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Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Unidad Zacatenco
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica.
Señales y sistemas de
control clásico
Modelado de sistemas
Señales y Sistemas de Control Clásico
ESIME Zacatenco/ ICE
DR. ABRAHAM RODRÍGUEZ MOTA
Herramientas para el desarrollo de modelos matemáticos
o Método de la ecuación Rama-Vértice-Elemento.
o Método de Impedancias.
o Método de diagramas de bloques operacionales.
o Método de diagrama de cuerpo libre.
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DR. ABRAHAM RODRÍGUEZ MOTA
Herramientas para el desarrollo de modelos matemáticos
El método de Rama-Vértice-Elemento tiene una variedad de nombres dependiendo
del campo de la ingeniería donde se emplea. En la ingeniería eléctrica el método es
conocido como las Leyes de Kirchoff (voltaje y corriente). Otros campos de la
ingeniería lo denominan como método de “derivación por principios fundamentales”.
El método de la impedancia y el de bloques operacionales parecen ser empleados
mayormente por los ingenieros eléctricos.
El método de diagrama de cuerpo libre es mayormente empleado por los ingenieros
mecánicos.
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DR. ABRAHAM RODRÍGUEZ MOTA
Método de la ecuación Rama-Vértice-Elemento.
Cuando varios elementos básicos se conectan, el resultado se asemeja a una red de
carreteras con intersecciones e interconexiones.
Los puntos donde dos o más elementos se conectan se conocen como vértices
(vertex). La carretera que va de un vértice a otro es llamada rama (path).
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Método de la ecuación Rama-Vértice-Elemento.
Un vértice es siempre asociado con las variables elementales que están “a través” de
los elementos. En cada vértice, las variables que están a través de cada elemento
interconectado son idénticas.
Una rama es siempre asociada con los las variables elementales que “cruzan” a los
elementos. La suma de estas variables que fluyen hacia adentro o afuera de un
vértice debe ser igual a cero.
En este ejemplo los voltajes
son las variables asociadas a los
vértices. Las corrientes están
asociadas a las ramas.
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Método de la ecuación Rama-Vértice-Elemento.
Las ecuaciones rama-vértice son siempre llamadas “leyes” y son frecuentemente
nombradas después de la persona que las descubrió. En la ingeniería eléctrica las
ecuaciones de rama-vértice son llamadas leyes de corriente y voltaje de Kirchoff.
El método de la ecuación rama-vértice-elemento es simplemente un procedimiento
que permite obtener las ecuaciones de para cualquier circuito, ya sea eléctrico,
mecánico, de flujo o térmico, mediante la escritura de las ecuaciones elementales
asociadas con cada elemento en el circuito y empleando las leyes de ramas y vértices
asociadas con las variables en cada vértice.
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Método de la ecuación Rama-Vértice-Elemento.
Cuando dos elementos fundamentales de los sistemas de ingeniería están
conectados , solo pueden estar conectados en dos posibles formas: serie o paralelo
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Circuitos serie y paralelo que contienen un elemento almacenador de
energía y uno disipador de energía.
Para el caso de un resistor y un capacitor conectado en serie , se obtiene:
La corriente en el resistor es:
La corriente a través del capacitor es:
Igualando ambas ecuaciones:
Reordenando la ecuación:
Multiplicando ambos términos por R:
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Circuitos serie y paralelo que contienen un elemento almacenador de
energía y uno disipador de energía.
Revisando la ecuación y verificando las unidades de los términos:
Se observa que:
La constante RC es denominada la constante de tiempo del sistema y se
representa por la letra griega
τ
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Circuitos serie y paralelo que contienen un elemento almacenador de
energía y uno disipador de energía.
Esta relación es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden con coeficientes
constantes.
Ecuación Diferencial: contiene la variable y sus derivadas en la misma ecuación.
Ordinaria: No contiene derivadas parciales
Primer orden: solo contiene al termino de la primera derivada.
Coeficientes constantes: solo contiene coeficientes que no dependen del tiempo
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Circuitos serie y paralelo que contienen un elemento almacenador de
energía y uno disipador de energía.
Para el caso de un resistor y un capacitor conectado en paralelo, se obtiene:
La corriente en el resistor es:
La corriente a través del capacitor es:
La suma de las corrientes en el vértice es:
Sustituyendo las dos primera ecuaciones en esta última se obtiene:
Multiplicando ambos términos por R:
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Método de las impedancias.
Los inductores y capacitores, así como los resistores, pueden ser representados
como una impedancia eléctrica. De esta forma, cualquier elemento de circuito en
serie o paralelo puede ser tratado como un resistor cuando se emplea el valor de la
impedancia.
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Método de las impedancias.
De esta manera, se obtiene:
Donde:
Sustituyendo el valor de las impedancias:
Esta ecuación puede ser simplificada si se trata al operador 1/D como si fuera
una variable algebraica.
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Método de las impedancias.
Despejando la variable V2:
Se observa que el operador D (d / dt) actúa sobre V1, entonces la ecuación puede
ser reescrita:
Ahora para el caso de los elementos conectados en paralelo, se puede deducir
una ecuación que relaciona el voltaje de salida y la corriente de entrada.
Donde :
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Método de las impedancias.
Sustituyendo el valor de las impedancias en la ecuación del voltaje:
Esto puede ser simplificado:
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Método de las impedancias.
Muchos circuitos eléctricos son simplemente combinaciones simples de
elementos ordenados como divisores de voltaje o elementos en paralelo. Este
tipo de circuitos pueden ser resueltos fácilmente al determinar la relación entre
el voltaje de salida y el voltaje de entrada siguiendo un conjunto de pasos:
1. Remplazar los elementos del circuito por impedancias
2. Combinar los elementos en paralelo en un solo elemento equivalente.
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Método de las impedancias.
3. Identificar el circuito simplificado como un divisor de voltaje y escribir la
ecuación de salida-entrada por inspección en términos de las impedancias:
4. Substituir las impedancias elementales y efectuar el álgebra necesaria:
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Método de las impedancias.
5. Escribir la ecuación diferencial mediante la substitución del operador D pro
d()/dt
Esta ecuación es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con
coeficientes constantes
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Método de Diagrama de bloques operacionales
Cuando se desarrolla un diagrama a bloques , primero se escribe la ecuación
elemental del circuito.
Circuito RC serie
Ahora se define cuales serán las variables de entrada y salida. Entonces se
soluciona para la variable de salida y se coloca en la parte izquierda de la
ecuación. Así se comienza a dibujar el diagrama con la señal de entrada, en este
caso V2, en el extremo izquierdo del diagrama. A continuación solo se sigue la
ecuación dibujando bloques sumadores y multiplicadores de acuerdo a la
expresión matemática.
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Método de Diagrama de bloques operacionales
En el ejemplo anterior se ha seleccionado V1 como la variable de salida por lo
cual se procede a modificar el diagrama hasta obtener la representación
deseada. Así se incluye un bloque representando el capacitor del circuito.
Pero como la ecuación del capacitor previamente obtenida representa a la
corriente como la variable de salida, es necesario manipular la ecuación
algebraicamente , para que la corriente quede representada como la entrada.
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Método de Diagrama de bloques operacionales
Si ahora se integran ambos diagramas se tiene
Ahora , si se considera que la carga inicial en el capacitor es igual a cero y se
sustituye el bloque integral por el bloque 1/D (inverso de la derivada) y al
producto RC por τ , se obtiene
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Método de Diagrama de bloques operacionales
A partir del diagrama anterior se observa que
La diferencia entre la señal de entrada y salida se conoce, en términos del control
retroalimentado, como la señal de error . Combinado las dos ecuaciones
anteriores con el fin de eliminar la variable e, se obtiene:
Reordenando la ecuación se obtiene:
Se podría entonces
redibujar el
diagrama a bloques
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Método de Diagrama de cuerpo libre
El método de diagrama de cuerpo libre es una herramienta poderosa para la
obtención de las ecuaciones de los sistemas mecánicos. Este método tiene su
origen en las leyes del movimiento de Newton.
Este método requiere del dibujo esquemático de un componente mecánico en el
cual se representan todas las fuerzas y momentos que actúan sobre dicho
componente.
Si se conoce que el cuerpo esta en descanso o sin aceleración, la suma de todas
las fuerzas y la suma de todos los momentos actuando sobre el cuerpo deben ser
igual a cero. Si la suma de las fuerzas y momentos actuando sobre el cuerpo no
es igual a cero, entonces se sabe que el cuerpo se encuentra afectado por una
aceleración traslacional o angular.
Las ecuaciones que describen el movimiento del cuerpo pueden ser obtenidas al
igualar la suma de las fuerzas al producto de la masa del cuerpo por la
aceleración y la suma de los momentos igual a la inercia rotacional del cuerpo por
la aceleración angular.
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Método de Diagrama de cuerpo libre
Ejemplo: Para el caso de un bloque con masa m , el cual esta siendo jalado con
una cuerda sobre una superficie horizontal. La construcción de un diagrama de
cuerpo libre implica el aislamiento del bloque en el espacio libre y la
representación de todas las fuerzas actuando sobre el bloque.
Posteriormente, se selecciona un eje coordenado conveniente, de manera que las
fuerzas y momentos puedan ser sumados e incluso igualados a cero, si no existe
movimiento sobre alguno de los ejes, o al producto de la masa (inercia rotacional
para los momentos) por la aceleración (lineal para el movimiento traslacional,
angular para la rotación). Se debe tener cuidad en mostrar todas las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo.
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Método de Diagrama de cuerpo libre
El siguiente es un diagrama de cuerpo libre para el sistema anterior
La tensión en la cuerda es identificada por la fuerza F. Las manos no tienen
representación en el diagrama y se asume que la tensión actua de forma
horizontal a la superficie.
La efecto de la fuerza de gravedad se representa como la W que es igual a mg,
donde g es la constante gravitacional. Dado que el bloque no se esta moviendo
hacia abajo, existe una fuerza desconocida N actuando a una distancia
desconocida l la cual soporta al bloque en la dirección vertical.
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Método de Diagrama de cuerpo libre
Puesto que se conoce que el bloque se desliza sobre la superficie, se asume que
existe una fuerza de resistencia f que actúa a lo largo de la superficie deslizante del
bloque.
Habiendo seleccionado de manera conveniente los ejes coordenados, se asignan los
signos de las fuerzas y se escriben las ecuaciones sobre los tres ejes.
Suma de las fuerzas en la dirección y igual a cero (no existe movimiento en esta
dirección)
Suma de las fuerzas en la dirección x igual a masa por aceleración en la dirección x.
Suma de momentos sobre el punto 0 igual a cero ( no existe movimiento rotacional
en el bloque)
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Método de Diagrama de cuerpo libre
De la primera ecuación se observa, que la fuerza desconocida N es igual a el peso del
bloque
Este resultado se puede substituir en la ecuación de suma de momentos anterior y
resolver la ecuación para la distancia l desconocida.
En esta ecuación se observa que en el punto de aplicación de N esta incrementa
conforme la fuerza F se incrementa. Si l se incrementa hasta el punto donde llega a
ser mayor que c, el bloque se volcará.
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Método de Diagrama de cuerpo libre
Examinando la ecuación de la suma de las fuerzas sobre la dirección x
La fuerza de fricción f continua siendo desconocida y se requiere una ecuación
adicional. Se puede asumir que f esta relacionada a N. Esta asunción se realiza
normalmente cuando una superficie seca se desliza sobre otra. En este caso se
emplea un coeficiente de fricción µ y se escribe
Entonces se puede determinar f dado que ya se conoce que N es igual a W.
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Método de Diagrama de cuerpo libre
Otra posible asunción es que las superficies están lubricadas causando que la fuerza
f será proporcional a la velocidad del bloque v. Entonces se puede escribir:
Donde b es la constante de proporcionalidad. Esta ecuación es la ecuación de un
elemento amortiguador.
Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación de la suma de las fuerzas sobre la
dirección x y expresando ax como dv/dt da como resultado:
Entonces se puede determinar f dado que ya se conoce que N es igual a W.
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Referencia bibliográfica.
Modeling Engineering Systems
Jack W. Lewis,
HighText publications.
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