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Electromagnetismo
Pedagogía en Física
R. Lagos.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.
Una esfera de radia 4[m] está hecha de un material no conductor que tiene una
;8 [ ⁄ 3 ].
densidad de carga volumétrica uniforme
7
m
Una cavidad
esférica de radio 2[m] se separa después de la esfera, como se indica en la figura.
Determine el campo eléctrico dentro de la cavidad.
ANÁLISIS Y FORMULA A USAR
DATOS
R= 4 [m]
a = 2 [m]
ρ
.7 ∙
ε0 8.85 ∙
Φ
;7 [
⁄m3 ]
;12 [ 2 ⁄
Nm2 ]
𝐸 ∙ 𝑑𝑠
𝑞0
ε0
El campo eléctrico en la concavidad, será la diferencia entre el
campo eléctrico de dos esfera de radio R y a.
De la relación de densidad de carga volumétrica:
𝑞0 𝜌 ∙ 𝑣
Si el campo es constante:
𝑞0
𝐸∙𝑠
ε0
𝐸1 ∙ 𝑆
Remplazamos q:
𝐸1 ∙ 4𝜋𝑅2
𝑞0
ε0
𝜌 ∙ 4𝜋𝑅3
3ε0
𝜌𝑅
3ε0
Realizamos el mismo procedimiento anterior, pero ahora para una
esfera de radio a, entonces el campo eléctrico es:
𝐸1
𝐸2
𝜌𝑎
3ε0
El campo final es:
𝐸𝑓
𝐸𝑓
RESULTADO
. 3 ∙ 4 [𝑁⁄𝐶 ]
𝐸1 − 𝐸2
Electromagnetismo
Pedagogía en Física
R. Lagos.
La figura muestra una carga puntual
6[n ] en el centro de una cavidad
esférica de 3.66 [cm] de radio en un trozo de metal. Use la ley de Gauss para hallar
el campo eléctrico (a) en el punto P1, en un punto medio entre el centro y la
superficie, y (b) en el punto P2.
2.
q = . 6∙
R = 3.66 ∙
ε0 8.85 ∙
DATOS
;7 [𝐶]
;2 [𝑚]
;12 [ 2 ⁄
Nm2 ]
ANÁLISIS Y FORMULAS A USAR
Φ
𝐸 ∙ 𝑑𝑠
𝑞0
ε0
a) Encerramos la carga en una esfera de radio R/2.
Entonces:
𝑞
ε0
Como el campo eléctrico es constante.
𝑞
𝐸1 ∙ 𝑠
ε0
𝑞
𝐸1
ε0 ∙ 4𝜋 𝑅 ⁄
𝐸 ∙ 𝑑𝑠
2
b) El campo eléctrico en un conductor vale cero por toda la
superficie gaussiana:
𝐸1
3.
RESULTADO
3.38 ∙ 6 [𝑁⁄𝐶 ]
[𝑁⁄𝐶 ]
𝐸2
a) Calcule la rapidez de un protón que es acelerado desde el reposo a través de una
diferencia de potencial de 120 [V]. b) Calcule la rapidez de un electrón que se
acelera a través de la misma diferencia de potencial.
DATOS
𝑞
𝑚𝑝
𝑚𝑒
∆𝑉
ANÁLISIS Y FORMULAS A USAR
.6 ∙ ;19 [𝐶]
.67 ∙ ;27 [𝑘𝑔]
9. ∙ ;31 [𝑘𝑔]
[𝑉]
𝑊
𝑞
a) Para obtener la rapidez de propagación del protón,
utilizaremos la relación entre el trabajo y la energía
cinética.
𝑊 ∆𝐾
Si consideremos que la partícula parte el reposo, 𝑣0
entonces:
∆𝑉
,
𝑚𝑝 𝑣𝑝 2 − 𝑚𝑝 𝑣0 2
𝑞 ∙ ∆𝑉
𝑣𝑝
∙ 𝑞 ∙ ∆𝑉
𝑚𝑝
b) Realizamos el mismo procedimiento, pero con la masa
del electrón.
𝑣𝑝
𝑣𝑒
RESULTADO
.5 ∙ 5 [𝑚⁄𝑠]
6.49 ∙ 6 [𝑚⁄𝑠]
Electromagnetismo
4.
Pedagogía en Física
R. Lagos.
En el rectángulo de la figura, los lados tienen las longitudes de 5 [cm] y 15 [cm],
−5. [ ] y 2
. [ ]. a) ¿Cuáles son los potenciales eléctricos en los
1
vértices B y A? (Suponga que V = 0 en el infinito). b) ¿Cuánto trabajo se requiere
para mover una tercera carga 3 3. [ ] de B a A a lo largo de una diagonal del
rectángulo?
DATOS
ANÁLISIS Y FORMULAS A USAR
−5 ∙ ;6 [ ]
∙ ;6 [ ]
2
3 ∙ ;6 [ ]
3
r1 = 0.15 [m]
r2 = 0.05 [m]
K = 9.0 · 109 [ N m2 /C2]
1
∆V
𝑘
𝑞𝑖
𝑟𝑖
; ∆V
𝑊
𝑞
El potencial eléctrico en el punto A, debido a las cargas
es:
𝑞1 𝑞2
V𝐴 k
+
𝑟1 𝑟2
y en B:
𝑞1 𝑞2
+
𝑟2 𝑟1
b) Para halar el trabajo para mover una tercera carga
hacemos una diferencia entre los potenciales A y B.
V𝐵
𝑊
RESULTADO
a)
VA
VB
5.99 ∙
−7.8 ∙
b) W
4 [V]
.5[J]
5 [V]
k
V𝐴 − V𝐵 ∙ 𝑞3
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5.
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R. Lagos.
Una carga cuya densidad lineal está determinada por λ = β x, donde β es una
constante positiva, está distribuida sobre una varilla delgada de longitud L que se
encuentra sobre el eje x con uno de sus extremos en el origen, con se ilustra en la
figura. Calcule el potencial eléctrico en los puntos A y B.
DATOS
k, β, L, d.
ANÁLISIS Y FORMULA A USAR
𝑘 ∙ 𝑑𝑞
𝑟
a) Tomaremos un pequeño segmento de la barra, que
llamaremos dx, el cual tendrá una pequeña carga dq, entonces:
𝑘 ∙ 𝑑𝑞
dV
𝑑+𝑥
dV
como la barra tiene una densidad lineal, podemos dejar la
carga en función de su densidad lineal.
𝜆 ∙ 𝑑𝑥
.
Por lo tanto el dq nos queda:
𝑑𝑞 𝛽𝑥𝑑𝑥
.
Pero: 𝜆
𝑑𝑞
𝛽𝑥
Remplazamos (2.1) en (1)
𝐿
𝑉
0
𝐿
𝑘 ∙ 𝛽𝑥𝑑𝑥
𝑑+𝑥
𝑘𝛽
−
0
𝑑
𝑑𝑥
𝑑+𝑥
b) La distancia donde se quiere medir el potencial eléctrico,
será la hipotenusa formada por los catetos “x” y “b”. Tomamos
la misma carga pequeña, por lo tanto:
𝐿
𝑉
𝑘𝛽
0
RESULTADO
a)
V
b) V
𝑘𝛽 𝐿 − 𝑑 ∙ ln
𝑘𝛽
𝑑:𝐿
𝑑
𝐿2 + 𝑏 2 − 𝑏
𝑥𝑑𝑥
𝑏 + 𝑥 1⁄2
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1- Qué diferencia de potencial se necesita para frenar un electrón que tiene una rapidez
de 4. ∙ 5 [m ].
2- Un bloque de 4 [kg] con una carga
5 [ ] se conecta a un resorte para el cual
[N⁄m]. El bloque está sobre una pista horizontal sin fricción, y el sistema
k
está inmerso en un campo eléctrico uniforme
de magnitud
5 ∙ 5 [ ⁄ ], dirigido
como se indica en la figura. Si el bloque se
suelta desde el reposo cuando el resorte está
sin estirar (en x=0), a) ¿Cuál es la cantidad
máxima a la que se alarga el resorte? b)
¿Cuál será la posición de equilibrio del
bloque? d) Repita el inciso a) si el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y
la superficie es 0.2.
3- Calcule a) el potencial eléctrico creado por el núcleo de un átomo de hidrogeno en
la distancia promedio del electrón circundante (
5. 9 ∙ ;11 [m]); b) la energía
potencial eléctrica del átomo cuando el electrón esta en este radio; c) la energía
cinética del electrón, suponiendo que describe una órbita circular de este radio
centrado en el núcleo.
4- Un cono de radio R en la base y altura h está sobre una
mesa horizontal. Un campo horizontal uniforme E penetra
el cono, como se muestra en la figura. Determine el flujo
eléctrico que entra en el lado izquierdo del cono
5- Una línea de carga infinitamente larga que tiene una
carga uniforme por unidad de longitud λ se encuentra a
una distancia d de un punto O, como se muestra en la
figura. Determine el flujo eléctrico total a través de una
esfera de radio R centrada en O resultante de esta línea
cargada. (Sugerencia: considere tanto R<d como R>d).
6- Una esfera aslante de 8 [cm] de diámetro tiene una carga de 5.7[ ] distribuida de
manera uniforme por todo su volumen interior. Calcule la carga encerrade por una
[ m], y b)
superfice esferica concéntrica conradio a)
6[ m].
7- Una carga positiva se distribuye uniformemente a través de un cascarón cilíndrico
largo no conductor de radio interno R y de radio externo 2R. ¿A qué profundidad
radial debajo de la superficie externa de la distribución de carga será la fuerza de
campo eléctrico la mitad del valor superficial?
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8- Una carga se distribuye uniformemente a través de un cilindro infinitamente largo
de radio R. a) Demuestre que E a una distancia r del eje del cilindro (
) está
dado por:
0
donde ρ es la densidad de carga volumétrica. b) ¿Qué resultados obtiene usted con
?
9- Dos cargas iguales de 10-6[C] se colocan en dos vértices
de un triángulo equilátero de 1 metro de lado. a) ¿Qué
carga se debe colocar sobre el tercer vértice para que el
potencial en el centro de gravedad sea 0. b) En estas
condiciones, ¿qué trabajo se debe realizar para llevar una
;6
carga de 3
[ ] desde G hasta G’, como se indica en
la figura.
10- Encuentre el potencial eléctrico sobre el eje de un anillo circular, si el anillo tiene
una carga por unidad de longitud λ = Asenθ , donde A es una constante y 0 ≤θ ≤ 2π .
El radio del anillo es a y b es la distancia del centro del anillo al punto sobre el eje
del anillo.