía, las Finanzas a nivel productivo y comercial, aplicando métodos y
modelos matemáticos sencillos, y lograrán trabajar en grupos, tomar
decisiones, buscar alternativas de solución de ejercicios prácticos con
solvencia, honestidad y rigurosidad científica.
Matemática I
5
INFORMACIÓN GENERAL DE LA GUÍA DIDÁCTICA
Introducción:
¿Qué te permite conocer la guía?
Esta guía le proporcionará una información secuencial de los pasos a seguir en
su estudio, la misma que está conformada por dos partes:
PRIMERA PARTE
UNIDAD I: Ecuaciones e Inecuaciones.
UNIDAD II: Función de Variable Real.
SEGUNDA PARTE
UNIDAD III: Rectas, Parábolas y sistemas.
UNIDAD IV: Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Cada uno de los bloques antes mencionados contiene su respectiva planificación
didáctica como son: objetivos, contenidos, duración, ejemplificación, auto
evaluación, evaluación a distancia, respuestas a los ejercicios propuestos, anexos
y orientaciones específicas.
Importancia de la guía
El presente material de estudio se ha programado para desarrollarlo en una
forma sistematizada y ordenada, de modo que pueda adquirir el conocimiento de
manera paulatina, aplicando el método científico que es gradual en el avance,
lógico y sistemático en la utilización de sus procedimientos y es usado por los
estudiosos y hombres de ciencia, para sobre la base de sus resultados, tomar
decisiones que conlleven soluciones de diversa naturaleza.
Pensando en usted como elemento productivo de la sociedad se ha elaborado esta
guía, que le permitirá tener las facilidades para el estudio en la modalidad a
distancia. El éxito que obtengamos dependerá principalmente de su dedicación,
responsabilidad y honestidad con que asuma este reto.
Matemática I
6
Orientaciones específicas:
 Es importante que planifiques tu tiempo correctamente para la
ejecución de las actividades, recomendándose para el estudio de la
presente guía, de por lo menos dos horas diarias de dedicación.
 El texto básico será tu fuente de estudio, para ello deberás seguir en
forma detallada las instrucciones de la guía didáctica, con una
interpretación adecuada de la lectura comprensiva de cada capítulo,
subrayando los puntos importantes y elaborando cada tarea con
criterio personal.
 Es importante que tenga un lugar específico de estudio dotado de las
comodidades necesarias para el desarrollo de sus actividades.
 Recuerde que el período disponible es rígido y el tiempo que usted ha
distribuido únicamente podrá ser ajustado por usted, razón por la
que no deje para los últimos días u horas aquellas materias o temas de
estudio que va a tener dificultad.
Matemática I
7
BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA
Regresar
Bibliografía Básica.- Texto Guía:
HAEUSSLER, ERNEST F, JR, Matemáticas para la Administración y la
Economía, Décimo segunda Edición. 2008. Pearson Educación de México S.A.
Bibliografía Complementaria
Tan, S. T, Matemáticas para la Administración y la Economía, Segunda Edición,
2001.-El Caribe.-Editorial Thompson.
González O Mancill, Álgebra Elemental Tomo I y Tomo II. Editorial Kapeluz.
Buenos Aires
Netgrafía
HAEUSSLER, ERNEST F, JR, Matemáticas para la Administración y
Economía.
la
http://elblogerperu.blogspot.com/2010/03/matematicas-para-la-administraciony-la.html
Matemática para Administración y Economía
http://books.google.com.ec/books/about/Matem%C3%A1ticas_para_Administra
ci%C3%B3n_Y_Econ.html?id=TABzj5AZ0JAC&redir_esc=y
Exponentes y radicales
http://www.galeon.com/student_star/expyrad01.htm
Ejercicios de ecuaciones de primer grado
http://www.galeon.com/student_star/expyrad01.htm
Pendiente de la recta
http://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_la_recta
Logaritmos y Ecuaciones
http://youtu.be/LW_sP5jDBQA
http://youtu.be/aJidusuzkrg
Matemática I
8
PRIMERA UNIDAD: ECUACIONES E INECUACIONES
OBJETIVO:
Al terminar el estudio de esta Guía, estarás en capacidad de Identificar los
problemas de manera general, dirigidos a los temas de Administración de
Empresas, Administración Pública y contabilidad y auditoría, así como
analizar las técnicas y métodos innovadores de resolución matemática
aplicados a los diferentes ámbitos empresariales para lograr el desarrollo
del pensamiento lógico-crítico.
CONTENIDO:
BLOQUE I: ECUACIÓN
BLOQUE II: INECUACIONES.
MÉTODOS Y TÉCNICAS DE ESTUDIO SUGERIDOS:
Lectura Comprensiva, Métodos- Inductivo e Deductivo, Analítico sintético,
Aprendizaje en base a problemas.
VINCULACIÓN CON CONOCIMIENTOS ANTERIORES
VINCULACIÓN CON CONOCIMIENTOS ANTERIORES.
PARA COMPRENDER LOS TEMAS QUE VAS A TRATAR EN LA PRESENTE GUÍA, DEBES
TENER CLARO LOS SIGUIENTES TEMAS:




Operación con números reales.
Exponentes y Radicales.
Operaciones con expresiones algebraicas.
Factorización.
Matemática I
9
BLOQUE 1
BLOQUE I: ECUACIONES
OBJETIVO
Aplicar los conocimientos de Algebra de ecuaciones en la resolución de
problemas empresariales.
CONTENIDO:
1.1. Ecuaciones
1.1.1. Ecuaciones Lineales
1.1.2. Ecuación cuadrática
1.1.2. Aplicaciones de las ecuaciones: Ejercicios y problemas de costos
fijos, costos variables, ingresos, demanda, oferta, apreciación,
depreciación.
1. ECUACIÓN
INTRODUCCIÓN
Este capítulo tiene como finalidad tratar lo referente a sistemas de ecuaciones
lineales y cuadráticas, primero un sistema de ecuaciones lineales de una, dos
variables y cuadráticas mostrando sus soluciones e interpretándolo
gráficamente, donde se modelan situaciones reales con dichas ecuaciones como
son el problema de punto de equilibrio, oferta y demanda, producción,
inversiones, transporte, etc.
1.1.1. ECUACIÓN LINEAL
DEFINICIÓN.- Una ecuación es un enunciado que indica que dos expresiones
son iguales, se denominan miembros de la ecuación y están separadas por el
signo de igualdad “= “.
Ejemplos: x + 2 = 0
z4
9
3
En los ejemplos anteriores cada ecuación tiene por lo menos una variable. Una
variable es un símbolo que puede ser reemplazado por un número cualquiera de
un conjunto. Los símbolos más comunes para remplazar variables son: t, u, v,
w, x, y, z. En consecuencia en los ejemplos anteriores las variables son x, z. Los
números 2 y 1 de las ecuaciones son, cantidades fijas llamadas constantes.
Matemática I
10
RESOLVER UNA ECUACIÓN.- Significa encontrar todos los valores de sus
variables para los cuales la ecuación es verdadera. Estos valores constituyen las
soluciones de la ecuación.
ECUACIÓN LINEAL.- Una ecuación es lineal o de primer grado si el polinomio
es de grado 1, es decir que sus variables tienen exponente 1.
Ejemplos:
x+4=0
Una ecuación lineal se puede escribir de la forma:
ax
+
c
=0
Donde a  0
a y c
son números reales.
PROPIEDADES DE IGUALDAD
En la Suma y en la Resta.
Si una cantidad se suma, o se resta de ambos miembros de una ecuación, resulta
una nueva ecuación equivalente a la original.
Si a, b, c son números reales;
a=b
Entonces.
a + c = b+c
y
a - c = b–c
En la Multiplicación y en la División.
Si ambos miembros de una ecuación se multiplican o se dividen por una misma
cantidad distinta de cero, se tendrá una nueva ecuación equivalente a la original.
Si a, b, c son números reales ; a = b
c
 0, entonces
ac = bc
y
a/c = b/c
Transposición de Términos.
Transponer los términos de una ecuación significa pasar de un miembro a otro
para lo cual es necesario tomar en cuenta las siguientes reglas:
1.) Todo lo que está sumando en miembro para el otro restante.
Matemática I
11
Ejemplo:
x + 5 = 2x - 6
x = 2x - 6 - 5
El 5 que está sumando en el primer miembro pasa al segundo restando.
2.) Todo lo que está restando en un miembro pasa al otro sumando.
Ejemplo: x + 5 = 2x – 6
x + 5 + 6 = 2x
El 6 que está restando en el segundo miembro pasa al primero sumando.
3.) Todo lo que está multiplicando en un miembro para el otro dividendo.
Ejemplo:
2x = 5
x = 5/2
4) Todo lo que está dividiendo en un miembro pasa al otro multiplicando
Ejemplo:
x
3
4
El 4 que está dividiendo en el primer miembro pasa al otro multiplicando. Así:
x = 3. 4
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES.
Ejemplo: Resolver la ecuación:
2 (2x + 1) = 15 + 3x
Para resolver una ecuación lineal se procede así:
1.) Efectuar las operaciones indicadas en los miembros de la ecuación si las hay
así:
4x + 2 = 15 + 3x
2.) Transponer términos de modo que las variables queden en el 1er. miembro de
la ecuación: así:
Matemática I
12
4x - 3x = 15 – 2
3.) Reducir términos semejantes en ambos miembros de la ecuación. Así:
x = 13
4.) Despejar la incógnita.
5.) Verificar
EJERCICIO 1
Transponer términos de modo que las variables quedan en el primer
miembro y los demás en el segundo:
1.) x – 5 + 2x – 15 = -2x
2.) w – 1 + 3w = - w + 2
3.) 2x + x
2
-8= 0
4.) 20 - 9x = - x
5.)
9x - x
2
2
+x
= 10 + 2 x
2
6.) x – 5 = 4x + 10
Resolver las siguientes ecuaciones:
1) 9 (x + 2) = - 6 (4 – x) + 18
2.) 3x – 22 = -2x – 7
3.) 2 (2y + 1) = 15 + 3y
4.) 7x + 7 = 2(x + 1)
5) 2 (p – 1) - 3 (p – 4) = 4 p
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON LITERALES
Primero debemos simplificar las ecuaciones y después colocar todo los términos
que impliqué la incógnita a un lado.
Ejemplo:
Resolver:
Matemática I
13
s= p + prt
despejar r
s–p=prt
prt = s–p
=
−

EJERCICIO 2
Despejar la variable indicada de cada fórmula en los siguientes ejercicios:
1.) A = l w;
despejar w
2.) V = 1/3 B h;
despejar B
3.) I = p r t;
despejar t
4.) P = 2 l + 2 w;
despejar w
5.) A = 1/2 h (B + b); despejar b
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES FRACCIONARIAS
Para resolver una ecuación fraccionaria aplicamos la siguiente regla:
Ejemplo: Resolver la ecuación:
y6 6 y6
 
y
y y6
1.) Se busca el m.c.m. entre los denominadores.
m.c.m. = y (y – 6)
2.) Se reduce la ecuación al mínimo común denominador (m.c.d.) dividiendo el
m.c.m. para el denominador y multiplicando por el denominador su resultado.
Así:
y (y – 6) ÷ y = (y – 6) (y – 6)
y (y – 6) ÷ y = 6 (y – 6)
y (y – 6) ÷ (y – 6) = y (y + 6)
Quedando la fracción reducida al m.c.d. así:
Matemática I
14
(y – 6) (y – 6) - 6 (y – 6) = y (y + 6)
3.) Se efectuaran las operaciones indicadas y se reducen términos semejantes.
y
2
- 12y + 36 - 6y + 36 =
y
2
- 18y + 72 = y
2
y
2
+ 6y
+ 6y
4.) Se despeja la incógnita
- 18y - 6y = -72
- 24y = - 72
y
72
24
y=3
EJERCICIO 3
Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias.
1)
x3 2

x
5
2)
3)
4)
5)
2
1
20

 2
0
x  5 x  5 x  25
3x  2 3x  1

2x  3 2x  1
x 1
x 1
10  x 2

 2
3x  6 2 x  4 6 x  24
x
x
3x  4

 2
x3 x3 x 9
ECUACIONES CON RADICALES.
Una ecuación con radicales es aquella en la que la incógnita aparece dentro de
un radical.
Ejemplo:
x
+ x 1 = 1
Para resolver ecuaciones con radicales aplicamos la siguiente regla:
Matemática I
15
1.) Transponer términos de modo que un radical quede en el primer miembro:
x
x 1
= 1 -
2.) Elevar el cuadrado ambos miembros de la ecuación.
( x ) 2 = (1 - x  1 ) 2
1–2
x =
x 1
+ x +1
3.) Pasar todos los términos que no contienen radicales al primer miembro:
x - x - 1 - 1 = - 2 x 1
- 2 = - 2 x 1
1 =
x 1
4.) Elevar nuevamente al cuadrado los dos miembros de la ecuación:
1 2 = ( x 1) 2
1
= x+1
1- 1 = x
=> x = 0
EJERCICIO 4
Resolver las siguientes ecuaciones.
1.)
2.)
3.)
x2
= 3
3
x 1
= 1
4
x 1
= 2
4.)
2 4x  1 =
5.)
10 p  1
=
x4
11 p  7
Matemática I
16
1.1.2. ECUACIONES CUADRÁTICAS.
Una ecuación cuadrática es llamada también ecuación de segundo grado, ya que
la potencia más grande que aparece en ella es dos.
La ecuación de segundo grado es de la forma:
ax
2
+bx+c =0
ó
ax
2
+bx+c =0
Donde a, b y c son, números reales.
Mientras que la ecuación de primer grado tiene una raíz, la de segundo grado
puede tener dos raíces diferentes.
Resolución de Ecuaciones Cuadráticas por Factorización.
Un método útil para resolver ecuaciones cuadráticas es por factorización.
Ejemplo:
1.)
4x2 -3x =0
Factorizando nos queda:
x (4 x – 3) = 0
Igualando a cero ambos factores:
x1 = 0
4x–3=0
4x=3
x2 = 3 / 4
2.)
x 2 + x - 12 = 0
Factorizando nos queda:
( x + 4) (x – 3) = 0
Igualando a cero ambos factores.
Matemática I
17
x–3=0
x+4 = 0
x1 = - 4
3.)
x 2= 3
9x2 - 4=0
Factorizando nos queda:
(3x + 2) (3x – 2) = 0
Igualando a cero cada factor:
3x +2 =0
3x–2 =0
3x =-2
3x =2
x1 = - 2 / 3
x2 = 2 / 3
EJERCICIO 5
Resolver por factorización
1.) x 2 - 4x + 4 = 0
2.) y 2 - 7y +12 = 0
3.) t 2 + 3t + 2 = 0
4.) x 2 - 16 = 0
5.) x 2 + x – 12 = 0
Fórmula Cuadrática.
Las raíces de la ecuación cuadrática a x 2 + b x + c = 0. En donde a, b y c son
constantes y a  o, están dadas por.
=
− ± √ 2 − 4
2
Ejemplos: resolver aplicando la fórmula cuadrática la ecuación:
4 x 2 - 12 x + 9 = 0
Estrategia para aplicar la fórmula Cuadrática.
Matemática I
18
1.) Establecer la forma de la ecuación de segundo grado.
ax2 +bx+c=0
y determinar los valores de a, b, c.
a =4
b = - 12
2.) Aplicar la fórmula:
=
=
c=9
−±√ 2 −4
2
12±√144−4(4)(9)
2(4)
=
12 ± √144 − 144
8
=
12 ± √0
8
=
12 ± 0
8
x1 = 3 / 4
x
2
= 3/4
son raíces iguales
El valor  2 − 4 que se encuentran dentro del radical se denomina
discriminante de la ecuación.
Podemos establecer las siguientes propiedades:
- Si b 2 - 4 a c < o, las raíces son imaginarias, y desiguales.
- Si b 2 - 4 a c = o, las raíces iguales y reales.
- Si b 2 - 4 a c > o, las raíces son desiguales y reales.
EJERCICIO 7
Resolver, mediante la fórmula cuadrática y determine si las raíces son
reales, desiguales o imaginarias.
1.) x 2 + 3 x + 2 = 0
2.) y 2 - 18 y = - 81
3.) 8 u = - 4 u 2 - 3
4.) x 2 - 3 x + 2 = 0
5.) 5 x 2 + 5x + 1 = 0
Matemática I
19
Resolución de ecuaciones fraccionarias de segundo grado.
Ejemplo:
1
1
1
−
=
−2 −1 6
1.) Reducir las ecuaciones al m.c.d. (quitar los denominadores)
El m.c.d. es: 6 (x – 2) (x – 1) luego:
6 (x – 1) – 6 (x – 2) = (x – 2) (x – 1)
2.) Efectuar las operaciones indicadas:
6 x - 6 – 6 x + 12 = x 2 - 3 x + 2
3.) Igualar a cero la ecuación:
6 x - 6 – 6 x + 12 - x 2 + 3x – 2 = 0
- x 2 + 3x + 4 = 0
Multiplicando por (- 1)
x2 -3x–4=0
4.) Resolver las ecuaciones aplicando en cualquier método.
(x – 4)
(x +1) = 0
x–4=0
x+1=0
x1 = 4
x2 = -1
5.) Verificar:
1
1
1
−
=
4−2 4−1
6
1 1
1
− =
2 3
6
3−2
1
=
6
6
:
1
1
=
6
6
Matemática I
20
EJERCICIO 8
Resolver las siguientes ecuaciones:
2 
3
1)
− =
5 2 10
2) 4 −
13 3
=

2
2 
3)
− = 3( − 5)
6 2
4)
1
1
( − 4) + 2( − 5) = ( 2 − 53)
4
5
5)
5
6
5
−
=
3
2 − 1  + 1
8
Resolución de ecuaciones de segundo grado con radicales.
Ejemplo:
Resolver la siguiente ecuación:
q + 2 = 2 4q  7
1.) Transponer términos de modo que quede en cada miembro un solo radical.
9 + 2 = 2 4q  7
2.) Elevar al cuadrado ambos miembros.
(q + 2)
2
= (2 4q  7 )2
q 2 + 4 q + 4 = 4 (4q – 7)
q 2 + 4 q + 4 = 16q – 28
3.) Igualar a cero
q 2 + 4 q + 4 – 16 q + 28 = 0
q 2 - 12 q + 32 = 0
Matemática I
21
4.) Resolver la ecuación aplicando cualquier método.
(q – 8) (q – 4) = 0
q1 = 8
q2 = 4
5.) Verificar:
(8 + 2) = 2 2(8)  7
10 = 2 (5)
10 = 10
EJERCICIO 9
Resolver las siguientes ecuaciones:
1)√ + 1 + √2 + 3 − √8 + 1 = 0
2)3√ − 3 =  − 1
3)  + 1 = √4 + 9
4) √5 − 11 − √ − 3= 4
1.1.3 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
Cuando traducimos al lenguaje matemático el enumerado en las palabras de un
problema, creamos un modelo matemático que nos conduce a resolver todo tipo
de problemas como pueden ser creativos, de negocios, geométricos, físicos.
Para crear estos modelos matemáticos podemos utilizar la siguiente tabla para
traducir ciertas palabras en lenguaje matemáticos.
SUMA (+)
- sumando
- con más
- la suma de
- más que
- aumentando en
RESTA (-)
- resta de diferencias
- Menor que
- menor
- disminuido en
MULTIPLICACIÓN (X)
- multiplicar por
- Producto
- por
- el triple
- el doble
Matemática I
DIVISIÓN (÷)
- dividendo entre
- cociente
- relación
- mitad
- tercera parte etc.
22
Ejemplos
1) sumando dos a un número = x + 2
2.) La diferencia entre dos números = x – y
3.) 5 veces un número
= 5x
4.) El producto de 90 por un número = 90x
5.) El 5% de un número
= 0,05x
6.) La suma del doble de un número más 10 = 2x + 10
7.) el cociente entre dos números x / y
ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS.
1.- Análisis.- Consiste En leer con cuidado el problema para comprender los
hechos que presenta.
2.- Representación.- Significa visualizar los hechos mediante un diagrama
traducen el lenguaje matemático para determinar cuál es la incógnita.
3.- Planteo.- Es formular la ecuación eligiendo una variable que representa la
cantidad que se ha de calcular, considerando además las condiciones del
problema.
4.- Resolución.- Una vez planteada la ecuación se procede a resolver aplicando
los pasos anteriormente mencionados para el efecto.
5.- Verificación.- Es comprobar el resultado con la redacción del problema.
Ejemplo:
GEOMETRÍA.-El perímetro de un rectángulo es de 200 pies y su largo es tres
veces el ancho.- Determina las dimensiones del rectángulo.
1.) Análisis.- Debemos determinar el perímetro del rectángulo utilizando el largo
y el ancho.
2) Representación:
Largo = 3x
Ancho = x
Matemática I
23
Perímetro = 200
3) Planteo
P = 2 l + 2a.
200 = 2 (3k) + 2x
4) Resolución
200 = 6X + 2X
200 = 8X
X = 200 / 8
 X=25 ancho
Largo = 3 (25)  largo = 75
5) Verificación
P = 2 l + 2a
200 = 2(75) + 2 (25)
200 = 150 + 50
200 = 200
INVERSIÓN.-Una persona desea invertir $ 20.000 en dos empresas de modo
que el ingreso total por año sea de $ 1.440.- Una empresa paga el 6% anual; la
otra tiene mayor riesgo y paga en 7,5% anual; ¿Cuánto debe invertir en cada
una?
1) Análisis.- Se trata de un asunto de negocios donde vamos a determinar la
cantidad que va invertir en cada empresa a un porcentaje determinado para
obtener una ganancia.
2) Representación
Cantidad invertida = $ 20.000
Empresa A = 0,006x
Empresa B = 0,075 (20.000 – x)
Utilidad = 1440.
Matemática I
24
3) Planteo
A + B = 1.440
0,06 x + 0,075 (20.00 - x)
4) Resolución
0.06x + 1.500 – 0,075 x = 1440
- 0,015x = - 1500 + 1440
- 0,015 x = - 60
0,015 x = 60
x
60
0,015
 x  4000
5) Verificación
0,06 (4.000) + 0,075 (16.000) = 1440
240 + 1200 = 1440
1440 = 1440
CERCADO: Una malla de alambre será colocada alrededor de un terreno
rectangular de modo que el área cercada sea de 800 pies 2 y el largo del terreno
sea doble del ancho. ¿Cuántos pies 2 se halla serán utilizados?
1.) Análisis.- Se tiene el área de un rectángulo y se conoce el largo, siendo el
ancho la incógnita y se pide determinar el perímetro.
2.) Representación.
Área = 800 pies 2
Largo = 2 x
Ancho = x
3.) Planteo
Área = largo ancho
800 = (2x ), x
800 = 2 x 2
Matemática I
25
4.) Resolución
400 = x 2
x 2 = 400  x = ± 400
x = ± 20

x = 20
Porque el valor tiene que ser positivo ancho.
5.) Verificación
Ancho = 20,
Largo = 40
Perímetro = 2a + 2l
P = 2 (20) + 2 (40) 
P = 120 pies
(20).(40) = 800
800 = 800
EJERCICIO 10
1) UTILIDAD.- La compañía de Productos Químicos, fabrica un producto a un
costo variable de $ 2,20 por unidad.- Si los costos fijos so $ 95.000 y cada
unidad se vende a $ 3 .Cuántas unidades deben ser vendidas para que la
compañía tenga una utilidad de $ 50.000.
Sugerencia.- utilidad = Ingreso Total – Costo total
Costo total = Costo fijo + Costo Variable.
2) VENTAS.- La directiva de una compañía quiere saber cuántas unidades de su
producto necesita vender para obtener una utilidad de $ 100.000 y disponen de
la siguiente información.
Precio de venta por unidad, $ 20, costo variable por unidad $ 15; costo fijo $
600.00. A partir de estos datos determine las unidades que deben ser vendidas.
3) INVERSIÓN.- Una persona invirtió $ 20.000 parte a un interés del 6% anual y
el costo al 7% anual.
El interés total al final del año fue el equivalente a una taza de 6.75% anual.Sobre los 20.000 ¿Cuánto invertido en cada taza?
4) NEGOCIOS.- Una compañía determina que si produce y vende cierto número
de unidades de un producto, el ingreso total por las ventas será 100. Si el costo
variable por unidad es de $ 2 y el costo fijo es de $ 1200, determine el número
de unidades que deben venderse.
Ingreso Total – Costo Total = 0
Matemática I
26
AUTOEVALUACIÓN
¿Cómo se encuentra?
Déjeme opinar; con el estudio en el texto base, el apoyo de la guía de
estudios debe estar logrando un aprendizaje adecuado.
Recuerde:
CONSULTAS EN EL TEXTO
1.-
Para éste Bloque, estudie el texto guía de Haeussler páginas 30-34 Sección 07
2.-
Repita los ejercicios y problemas resueltos.
3.-
Resuelva los ejercicios enmarcados y problemas planteados
Matemática I
27
BLOQUE II: INECUACIONES
OBJETIVO
Aplicar los conocimientos de Algebra de inecuaciones y desigualdades para
la resolución de problemas orientados a la administración y la economía.
CONTENIDO:
1.2. Inecuaciones
1.2.1. Inecuaciones Lineales
1.2.2. Aplicaciones de las ecuaciones: Ejercicios y problemas de
costos fijos, costos variables, ingresos, demanda, oferta,
apreciación, depreciación.
1.2.1. INECUACIONES LINEALES
Definición.- Son enunciados que indican que dos cantidades no son iguales; es
decir que un número es menor o mayor que otro y las podemos identificar por el
uso de uno o más símbolos.
Ejemplos:
3<5
; 2 > -1
;
x ≤ a
;
x ≥ b
Símbolos de desigualdades
Símbolos
Notación
Ejemplos
Lectura
<
a<b
2<3
2 es menor que 3
>
a>b
5>4
5 es mayor que 4
≤
x≤b
x≤2
x es menor o igual que 2
≥
x≥b
x≥3
x es mayor o igual que b
Por definición:
Si a < b quiere decir que b > a
Si a > b quiere decir que b < a
Matemática I
28
Propiedades de las desigualdades
1) Si dos desigualdades tienen sus símbolos en la misma dirección (iguales)
tienen el mismo sentido.
a<b y c<d
tienen el mismo sentido
2) Si dos desigualdades tienen sus símbolos en distinta dirección (distintos)
tienen sentido contrario.
a<b y c>d
tienen sentido contrario
3) Si un número se suma o se resta ambos miembros de una desigualdad, la
desigualdad tendrá el mismo sentido que la original.
-
Si a < b entonces a + c < b + c
-
Si a < b entonces a – c < b - c
Ejemplos:
7 < 10, entonces 7 + 2 < 10 + 2
porque 9 < 12
5 > 4 , entonces 5 - 1 > 4 - 1
porque 4 > 3
4) Si ambos miembros de la desigualdad se multiplican o se dividen por un
mismo número positivo, la desigualdad tendrá el mismo sentido que la
original.
-
Si a < b entonces a. c < b. c
-
Si a < b entonces a/c < b/c
Ejemplos:
5 > 3, entonces 5.4 > 3. 4 porque
20 > 12
2 > 6, entonces 2/3 > 6/3 porque 2/3 > 2
5) Si ambos miembros de la desigualdad se multiplican o se dividen por un mismo
número negativo, la desigualdad tendrá el sentido contrario que la original.
-Si a < b, entonces a (-c) > b (-c)
-Si a < b, entonces a/ (-c) > b/(-c)
Matemática I
29
Ejemplos:
4 < 7 entonces 4(-2) > 7(-2) porque -8 > -14
12 > 6 entonces 12/(-3) < 6/ (-3) porque -4 < -2
INTERVALOS.- Los intervalos pueden ser abiertos o cerrados.
Intervalos Abiertos.- Son aquellos que se identifican con los símbolos “<” y “>”
y se representan con paréntesis ( ) Ejemplo: a < x < b en intervalo se denota
así:
(a, b ) ; a y b son los extremos del intervalo y en este caso indica que a y b no
están incluidos en el conjunto.
Intervalos Cerrados.- Son aquellos que se identifican con los símbolos “≤” y “≥”
y se representan con corchetes [ ] Ejemplo: a ≤ x ≤ b un intervalo se denota así:
[a, b]; a y b son los extremos del intervalo y en este caso indica que a y b si están
incluidos en el conjunto.
GRAFICACIÓN DE INTERVALOS.- Las desigualdades se pueden representar
gráficamente en la recta numérica en forma de intervalos.
Intervalo abierto.- En la desigualdad a < x < b el intervalo es (a, b) para graficar
se consideran los dos extremos de la desigualdad como a < b entonces a está a
la izquierda y b a la derecha.
(
)
a
b
Intervalo cerrado.- En la desigualdad a ≤ x ≤ b, el intervalo es [a, b] para
graficar se consideran los extremos a y b como a ≤ b, a va a la izquierda y b a la
derecha.
[
]
a
b
Matemática I
30
Cuadro Representativos de los diferentes intervalos:
TIPO
INTERVALO
DE DESIGUALDAD
Intervalo abierto
GRAFICA
(
a
x>a
x<a
INTERVALO
∞
)
-∞
(a ,∞ )
(-∞,a)
a
a <x<b
Intervalo
semiabierto
x≥a
x≤a
Intervalo
cerrado
(
a
)
b
( a,b)
∞
[
a
-∞
]
a
[a,∞)
( -∞ , a ]
a≤x<b
[
a
)
b
[a,b)
a<x≤b
(
a
]
(a,b]
a≤x≤b
[
a
b
]
b
[ a , b]
RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES LINEALES
Una desigualdad lineal es la que se puede expresar en una de las siguientes
formas, siendo a ≠ 0
1) ax +c < 0
2) ax +c > 0
3) ax + c ≤ 0
4) ax + c ≥ 0
Matemática I
31
Las desigualdades o inecuaciones lineales se pueden resolver exactamente como
las ecuaciones lineales, sólo con una excepción que si multiplicamos o dividimos
ambos lados por un número negativo, debemos cambiar la dirección a la
desigualdad.
Ejemplo: Resolver la desigualdad lineal: 3(2x – 9) < 9
Se procede de la misma manera para resolver ecuaciones lineales así:
1) Aplicar la propiedad distributiva para eliminar paréntesis:
6x – 27 < 9
2) Transponer términos de modo que las incógnitas queden en el primer
miembro:
6x < 27 + 9
3) Reducir términos semejantes:
6x < 36
4) Despejar la incógnita.
x < 36/6 
x<6
El conjunto solución es el intervalo abierto (-∞, 6)
Gráficamente:
-∞
0
6
Otro Ejemplo:
-4 (3x + 2) ≤ 16
-12x – 8 ≤ 16
-12x ≤ 16 + 8
-12x ≤ 24
- x ≤ 24/12
-x ≤ 2
Aplicar la propiedad distributiva
Transponer términos
Reducir términos semejantes
Despejar x
Dividir toda la desigualdad para (-1)
Cambiando de dirección:
x ≥ -2
El conjunto solución es el intervalo cerrado [ -2, ∞).
Matemática I
32
Gráficamente.
∞
-2
0
RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES FRACCIONARIAS
Ejemplo
Resolver la desigualdad: 2/3 (x + 2) > 4/5 (x – 3)
1) Se reduce la inecuación al m.c.d (eliminar denominadores)
m. c. d = 15
10 (x + 2) > 12 (x – 3)
2) Se aplica todo el procedimiento para resolver desigualdades:
10x +20 > 12x -36
10x – 12x > -20-36
-2x > -56
-x > -56/2
-x > -28 se divide para (-1) cambiando de dirección
x < 28
El conjunto solución es el intervalo abierto (-∞, 28)
Gráficamente.
-∞
0
28
Matemática I
33
EJERCICIO 11
Resuelva las desigualdades siguientes. Exprese el resultado en notación de
intervalo y gráficamente.
1) 3 ( 2-3x) > 4 (1-4x)
2) 8 ( x + 1 ) +1 < 3(2x) +1
3) 2( 3x – 2 ) > 3 (2x – 1 )
4)
1
1
y2 y4
2
3
1
4
1
3
5) x   x  2
6)
2
3
x  ( x  5)  x
3
2
DESIGUALDADES COMPUESTAS
Son la combinación de dos desigualdades Ejemplo: Para expresar que x está
entre -3 y 8; se escribe así: -3 < x < 8 y se lee menos 3 es menor que x menor que
8.
Esta doble desigualdad se llama desigualdad compuesta.
En este caso tenemos dos desigualdades: -3 < x ; x < 8.
En consecuencia, la desigualdad compuesta c < x < d es equivalente a
c<x yx<d
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES COMPUESTAS
Ejemplo 1: Resolver -3 ≤ 2x + 5 < 7
Esta igualdad expresa que -3 ≤ 2x + 5 < 7 está entre -3 y 7. Se resuelve
dejando la x entre los signos de la desigualdad así:
El 5 que está sumando a la x pasa a los dos lados de la desigualdad restando.
- 5 – 3 ≤ 2x < 7 - 5
- 8 ≤ 2x < 2
Matemática I
34
Ahora hay que despejar la x, el 2 que está multiplicando pasa dividiendo a ambos
lados dividiendo:
8
2
x
2
2
, dividiendo nos queda:
-4 ≤ x < 1
El conjunto solución es el intervalo [-4, 1).
Gráficamente:
-4
)
0 1
Ejemplo 2: Resolver la inecuación:
x + 3 < 2x – 1 < 4x – 3
Esta desigualdad expresa que x + 3 < 2x – 1 y que 2x – 1 < 4x – 3
En este caso es imposible dejar una x entre los símbolos de la desigualdad, por
lo que se resuelven por separado cada una. Así:
x + 3 < 2x – 1
2x – 1 < 4x – 3
Transponer términos dejando la x en el primer lado:
x - 2x < -3 – 1
2x – 4x < -3 + 1
Reducir términos semejantes
-x < -4
-2x < -2
Despejar x multiplicando las desigualdades por (- 1) y cambiar de dirección:
x > 4
;
x >1
El conjunto solución son todos los números x tales que x > 4 y x > 1 como todos
los números mayores que 4 también son mayores que 1.
El conjunto solución es: x > 4
En intervalo es: (4, ∞).
Gráficamente:
+∞
0
4
Matemática I
35
EJERCICIO 12
Resuelva las desigualdades siguientes. Exprese el resultado en notación de
intervalo y gráficamente.
1) − 2 < − + 3 < 5
2) 2 < − − 2 < 9
3) − 4 ≤ −3( − 8) < 8
1
4) 0 ≤  − 4 > 6
2
1
5) − 6 ≤  + 1 < 0
2
1.2.2. APLICACIÓN DE INECUACIONES
Ejemplo: La llamada telefónica de larga distancia cuesta 36 centavos los tres
primeros minutos y 11 centavos cada minuto adicional ¿Durante cuántos minutos
puede hablar una persona con menos de $2?
1.- Análisis.- Se conoce el valor pagado en 3 minutos luego hay que determinar
el costo de los minutos adicionales esto es x – 3 para calcular el costo menor
a $2.
2.- Representación.Costo por los tres minutos
= $ 0.36
Costo por los minutos adicionales = $0.11 (x – 3)
3.- Planteo
0,36 + 0.11 (x – 3) < 2
4.- Resolución
36 + 11 (x – 3) < 200
Multiplicar por 100
36 + 11x – 33 < 200
Eliminar paréntesis
11x< 33 -36 + 200
Transponer términos
11x < 197
Reducir términos semejantes
x < 197/11
Despejar x

x < 17, 90
Matemática I
36
5.- Verificación
Solución: Como la compañía no cobra fracciones de segundo el tiempo necesario
que puede hablar es 17´ que corresponde a x = 17.
En consecuencia: Si la llamada dura 17´, la persona pagará:
0.36 + 0.11 (17 – 3) < 2
0.36 + 0.11 (14) < 2
0.36 + 1.54 < 2
1.90 < 2
EJERCICIO 13
Resuelva los siguientes problemas:
1) Inversión.- Si una mujer invierte $10000 al 8% de interés anual, ¿Cuánto
más debe invertir al 9% para que su renta anual sea mayor de 1250?
2) Inversión.- Si una persona invierte $8900 al 5.5% anual. ¿Cuánto más
debe invertir al 8.75% para que su ingreso anual por intereses sea mayor
a $1500?
3) Utilidades.- La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio
unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15 .Si los costos fijos son
$600000, determine el número mínimo de unidades que deben ser
vendidas para que la compañía tenga utilidades.
4) Compra de una computadora.- Un estudiante tiene $2000 para gastar, y
ve el siguiente anuncio: computadora $1695,95 cada CD-ROM $19,95.
Determine la cantidad máxima de discos que puede comprar.
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO
El valor absoluto de un número real a, se denota así |a| y es la distancia, en una
recta numérica, de 0 al punto cuya coordenada es a.
Por ejemplo: |4| = 4 y |-4 |= 4 ya que ambos tanto el 4 como el -4 están a la
misma distancia del 0. Así:
4 unidades
-4
4 unidades
0
4
Matemática I
37
Si a es un número real positivo o cero, entonces simplemente | a | es él mismo
número, pero si a es un número negativo, entonces –a, que es un número positivo
es el valor absoluto de a.
De esto podemos concluir lo siguiente:
 Si a ≥ 0, entonces | a | = a
 Si a < 0. entonces | -a | = - (- a) = a
 Si - | a | = - a
 Si - | - a | = - a
 El valor absoluto del cero es cero
Ejemplos:
Determinar:
a) | 8 |
Como 8 ≥ 0, 8 es su propio valor absoluto: | 8 | = 8
b) | - 3 | Como -3 < 0, el negativo de -3 es el valor absoluto:
| -3 | = - (- 3) = 3
c) - | 6 | = - 6
d) - | - 10 | = - 10
EJERCICIO 14
Escriba cada una de las siguientes expresiones sin utilizar el símbolo de
valor absoluto
1)
2)
3)
4)
5)
|8-2 |
- | 85 |
|-½|-|-¾|
| -5| + | 4 |
| 2-2 |
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO
Para resolver ecuaciones lineales con valor absoluto se procede así:
Ejemplo 1:
Resolver la ecuación | x – 4 | = 3
Matemática I
38
1) Como esta ecuación establece que x – 4 es un número que está a 3 unidades
del cero tanto a la derecha como a la izquierda, igualamos la ecuación a +3
y luego a -3 y eliminamos así las barras que indican valor absoluto
x–4 =3
o x–4 = -3
2) Resolvemos las ecuaciones separadamente:
x =4+3
o
x =4–3
En consecuencia:
La solución es:
x = 7
o
x = 1
Ejemplo 2:
Resolver la ecuación | 7 – 3x | = 11
7 – 3x = 11
-3x = 11 – 7
-3x = 4
x = - 4/3
o
o
o
o
7 – 3x = - 11
-3x = -11 – 7
-3x = - 18
x = 6
EJERCICIO 15
Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto:
1) | x – 3 | = 6
2) | x + 4 | = 8
3) | 2x – 3 | = 5
4) | 7/2 x + 3 | = -5
4−64
5) |
6) |
4
3+48
3
|= 32
| = 12
Matemática I
39
RESOLUCIÓN
ABSOLUTO
DE
DESIGUALDADES
LINEALES
CON
VALOR
Ejemplo: 1) Resolver la desigualdad con valor absoluto | x – 3 | < 5
x – 3 debe estar entre 5 y -5
- 5 < x–3 < 5
Por lo tanto procedemos así:
1) Despejamos la x , el 3 que está restando pasa a cada lado sumando
-5 + 3 < x < 5 + 3
2) Reducimos términos semejantes:
-2 < x < 8
La solución s el intervalo abierto (-2, 8) Esto significa que el conjunto solución
es todos los números reales entre -2 y 8
Ejemplo 2) Resolver | 4 – 3x | ≤ 6
4 – 3x debe estar entre el 6 y el – 6, así:
- 6 ≤ 4 – 3x ≤ 6
1) Despejamos x , el 4 pasa restando a cada lado de la desigualdad
-6 – 4 ≤ -3x ≤ 6 – 4
2) Reducimos términos semejantes:
-10 ≤ -3x ≤ 2
3) Despejamos x dividiendo para (3) ambos lados de la desigualdad.
 10
2
 x 
3
3
4) Cambiando de signo a la desigualdad:
10
2
x
3
3
5) Aplicando la propiedad antisimétrica:
2
10
− ≤≤
3
3
Matemática I
40
Nótese que el sentido de la desigualdad anterior fue invertido cuando dividimos
2 10
entre el número negativo. La solución es el intervalo cerrado  , 
 3 3
EJERCICIO 16
Resolver las siguientes desigualdades con valor absoluto:
1) | 2x | < 8
2) | x + 9 | ≤ 12
3) | 3x + 2 ≤ - 3
4)
5)
x2
3
4
| -1 – 2x | > 5
AUTO EVALUACIÓN
Su estudio le ha permitido realizar la tarea que
debe entregar para su segunda evaluación. Al
finalizar este nivel usted ha conseguido la llave
para ingresar al camino de su éxito personal y
profesional.
Ahora debe prepararse para presentar su examen,
si tiene dudas acuda a su tutor. Siga adelante!!!
Recuerde:
CONSULTAS EN EL TEXTO
Estudie el texto guía de Haeussler páginas 54-61 y 61-64 Sección 1.4.
2.- Repita los ejercicios y problemas resueltos.
3.- Resuelva los ejercicios y problemas planteados
1.-
Matemática I
41
SEGUNDA UNIDAD: FUNCIONES DE VARIABLE REAL
OBJETIVO:
Al terminar esta unidad, estarás en capacidad de comprender el significado de
los diferentes tipos de funciones a través de la resolución de problemas para su
aplicación en el ámbito financiero y administrativo.
CONTENIDO:
BLOQUE 1: FUNCIONES
BLOQUE 2: GRÁFICA DE FUNCIONES
MÉTODOS Y TÉCNICAS DE ESTUDIO SUGERIDOS:
Lectura Comprensiva, Métodos- Inductivo e Deductivo, Analítico sintético,
Aprendizaje a Base de Problemas
VINCULACIÓN CON CONOCIMIENTOS ANTERIORES.
PARA COMPRENDER LOS TEMAS QUE VAS A TRATAR EN LA PRESENTE GUÍA, DEBES
TENER CLARO LOS SIGUIENTES TEMAS:
Operaciones con números reales
Operaciones con expresiones algebraicas
Ecuaciones
Relaciones
Matemática I
42
BLOQUE 1: FUNCIONES
OBJETIVO
Resolver ejercicios y problemas empresariales que utilicen relaciones y
funciones algebraicas.
CONTENIDO:
2.1 Funciones
2.1.1 Dominio y rango de una función
2.1.2 Funciones Especiales
2.1.3 Operaciones de funciones
2.1. FUNCIONES
Definición.- Es una relación de entrada – salida que expresa como una cantidad
llamada (salida) depende de otra llamada (entrada). Por Ejemplo cuando se
invierte una cantidad de dinero el interés I (salida) depende del tiempo t (entrada)
que el dinero se ha invertido.
Para expresar esto decimos que I es una función de t
En consecuencia:
I = f (t) = C.r.t
Una función es una regla que asigna a cada elemento de entrada un elemento
de salida; es decir que establece una relación entre dos conjuntos uno de entrada
y otro de salida.
En toda función se consideran dos variables. La variable que representa el
conjunto de entrada se llama variable independiente y la variable que representa
el conjunto de salida se llama variable dependiente ya que depende de los valores
de la variable independiente.
Notación de función:
En el ejemplo anterior la función se denota así:
I =C. t . r
f ( t) = I/ C . r
Matemática I
43
2.1.1. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN.
Se llama dominio de una función al conjunto de entrada.
Se llama rango de una función al conjunto de salida.
Ejemplo:
Sea la función:
y  f ( x)  x  2
Se lee y es una función de x.
En este caso el conjunto formado por todos los valores que tome la x es el
dominio, y el conjunto formado por los valores de y constituye el rango.
Esta función también se escribe así: Y = f (x)
Por lo tanto:
f (x ) = x + 2
Salida
RANGO
Entrada
DOMINIO
Determinación del Dominio de una Función
Ejemplos: Encontrar el dominio de las siguientes funciones;
1) f(x) = 2x2 + 3x – 4
En este caso cualquier número real puede ser utilizado como valor de x, de modo
que el dominio de f es todos los números reales.
2) G ( x) 
x
x x2
2
Solución: No podemos dividir entre cero, así que debemos encontrar todos los
valores de x que hacen que el denominador sea cero. Estos no pueden ser
números de entrada.
Por lo tanto igualamos a cero el denominador y resolvemos la ecuación .Así:
x2–x–2 =0
(x – 2) ( x + 1 ) = 0
Matemática I
44
(x–2)=0 ; (x+1)=0

x=2 ;
x = -1
Por consiguiente el dominio de G(x) son todos los reales excepto el 2 y el -1.
Puesto que reemplazando en la función estos valores tenemos que:
x
2
2


( x  2)( x  1) (2  2)(2  1) 0
G (x) =
La división para CERO no está definida y no es un número real.
3.  V (t )  2t  2
Solución: 2t  2 es un número real si 2t – 2 es mayor o igual a cero si 2t – 2
es negativo entonces no es real (es un número imaginario). Por lo que debemos
suponer que:
2t  2  0
Re solviendo la desigualdad :

2t  2

2
 02
2t  2  0
2t  2
t
2
2
t 1
Por lo tanto el dominio es el intervalo [ 1, ∞).
EJERCICIO 17
Determine el dominio de las siguientes funciones:
1) f(x) = 5/x
2) h ( t ) = 2t /3
3) y 
x2
3
4) H (x ) = x3 + 2x2 – 3x +2

5)  =
6)  =
+8
+1
 2 +6+5
Matemática I
45
DETERMINACIÓN DE LOS VALORES FUNCIONALES
Determinar los valores funcionales de la función f(x) significa encontrar el valor
de “f” (x) de acuerdo a los valores que en forma arbitraria se den a la “x”. Así:
Ejemplos:
1) Dada la función:
F (x) = 2x – 3, determine los valores funcionales de:
a) F (0)
b) F (-1) c) F (2) d) F (½)
e) F ( 2)
Solución:
Se procede a reemplazar la x de la función con el valor dado y luego se efectúan
las operaciones indicadas. Así:
a) F (0) = 2 (0) – 3 = 0 – 3 = -3
b) F (-1) = 2 (-1) – 3 = -2 -3 = -5
c) F (2) = 2 (2) – 3 = 4 - 3 = 1
d) F (½) = 2 (½) – 3 = 1 – 3 = - 2
e) F ( 2 )  2( 2 )  3  2 2  3
2) Dada la función f(x) = 4x – 5, determine a) f ( x  h) b)
f ( x  h)  f ( x )
h
a) f(x + h) = 4 (x+h) - 5 = 4x + 4h – 5
b)
f ( x  h)  f ( x) 4 x  4h  5  (4 x  5) 4 x  4h  5  4 x  5 4h



4
h
h
h
h
Matemática I
46
EJERCICIO 18
En las siguientes funciones, determine los valores funcionales para cada
uno de los valores dados:
1) f ( x) = 3x – 2
2) t ( s) = s2 – 3
;
;
f ( 0) , f(- 4 ) , f (3 ) , f (2/5 ) , f( m)
t (0) , t( 4) , t( ½ ) , t (-2) , t (a)
1
3)g(v ) = v
;
g (16) , g (¼ ) , g (4) , g (1-x)
Dadas las funciones, determinar los siguientes valores funcionales:
a) f (0 ) b) f( -2) c) f( ¾)
1) Y = 2x - 3
2) Y = 7 – 6x2 -5x
3)  =
−5
 2 +4
1
ESPECIALES
4)2.1.2.
 =FUNCIONES
2
1) Función constante.- Es aquella que está constituida solamente por valores
constantes, en este caso todos los valores funcionales son iguales.
Ejemplos:
Si f (x) = 6; f (8) = 6
; f (0) = 6;
f (100) = 6
De esto podemos concluir por definición que:
Una función de la forma f (x) = c. en donde c es una constante, es llamada
función constante.
2) Función Polinomial.- Es la función que representa a un polinomio y es de la
forma:
f(x) = Cnxn + Cn-1xn-1 +……… C0 en donde n es un entero positivo y C es una
constante diferente de CERO.
El número n se llama grado del polinomio y C es el coeficiente principal. Así:
Ejemplo:
F(x) = 2x3 + 3x2 – 4x + 6
Es una función polinomial e grado 3 con coeficiente principal 2.
El dominio de cualquier función polinomial es todos los números reales.
Una función constante también es considerada como una función polinomial de
grado 0.
Matemática I
47
3) Función Lineal.- Es una función polinomial de primer grado (exponente 1).
Ejemplo:
G (y) = 5y – 3
En este caso el grado del polinomio es 1 y el coeficiente principal es 5.
4) Función Cuadrática. Es una función polinomial de segundo grado (exponente
2).
Ejemplo:
H (x) = 3x2 – 2x +1
En este caso el grado del polinomio es 2 y el coeficiente principal es 3
5) Función Racional.- Es el cociente entre dos funciones polinomiales.
Ejemplo:
4 2 − 5
() =
+6
Es una función racional ya que el numerador y el denominador son funciones
polinomiales.
6) Función inversa.- Es la función polinomial cuyo grado es un exponente entero
negativo.
Ejemplo:
 ( ) =
4
3
, a ésta función se puede expresar así:
 ( ) = 4 −3 , en este caso el grado del polinomio es -3 y el coeficiente
principal es 1.
Matemática I
48
EJERCICIO 19
Clasifique las siguientes funciones, determine el grado y el coeficiente
principal (Algunas pertenecen a más de una clasificación). Determine
también el dominio de cada función:
1) g(x) = x4 - 4x2 +
2) H (x) = 3x – 25
3)  ( ) =
 2 +7
3
4)  ( ) =
5)  =
10
 2 −7
 2 +−5
−4
6) y = π
2.1.3. OPERACIONES CON FUNCIONES
Existen diversas formas de combinar funciones para obtener una nueva función.
Como resultado de esta combinación tenemos las operaciones: suma, resta,
multiplicación y división de funciones.
Suma de Funciones
La suma de dos funciones se obtiene sumando los elementos de cada una de las
funciones
Así:
( f + g ) (x) = f (x) + g (x)
Ejemplo: Sean las funciones:
f (x ) = 2x + 5 y g( x ) = x - 6
La suma será:
(f + g) (x) = (2x + 5) + (x – 6)
(f + g)(x) = 2x + 5 + x – 6
Matemática I
49

(f + g)(x) = 3x - 1
Resta de funciones.
La resta de funciones consiste en determinar la diferencia entre los elementos de
las funciones dadas.
(f – g ) (x) = f (x) – g (x).
Ejemplo: Sean las funciones: f(x) = x2 – 5x + 4 y g (x) = 2x – 7. Determinar
(f – g) (x),
(f – g) (x) = x2 – 5x + 4 – (2x – 7)
= x2 – 5x + 4 -2x + 7

(f – g ) (x) = x2 – 7x + 11
Multiplicación de funciones
El producto de dos funciones se obtiene multiplicando cada elemento de la una
función por cada uno de los elementos de la otra función.
(f.g) (x) = f(x). g (x)
Ejemplo: Sean las funciones: f (x) = x + 2 y g (x) = 2x
(f.g ) (x) = (x + 2) (2x) = 2x2 + 4x
 (f.g) (x) = 2x2 + 4x
División de funciones.
Es la relación entre dos funciones.
(f/g) (x) = f(x)/g(x). para x ≠ 0
Ejemplo: Sean las funciones f(x) = x – 5 y g (x) = 2x + 4.


−5
()() = 2+4
Composición de funciones
Si f y g son funciones, la composición de f con g es la función f o g definida por
(f o g ) (x) = f ( g (x )).
donde el dominio de f o g es el conjunto de todas las x en el dominio de g tales
que g(x) está en el dominio de f.
En otras palabras para determinar f o g (x) reemplazamos el valor de la función
g(x) en el dominio de la función f(x).
Matemática I
50
Ejemplo:
Sean las funciones: f(x) = 3x
y g(x) = x + 2. Determinar f o g (x)
Reemplazamos el valor de g(x) en la x de la f de la siguiente manera:
g(x) = x + 2 , este valor reemplazamos en f(x) = 3x y nos queda:
f o g (x) = 3(x + 2)

(fog)(x) = 3x + 6
Una función compuesta no es conmutativa por lo tanto
(fog) ( x) ≠ (gof)( x )
En el ejemplo anterior:
g o f significa que debemos reemplazar el valor de f(x) en la x de g Así
f(x) = 3x
y g(x)=x+2
El valor de f(x) es 3x , este valor reemplazamos en la x de la g y nos queda:
g o f ( x ) = 3x + 2
EJERCICIO 20
1) Si f(x) = x + 3 y g (x) = x + 7. Encontrar lo siguiente:
a) (f + g) (x)
e) f.g (x)
b) (f + g) (-1)
f) f.g (5)
c) (f – g) (x)
g) f/g (x)
d) (fog)(x)
h) (gof) (-2)
Matemática I
51
BLOQUE 2: GRAFICA DE FUNCIONES
OBJETIVO
Representar gráficamente funciones, determinar intersecciones y probar
simetrías.
CONTENIDO:
2.2 Gráfica de funciones
2.2.1 Coordenadas rectangulares
2.2.2 Intersecciones y simetrías
2.2.3 Graficación de funciones
2.2.1. COORDENADAS RECTANGULARES.
El sistema de coordenadas rectangulares nos permite ubicar puntos en el plano.
Sirve además para representar ecuaciones como también funciones.
El plano cartesiano como también se lo llama es un sistema formado por dos ejes
un horizontal llamado eje de las x o eje de las abscisas y otro vertical llamado
eje de las y o eje de las ordenadas que se cortan perpendicularmente entre sí.
Las x hacia la derecha son positivas y hacia la izquierda negativas. Las y hacia
arriba son positivas y hacia abajo negativas. El cero es considerado como el
punto de origen del sistema.
+y
II Cuadrante
( -x , y )
I Cuadrante
(x,y)
x=3
y=2
2
-x
abscisa
ordenada
P(x, y)
3
( -x , -y )
III Cuadrante
+x
(x,-y)
IV Cuadrante
-y
Ejes de coordenadas
Matemática I
52
2.2.2. Intersección y Simetrías
Una Intersección x es el punto donde la gráfica interseca al eje x.
Una Intersección y es el punto donde la gráfica interseca al eje y.
Para determinar la intersección en x de la gráfica de una ecuación igualamos y
a cero y resolvemos la ecuación resultante.
Para determinar la intersección en y igualamos x a cero y resolvemos para y.
Ejemplo:
Determinar las intersecciones de la ecuación y = 2x +1 y graficar
Solución:
Intersección en x y = 0
0 = 2x + l
Despejando x se tiene que:
x =-½
De modo que la intersección en x es el punto (-½, 0)
Intersección en y x = 0
y = 2 (0) + 1
y = 1
Así la intersección en el eje y es el punto (0, 1)
Simetría
Antes de graficar una función es necesario examinar el comportamiento gráfico
de las ecuaciones ya que es una parte fundamental de las Matemáticas.
Por lo tanto examinaremos si las gráficas de las funciones tienen o no simetría.
Entendiéndose por simetría cuando la parte izquierda de un gráfico es el reflejo
o imagen de la parte derecha en y, consecuentemente la parte de arriba de un
gráfico es reflejo o imagen de la parte de abajo en el eje x.
Definiciones:
- Una gráfica es simétrica con respecto a y si y sólo si (-x, y) pertenece a la
gráfica cuando (x,y) pertenece a ella. (es decir que si se cambia de signo a la
x, la ecuación no altera)
- Una gráfica es simétrica con respecto a x si y sólo si (x, -y) pertenece a la
gráfica cuando (x,y) pertenece a ella (es decir que si se cambia de signo a la y
, la ecuación no altera.
- Una gráfica es simétrica con respecto al origen si y sólo si (-x, -y) pertenece a
la gráfica cuando (-x , -y) pertenece a la gráfica cuando (x , y ) pertenece a
ella ( es decir que si se cambia de signo a la x y a la y , la ecuación no altera.
Matemática I
53
Pruebas de Simetría
Simetría con respecto a x
Para hallar la simetría con respecto a x remplazamos y por – y en la ecuación
dada. Será simétrica si se obtiene la ecuación equivalente.
Simetría con respecto a y
Para hallar la simetría con respecto y reemplazamos x por –x en la ecuación
dada. Será simétrica si se obtiene la ecuación equivalente.
Simetría con respecto al origen
Para hallar la simetría con respecto al origen remplazamos x por –x y y por –y
en la ecuación dada. Será simétrica si reobtiene la ecuación equivalente.
Ejemplo: Dada la ecuación y = x2 – 4
Probar si hay simetría con respecto al eje x , al eje y y al origen.
Simetría con respecto a x, reemplazamos y por –y
-y = x2 – 4
; y = -x2 + 4
No hay simetría porque no es equivalente a la ecuación dada.
Simetría con respecto a y, reemplazamos x por –x
y = (-x) 2 – 4
; y = x2 - 4
Si hay simetría porque es equivalente a la ecuación dada.
Simetría con respecto al origen, reemplazamos x por –x; y por –y
-y = (-x)2 – 4 ; -y = x2 – 4 ; y = -x2 + 4
No hay simetría porque no es equivalente a la ecuación dada.
EJERCICIO 21
Dadas las siguientes ecuaciones, determine las intersecciones en x e y,
pruebe simetrías con respecto a x, con respecto a y, con respecto al origen.
1)  2 −  2 = 1
2) 12 + 8 = 8
3)

3

7
2
3
+ =
4) 49 2 − 25 2 = 0
5)  = 6 2 + 17 + 5
6)  = ( + 2)2 − 36
Matemática I
54
2.2.3. GRAFICACIÓN DE FUNCIONES
1) Gráfica de una función constante.- La gráfica de una función constante es
una recta paralela al eje horizontal puesto que el rango es el mismo para
cualquier elemento del conjunto dominio.
´Gráfica de la función Constante y= 2
2,5
2
y
1,5
1
0,5
0
0
2
4
6
8
10
x
2) Gráfica de una función lineal de la forma y = ax.- Es una recta que pasa por
el origen.
y
Gráfica de la función lineal y= 3x
-3
-2
-1
10
8
6
4
2
0
-2 0
-4
-6
-8
1
2
3
4
x
3) Gráfica de una función lineal de la forma y = ax + b .- Es una recta que
interseca en el eje x y en el eje y.
Matemática I
55
Gráfico de la función lineal y= 2x+3
10
8
6
4
y
2
0
-4
-3
-2
-1
-2
0
1
2
3
4
-4
-6
x
4) Gráfica de la función cuadrática.- Es una curva denominada parábola abierta
hacia arriba o hacia abajo cuando y = f(x) o abierta hacia la izquierda o a la
derecha cuando x = f (y).
y=x^+2x-3
50
40
30
20
10
0
-10
-5
0
5
10
-10
5) Gráfica de la función inversa.- Es una curva denominada hipérbola, que se
extiende hacia el infinito.
Matemática I
56
X^2 - Y^2 = 4
8
y
6
4
2
(0,-2)
-8
-6
-4
(0,2)
0
-2
0
2
x
4
6
8
-2
-4
-6
-8
Aplicaciones
Para graficar funciones procedemos de la siguiente manera:
1) Se busca el dominio de la función.
2) Se encuentran las intersecciones para los ejes x e y
3) Se determinan las simetrías con respecto al eje x, al eje y , y al origen.
4) Se construye una tabla de valores para el conjunto dominio y el rango de la
función.
5) Se traza el sistema de coordenadas rectangulares y se ubican los pares
ordenados obtenidos en la tabla de valores.
6) Se unen los puntos para obtener la gráfica.
Ejemplo:
Graficar la ecuación: y = x2 + 2x – 3.
1) El dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.
2) Intersecciones
En x: y = 0
0 = x2 + 2x – 3.
x2 +2x – 3 = 0
(x + 3) (x – 1)
x = -3 ; x = 1 Luego,
Los puntos de intersección en x son (-3, 0) (1, 0)
Matemática I
57
En y: x = 0
y = (0)2 + 2 (0) -3
y = -3; Luego:
El punto de intersección en y es (0, -3)
3) Simetrías
-En x reemplazo (y) por (–y)
-y = x2 + 2x – 3
y = -x2 – 2x + 3
No hay simetría.
-En y reemplazo (x) por (–x)
y = (-x)2 + 2 (-x) -3
y = x2 -2x -3
No hay simetría
-En el origen reemplazo (x) por (–x) (y) por (–y)
-y = (-x)2 + 2(-x) -3
-y = x2 -2x – 3
y = x2 +2x + 3
No hay simetría
4) Tabla de valores para x e y
x
y
-8
45
-3
0
4
21
6
45
5) Ubicar los puntos en el plano cartesiano y graficar
Gráfica de: y = x2 + 2x – 3.
Matemática I
58
Graficar la siguiente función por partes.
2
  < 3
 = () = { − 4
 + 2
  ≥ 3
Defina para qué intervalo corresponde cada una de las funciones y elabore una
tabla de valores y grafique.
t (x) = x2 – 4 para (−∞ ; 3)
t (x) = x + 2 para [3 ; ∞)
f(x) = x2 – 4
- ∞ -1 0 1
Tabla de valores:
x
y
-3
5
-2
0
-1
-3
2
0
-4
f(x) = x + 2
)[
3 4 5 6 7
1
-3
2
0
3
5
x
∞
4
6
5
7
6
8
y
y x2
yx
2
4
x
EJERCICIO 22
En las siguientes ecuaciones determine las intersecciones con el eje x , con
el eje y .Pruebe las simetrías con respecto a x ,con respecto a y , y al origen.
No bosqueje la gráfica.
1) y = 5x
2) 4x2 – 9 y2 = 36
3) 2x2 + y2x4 = 8 – y
4) y = x2 – 4
Matemática I
59
AUTO EVALUACIÓN
Su estudio le ha permitido realizar la tarea que debe entregar para su
evaluación. Es importante la preparación permanente y la autoevaluación
constante para que rinda sus frutos en su proceso de aprendizaje.
Ahora debe prepararse para presentar su examen, si tiene dudas acuda a su
tutor. Siga adelante.
Recuerde:
CONSULTAS EN EL TEXTO
Estudie el texto base: páginas 74 a 108. Sección 2.1, Sección 2.2, Sección 2.3,
Sección 2.4, Sección 2.5, Sección 2.6.
Repita los ejercicios resueltos de la guía
Resuelva los ejercicios planteado
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL
PRIMER HEMISEMESTRE
Regresar
PRIMER TRABAJO A ENTREGAR
UNIDAD I ECUACIONES E INECUACIONES
Ejercicio 0.7 páginas 34 – 35
Ejercicios 47, 85, 91, 95, 97
Problema 0.8 páginas 42 – 43
Ejercicios 37, 57, 65, 73, 79
Problemas 1.1 páginas 51- 52 – 53
Ejercicios 13, 19, 21, 23, 27
Problemas 3.4 páginas 146 - 148
Ejercicios 7, 29, 31, 37
Problemas 1.2 página 58
Ejercicios 9, 21, 25,37, 41
Problemas 1.3 páginas 60 – 61
Ejercicios 3, 7, 9, 11, 15
UNIDAD II FUNCIONES
Problemas 2.1 páginas 81 - 82
Ejercicios 1, 9, 19, 33, 47,
Problemas 2.2 páginas 85-86
Ejercicios 7, 15, 21, 31
Problemas 2.3 páginas 90-91
Ejercicios 1 (a), 5, 17, 21(a)
Problemas 2.7 páginas 110
Ejercicios 3, 7, 11, 13
Matemática I
60
TERCERA UNIDAD: RECTAS, PARÁBOLAS Y SISTEMAS
OBJETIVO:
Al terminar esta unidad, estarás en capacidad de iinterpretar gráficamente la
pendiente de la recta, la ecuación de la parábola y un sistema de ecuaciones
lineales y/o cuadráticas con dos variables en su organización para la toma de
decisiones empresariales.
CONTENIDO:
BLOQUE 1: RECTAS
BLOQUE 2: PARÁBOLAS
BLOQUE 3: SISTEMAS DE ECUACIONES
MÉTODOS Y TÉCNICAS DE ESTUDIO SUGERIDOS:
Lectura Comprensiva, Métodos- Inductivo e Deductivo, Analítico sintético,
Aprendizaje a Base de Problemas
VINCULACIÓN CON CONOCIMIENTOS ANTERIORES.
PARA COMPRENDER LOS TEMAS QUE VAS A TRATAR EN LA PRESENTE GUÍA, DEBES
TENER CLARO LOS SIGUIENTES TEMAS:
Ecuaciones lineales y cuadráticas
Funciones
Gráficas de funciones
Matemática I
61
BLOQUE 1: RECTAS
OBJETIVO
Interpretar y aplicar la pendiente de la recta con el objeto de encontrar una
función de la empresa que determine el comportamiento marginal de ella y así
se pueda optimizar recursos.
CONTENIDO:
3.1 LA RECTA
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
Pendiente de la recta
Ecuaciones de la recta
Rectas paralelas y perpendiculares
Aplicaciones de la recta
3.1. LA RECTA
Inicia el estudio con el conocimiento de rectas y su característica principal la
pendiente (m), definida como la relación entre el cambio vertical y el cambio
horizontal; para determinar la pendiente, se necesita de dos puntos de
coordenadas (x1, y1) (x2, y2).
3.1.1. PENDIENTE DE UNA RECTA.- (m)
Está definida como la relación entre el cambio vertical y el cambio horizontal
para lo cual necesita de dos puntos de coordenadas (x1, y1) (x2, y).
La característica principal de las rectas es su grado de inclinación denominado
pendiente o coeficiente angular que se define como la variación vertical y
respecto a la variación horizontal x .
y
y2
y  y 2  y1
y1
x  x 2  x 1
x
x1
x2
Matemática I
62
Definición.- Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos diferentes sobre una recta no
vertical la pendiente de la recta es el número “m” dado por la relación entre el
cambio vertical ∆y y el cambio horizontal ∆x, (ordenadas sobre abscisas).
 =
ó 
∆
=
ó 
∆
 =
 − 
 − 
Una recta vertical no tiene pendiente definida porque al restar las abscisas de
los puntos el resultado es cero y matemáticamente no existe la división para cero.
m =
 −  
 −  
=


no definida
Toda recta horizontal tiene pendiente cero porque carece de grado de
inclinación; además, al restar las ordenadas de los puntos el resultado es cero.
m=
  − 
  − 
=

∆
=0
Ejemplos:
1. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(-5, 4) y B(2 ,3)
2 − 1
 =
2 − 1
3 − 4
 =
2 + 5
1
=−
7
2. Obtener la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(0,2) y B(3, 3)
2 − 1
 =
2 − 1
3 −2
=
3− 0
1
=
3
3. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4, 1) y (4, 5)
2 − 1
 =
2 − 1
Matemática I
63
5 −4
4− 4
1
=
0
No existe la división para cero, por consiguiente la pendiente no está
definida.
=
4. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-3, 2) y (6, 2)
2 − 1
 =
2 − 1
2 −2
=
6 − (−3)
0
=
9
m=0
A continuación se presenta el gráfico de las cuatro rectas.
Matemática I
64
Del análisis del gráfico se evidencia que de acuerdo a la inclinación de la recta
las pendientes pueden ser positivas, negativas, cero o no estar definidas.
Observe el siguiente cuadro, referente a la pendiente:
Recta
Horizontal
Vertical
Inclinada a la
derecha
Inclinada a la
izquierda
Pendiente
m=0
m no
definida
m>0 (+)
m<0 (-)
Ángulo de
inclinación
0º
90º
< 90º
> 90º
EJERCICIO 23
Determinar la pendiente de las rectas que pasan por los puntos y graficar
1) (2, 3) (4, 7)
2) (-5, 2) (3, 6)
3) ( 1 , 8 ) ( 2 , - 3)
4) (7, -2 ) ( 3 , - 9)
5) (5 , 3 ) ( 5 , -8 )
3.1.2 ECUACIONES DE LA RECTA
Cada recta tiene una ecuación que la identifica, por lo que consideramos las
siguientes ecuaciones: Forma punto-pendiente, forma pendiente ordenada al
origen, forma general, ecuación de la recta vertical, ecuación de la recta
horizontal.
FORMA PUNTO-PENDIENTE DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
La ecuación de la recta que pasa por un punto P1 ( x1 ,y1) y cuya
pendiente es m,
Matemática I
esy – y1 =m ( x – x1 )
65
En efecto, supongamos que la recta l que se muestra en a figura, tiene una
pendiente m y pasa por el punto P1 (x1, y1). Si P(x, y) es otro punto de la recta l ,
entonces:
m
yy
1
x  x1
Si multiplicamos en cruz esta ecuación, tenemos que:
y – y1 = m (x – x1)
Ejemplo:
Escribir la ecuación de una recta que pasa por el punto P (-4, 5) y cuya pendiente
es -3.
Sustituimos estos valores en la ecuación de la recta punto-pendiente y tenemos:
y – 5 = -3(x +4)
y – 5 = -3x - 12
Aplicando la propiedad distributiva para eliminar
paréntesis
y = -3x – 12 +5
Despejando y
y = -3x – 7
Es la ecuación de esta recta.
FORMA PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN.
La ecuación de una recta cuya pendiente es m y su ordenada al origen es b,
es y = mx + b
Como la ordenada al origen de la recta de acuerdo a la figura es el punto
P1 (0, b) podemos escribir la ecuación de la recta sustituyendo x 1 por 0 y1 por b
en la forma punto pendiente, y simplificando así:
y – y1 = m (x – x1)
y – b = m (x – 0)
y – b = mx
y = mx + b
En la ecuación aparecen pendiente m y la ordenada al origen b.
Ejemplo:
Escribir en su forma pendiente – ordenada al origen la ecuación de la recta que
pasa por el punto P (5,9) y cuya pendiente es 4.
Sustituimos x por 5, y por 9 y m por 4 en la ecuación y = mx + b y despejamos b.
y = mx + b
Matemática I
66
9 = 4(5) + b
despejamos b,
-b = 20 – 9
b = -11
Como m = 4 y b = -11, la ecuación de la recta de la forma pendiente-ordenada
al origen es:
y = 4x – 11
Otro Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 3 y su intersección con el eje y
es 2
En este caso m = 3 y b = 2 Por lo tanto:
Reemplazamos estos valores en la forma y = mx + b
y =3x + 2
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
La ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1(x1, y1) y P2 (x2 , y2) se
obtiene calculando la pendiente y luego se aplica la ecuación de la recta
punto – pendiente.
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(1 , 2 ) (-2 , 3).
 Determinamos la pendiente de la recta:
m
32
1

 2 1  3
 Como m = -1/3 y el punto P1 ( 1 , 2 ) aplicamos en la ecuación puntopendiente y tenemos:
1
y  2   ( x  1)
3
1
1
y – 2 =  x
3
3
1
1
y  x 2
3
3
1
7
y  x
3
3
Eliminando paréntesis
Despejando y
Ecuación de la recta
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
La ecuación general de la recta aparece en la forma lineal:
Ax + By + C = 0, donde A, B y C son constantes.
Matemática I
67
Cuando se escriben las ecuaciones en la forma general, se acostumbra eliminar
las fracciones de la ecuación y hacer que A siempre sea positivo.
La ecuación general de la recta está igualada a CERO.
Ejemplo:
Escribir la ecuación general de la recta que pasa por el punto P (-5, - 2) y cuya
pendiente es 2/3.
Aplicamos la forma punto – pendiente puesto que tenemos un punto y una
pendiente.
2
( x  5)
3
3 y  6  2( x  5)
y2
3 y  6  2 x  10
3 y  6  2 x  10  0
 2x  3y  4  0
2x  3y  4  0
Ejercicio 24
Escribir la forma general de la recta que tiene las siguientes propiedades:
1) Que pasa por el punto (-2, -3) y cuya pendiente es -¼
2) Que pasa por el punto (- 1, 7) y cuya pendiente es -⅔
3) Que pasa por los puntos (-3 ,11) (2, 1)
4) Tiene pendiente -3 y su intercepción con el eje y es 12
5) Tiene pendiente -½ y su intercepción con el eje y es -3
3.1.3 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas Paralelas
Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente o son verticales.
Matemáticamente:
m1 = m2
Matemática I
68
Ejemplo:
Las rectas y = 2x + 5, y = 2x – 4 son paralelas porque la pendiente para ambas
es 2; en consecuencia m1 = m2.
Rectas Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si y sólo si la pendiente de la una es
igual al recíproco del negativo de la pendiente de la otra. Además, una
recta horizontal y una vertical son perpendiculares.
Matemáticamente,
m1  
1
m2
Ejemplos:
1) Determine si las rectas son paralelas, perpendiculares o Ninguna de las dos.
y = 5x +2; -5x +y -3 = 0
- Transformar las ecuaciones a la forma y = mx + b
y = 5x + 2 ; y = 5x + 3
-Determinar m1 y m2
m1 = 5
m2 = 5, En consecuencia son paralelas.
2) Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, -2), si la una es
paralela a la recta y = 3x + 1 y la otra es perpendicular a ella.
La pendiente de y = 3x + 1 es 3. Por tanto la recta que pasa por el punto (3, - 2)
también tiene pendiente 3. Utilizando la forma punto pendiente tenemos:
y + 2 = 3 (x – 3 )
y + 2 = 3x – 9
 y = 3x - 11
La pendiente de la recta perpendicular a y = 3x + 1 es 
1
(igual al recíproco
3
del negativo de 3.).Utilizando la forma punto- pendiente, tenemos:
1
x  3
3
1
y  2   x 1
3
1
y   x 1
3
y2

Matemática I
69
Ejercicio 25
En los siguientes ejercicios, determine si las rectas son paralelas,
perpendiculares o ninguna.
1) y = 4x +3
; y = 5 + 4x
2) y = 7x + 2
; y = 7x – 3
3) y = x
; y =-x
En los siguientes ejercicios, determine la ecuación de la recta que satisfaga
las condiciones dadas.
1) Pasa por el punto (-1, 3) y es paralela a y = 4x – 5
2) Pasa por el punto (2, -8) y es paralela a y = - 4x
3) Pasa por el punto (2, 1) y es paralela a y = 2x
3.1.4. APLICACIONES DE LA RECTA
Muchas situaciones de la economía y las finanzas pueden describirse utilizando
rectas como vamos a analizar en los ejemplos siguientes:
Curvas de Oferta y Demanda
Para cada nivel de precio de un producto existe una cantidad correspondiente de
ese producto, que los consumidores demandarán (comprarán) durante algún
periodo. Por lo general a mayorprecio la cantidad demandada es menor: cuando
el precio baja la cantidad demandada aumenta.
Si el precio por unidad del producto del producto está dado por p, la cantidad
correspondiente por q, entonces una ecuación que relaciona p con q se llama
ecuación de demanda y su gráfica es la curva de demanda.
Por lo general, a mayor precio por unidad es mayor la cantidad que los
productores están dispuestos a proveer; cuando el precio disminuye también lo
hace la cantidad suministrada. Si p denota el precio por unidad y q la cantidad
correspondiente, entonces una ecuación que relaciona p y q se llama ecuación
de oferta y su gráfica es la curva de oferta
GRAFICAS
Matemática I
70
La curva de demanda desciende de izquierda a derecha esto significa que al
incrementarse la cantidad demandada el precio disminuye y el valor de la
pendiente es negativo.
La curva de oferta asciende de izquierda a derecha esto significa que al
incrementarse el precio el productor suministra más productos al mercado y el
valor de la pendiente es positiva.
Curva de Oferta lineal
Precio/Unidad ( p )
Curva de Oferta
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
Cantidad de demanda ( q)
6
Pendiente Positiva
Curva de Demanda lineal
Precio/unidad (p)
Curva de Demanda
0
-2 0
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
1
2
3
4
5
6
Cantidad de demanda (q)
Pendiente negativa
ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS
Para la solución de problemas tome en cuenta lo siguiente:
Matemática I
71
1) Lea detenidamente el ejercicio hasta su total comprensión, este proceso
requiere de esfuerzo, paciencia y dedicación. Si en el primer intento no
obtiene resultados, intente otra vez.
2) Identifique las variables por ejemplo si el precio (p) está relacionado con la
cantidad de unidades (q) significa que debe obtener de la lectura dos puntos
de coordenadas ( q , p ) .
3) Encuentre la pendiente y escriba la ecuación.
Ejemplo: Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100
unidades cuando el precio es de $ 58 por unidad y 200 unidades cuando el precio
es de $ 51 .Determinar la ecuación de demanda suponiendo que es lineal.
Estrategia
Ya que la ecuación es lineal la curva de demanda debe ser una línea recta.
Tenemos que la cantidad q y el precio p están relacionados linealmente de modo
que p = 58 cuando q = 100 y
p = 51 cuando q = 200. Por lo tanto los datos proporcionados pueden
representarse en un plano de coordenadas (q, p) por los puntos (100, 58) y (200,
51) Con estos puntos podemos determinar la ecuación de la recta .Así:
La pendiente entre estos puntos es:
m
y 2  y1
x 2  x1
m
51  58
7

200  100
100
La ecuación de la recta punto pendiente es:
p – p1 = m ( q – q1 )
Reemplazando los valores de p y q tenemos:
p p
7
q  100
100
La ecuación de demanda es:
p
7
q  65
100
GRAFICACIÓN
Ejemplo: Graficar f(x) = 2x + 1
Solución: f es una función lineal con pendiente 2, de modo que su gráfica es una
recta. Como dos puntos determinan una recta, solo se necesitan graficar dos
puntos y luego trazar la recta que pase por ellos. Así:
Hacemos y = 2x + 1
Matemática I
72
P (0, 1)
Y =2x + 1
8
6
4
y
2
0
-4
-3
-2
-1
-2
0
1
2
3
4
-4
-6
x
Ejercicio 26
Resuelva los siguientes problemas:
1) Negocios.-La propietaria de una tienda de embutidos inicia su negocio con
una deuda de $10000. Después de cinco años ella acumula una utilidad
de $40000. Determine una ecuación que describa la información anterior.
2) Ecuación de demanda.-Suponga que los clientes demandarán 40 unidades
de un producto cuando el precio es de $ 12 por unidad, y 25 unidades
cuando el precio es de $ 18 cada una. Halle la ecuación de demanda,
suponiendo que es lineal .Determine el precio por unidad cuando se
requiere 30 unidades.
3) Ecuación de oferta.- Un fabricante de refrigeradoras produce 300
unidades cuando el precio $ 940 y 2200 cuando el precio es de $ 740,
suponga que el precio p, y la cantidad q, producidas están relacionadas
linealmente. Determine la ecuación de oferta.
4) Ecuación de costo.- Suponga que el costo para producir 10 unidades de
un producto es $ 40 y el costo para 20 es $ 70. Si el costo c está relacionado
en forma lineal con la producción q, determine el costo de producir 35
unidades.
AUTOEVALUACIÓN
Matemática I
73
¿Cómo se encuentra?
Déjeme opinar; con el estudio en el texto base, el apoyo
de la guía de estudios debe estar logrando un
aprendizaje adecuado.
Recuerde:
CONSULTAS EN EL TEXTO
Estudie el texto base; páginas 116 a 161
2.- Repita los ejercicios y problemas resueltos.
3.- Resuelva los ejercicios y problemas planteados en el texto base.
1.-
BLOQUE 2: PARÁBOLAS
OBJETIVO
Interpretar y aplicar la gráfica de la función cuadrática con el objeto de
determinar el nivel de producción que maximiza el ingreso total del productor
en el campo empresarial.
CONTENIDO:
3.1 LA PARÁBOLA
3.1.1 Elementos de la parábola
3.1.2 Gráfica de la función cuadrática
Matemática I
74
3.2 LA PARÁBOLA
Definición.- Una función f es una función cuadrática, sí y sólo sí f(x)
puede escribirse en la forma y = f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes
y a  0.
Ejemplo: f ( x)  x 2  3x  2 es una función cuadrática
Sin embargo la función G ( x) 
1
no es cuadrática ya que no está escrita en la
x2
forma ax2 + bx + c.
La gráfica de la función cuadrática y = f(x) = ax2 + bx + c es la parábola.
Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba.
Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.
La parábola que surge de la función cuadrática es muy utilizada en distintos
análisis experimentales y económicos.
3.2.1 ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
Es necesario considerar los siguientes elementos de la parábola:
Eje de Simetría.- Cada parábola es simétrica con respecto a una recta vertical
llamada eje de simetría.
Vértice.- Es el punto donde el eje de simetría corta la parábola:
Si a > 0, el vértice es el punto más bajo de la parábola. Esto significa que la
parábola tiene un Mínimo.
Si a < 0, el vértice es el punto más alto de la parábola. Esto significa que la
parábola tiene un Máximo.
El vértice de la parábola está dado por:
 = (−


,  (− ))
2
2
 = (, )
Donde:
Matemática I
75


) ;  =  (− )
2
2
Intersección.- La intersección con el eje y es c. Para determinar la intersección
con el eje x es preciso igualar y a CERO
 = (−
3.2.2 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Geométricamente, una parábola es el lugar geométrico de los puntos en un plano,
los cuales son equidistantes de un punto fijo (llamado foco), y de una recta fija
(denominada directriz). Una parábola es simétrica respecto a una recta conocida
como su eje.1
Para graficar la función cuadrática se procede así:
1) Determinar las intersecciones con los ejes: eje x, y = 0; eje y, x = 0
2) Aplicar la fórmula y calcular el vértice
3) Por el vértice de cada parábola pasa un eje de simetría, utilice esta propiedad
para facilitar su Graficación.
4) Hallar las intersecciones de la parábola en x e y.
Ejemplo: Para la función: s = f (t) = t2 – 4t – 5. Encontrar el vértice, las
intercepciones con los ejes, dominio y rango. Graficar.
a) Coeficientes: a = 1; b = -4 ; c = -5 ; a > 0 (se abre hacia arriba)
b) Vértice

−4
=−
=−
= 2 ;  = (2)2 − 4(2) − 5 = −9 ; (2, −9)
2
2(1)
c) Intersección con eje t: s = 0
1
Weber Jean, Matemáticas para Administración y Economía. Pág. 94. Cuarta Edición. Ed. Harla México, 1984.
Matemática I
76
20
15
s
10
5
(-1,0)
-6
-4
eje de simetría
 2 − 4 − 5 = 0; ( − 5)( + 1) = 0;  = 5;  = −1
(5,0)(−1,0)
d) Intercepción con eje s: t = 0. (0, c): (0 , -5)
e) Con los puntos obtenidos graficamos, tome en cuenta que por el vértice pasa
un eje de simetría. Df = R; Rf = [-9, ∞)
s= t^2 - 4t - 5
(5,0)
0
-2
0
-5
-10
2
4
6
8 t
(0,-5)
V (2,-9)
-15
Ejercicio 27
Grafique cada una de las siguientes funciones, determine las intersecciones, simetrías,
obtenga el vértice y determine el rango.
1) y  f ( x)  x 2  6 x  5
2) y  f ( x)  4 x 2  8 x  7
3) y  f ( x)  9  8 x  2 x 2
Determine si f(x) tiene un máximo o un mínimo y determine ese valor
1) H ( x)  x 2  6 x  11
2) f ( x)  100 x 2  20 x  25
4) f ( x)  9( x  1) 2  25
4) f ( x)  5(3x  1) 2  60
3.2.3 APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
La gráfica de la parábola sirve para representar problemas relacionados a la
Economía, la Administración, la Física y otras asignaturas. Así pues podemos
determinar el ingreso máximo, el nivel máximo de producción, la altura máxima
de un movimiento, etc.
Matemática I
77
Ejemplo: La función de demanda para un producto es p = 1000 - 2q, donde p
es el precio (en dólares) por unidad cuando q unidades son demandadas (por
semana) por los consumidores. Encontrar el nivel de producción que
maximizará el ingreso total del productor y determinar ese ingreso.
Solución:
Estrategia:
Para maximizar el ingreso debemos determinar la función de ingreso, r = f (q).
Utilizando la relación.
Ingreso total = (precio) (cantidad),
Tenemos:
r = p.q
Con la relación de demanda podemos expresar p en términos de q , de modo que
Por lo tanto:
sea r estrictamente una función de q.
r = p. q
r = (1000 – 2q
r = 1000q – 2q2
Observe que r es una función cuadrática de q, con a = -2, b = 1000, c = 0, ya
que a < 0, r es un MÁXIMO, en el vértice (q, r) donde:
b
1000
q

 250
2a
2(2)
El valor máximo de r está dado por
r = 1000(250)- 2 (250)2
r = 250000 – 125000 = 125000
Así el ingreso máximo que el fabricante puede recibir es de $125000 y ocurre
en un nivel de producción de 250 unidades.
GRAFICA INGRESO - CANTIDAD DE UNIDADES
140000
120000
100000
80000
60000
40000
20000
Matemática I
78
Ejercicio 28
Resuelva los siguientes problemas:
1) Ingreso La función de demanda para el fabricante de un producto es p =
1200 – 3q, donde p es el precio por unidad cuando q unidades son
demandadas. Encontrar el nivel de producción que maximizará el ingreso
total del fabricante y determinar ese ingreso.
2) Ingreso máximo La función de demanda para el fabricante de un
producto es p = 200 – 2q donde p es el precio por unidad cuando q
unidades son demandadas .determine el nivel de producción que
maximizará el ingreso total del fabricante y calcule ese ingreso.
3) Demanda.-La función de demanda para cierta marca de videocasetes está
dada por:
 = () = −0.01 2 − 0.2 + 8
donde p es el precio unitario al mayoreo y x es la cantidad demandada para
cada semana. ¿Cuál es la cantidad máxima demandada por semana?
BLOQUE 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
OBJETIVO
Aplicar el sistema de ecuaciones lineales con dos y tres variables, para resolver
problemas relacionados al punto de equilibrio
CONTENIDO:
Matemática I
3.3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
3.3.1. Sistemas con dos variables
3.3.2. Sistemas con tres variables
79
3.3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Si las relaciones entre las variables incluyen varias ecuaciones, es necesario
resolver las ecuaciones del sistema resultante de manera simultánea.
A las variables se les suele designar como x, y, z:
Llamaremos sistema de ecuaciones a todo conjunto de ecuaciones con las mismas
incógnitas cuyas soluciones comunes nos proponemos a determinar, en caso de
que existan.
Si todas las ecuaciones del sistema son lineales recibe el nombre de sistema lineal
en caso contrario son sistemas no lineales.
3.3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES
Las ecuaciones,
12 + 3 = 12
{
10 + 2 = 14
forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables se pueden utilizar
los siguientes métodos:
a) Método de reducción
b) Método de sustitución
c) Método de igualación
d) Método gráfico
e) Método por determinantes.
En este curso estudiaremos los métodos de reducción y de igualación que son los
que utilizaremos para determinar el punto de equilibrio.
Método de reducción
Consiste en eliminar una de las incógnitas para determinar el valor de la otra
incógnita, así:
Ejemplo:
Matemática I
80
Consideremos el sistema:
7 +  = 19
{
4 −  = 3
En este caso eliminamos la y, nos queda:
11 = 22
Despejando y de la ecuación anterior, tenemos:
=2
Para obtener el valor de la otra incógnita, reemplazamos el valor de x, en
cualquiera de las ecuaciones del sistema así:
7(2) +  = 19
14 +  = 19
=5
Para comprobar, si estos valores son la solución del sistema, reemplazamos los
valores de x e y en cualquiera de las dos ecuaciones:
4(2) – 5 = 3
3=3
Método de Igualación
Este método consiste en despejar una de las incógnitas en ambas ecuaciones y
luego igualar los valores obtenidos para así determinar el valor de la otra
incógnita.
Ejemplo:
Resolver el sistema:
6 −  = 7
{
2 +  = 5
Despejamos y, en ambas ecuaciones:
y = 6x – 7
y = 5 – 2x
Igualamos los valores obtenidos:
6x – 7 = 5 – 2x
Transponiendo términos:
6x + 2x =7 + 5
8x = 12

=

Determinamos el valor de y:
3
2( ) +  = 5
2
Matemática I
81
y=2
Comprobación:
3
6( ) − 2 = 7
2
9–2=7
7 =7
Ejercicio 29
Resuelva los siguientes sistemas:
1) {
 +  = 10
−=2
2) {
2 +  = 6
3 −  = 4
3) {
6 −  = 7
2 +  = 5
4) {
+ =9
− =3
3.1.2 SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES VARIABLES
Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables procedemos así:
Ejemplo: Sea el sistema:
3 + 2 −  = −4
2 + 3 + 4 = 11
{
5 − 4 − 2 = 14
1) Combinamos las ecuaciones (1) y (2)
3x +2y – z = - 4
2x+3y+4z = 11
2) En este sistema, eliminamos la z, multiplicando a la primera por 4
12x + 8y – 4z = -16
2x + 3y +4z = 11
14x + 11y =-5 (4)
Matemática I
82
3) Combinamos las ecuaciones (1) y (3), eliminamos de nuevo la z,
multiplicando por (-2 )a la primera ecuación:
-6x - 4y + 2z = 8
5x - 4y - 2z = 14
-x - 8y = 22 (5)
4) Combinamos la (4) y (5), y eliminamos la y multiplicando a la ecuación 4
por 8, la ecuación 5 por 11.
112x + 88y = -40
-11x - 88y = 242
101x
= 202
x =2
5) Reemplazar el valor de x, en (4) ó (5), para encontrar el valor de y.
En (4)
14(2)+11y = -5
11y
= -33
 = −
6) Reemplazar los valores de x e y en (1) (2) ó (3), para encontrar el valor
de z:
En (1)
3(2)+2(-3)-z = -4
z =4
7) Comprobación:
En (2)
2(2)+3(-3)+4(4)=11
11 = 11
Ejercicio 30
Resuelva los siguientes sistemas:
5 − 3 + 2 = 5
1) {3 + 4 − 3 = 2
2 + 3 − 2 = 2
2 − 3 + 4 = 9
4 + 5 − 3 = −4
Matemática I
83
3.1.3 APLICACIONES
Las ecuaciones se pueden aplicar a diferentes situaciones cotidianas, para
resolver los problemas prácticos deben traducirse las relaciones a símbolos
matemáticos, esto se conoce como modelado que se vuelve un arte para plantear
ecuaciones.
Para el planteo de ecuaciones se sugiere realizar el siguiente ciclo:
4. Relacionar los
datos con las
variables para
plantear una o
más ecuaciones
que al resolver nos
den la solución
1. • Leer
cuidadosamente el
texto del problema
hasta comprender
de que se trata.
3. Elegir la(s)
variable(s) con las
cuales se va ha
trabajar.
2. Ubicar los datos
y la pregunta.
Resuelva:
Las ecuaciones de demanda y oferta de ciertos artículos son:
 + 5 = 30 y  − 3 = 6.
Donde  es el precio y  es la cantidad de demanda. Calcular los valores de  y
 para el punto de equilibrio en el mercado.
Matemática I
84
El punto de equilibrio en el mercado se obtiene cuando la curva de oferta y
demanda se interseca, conforme a las ecuaciones se procederá por el método de
sustitución para resolver el sistema de ecuación
 + 5 = 30
 − 3 = 6
Donde  = 30 − 5 , para proceder a sustituir en la ecuación  − 3 = 6
quedando:
30 − 5 − 3 = 6
24 = 8
=3
Al sustituir x=3 en la fórmula  = 30 − 5 obtenemos que  = 15
Gráficamente también se puede determinar donde se encuentra el punto de
equilibrio, originado por la intersección de las dos rectas:
35
30
Ecuaciones de oferta y
demanda
25
p-3x=6
20
p+5x=30
15
10
5
0
Matemática I
85
x
0
1
2
3
4
5
p
30
25
20
15
10
5
x
0
1
2
3
4
5
p
6
9
12
15
18
21
Nociones importantes para la solución de problemas
Costos fijos (CF).No dependen del número de unidades producidas y
corresponden a este rubro: arrendamiento, seguros, pago de créditos, sueldos,
etc.
Costos variables (Cv). Son los costos unitarios directos que están en función
del número de unidades producidas, corresponden a este grupo: materia prima,
mano de obra y otros que están relacionadas con la producción de cada unidad.
Cv = pc . q
Costo total (C). Es la suma de los costos fijos más los variables.
C = Cf + pc. Q
Precio de venta (pv). Es el valor que se establece para la venta o
comercialización de bienes o servicios producidos.
Ingreso total (R). Es la cantidad de dinero que se obtiene por la venta de la
producción de bienes o servicios.
R = pv. Q
Utilidad (P). Es la cantidad de dinero que se obtiene como beneficio al restar
del ingreso total por ventas los costos totales para la producción de bienes o
servicios.
P=R–C
Matemática I
86
Punto de equilibrio. En negocios es muy importante conocer el punto de
equilibrio en la producción, que se genera cuando los ingresos son iguales a
los costos totales de producción esto implica que los recursos generados por la
venta de bienes o servicios sirven exclusivamente para cubrir los costos de
producción, no hay pérdida ni ganancia. Este concepto es importante para
determinar a qué nivel de producción se obtiene utilidades.
R = C condición de equilibrio
R > C existe utilidad
R < C existe pérdida
Oferta. La cantidad de un artículo que sus fabricantes están dispuestos a poner
en el mercado a un precio determinado. Al aumentar la cantidad ofertada, el
precio se incrementa, por lo que, el valor de la pendiente es positivo.
p = mx + b, m > 0
Demanda. La cantidad de un determinado artículo que los consumidores están
dispuestos a comprar a varios niveles de precios. Al incrementarse la cantidad
demandada el precio disminuye, por lo que, el valor de la pendiente es negativo.
Este precio unitario se utiliza para obtener los ingresos.
pv = mx + b, m < 0
Punto de equilibrio del mercado. Ocurre cuando la cantidad demandada es
igual a la ofertada. Geométricamente corresponde al punto de intersección de
las curvas de oferta y demanda e indica que al precio unitario establecido por
el productor, el consumidor adquiere todos los elaborados.
p. oferta = p. demanda
Subsidios e Impuestos. Son valores que se restan o suman, respectivamente,
solo a la ecuación de oferta porque la demanda depende del poder adquisitivo
del consumidor. El subsidio disminuye el precio en el punto de equilibrio, en
cambio el impuesto lo incrementa.
Negocios. Un fabricante fabrica un producto cuyo costo por material es $4, mano
de obra $2 y los costos fijos $4.000. Si el producto se vende a $8.
Determine:
a) El punto de equilibrio.
b) El nivel de producción para tener una utilidad de $3.000
c) El nivel de producción que genera una pérdida de $2.000
d) Analice las tasas de variación de los costos totales e ingresos.
Matemática I
87
Datos:
Cv = $4 material + $2 mano de obra = $6
CF = $ 4.000
pv. = $8
Es necesario determinar las ecuaciones de ingresos y costos totales.
Ingreso: r = pv . q⟹ r = 8 q
Costos totales: C = Cv + CF
⟹ C = 6 q + 4.000
Condición de equilibrio: Ingreso (r) = Costos Totales (C)
8 q = 6 q + 4.000 ⟹ 8 q – 6 q = 4.000 ⟹ 2 q = 4.000
q = 2.000
Con el valor de q se obtiene el valor de los ingresos o los costos totales, en
este caso, se comprobará con los dos.
r = 8 q ⟹ r = 8 (2.000) ⟹ r = 16.000
C = 4.000 + 6 q ⟹ C = 4.000 + 6 (2.000) ⟹ C = 16.000
Se comprueba que los ingresos son iguales a los costos, en consecuencia el
punto de equilibrio es: (2.000, 16.000)
Solución: Los ingresos de $16.000 dólares por la venta de 2.000 unidades del
producto cubren únicamente los costos de producción, no hay pérdida ni
utilidad.
Para determinar la cantidad que se debe producir y vender para obtener
utilidades de $3.000, es necesario plantear la respectiva ecuación.
Utilidad = Ingresos – Costos
U = 8 q - ( 6 q + 4.000)
U = 8q – 6 q – 4.000
U = 2 q – 4.000
En esta ecuación se remplaza el valor de la utilidad que se quiere obtener.
Matemática I
88
3.000 = 2 q – 4.000 ⟹ 3.000 + 4.000 = 2 q
2 q = 7.000 ⟹ q = 3.500
Solución: Para obtener utilidades de $3.000 dólares se debe elaborar y vender
3.500 unidades del producto.
Con la misma fórmula de la utilidad se obtiene la cantidad que generaría una
pérdida de $2.000.
U = 2 q – 4.000 ⟹ - 2. 000 = 2 q – 4.000
2 q = -2.000 + 4.000 ⟹ 2 q = 2.000 ⟹ q = 1.000
Solución: Se generaría una pérdida de $2.000 dólares cuando se elaboren y
vendan 1.000 unidades.
Para el análisis de las tasas de variación de ingresos y costos totales se considera
sus ecuaciones.
Ingresos: r = 8 q
⟹
m=8
⟹ =
∆
∆
=
8
1
∆  = 8y ∆ = 1
Análisis: Por el incremento de una unidad en las ventas los ingresos se
incrementan en $8,00 dólares.
Costos: C = 6 q + 4.000 ⟹
m=6
⟹ =
∆
∆
=
6
1
∆  = 6 y ∆ = 1
Análisis: Por el incremento de una unidad en la producción los costos totales
aumentan en $8,00 dólares.
Ejercicio 31
Resolver:
1) Encuentre el punto de equilibrio para la compañía X, que vende todo lo
que produce, si el costo variable por unidad es de $2 (dólares), los costos
fijos $1200 (dólares) y la ecuación de ingresos YTR = 100 √, donde q es
Matemática I
89
el número de unidades producidas. Bosqueje el sistema.
2) Una fábrica produce dos clases de dulces a partir de los mismos
ingredientes. Si X y Y representan las cantidades producidas, la curva de
AUTOEVALUACIÓN
¿Cómo se encuentra?
Déjeme opinar; con el estudio en el texto base, el apoyo
de la guía de estudios debe estar logrando un aprendizaje
adecuado.
Recuerde:
CONSULTAS EN EL TEXTO
1.2.3.-
Estudie el texto base; páginas 27 a 53 y 138 a 148
Repita los ejercicios y problemas resueltos.
Resuelva los ejercicios y problemas planteados en el texto base.
CUARTA UNIDAD: FUNCIONES EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS
OBJETIVO:
Al terminar esta unidad, estarás en capacidad de resolver problemas
Matemática
de aplicación práctica en el comercio, la
banca yI las finanzas con90
utilización de funciones
exponenciales y logarítmicas para
perfeccionar el desarrollo de la empresa
VINCULACIÓN CON CONOCIMIENTOS ANTERIORES.
PARA COMPRENDER LOS TEMAS QUE VAS A TRATAR EN LA PRESENTE GUÍA,
DEBES TENER CLARO LOS SIGUIENTES TEMAS:
Ecuaciones lineales y cuadráticas
Leyes de los exponentes y radicales
Factorización
BLOQUE 1: FUNCIÓN EXPONENCIAL
OBJETIVO
Estudiar las funciones exponenciales y sus aplicaciones en el
comercio, la banca y las finanzas
Matemática I
CONTENIDO:
4.1. FUNCIÓN EXPONENCIAL
4.1.1 Características
4.1.2 Gráfico de la función exponencial
91
4.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL
Definición
La función f definida por  = () =  donde  > 0;  ≠ 1, y el exponente x
es cualquier número real, se llama función exponencial de base b.
4.1.1 CARACTERÍSTICAS
El dominio de la función exponencial son los números reales: Df = R
El rango de la función es: Rf = R+, es decir el intervalo (0 ;∞ )
La función tiene una asíntota horizontal que es el eje x.
f(0) = 1
f(1) = b
Si b > 1 la función es creciente.
Si b ∈ (0 ; 1) la función es decreciente.
Cuando se trabaja con funciones exponenciales es necesario recordar las reglas
de los exponentes.
Reglas de los Exponentes
1.
   =  +
(  ) =  
  
5. ( ) = 


3.

2.
=  −


4. () =   
6. 1 = 
Matemática I
92
7.
−1 =
8.
0 = 1
1

4.1.2 GRÁFICO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Para graficar la función exponencial tenga en cuenta el proceso realizado
anteriormente para representar en el sistema de coordenadas rectangulares los
lugares geométricos de ecuaciones y funciones.
Ejemplos:
1. Graficar las funciones exponenciales:  = () = 2 ;
 = () =
1 
(2)
Dominio de las funciones: Df = R
Rango de las funciones: Rf = (0 , ∞)
En la primera función b = 2 > 0, entonces f(x) es creciente.
En la segunda función b =
1
2
∈ (0 ; 1), entonces f(x) es decreciente.
Las dos funciones tienen como asíntota horizontal al eje x.
 = () = 2
x
y
x
y
-4
-3
-2
0,063 0,125 0,25
-4
16
-3
8
-2
4
-1
0,5
0
1
1
2
1 
 = () = ( )
2
-1
0
1
2
1
0,5
2
4
3
8
4
16
2
3
4
0,25 0,125 0,063
Matemática I
93
Se comprueba que la primera función es creciente porque aumenta los valores de
y (color azul), en cambio la segunda es decreciente porque al incrementarse los
valores de x los de y disminuyen (color verde).
Ejercicio 32
Grafique cada una de las siguientes funciones exponenciales:
1) f (x) = 4x
2) f (x) = 3x
3) f (x) = (1/2)x
4) f (x) = (1/3) x
5) f (x) = 2(1/4)x
4.1.3 APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Interés Compuesto.
Una de las aplicaciones de las funciones exponenciales se refiere a la inversión
de un capital P a una tasa de interés r con períodos de capitalización y por un
tiempo determinado. El dinero resultante de la inversión es el monto (S) en el que
se incluyen capital e intereses y está definido por la fórmula:
 = (1 + )
Matemática I
94
La fórmula anterior se aplica cuando existe una sola capitalización por año, esto
es que al finalizar el año los intereses se suman al capital y sobre esta cantidad
se calculan nuevos beneficios.
Cuando existen varias capitalizaciones en un año se utiliza la fórmula:
 
 =  (1 + )

K representa el número de capitalizaciones en un año:
Semestral: k = 2
Trimestral: k = 4
Mensual: k = 12
Diario: k = 360
Es importante destacar que S = f(n), por lo tanto la variable independiente es el
exponente.
Inversiones Suponga que un capital de $150.000 se invierte por un tiempo de 3
años. Determine el monto de la inversión de acuerdo a las siguientes alternativas
de tasa de interés:
 = 10%  
 = 150.000(1 + 0.10)3 = 199.650
 = 10%   
0.10 23
 = 150.000 (1 +
= 201.014,35
)
2
 = 10%   
0.10 43
 = 150.000 (1 +
= 271.308,89
)
4
Solución: Mientras existen mayor número de periodos de capitalización en
un año, el valor del monto se incrementa.
Tasa de interés Encontrar la tasa de interés capitalizable mensualmente para
que un capital de $18.000 se convierta en $23.400 en un tiempo de 3 años.
Datos:
Desarrollo:
P = $18.000
 
 =  (1 + )

S = $23.400
23.400 = 18.000 (1 +
n = 3 años
(1 + 12)

36
√(1 +
k = 12
36


12
123
)
= 1.30
36
)
12
36
= √1.30
36
r = ? = ( √1.30 − 1)12
Matemática I
95
 = 8.78%
Solución: Para que un capital de $18.000 se convierta en $23.400 en un
tiempo de 3 años debe invertirse al 8,78 % capitalizable mensualmente.
Cuentas de Ahorros Un banco ofrece el 6% de interés anual en cuentas de
ahorro que tienen un mínimo de $1.000. ¿Qué cantidad hay en una cuenta
inicial de $1.000 al cabo de 10 años si el interés se compone:
a) Anualmente?
b) Mensualmente?
c) Diariamente?
P = $1.000 r = 0.06 y n = 10 años
An = A0(1 + )
a) A10 = 1.000 (1 + 0.06)10 = $1.790,85
b) A10 = 1.000 (1 +
c) A10 = 1.000 (1 +
0,06 10 .12
12
)
= $1.819,40
0,06 365 .10
365
)
= $1.822,03
Modelo de crecimiento exponencial
Muchas leyes de crecimiento exponencial pueden expresarse por la ecuación
A = A0 e r t
A representa la cantidad en un tiempo t, Ao la cantidad inicial en el tiempo cero
y r la tasa de crecimiento. Es evidente que A0 , e y r son valores constantes por lo
tanto t es la variable independiente, en consecuencia A = f(t).
Crecimiento poblacional De acuerdo con un almanaque mundial, la población
del mundo es 1986 se estimaba en 4.7 miles de millones de personas. Suponiendo
que la población del mundo crece a razón de 1,8% al año. Estimar la población
del mundo en el año 2.000.
Datos:
P0 = 4.7 (miles de millones)
r = 1,8 % = 0.018
t = 2.000 – 1.986 = 14 años
P=?
P = P0 e r t⟹  = 4, 7  (0,018)(14)
 = 4, 7  0,252 ⟹  = 4, 7 ( 1,2867)
P ≈ 6,05 miles de millones
Solución: La población de la Tierra en el año 2.000 será aproximadamente
6,05 miles de millones de personas, de acuerdo con este modelo.
Matemática I
96
BLOQUE 2: FUNCIÓN LOGARÍTMICA
OBJETIVO
Estudiar las funciones logarítmicas y sus aplicaciones
administrativo y empresarial.
en el campo
CONTENIDO:
4.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Matemática I
4.2.1 Función logarítmica
4.2.2 Gráfico de la función logarítmica
4.2.3 Aplicaciones
97
4.2.1 FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Definición
La función logarítmica de base b, donde > 1   ≠ 1. Se define como:
 = () =  
   
 = 
El logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente al cual
hay que elevar la base para obtener dicho número.
log b X = exponente ⟹ base exp. = X
Por lo tanto, calcular logaritmos es buscar exponentes conociendo la base y la
potencia.
Ejemplos:
a) log 3 81 = 4
porque
34 = 81
b) log2 8 = 3
porque
23 = 8
1
c) log4( ) = -3
64
porque
4 -3 =
1
64
d) logb Y = X
porque
bX=Y
Del análisis de los ejemplos planteados se deduce que se pueden calcular
logaritmos de cualquier base, sin embargo, por convenio se utilizan los
logaritmos decimales o de base 10 que se denotan por “log” sin escribir la base
y los logaritmos naturales o de base e = 2.718281…, que se los identifica por
“ln” sin escribir la base.
Ejemplos:
Con la calculadora obtener los logaritmos de las siguientes cantidades.
a) log 15 = 1,17609
b) log 0,35 = - 0, 45593
c) ln 1.245 = 7,12689
d) ln 0,0789 = - 2,53957
e) Utilizando la definición de logaritmo resuelva los siguientes ejercicios.
3 27 =  ⟹ 3 = 27
⟹ 33 = 27
⟹  = 3.
4 1024 =? ⟹ 4 = 1024
⟹ 4  = 45
⟹  = 5

7 50 =? ⟹ 7 = 50 . No se puede encontrar un exponente entero que nos
de cómo resultado 50; es necesario utilizar la propiedad de cambio de base.
Matemática I
98
 
 
Lógicamente se utiliza el logaritmo que tiene en su calculadora.
 50
 50
7 50 =
= 2,01038
7 50 =
= 2,01038
 7
 7
Cuando se trabaja con funciones logarítmicas es necesario recordar las reglas
de los logaritmos:
  =
Reglas de los Logaritmos
  +   =  ( . )
   =   
   = 
  =   ⟹  = 

  −   =  ( )

 1 = 0
 = 
 =  ⟹  = 
Utilice las reglas de los logaritmos en los siguientes ejercicios:
Exprese como un solo logaritmo.
( + 3) − ( + 5) + ( − 1)
( + 3)
( + 3)( − 1)
= 
+ ( − 1) = 
( + 5)
( + 5)
Exprese como un solo logaritmo.
1
[( + 3) + 2 (2 − 1) − 3   + 5 (1 − 8)]
3
1
= [( + 3) + (2 − 1)2 −   3 + (1 − 8)5 ]
3
( + 3)(2 − 1)2 (1 − 8)5
1
= [
]
3
3
1/3
( + 3)(2 − 1)2 (1 − 8)5
=  [
]
3
( + 3)(2 − 1)2 (1 − 8)5
=  √
3
3
Características
Matemática I
99
El dominio de la función logarítmica es el conjunto de números reales positivos:
Df = (0 ; ∞ )
El rango de la función es: Rf = R
La función tiene una asíntota vertical que es el eje Y.
f(1) = 0
f(b) = 1
Si b > 1 la función es creciente.
Si b ∈ (0 ; 1) la función es decreciente.
Cuando se trabaja con funciones logarítmicas es necesario recordar algunas
nociones acerca de los logaritmos y sus reglas.
4.2.2 GRÁFICO DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Para graficar la función logarítmica tenga en cuenta el proceso realizado
anteriormente para representar en el sistema de coordenadas rectangulares los
lugares geométricos de ecuaciones y funciones.
Ejemplos:
1. Graficar las funciones logarítmicas:  = () = 3  ;
 = () =
1 
3
Dominio de las funciones: Df = (0 , ∞)
Rango de las funciones: Rf = R
En la primera función b = 3 > 0, entonces f(x) es creciente.
En la segunda función b =
1
3
∈ (0 ; 1), entonces f(x) es decreciente.
Las dos funciones tienen como asíntota vertical al eje y.
 = () = 3 
    = 3
Asigne valores a la y para encontrar los de x, registre los datos en la tabla
y
x
-4
-3
-2
-1
0,012 0,037 0,111 0,333
 = () = 1/3 
y
x
-4
81
-3
27
-2
9
0
1
1
3
2
9
  
-1
3
0
1
3
27
4
81
1 
=( )
3
1
2
3
4
0,333 0,111 0,037 0,012
Matemática I
100
4.2.3 APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
1. Interés compuesto Un banco ofrece el 6% de interés anual en cuentas de
ahorro que tienen un mínimo de $1.000, con capitalizaciones anuales.
¿Cuánto tardará en duplicarse el capital de $1.000? ¿En qué tiempo se
duplicará el capital inicial de $1.000 si la tasa de interés anual es de 8%?
P = $ 1.000
S = $ 2.000 r = 6%
n=?

 = (1 + )
2.000 = 1.000 (1 + 0,06)n
Para despejar n, primero se divide ambos lados de la ecuación para 1.000
2 = 1.06 n
Se aplican logaritmos en los dos miembros de la ecuación
ln 2 = ln (1,06) n
ln 2 = n. ln 1,06
n=
 2
 1.06
≈ 11.9 años
Solución: Como el interés se paga al final de cada año, el dinero se duplica al
cabo de 12 años.
Si la tasa de interés anual es 8%, entonces 1 + r = 1 + 0.08 = 1.08 y con el mismo
procedimiento utilizado en la parte anterior se tiene:
n=
 2
 1.08
≈9
Solución: A la tasa de interés de 8%, el capital se duplicará en 9 años
aproximadamente.
Matemática I
101
2. Interés compuesto (Composición Continua)Si se invierten P dólares con una
tasa de interés anual r compuesto de manera continua A, la cantidad de
dinero presente después de t años, está dada por:
rt
A = Pe
¿Con qué tasa anual, compuesta de manera continua, deben invertirse $10.000
para llegar a $25.000 en 8 años?
Utilizando la fórmula anterior con A = 25.000, P = 10.000 y t = 8, se obtiene:
25.000 = 10.000 e8 r
2.5 = e 8 r
ln 2.5 = 8 r. ln e ⟹ r =
2.5
8
≈ 0.1145
Solución: La tasa anual debe ser 11.45%.
3. Crecimiento poblacional De acuerdo con un almanaque mundial, la
población del mundo es 1986 se estimaba en 4.7 miles de millones de personas.
Suponiendo que la población del mundo crece a razón de 1,8% al año. ¿En
qué año la población del mundo será 10 mil millones?
Datos:
P0 = 4.7 (miles de millones)
r = 1,8 % = 0.018
P = 10 (miles de millones)
t=?
P = 4, 7 e 0.018 t⟹ 10 = 4, 7 e 0.018 t
10
4.7
=  0.018 ⟹ 
10
4.7
= ln e0.018t
ln 10 – ln 4,7 = (0,018 t) ln e
t=
 10 −  4,7
0.018
≈ 41.95 años
t = 1986 + 42 = 2.028
Solución: Para el año 2.028 la población mundial alcanzaría la cifra de 10 miles
de millones de habitantes.
4. Decaimiento radioactivo Se tiene 100 gramos de una sustancia radioactiva
que decae a razón de 4% por hora.
a) ¿En cuánto tiempo quedarán sólo 20 gramos de sustancia radiactiva?
b) ¿Qué tiempo tardará esta sustancia radiactiva en decaer a la mitad de su
cantidad? Este tiempo es la vida media de la sustancia.
Datos:
A = 20 gramos
A = A0 e –r t
Matemática I
102
20 = 100e –(0,04) t
A0 = 100 gramos
20
r = 4 % = 0,04
100
0.2 = e – 0.04t
 0.2 =   −0,04 
 0.2 = − 0,04   
t=?
t=
=  −0,04
 0.2
− 0.04
−1,6094
=
−0,04
≈40,23
a) Solución. Aproximadamente en 40,23 horas la cantidad de substancia
radioactiva es de 20 gramos.
Para determinar la vida media de esta sustancia, se plantea como cantidad final
1
2
A0.

1
2
A0 = A0 e – 0.04t
0.5 = e – 0.04 t
⟹
ln 0,5 = - 0,04 t ( ln e)
ln 0.5 = ln e – 0.04 t
⟹
t=
 0.5
− 0.04
≈17.33
c) Solución: La vida media de la sustancia substancia radioactiva es de
aproximadamente 17.33 horas.
Ejercicio 33
Exprese en forma logarítmica las siguientes potencias:
1) 105 = 10000
2) e2 = 7,3891
3) e0, 33647 = 1,4
4) 45 = 1024
5) 27 = 128
Exprese en forma exponencial los siguientes logaritmos:
6) log12 144 = 2
7) log2 64 = 6
8) Log 5 = 0,6990
9) Log 3 243 = 5
10) ln 3 = 1,09861
Encuentre x en las siguientes igualdades:
1) log3 x = 2
2) log2 x = 8
3) log5 x = 3
4) log4 x = 0
5) log x = 1
Matemática
I
BLOQUE 3: ECUACIONES EXPONENCIALES
Y LOGARÍTMICAS
103
OBJETIVO
Aplicar los conocimientos de funciones exponenciales y logarítmicas en la
resolución ecuaciones.
4.3 ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES
4.3.1 ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Una ecuación logarítmica es aquella que incluye la incógnita en el logaritmo de
una expresión .Por ejemplo: 2 ln (x + 4) = 5 es una expresión logarítmica.
Para resolver ecuaciones logarítmicas aplicaremos la siguiente regla:
si log b m  log b n, entonces m  n
1) Ejemplo: logx = log 3; entonces x = 3.
2) Ejemplo: log (3x + 5) = Log (2x – 3)
3x + 5 = 2x – 3
Aplicando la regla anterior
3x – 2x = - 5 – 3
Transponiendo términos
x=-8
Resolviendo para x
3) Ejemplo: log (x – 2) = 2
102 = x – 2
Transformando a notación exponencial
100 = x – 2
Elevando el 10 al cuadrado
- x = - 100 - 2
Transponiendo términos
- x = - 102
Reduciendo términos semejantes
x = 102
Despejando la x
4.3.2 ECUACIONES EXPONENCIALES
Es aquella que tiene la incógnita en el exponente Ejemplo: 2x+1 = 6.
Para resolver ecuaciones exponenciales además de aplicar las propiedades de
los logaritmos, es necesario tomar en cuenta la siguiente regla:
Si b m  b n , entonces m  n
Matemática I
104
1) Ejemplo: 2 3  2 x2 , entonces 3 = x +2
x= 3–2
x=1
x-1
2) Ejemplo: 5 + (3) 4 = 12
( x  1) log 4  log
Aplicando la regla anterior
Transponiendo términos
Despejando la incógnita
7
3
7
3 1
x
log 4
log
x = 1, 6112
Ejercicio 34
Resuelva las siguientes ecuaciones:
1) log (2x + 1) = log(x + 6)
2) log x + log3 = log5
3) log7 – log(x – 1) = log 4
4) log x  3 log 2  log
2
x
5) ln (-x) = ln (x2 – 6)
6) 2x = 64
7) 3x =343
8) 7x = 320
9) 5x = 72
10) 2x+1 = 5x-1
11) 5x+2 = 7x-1
AUTO EVALUACIÓN
Su proceso de autoevaluación permanente ha permitido que su proceso de
aprendizaje sea satisfactorio. Siga adelante…
Felicitaciones.
Matemática I
105
Recuerde:
CONSULTAS EN EL TEXTO
1.2.3.-
Estudie el texto base; páginas 164 a 195
Repita los ejercicios y problemas resueltos.
Resuelva los ejercicios y problemas planteados en el texto base.
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL
SEGUNDO HEMISEMESTRE
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SEGUNDO TRABAJO A ENTREGAR
UNIDAD III
RECTA, PARÁBOLA, SISTEMAS ECUACIONES LINEALES
Problemas 3.1 páginas 123 -124
Ejercicios 5, 9, 13, 17, 41, 61, 69
Problemas 3.2 páginas 129 – 130
Ejercicios 5, 17, 19, 25, 31
Problemas 3.3 páginas 136 – 137
Ejercicios 7, 13, 21, 29, 31, 39
Problemas 3.4 páginas 146-147
Ejercicios 3, 9, 17, 21, 35
Problemas 3.6 páginas 156, 157
Ejercicios 3, 7, 11, 17, 21
UNIDAD IV
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Problemas 4.1 páginas 173 – 174
Ejercicios 5, 19, 23, 27, 29, 57
Problemas 4.2 página 180
Ejercicios 3, 11, 35, 41, 55, 57
Problemas 4.3 páginas 185 – 186
Ejercicios 9, 21, 33, 37, 41, 53
Problemas 4.4 páginas 190 – 191
Ejercicios 3, 27, 35, 41, 43
Matemática I
106