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Antigua Mecánica Cuántica
Las reglas de Bohr fueron generalizadas a sistemas con más grados de libertad por Arnold
Sommerfeld.
Sommerfeld basó su generalización en las variables acción-ángulo de la Mecánica Clásica.
Consideremos un sistema de n grados de libertad y un sistema de coordenadas canónicas
donde la ecuación de Hamilton-Jacobi es separable. Sean las coodenadas canónicas qi ,
pi. Supongamos además que en este sistema las coordenadas y momentums son funciones
H
periódicas del tiempo. La variable de acción, asociada al grado de libertad i es Ai =
pid qi. La integral se extiende sobre los valores clásicos permitidos de qi. Ai es el área
en espacio de fases correspondiente al movimiento clásico de la coordenada qi.
Reglas de Bohr Sommerfeld:
H
pidqi = nih
Oscilador armónico
2
s
1
2m E − mω 2x2
2
p
1
+ mω 2x2 = E
p=
x± = ±
2m 2
Z x+ s 1
4
2m E − mω 2x2 dx = nh
2
0
r
r
Z π
2
√
√
2
mω
2E
x = E cos α, α(x+) = 0 4 2mE
dαsen 2α =
2
2
mω 0
Eπ
cos 2α = 1 − 2sen2α
8
= nh
ω4
E = nhν
H=
r
2E
mω 2
La integral de acción se puede encontrar de manera directa usando variable compleja. Miremos
el plano complejo x. La integral de acción corresponde a la trayectoria que encierra los dos
puntos de ramificación de p(x) con un corte entre ellos. En el plano complejo, calculamos la
integral de acción, mirando el plano complementario. Allí no hay corte: La función es analítica
en todas partes excepto por un polo en x = ∞. Usando el teorema de Cauchy, se tiene:
I
pdx = 2πi Res(p(x))
x=∞
s 1
1
1
x = t−1
dx = − 2 dt,
2m E − mω 2t−2 2 dt
t
t
2
s
s
1
1
mωi
2E
2m E − mω 2t−2 2
= 3
1−
t2 =
2
2
t t=0
t
mω
E
mωi
E 2
Res
=
−
1
−
t
i
ω
t3
mω 2
I
2πE
pdx =
ω
Atomo de Hidrógeno
Dada la conservación del momentum angular para potenciales centrales, el movimiento es
planar.
p2ϕ
p2r
α
E=
+
−
2m 2mr2 r
H
p ϕdϕ = n ϕh = 2πp ϕ, p ϕ = n ϕ h pr =
r
p2ϕ
α
2m E − 2m r2 + r
pr tiene dos puntos de ramificación. Cortamos el plano uniendo estos dos puntos a lo large
del eje Re r. En el plano complementario sólo hay: un polo en infinito y un polo en r = 0.
r
q
√
p2ϕ 2 α
1
1
2 2
2mE − p ϕt + 2mαt = 2 2mE 1 −
t + t
t
2mE q E
t2
√
1α
m
Res∞ = 2mE
=α
I
q 2 E 2E
m
prdr = 2πi α
+ p ϕi = nrh
2E
m
2
= (nr + n ϕ)2h
−α2
2E
Res0 = p ϕi
mα2
E =−
2
2(nr + n ϕ)2h
El espectro es degenerado. La energía sólo depende del número cuántico principal n =
nr + n ϕ, lo que corresponde a varios valores de nr , n ϕ. Esto se manifiesta en el espectro
como lineas gruesas, que con mayor resolución aparecen como dos líneas delgadas muy
cercanas(Estructura fina).
Figura 1.
Estructura Fina
Atomo de Hidrógeno Relativista: L = −mc2
pr = mγṙ,
p2ϕ
2
pr + r 2
q
1−
~
v2
c2
a
∂L
+ r , v 2 = ṙ 2 + r 2 ϕ̇ 2, p ϕ = ∂ϕ̇ = mγr 2 ϕ̇
−m2c4 + K 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
= m γ ṙ + m γ r ϕ̇ = m γ v =
c2
p ϕ = n ϕh. E = K −
a
,
r
pr =
q
−m2c2 +
E+
c2
a 2
r
−
=m γ c
p2ϕ
r2
2 2 2
1−1+
v2
c2
.
• Dos puntos de ramificación. Corte a lo largo del eje Re r.
q 2
a
• Polo en r = 0. Res = c2 − p2ϕ
q
(E + at)2
• r =
−m2c2 +
− p2ϕt2 =
c2
q
aE
E2
i aE
−i (m2c4 − E 2) m2c2 − c2 = − r
1 1
,
t t2
c2
•
•
aE
r
c2
m2c2 −
E2
c2
a 2 2
E =
c2
−
q
m2c2 −
1
t2
q
2 2
−m c +
E2
c2
a2
− c2 + p2ϕ = nrh
nr h +
q
a2
− c2
+
p2ϕ
2
2 2
m c −
E2
c2
E2
c2
1 +
aE t
2
(−m c4 + E 2)
, Res =
m2c2 nrh +
E2 =
a
c2
2

+
r
 nr h +
−
s
a2
c2
+ p2ϕ
!2

2
a2

−
+ p2
ϕ
c2
c2
m c2 nrh +
, E=v
u
r
u a2
t
+ nr h +
2
c
−
r
a2
c2
−
+ p2ϕ
a2
c2
!
+ p2ϕ
!2
m c 2 nr h +
E=v
u
r
u a2
t
+ nr h +
2
c
a2
− 2
c
r
−
+ p2ϕ
a2
c2
+
!
p2ϕ
!2
=v
u
m c2
u 1 + a2 
u
c2
t

1
nr h +
s

2
a2
2
−
+ pϕ 
c2
mc2
E=
v
u
2
u1 + a2
t
c
∼
1
nr h +
r
a2
− 2
c
2
+ n2ϕh
!2
m −1 − 4
a4
c2
4
)4h
nr
nϕ
ma2
mc −
+
2+
8 (nr + n ϕ
2(nr + n ϕ)2h
"
#
2
2
ma
2a
1 1 nr
mc2 −
1
+
, n = nr + n ϕ
+
2
2
2
2
2
8
2
n
ϕ
2(nr + n ϕ) h
c h (nr + n ϕ)
#
"
n − nϕ
1
a2
ma2
2
+
=
1
+
E = mc −
2
2
n ϕn
c2h n 4n
2n2h
"
#
2
2
a
ma
1
3
1
+
mc2 −
=
−
2
2
2
2
n
4n
ϕ
ch n
2n h
2
2
ma
α
1
3
E = mc2 −
−
2 1+ n
n ϕ 4n
2n2h
2
El espectro depende de nr , n ϕ por separado. La degeneración se ha eliminado.
α=k
e2
=
hc
1
constante de estructura fina=7.297 × 10−3 ≃ 137
Estructura Fina Del Hidrógeno
Cuando se examinan las líneas del espectro del hidrógeno a una resolución muy alta, se
encuentran que son dobletes poco espaciados entre sí(∼10−4 veces la separación entre líneas
adyacentes). Esta división se llama estructura fina.
Figura 2.
La separación (estructura fina) de algunos niveles
del átomo de H. Las transiciones posibles se denotan
por una flecha sólida.
• Las transiciones correspondientes a flechas sólidas se observan.
• Las transiciones correspondientes a flechas punteadas no se observan.
• Las transiciones ocurren sólo si n ϕi − n ϕf = ±1. Regla de selección.