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MATEMÁTICA PARA PADRES Y MADRES
RON AHARONI
Aritmética
para padres
y madres
Un libro para adultos sobre la matemática escolar
UN APORTE DE LA
ACADEMIA CHILENA DE CIENCIAS
AL FORTALECIMIENTO DE LA ENSEÑANZA
DE LA MATEMÁTICA EN CHILE
UN APORTE DE LA
ACADEMIA CHILENA DE CIENCIAS
AL FORTALECIMIENTO DE LA ENSEÑANZA
DE LA MATEMÁTICA EN CHILE
A R I T MÉT ICA
PA R A PADRES
Y M ADRES
Un libro para adultos sobre
la matemática escolar
Arithmetic for Parents.
Edición original editada por Ron Aharoni.
Traducción y Revisión:
Laura Valdivia, Pablo Saavedra y Andrea Lagarini.
Contact Chile Comunicaciones S.A.
Editor de la presente edición:
Patricio Felmer Aichele.
Comité Editorial:
Juan A. Asenjo.
Juan Carlos Castilla.
Diana Veneros.
Coordinadora de la presente edición:
Marcela Reyes Azancot.
Diseño gráfico:
Claudio Silva Castro.
Diseño de portada:
Juan Manuel Neira.
I.S.B.N.: 978-956-XXXX-XX-X. 1ª edición: mayo de 2011.
© 2012 por Academia Chilena de Ciencias. (A nombre de quien se inscribió)
Registro Nº 212.138. Santiago de Chile. Derechos reservados.
Editado por Academia Chilena de Ciencias.
Almirante Montt 454. Teléfono 4812840.
E-mail: [email protected] / Santiago de Chile.
Impreso por Graficandes ®. Santo Domingo 4593. Santiago de Chile.
Publicado por Sumizdat
5426 Hillside Avenue, El Cerrito, California 94530, EE.UU. http://www.sumizdat.org
Datos de publicación catalogados por la Universidad de California, Berkeley.
Aharoni, Ron
Cómo enseñar aritmética: Un libro de aritmética para niños y adultos / por Ron Aharoni.
El Cerrito, Calif.: Sumizdat, 2007.
©2007 por Alexander Givental
Todos los derechos reservados en la edición en inglés. Se prohíbe la reproducción o productos derivados
de este trabajo completo o de cualquiera de sus partes sin el consentimiento por escrito de Alexander Givental ([email protected]), a excepción de extractos breves relacionados con reseñas o análisis
de investigación universitaria.
Primera publicación en hebreo en 2004 por Shocken, Tel Aviv.
Créditos originales:
Edición: Alisa Givental.
Asesoría lingüística: Ralph Raimi, Facultad de Matemáticas, Universidad de Rochester.
Ilustraciones en las páginas vii, 14, 34, 63, 7:5, 88, 134, 174: by Merav Michaeli.
Diseño de la cubierta: Irina Mukhacheva, con el uso de A Swiss Landscape © por Svetlana Tretyakova.
Asesoría en derechos de autor: Ivan Rothman, abogado especializado en derecho, [email protected]
Publicación catalogada: Catherine Moreno, Departamento de Servicios Técnicos, Biblioteca, Berkeley UC.
Diseño, tipografía y gráficos: con Open Office, Latex y Xfig.
Impresión y maquetación: Thomson-Shore, Inc., http://www.tshore.com
Miembro de la Iniciativa de Green Press (Impresión Ecológica)
7300 West Joy Road, Dexter, Michigan 48130-9701, EE.UU.
ISBN 978-0-9779852-5-8
A R I T MÉT ICA
PA R A PADRES
Y M ADRES
Un libro para adultos sobre
la matemática escolar
Ron Aharoni
UN APORTE DE LA
A CADEMIA CHILENA DE CIENCIAS
AL FORTALECIMIENTO DE LA ENSEÑANZA
DE LA matemática EN CHILE
Índice
Prefacio a la edición en español . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Sección 1: Los elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
¿Qué son las matemáticas?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Las tres formas matemáticas de economizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
El secreto de la belleza de las matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Capa por capa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Los números naturales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Significado y cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
El sistema decimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
¿Qué es lo que se aprende?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Sección 2: El camino a la abstracción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Enseñar abstracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
La diversidad y fijación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Por qué la enseñanza es difícil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
La mediación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Palabras mágicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
La calculadora y otros materiales didácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Atreverse a ser simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica. . . 87
A. Significado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
El significado de la suma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
El significado de la resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
La esencia de la multiplicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Los dos significados de la división. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
B. El cálculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
El cálculo de la suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Resta: ¿prestar o reorganizar?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
El cálculo de la multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
¿Memorizar o calcular de nuevo?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
El cálculo de la división comienza por la izquierda. . . . . . . . . . . 135
C.Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Divisiones y fracciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Multiplicar y dividir fracciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
El denominador común. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
El mínimo común denominador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Números mixtos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
D.Decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Fracciones decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Cálculo con las fracciones decimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Porcentajes: el lenguaje universal de las fracciones. . . . . . . . . . . 189
E.Razones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Más problemas de razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Epílogo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Anexo: Momentos cruciales en la historia moderna
de la educación matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Prefacio a la edición en español
Frente a la bajada de título del libro que estamos presentando: Un libro para
adultos sobre la matemática escolar, uno podría preguntarse sobre el interés
que podrían tener los adultos sobre algo tan lejano como la matemática
escolar ¿Por qué podrían interesarse en ella?
Pero el título dedica el libro a los padres y las madres, a quienes tienen
hijos en edad escolar y que están preocupados por ayudarles en sus tareas
y acompañarlos en sus aprendizajes en matemática, materia que tiene reputación de difícil y con la cual estos padres y madres pudieron haber tenido
malas experiencias cuando ellos fueron estudiantes. Sin embargo, este libro
no es un conjunto de ayudas y recetas para los padres; en realidad el libro
trata de la experiencia de un matemático profesional con la matemática escolar, con los niños y niñas y la forma en que éstos aprenden. Entonces uno
podría volver a preguntarse ¿Por qué un adulto debería interesarse por este
libro? O tal vez preguntarse ¿A quién realmente está dirigido este libro? ¿y
por qué la Academia Chilena de Ciencias se interesa por publicar este libro?
Una de las cuestiones que el autor de este libro, el matemático Ron
Aharoni, observó cuando empezó a enseñar matemáticas elementales es
que, si bien son elementales, enseñarlas no es una tarea fácil. Dice Aharoni
“una de las cosas que llegué a entender es que las matemáticas a este nivel
no son para nada sencillas. Tienen complejidad y belleza”; y más adelante
insiste: “Si me hubieran dicho que volviendo a la educación básica terminaría aprendiendo matemática, no lo habría creído”. Así, la experiencia
relatada en este libro, las enseñanzas y consejos para padres y madres con
niños en edad escolar, las ideas dirigidas a actuales y futuros profesores, la
propia existencia de este libro nos lleva a una reflexión sobre un concepto
que hemos perdido: el respeto. Claro, el respeto que merecen los niños y
niñas, el respeto por lo elemental, por la matemática escolar, por su aprendizaje, por los profesores y profesoras y por la profesión docente. Este libro
nos habla de respeto, cuando su autor reconoce el valor, la complejidad, la
belleza y las sutilezas de la matemática escolar.
El autor de este libro es alguien a quien toda la vida le gustó la matemática, que fue bueno para la matemática en la enseñanza básica y en la
enseñanza media, a tal punto que sus estudios universitarios los dedicó a
la matemática y finalmente se convirtió en matemático profesional, enseñando matemática a nivel universitario y haciendo investigación científica
en este campo. Pues desde esa posición de matemático profesional, el reconocimiento de Aharoni cobra especial significado y se convierte en un
10 Aritmética para padres y madres
aporte al necesario rescate que nuestro país debe realizar, por el respeto a
la educación, a sus actores, a sus materias y a sus propósitos. Por muchos
años se ha olvidado que enseñar es una tarea intelectualmente demandante, que para enseñar hay que prepararse, que esa preparación es delicada
y requiere de profesionales e investigadores dedicados a ello. Se ha olvidado que las universidades deben tener a la educación como una de sus
facultades grandes, junto a ingeniería, derecho, medicina y humanidades.
En nuestro país se ha olvidado que los profesores y profesoras deben ser
remunerados de tal manera que la profesión sea atractiva, para que junto
con la vocación se potencie la pasión por el aprendizaje de los niños. La sociedad debe recompensar el trabajo que permite la reproducción, creación
y desarrollo del conocimiento, en concordancia con la importancia que les
da y los planes que tiene para el futuro. Encontramos, en esta reflexión
sobre el respeto que merece la educación, una primera respuesta a las interrogantes planteadas al principio. Este libro está dedicado a todos quienes
quieren comprender y valorar la labor que realizan miles de profesores y
profesoras, quienes juntos con millones de niños y niñas se reúnen en una
sala de clases, todos los días a lo largo de nuestro país con una gran tarea:
que los niños y las niñas aprendan. Este libro es una contribución de la
Academia Chilena al respeto por nuestro futuro.
En nuestro país estamos viviendo momentos cruciales para la educación, con discusiones clave sobre la organización del sistema escolar, las
formas de financiamiento y los volúmenes de inversión pública requeridos. El debate planteado por el movimiento estudiantil, con fuerza en el
año 2006 y nuevamente en 2011 y 2012, llegó para quedarse, tendrá su espacio en la agenda pública durante los próximos años. Enhorabuena las
elecciones presidenciales del 2013 tendrán a la educación como un importante tema de campaña.
También estamos viviendo momentos clave para el sistema de formación de profesores, sistema que requiere cambios profundos, como ha quedado en evidencia en múltiples mediciones nacionales e internacionales.
Existen importantes iniciativas impulsadas por el Ministerio de Educación
en curso, las que esperamos tengan positivos efectos en cambios curriculares e institucionales en las universidades. Una de estas iniciativas es el
incentivo a seguir la carrera de pedagogía, iniciativa implementada en el
año 2011 como la Beca Vocación de Profesor, la que, de mantenerse estable
en el tiempo, provocará importantes cambios en la composición de futuros
profesores y profesoras que ingresen a la carrera docente. Precediendo a
esta medida se encuentra el programa I NICI A , que se ha ido implementando desde 2008 con la formulación de estándares para la formación de
profesores, la realización de la prueba I NICI A y la instalación de conve-
Prefacio a la edición en español
11
nios de desempeño con recursos del Estado para la implementación de los
cambios institucionales que se requieren para mejorar la formación de los
profesores y profesoras.
Una de las áreas donde se hace especialmente necesario producir cambios importantes en la formación de los profesores y profesoras es matemáticas. Aquí se requiere poner un nuevo acento en la comprensión, el
conocimiento y las habilidades de los futuros profesores de educación básica, que permitan acrecentar los aprendizajes de los niños y niñas. No es
necesario insistir en la importancia que los conocimientos matemáticos
tienen para el ciudadano común en la sociedad moderna. Éste necesita la
matemática en la formación de sus estructuras básicas de pensamiento,
para entender situaciones de la vida diaria y para participar con plenitud
en las decisiones a las que es llamado a tomar en la sociedad democrática.
La importancia de la matemática también es indiscutible en todas las carreras tecnológicas e incluso en las carreras científicas en las cuales provee
de lenguaje y métodos para comprender el mundo que nos rodea. Este
reconocimiento del rol que juega la matemática en la vida moderna lleva
a que los sistemas educativos de todo el mundo den una gran importancia
al desarrollo de esta disciplina y, de manera muy importante, en los primeros niveles de la educación.
Decíamos que es necesario realizar cambios importantes en la formación matemática de los futuros profesores y profesoras de educación básica. Aquí es posible observar variadas falencias que van de la falta de
voluntad política por fortalecer esta área de la formación disciplinaria,
pasando por la carencia de un cuerpo académico estable y con formación
superior, y la poca disposición de libros y otros materiales de apoyo. Es el
momento de llamar la atención sobre una importante iniciativa en curso
que es el proyecto Recursos para la Formación Inicial de Profesores (REFI P)
que precisamente está elaborando libros y materiales audiovisuales con el
propósito de ponerlos a disposición de los formadores y alumnos de pedagogía en educación básica de todo el país. En forma complementaria y
con similar propósito, la Academia Chilena de Ciencias ofrece este libro
a los futuros profesores. Ahora podemos dar otra respuesta a nuestra interrogante inicial: este libro está dedicado a todos los adultos jóvenes que
abrazan la carrera de pedagogía en educación básica, quienes encontrarán
aquí enseñanzas, ideas y temas de discusión y análisis para su proceso
formativo, libro que tiene como meta estar en la sala de clases haciendo
posible el aprendizaje de la matemática de los niños y niñas.
Este libro está dirigido a un público amplio, es una contribución de la
Academia de Ciencias a la educación en nuestro país. A los padres y madres que quieren estar con sus hijos y recordar y reaprender la matemática
12 Aritmética para padres y madres
escolar, será para ellos una experiencia que sobrepasará el objetivo inicial,
al permitirles entender cuestiones que creían nunca harían, logrando una
satisfacción intelectual no buscada. Está dirigido a todo quien se interesa
por nuestra educación y quiere comprender por qué las matemáticas del
nivel elemental requieren de mucha dedicación en la sala de clases y en
la formación inicial, asimismo ayudará a recuperar el respeto que le debemos a la matemática escolar y a quienes la hacen realidad día a día en
las salas de clase de nuestro país. Este libro está dedicado especialmente
a todos los futuros profesores y profesoras que se están formando y que
tienen como deber comprender profundamente esta matemática elemental
que será el motivo y preocupación diaria en el ejercicio de su profesión.
También está dedicado a todo joven que está pensando en la carrera de
pedagogía como alternativa profesional, que encuentre aquí motivación y
fascinación por esta matemática escolar y, por supuesto, este libro también
está dedicado a todos los profesores y profesoras en ejercicio, quienes con
su experiencia sabrán apreciar la sabiduría presente en estas líneas y que
seguro encontrarán nuevas miradas e inspiraciones.
Finalmente, nos llama a reflexionar sobre el rol que pueden jugar los
científicos en la educación. Su autor muestra en forma concreta cómo los
científicos pueden hacer aportes de envergadura a la educación, en matemática en este caso. Ciertamente su dedicación por seis años a enseñar a
los niños y niñas en Maalot ha sido de gran valor para ellos; sin embargo
la publicación de este libro es realmente un aporte mayor a los futuros
profesores y profesoras y a la discusión sobre la educación matemática. El
libro nos da la oportunidad de invitar a otros científicos para que desde
sus propias visiones y capacidades aporten a la educación escolar. Existen
tantas formas de hacerlo, como realizar visitas a escuelas para contar lo
que hacen y estimular a alumnos y profesores a aprender ciencias; apoyar
la formación de profesores participando con dedicación en las definiciones
curriculares y organización de sus carreras; hacer clases a futuros profesores, y realizar proyectos y programas de mayor envergadura. El conocimiento, la metodología y la pasión de los científicos son necesarios para
fortalecer nuestro sistema de educación.
La versión en español de este interesante libro de Ron Aharoni está
orientada principalmente al medio nacional, pero no nos cabe duda que
su interés supera las barreras nacionales por los temas fundamentales que
trata. La realidad chilena no es muy distinta a la de muchos países de la
región latinoamericana, por lo que ofrecemos esta obra también a todos
aquellos que en sus países quieren mejorar su propia educación.
La edición de este libro ha sido posible gracias a un convenio de colaboración entre el Ministerio de Educación, a través del programa MECESU P,
Prefacio a la edición en español
13
y la Academia Chilena de Ciencias. Agradecemos especialmente a Ricardo
Reich por hacer posible este convenio. También agradecemos al presidente
de la Academia Chilena de Ciencias, profesor Juan A. Asenjo, por su permanente apoyo a las iniciativas de educación en la Academia, y a Marcela
Reyes, coordinadora de la Academia, por la coordinación diligente del proceso de edición.
Patricio Felmer, Editor
Miembro de Número
Academia Chilena de Ciencias
Santiago, diciembre de 2012
Prefacio
La mayoría de los adultos ha borrado de su mente aquellos tiempos en
que estudiaban matemáticas. Lo único que quieren es olvidar el trauma.
Aceptan su confusión de antaño como un hecho tolerable pero doloroso.
Se consuelan a sí mismos diciendo: “No es realmente necesario saber
matemáticas”. Hasta que un día la necesidad surge y se encuentran cara
a cara con las mismas ansiedades del pasado. Esto ocurre cuando son sus
hijos quienes comienzan a vivir la misma experiencia.
A mucha gente le gustaría poder ayudar a sus hijos a solucionar los
problemas aritméticos, pero suelen tener miedo de enfrentarse a una materia que recuerdan como una de las experiencias terribles de la infancia.
No obstante, se olvidan de que son muchas las herramientas que han
adquirido desde aquellos tiempos en que eran estudiantes. Un adulto tiene más autocontrol, pues cuenta con habilidades de abstracción, puede
lidiar con oraciones complejas y tiene la paciencia de esperar hasta entender la idea completa. Se pueden utilizar todas estas habilidades para
enfrentar con más facilidad y rapidez los principios de las matemáticas
que se enseñan en la educación básica.
Este libro tiene como propósito servir de guía para hacer uso de tales
habilidades. Además, ofrece ayuda a los padres que quieren participar
activamente en los estudios de aritmética de sus hijos. De hecho, fue de
este último punto que surgió la idea para este libro. Un día, los padres y
madres del colegio de mi hijo comenzaron a pedir instrucciones escritas
que les sirvieran para ayudar a sus hijos con las tareas de matemáticas.
Lo que comenzó como un par de apuntes modestos poco a poco se fue
transformando en un libro.
Sin embargo, los libros, al igual que las ideas, tienen vida propia: algunas veces un libro ejerce tanto control sobre el escritor como el control
que el escritor ejerce sobre el libro. De esta manera, el libro fue gradualmente tomando una nueva forma. Una de las cosas que llegué a entender
gracias a mi experiencia como profesor de educación básica es que las
matemáticas, en este nivel de enseñanza, no son para nada sencillas. Tienen complejidad y belleza. Este mensaje poco a poco empezó a formar
parte del libro y le confirió un nuevo sentido: una descripción de la belleza de las matemáticas elementales y, en consecuencia, de las matemáticas
en general. Así, mi público objetivo original se expandió para incluir al
lector que quiere volver a experimentar las mismas matemáticas de su
infancia, pero desde un ángulo distinto. Para este grupo de lectores, el
16 Aritmética para padres y madres
libro es una segunda oportunidad. Invito a aquellos que han aprendido
a multiplicar fracciones y a resolver divisiones largas, pero que nunca
entendieron por qué se hacía de tal o cual manera, a volver a ver estos
temas desde una perspectiva nueva y mejor desarrollada.
El libro también va dirigido a un tercer público objetivo, que para mí
es igual de importante: los profesores y docentes. Para ellos, el mensaje
de este libro es claro: la enseñanza correcta de las matemáticas depende
más de la comprensión de los principios matemáticos que de los trucos
de la enseñanza misma. Requiere que uno sepa la manera en que las delgadas capas de las matemáticas se apilan una encima de otra. Además,
los resultados son mejores cuando uno entiende los conceptos de forma
directa y concreta por experiencia propia, y no por medio de intermediarios.
En la primera sección de este libro, titulada “Los elementos”, se describen los fundamentos de las matemáticas elementales. En otras palabras, trata de responder qué son las matemáticas, qué es lo que se debería
enseñar durante la educación básica, y qué es lo que hace que las matemáticas sean una materia de estudio bella, al igual que las artes.
Más allá de las matemáticas, el padre o madre que desee ayudar a su
hijo o hija debe familiarizarse con los principios básicos de la enseñanza,
los que se explican en la segunda sección de este libro. En esta sección
se presentan las reglas que permiten progresar desde lo concreto a lo
abstracto. Además, es importante que los padres conozcan las tendencias
educativas que definen el tipo de enseñanza que se imparte en el colegio
de sus hijos. Por esta razón, en este libro se incluye un anexo en el cual
se resumen los avances más importantes logrados en materia de la enseñanza de las matemáticas durante los últimos 50 años.
La tercera sección de este libro se centra en lo esencial de las matemáticas que se enseñan en la educación básica; es decir, se explica, etapa
por etapa, la materia que se enseña en los colegios. A pesar de que la geometría constituye entre el 10% y 20% del plan de estudio normal, decidí
no incluirla y simplemente opté por profundizar más en aritmética, que
corresponde al estudio de las propiedades de los números. Además de
la importancia central de la aritmética en el plan de estudio, he elegido
esta opción porque corresponde a una parte de las matemáticas que conforma un conjunto de conocimientos uniforme y preciso, al igual que un
diamante fino y, como tal, es un tema que amerita todo un libro.
Prefacio
17
La primera clase
No hay una segunda oportunidad para
dar una buena primera impresión.
Dicho popular norteamericano
En la educación, como en la vida, la primera impresión es importante. La
manera de presentar una materia por primera vez determinará en gran
parte la predisposición que tendrá el estudiante para aprender en el futuro. ¿Quedará como un recuerdo agradable o como uno desagradable?
¿Provocará un sentimiento de “sí, lo entiendo” o de “no, no entiendo
porque es demasiado difícil”?
Debido a esta realidad se han intercalado capítulos titulados “La primera clase” a lo largo de este libro. En ellos se sugieren posibles maneras
de presentar un tema o materia por primera vez. Nunca habrá una sola
manera de hacerlo, pero siempre es útil contar con algunas opciones. Las
ideas se presentan como puntos clave para los profesores, pero también
pueden ser útiles para los padres.
Introducción
Lo que aprendí durante la educación básica
Un poeta debe tener su
infancia a flor de piel.
Theodore Roethke, poeta
Un amigo mío de cuarenta y tantos abandonó la industria de la tecnología y su carrera como gerente y decidió que su propósito en la vida
era la docencia. Sin embargo, no quería cualquier asignatura; él quería
enseñar matemáticas. En septiembre del año 2000, justo antes de que
comenzara el año escolar, mi amigo me llamó y me dijo: “Estoy participando en un proyecto para promover la enseñanza de las matemáticas
en Maalot, ¿te interesaría participar?” (Maalot es una ciudad al norte
de Israel, que, en conjunto con otras ciudades, fueron construidas en la
década de 1950 para acoger a los nuevos inmigrantes y, por lo general,
se les considera que están un poco atrasadas en comparación con el
resto del país).
Yo soy profesor de matemáticas a nivel universitario. Efectivamente,
siempre me ha gustado la enseñanza y he participado varios años en actividades para jóvenes. Entre otros proyectos, solía enseñar a estudiantes
de educación básica superdotados y a estudiantes de educación media.
Sin embargo, no había entrado a un establecimiento de enseñanza básica
desde que yo mismo era uno de los estudiantes. Por lo tanto, traté de informarme y preguntar a toda persona que pudiese ayudarme. El consejo
de todos fue más o menos unánime: no tienes idea en qué te estás metiendo. La manera de enseñar a niños superdotados es completamente
diferente de la manera en que se les enseña a niños normales. Enseñar en
una escuela es toda una profesión; es irresponsable creer que uno puede
simplemente confiar en los principios de enseñanza que se utilizan a
nivel universitario (en ese entonces yo pensaba que por lo menos sabía
tales principios).
También le conté mi dilema a una profesora con años de experiencia,
y cuya opinión era valiosa para mí. Cuando escuchó mi idea, perdió todo
control y se enfureció de una manera que no pensé posible: “Ni se te ocurra”, me dijo indignada. “Es gente como tú la que está echando a perder
la educación básica. Tú serás igual que los otros académicos que no tienen idea de cómo se enseña en una escuela y que vienen para capacitar a
los profesores con ideas fantasiosas que, a la larga, causan estragos en la
20 Aritmética para padres y madres
educación. Llegarás a Maalot, confundirás a todo el mundo y las secuelas
quedarán por años”.
En retrospectiva, no puedo creer que haya aceptado el trabajo después de escuchar eso. Con el engreimiento ingenuo de un docente universitario, supuse que yo sabía más que aquellos que, después de todo,
son sólo profesores. Pero ahora que vuelvo a pensarlo, me doy cuenta
que de haber obedecido el consejo que recibí hubiese perdido la oportunidad de vivir una de las aventuras más fascinantes de mi vida.
“Manos a la experiencia” fue el lema que bordé en mi estandarte.
Mi plan era dejar que los niños experimentaran con los conceptos matemáticos, pues, después de haber tenido esta experiencia concreta, les
sería más fácil abstraer nociones. Comencé por enseñar en las clases
más avanzadas: cuarto y quinto año. Llevé a los niños al patio para que
midieran el largo de la sombra de los árboles, postes y edificios. Calculamos la razón entre la sombra y la altura de los niños, y utilizamos
esta información para calcular la altura de los árboles según el largo de
la sombra. (La idea la tomé prestada de Tales, nacido en el siglo V I I a.C.
y reconocido como el primer matemático de la historia mencionado por
su nombre, quien utilizó el mismo método para calcular la altura de
las pirámides.) Dibujamos círculos en el pavimento; medimos el radio,
el diámetro y la circunferencia; y comparamos resultados. Medimos
el largo y ancho de la sala de clases de varias maneras. Descubrimos
cuántas baldosas (longitudinalmente) caben en un metro, calculando la
razón entre el largo de la sala en baldosas y el largo en metros.
Descubrí, de la manera más difícil, el precio que se debe pagar por
ser presumido. Lo que estaba enseñando hacía poco sentido a los niños.
La mayoría de mis clases eran un desastre.
Recuerdo muy bien el primer día que empecé a reflexionar sobre
lo aprendido. Llevé a un curso completo de alumnos de cuarto año al
patio para medir los diámetros y circunferencias de los círculos dibujados en el pavimento. La profesora del curso estaba observando con
paciencia el caos inevitable que comenzaba a manifestarse, pues los niños aprovecharon la oportunidad para divertirse y no prestar atención.
Finalmente, ella me sugirió que volviéramos a la sala de clases. Una vez
en la sala, dibujamos círculos en la pizarra y conversamos acerca de la
razón entre la circunferencia y el diámetro. Me sorprendió lo fácil que
era mantener una conversación inteligente con los niños. Me di cuenta
que se subestima el poder de abstracción de los niños. También me di
cuenta del poder que tienen las palabras y las conversaciones interactivas.
Introducción
21
Afortunadamente, en ese momento también comencé a enseñar a estudiantes en primer año. Para mí, ésta fue una experiencia verdaderamente emocionante. Cuando se trata con niños de esta edad uno se da
cuenta de muchas cosas. Ellos aún no han sido corrompidos: confían en
uno y avanzan hacia la dirección que se les indica. Responden de manera
directa y dicen de inmediato cuando algo les hace o no sentido. No hay
un mejor lugar para aprender a enseñar que en una clase con estudiantes de primer año. Allí, también conocí a Marcel Granot, una excelente
profesora que estuvo dispuesta a acompañarme en una aventura que nos
enriqueció a ambos. Yo iba a estar a cargo de la clase y ella intervenía
cada vez que pensaba que los aspectos didácticos no eran los mejores.
Usualmente esto ocurría cuando enseñaba atarantado, es decir, cuando
me saltaba un paso.
Desde ese día en adelante he estado aprendiendo constante e intensamente de cada clase y de cada profesor que conozco. Las peores clases
me enseñan tanto como aquellas que resultan bien. Pero he aprendido
más de aquellas que empiezan cojeando pero se recuperan tan pronto
uno empieza a hacer lo correcto.
¿Qué he aprendido? He aprendido mucho acerca de la educación, la forma de abordar a los niños y la manera en que los niños piensan. He aprendido la importancia de ser sistemático, algo que rechazaba con desesperación
en un principio. Entendí que los conceptos que los adultos perciben como
una unidad son en realidad un conjunto de varios elementos, apilados uno
sobre otro, y que uno no puede saltárselos. Aprendí de mi propia experiencia que las explicaciones suelen ser en vano en la educación básica: los
conceptos deben originarse en el niño o la niña a partir de la experiencia
personal. Estaba en lo correcto con mi idea de manos a la experiencia, pero
el problema era que no sabía cómo integrarla en el proceso de aprendizaje.
La utilidad de la noción a la que he apodado “manos a la experiencia”
no se limita a nociones complejas. También sirve y es esencial para los
conceptos más básicos, como el concepto de número, o el significado de
“mayor que” o “menor que”.
Pero, aparte de eso, el futuro me traería una gran sorpresa. Si me
hubieran dicho que volviendo a la enseñanza básica terminaría aprendiendo matemáticas, nunca lo habría creído. Sorprendentemente, eso es
exactamente lo que ocurrió: aprendí mucho acerca de las matemáticas.
Incluso, quizás sólo matemáticas. Si me hubiese dedicado a enseñar en la
educación media, probablemente esto no habría ocurrido. El matemático
profesional conoce muy bien las matemáticas que enseña, pero en la educación básica se encontrará con cosas nuevas. Es aquí donde surgen los
22 Aritmética para padres y madres
elementos más elementales: el concepto de número, el significado de las
operaciones aritméticas. Éstos son los elementos en que el matemático
profesional debe detenerse a pensar.
Gran parte de lo que aprendí no eran conocimientos nuevos; más bien
se trataba de algo completamente diferente: sutilezas. Es como cuando
uno mira un paño: desde lejos parece ser un paño uniforme y liso, pero
al acercarse uno se da cuenta que está hecho de un tejido de hilos finos.
Lo que pensé que era una unidad resultó ser un tejido delicado de ideas.
Aún más importante, me di cuenta de que para ser un buen profesor uno
debe conocer los elementos pequeños y el orden que los entrelaza. “Paso
a paso, paso a paso”, como Marcel solía recordarme.
En gran parte, este libro trata sobre las sutilezas que se encuentran
en la base de las matemáticas; las sutilezas que le dan su belleza y que le
confieren sentido a la enseñanza.
Sección 1
Los elementos
Sección 1: Los elementos
25
¿Qué son las matemáticas?
El libro de la naturaleza está escrito
en el idioma de las matemáticas.
Johannes Kepler, astrónomo
La reina de las ciencias
Las matemáticas son la reina de las ciencias y,
a la vez, la aritmética es la reina de las matemáticas.
Carl Friedrich Gauss, matemático
En una clase de segundo año trato de explicar la importancia de los números. Para lograr esto les cuento a los niños la historia de un rey que
odiaba tanto los números que prohibió su uso en todo el reino. Juntos,
tratamos de imaginar un mundo sin números, y descubrimos que la vida
sin ellos es muy limitada. Dado que está prohibido mencionar la edad de
un niño, los alumnos que entran a su primer año de escolaridad entran
en cualquier edad; uno no puede pagar por sus compras, ni tampoco
acordar una reunión, pues no puede mencionar el número de las horas
y minutos.
Este es sólo un ejemplo de la importancia de las matemáticas en nuestras vidas. A medida que avanza la tecnología y la civilización nuestras
vidas dependen cada vez más de las matemáticas. Steven Weinberg, premio nobel en física, dedicó dos capítulos en su libro El sueño de la teoría
final, para hablar de temas que van más allá de la física: las matemáticas
y la filosofía. En su libro menciona que siempre le sorprende descubrir lo
útil que son las matemáticas, y lo fútil que es la filosofía.
Para entender la razón por la cual pasa esto, uno debe entender lo
que son las matemáticas. Esta pregunta no es sencilla, pues incluso los
matemáticos profesionales consideran que es difícil de responder. Bertrand Russell dijo que los matemáticos “no saben lo que hacen”. (Su opinión respecto a los filósofos era aún más cruel: un filósofo, según él, es
“un hombre ciego en una sala oscura buscando a un gato negro que ni
siquiera está allí”.) Es muy probable que esto sea verdad, a lo menos por
un aspecto: la mayoría de los matemáticos no se cuestionan qué es lo que
están haciendo exactamente.
Con el propósito de tratar de responder a esta pregunta, empezaremos con un ejemplo sencillo: ¿qué significa que 3 + 2 = 5?
En el primer año les pido a los niños que calculen cuántos lápices
hay cuando se le agregan 3 lápices a 2 lápices. Saben que la “adición” o
“suma” significa “unir”. Por lo tanto, unen 3 lápices con 2 lápices y cuen-
26 Aritmética para padres y madres
tan: 5 lápices. Después pregunto: “¿Cuántos botones hay cuando sumo 3
botones a 2 botones?”. Me responden, “Cinco botones”, con total seguridad. “¿Cómo lo saben?”, les pregunto. “Lo sabemos por la pregunta anterior”. “Pero la pregunta anterior era sobre lápices. ¿Quizás no pasa lo mismo con botones?”. Los niños se largan a reír, pero no porque la pregunta
no tenga sentido. Por el contrario, contiene el secreto de las matemáticas:
la abstracción. No importa si los objetos que se mencionan son lápices,
botones o manzanas. La respuesta es la misma en todos los casos. Por esta
razón, somos capaces de decir de forma abstracta que 3 + 2 = 5.
Éste es un ejemplo simple pero característico: las matemáticas abstraen
los procesos de pensamiento lógico. Obviamente, cada pensamiento es
abstracto hasta cierto punto. Pero las matemáticas son únicas en el hecho
de que abstraen los procesos de pensamiento lógico más básicos. En el
ejemplo de 3 + 2 = 5 el proceso involucrado es la unión de objetos: 3 objetos
y 2 objetos. Uno puede hacer muchas preguntas acerca de estos objetos:
¿qué son?, ¿lápices o manzanas?, ¿están en la mano de alguien o sobre la
mesa? Si están sobre una mesa, ¿en qué orden están? Pero en las matemáticas se ignoran todos estos detalles, y se hace una pregunta que se relaciona
no con los diferentes detalles, sino con el hecho de que estos objetos se
unen para llegar a un monto final. Es decir, ¿cuántos objetos hay?
El pensamiento abstracto es el secreto detrás del dominio que ejerce el
hombre sobre su entorno. El poder de la abstracción nos permite lidiar de manera eficaz con el mundo. En otras palabras, nos permite ahorrar esfuerzos.
Nos permite ir más allá de los límites del “aquí y ahora”: algo que descubrimos aquí y ahora lo podemos utilizar en otro lugar y en otro momento. Si 3
lápices y 2 lápices son igual a 5 lápices, lo mismo ocurre con las manzanas, y
lo mismo ocurrirá mañana. Un esfuerzo específico nos da información sobre
un mundo completo. Si las abstracciones son por lo general útiles, entonces
aún más lo son las matemáticas, que llevan las abstracciones al límite. Por lo
tanto, no es sorprendente que las matemáticas sean tan útiles y prácticas.
¿Deberían todos aprender matemáticas?
Cuando menciono que soy un matemático, usualmente las personas reaccionan con una frágil sonrisa que apenas disimula una mueca de agonía, y
me dicen: “Las matemáticas no eran mi fuerte en el colegio”. Para muchas
personas aprender matemáticas es una experiencia tan terrible que cada
nueva generación se hace la misma pregunta: ¿para qué? ¿Por qué es necesaria esta tortura? ¿No debería la gente abandonar la idea de tratar de
aprender matemáticas? En la actualidad, cuando una calculadora puede
realizar operaciones matemáticas instantáneamente, ¿de qué sirve aprenderse las tablas de multiplicar o saber cómo resolver divisiones?
Sección 1: Los elementos
27
Una posible respuesta sería que las matemáticas son la clave para todas
las profesiones que exigen conocimiento sobre las ciencias exactas, de las
cuales tenemos muchas en la actualidad. No obstante, las matemáticas son
importantes no sólo porque nos permiten comprender la realidad, sino
porque nos ofrecen mucho más: nos enseñan de forma precisa y organizada a pensar de forma abstracta. Además, fomentan los hábitos básicos del
pensamiento, como la capacidad de distinguir entre lo esencial y lo accesorio o de llegar a conclusiones lógicas. Estas destrezas son algunas de las
ventajas más importantes que nos entrega la educación escolar.
Sin embargo, la pregunta todavía no ha sido respondida: ¿por qué es
tan difícil? ¿Es necesario que las matemáticas causen tanta angustia? Una
respuesta popular en nuestros días es que la culpa no es de las matemáticas sino de la enseñanza. La opinión general en la actualidad es que muchos niños que presentan “problemas de aprendizaje” más bien presentan
“problemas de enseñanza”. Sin embargo, no es tan simple. Culpar a los
profesores es demasiado fácil; además, es una exageración. Cualquier persona que afirme que por cientos y miles de años los profesores de matemáticas han estado haciendo mal su trabajo tiene que explicarnos por qué
ocurre esto con las matemáticas y no con otros ramos.
El problema particular que aqueja a la enseñanza de las matemáticas
radica en la dificultad de explicar abstracciones. Es posible decir a los estudiantes el nombre de la capital de Chile, pero no es posible abstraer por
ellos. En otras palabras, es un proceso que cada persona debe realizar por sí
misma. Uno tiene que recorrer mentalmente todas las etapas, que van de lo
concreto a lo abstracto. La función del profesor dentro de este proceso es
guiar al estudiante de forma tal que este último pueda experimentar los
principios en el orden correcto. No es un arte simple, ni tampoco es fácil
de lograr. Sin embargo, tampoco es imposible. Uno de los propósitos de
este libro es reafirmar algunos de los principios que se encuentran en el
camino de esa enseñanza de “comadrona”, como Sócrates profesaba.
28 Aritmética para padres y madres
Las tres formas matemáticas de economizar
No tuve tiempo para escribirte una carta
corta, así que te escribí una larga.
Blaise Pascal, matemático
Las matemáticas son una forma de flojera.
Las matemáticas son el equivalente a dejar
que los principios hagan el trabajo para que
tú no lo tengas que hacer.
George Polya, matemático
La verdadera virtud de las matemáticas (y no muchos conocen esto) es
que permite ahorrar esfuerzos. Toda abstracción es capaz de hacer esto,
pero las matemáticas han convertido la economía del pensamiento en
una forma de arte. Hay tres formas de economizar: orden, generalización
y representación concisa.
Orden
Carl Friedrich Gauss fue el matemático más importante del siglo XIX . La
manera en que llegó a descubrir su talento, a los siete años, es ahora una
de las historias más famosas del mundo de las matemáticas. Un día, su
profesor, con el fin de darse un descanso, ordenó a sus estudiantes sumar
todos los números entre el 1 y el 100. Para sorpresa del docente, el joven
Carl Friedrich encontró la respuesta al cabo de unos minutos, o quizás
segundos: 5.050.
¿Cómo pudo un niño de 7 años solucionar este problema? Primero,
observó la operación que tenía que calcular, que correspondía a 1 + 2 +
3 +...+ 98 + 99 + 100, y sumó el primero y el último número. El resultado
daba 101. Luego, sumó el segundo número con el penúltimo, es decir, 2
y 99, lo que otra vez dio como resultado 101. Después siguió con el 3 y el
98 y el resultado fue 101 nuevamente. Gauss organizó todos los términos
en 50 pares cuya suma era igual a 101. La suma fue 50 veces 101, o 5050.
Lo que el pequeño Gauss descubrió aquí fue un orden. Encontró un
patrón en lo que parecía ser una suma de números desorganizada, lo que
inmediatamente simplificó todo el problema.
Imaginemos una guía de teléfonos con un orden aleatorio o desconocido. Si queremos encontrar un número de teléfono tendríamos que leer
cada uno de los nombres. El orden que se utiliza en la guía de teléfonos,
y el hecho mismo de que ya lo conocemos, nos ahorra una gran cantidad
de energía. El relativamente poco esfuerzo que invertimos en el orden
alfabético rinde frutos una y otra vez.
Sección 1: Los elementos
29
Otro ejemplo: pensemos cuánto más fácil es vivir en una ciudad que
conocemos que en una que nos es ajena. Un lugareño sabe dónde encontrar un supermercado o una lavandería. Saber la disposición del mundo
que nos rodea nos permite orientarnos. Las ciencias, y específicamente
las matemáticas, se han propuesto descubrir el orden del universo, para
que así podamos actuar según este orden.
Generalización
Hay muchas bromas sobre la naturaleza de las matemáticas y los matemáticos, pero la siguiente es tal vez una de las más conocidas. Siempre
me doy el tiempo de contársela a mis alumnos en todos los cursos que
imparto, no sólo porque es una de las más famosas, sino porque también
es una de las más útiles. Ilustra el principio de la práctica de las matemáticas: algo que ya se hizo una vez no se tiene que volver a hacer.
¿Cuál es la diferencia entre un matemático y un físico? Uno tiene que hacerse
la siguiente pregunta: si suponemos que hay una tetera en el comedor, ¿cómo podemos hervir agua? El físico contesta: llevo la tetera a la cocina, la lleno con agua
de la llave, la pongo sobre el quemador y prendo el fuego. El matemático responde
lo mismo. Entonces, después uno pregunta: suponiendo que hay una tetera en
la cocina, ¿cómo hervimos el agua ahora? El físico responde: lleno la tetera con
agua de la llave, la pongo sobre el quemador y prendo fuego. El matemático dice:
tomo la tetera y la llevo al comedor, ¡porque de aquí en adelante el problema ya
ha sido resuelto!
Esto lleva la economía del pensamiento a lo absurdo, anteponiéndola
a la verdadera idea de economizar.
“Esto ya lo resolvimos” respondieron los niños cuando les pedí que me
explicaran por qué habían dicho que no era necesario sumar 3 botones a
2 botones si ya habían hecho lo mismo con lápices. Este mismo principio
aparece, de forma patente o latente, en cada evidencia matemática y en
todo razonamiento matemático. “Ya hicimos esto, así que ahora lo podemos utilizar”. De hecho, la idea se encuentra detrás de toda abstracción: lo
que descubrimos ahora también será válido en otras situaciones.
Comprobación por etapas: inducción
Hay un proceso matemático que se basa completamente en el principio
de “esto ya ha sido resuelto”. A este proceso se le conoce como “inducción matemática”. Se establece un cierto hecho por etapas, donde cada
etapa se basa en la anterior; es decir, sobre el hecho de que el caso anterior “ya ha sido resuelto”.
En este libro nos encontraremos con este proceso muchas veces, pero
no lo mencionaremos explícitamente. Por ejemplo, el sistema decimal es
30 Aritmética para padres y madres
inductivo: se reúnen diez unidades para conformar la entidad llamada
“decena”; luego se reúnen diez decenas para conformar una nueva entidad llamada “centena”, y así se continúa sucesivamente. Otro ejemplo
son los cálculos: todos los algoritmos que se utilizan en las operaciones
aritméticas se basan en la inducción.
Representación concisa
La tercera forma de economizar en matemáticas es la representación. Estamos tan acostumbrados a la manera en que se representan los números y
las proposiciones matemáticas, que nos olvidamos de que los métodos de
representaciones no siempre fueron tan sofisticados y, hasta hace relativamente poco tiempo, la notación matemática era bastante más engorrosa.
Comencemos con la representación de los números. Hace unos 3.000
años, los números se representaban de manera directa: el “4” solía representarse con cuatro marcas, por ejemplo cuatro líneas. Con números
menores, esta idea es buena; sin embargo, resulta ser poco práctica con
números mayores. Gracias al sistema decimal, ahora podemos representar números grandes de forma concisa: un “millón” sólo necesita siete
dígitos.
El segundo tipo de economía es la representación de proposiciones.
Una “proposición matemática” es el equivalente de una oración del lenguaje hablado. Hace poco más de 2.000 años, las proposiciones matemáticas se expresaban en palabras, por ejemplo: “tres más dos es cinco”.
Pero luego se inventó una gran herramienta: la fórmula. Es probable que
su creador haya sido Diofanto de Alejandría, quien vivió durante el siglo
I I I a.C. Las fórmulas no sólo son más cortas, sino que también son más
precisas y uniformes, y es posible manipularlas sistemáticamente.
Reseña histórica
La notación que utilizamos actualmente se fue desarrollando de manera lenta
y gradual. Recién en los siglos XVI y XVII comenzó a tomar la forma que hoy
utilizamos. El signo igual (=), por ejemplo, sólo apareció durante la mitad del
siglo XVI . Su inventor, el inglés Robert Recorde, explicaba su decisión afirmando
que “no hay dos cosas que se parezcan tanto como un par de líneas gemelas de
un mismo largo”.
Sección 1: Los elementos
31
Economía en las matemáticas
Las matemáticas ofrecen tres maneras de ahorrar esfuerzos:
• Orden: descubrir un patrón facilita la orientación.
• Generalización: un principio que se descubre en un área se puede aplicar en otra.
• Representación concisa: el sistema decimal es una excelente forma económica de representar números; las fórmulas matemáticas representan proposiciones de forma clara y concisa.
32 Aritmética para padres y madres
El secreto de la belleza de las matemáticas
Sólo Euclides ha contemplado
la belleza desnuda.
Edna St. Vincent Millay, poeta
Si la solución no es bella,
entonces sabemos que está mal.
Buckminster Fuller, arquitecto e inventor
En una clase de segundo año mostré a los niños una forma elegante de
comprobar la regla conmutativa de la multiplicación (veremos este tema
en el capítulo sobre el significado de la multiplicación). Un niño sentado
en la primera fila miró la pizarra por un momento y luego dijo silenciosamente: “Es hermoso”.
Si le preguntamos a un matemático qué parte de su profesión es la
que más le gusta, nueve de cada diez responderá: “la belleza”. Aunque
las matemáticas se utilizan día a día, para aquellos que se dedican a estudiarla esto no es lo esencial. Para ellos lo importante es la belleza de
las matemáticas. La recompensa que recibe una persona que hace un
descubrimiento matemático, y que reciben aquellos que lo estudian, es
principalmente una satisfacción estética. ¿Qué tienen que ver las matemáticas con la belleza? ¿Cuál es la posible relación que podría existir
entre una materia ardua y seca como las matemáticas y la belleza que se
encuentra en el arte?
Esta afirmación nos lleva a una pregunta difícil y compleja: “¿Qué es
la belleza?”. Es posible que las matemáticas, el invitado no convocado al
cuadrilátero, nos ayuden a encontrar una respuesta. Esto se debe a que
es en las matemáticas donde encontramos un acuerdo unánime sobre el
significado de la belleza: una idea matemática es bella cuando introduce
un elemento nuevo e inesperado, uno que parece salir de la nada. La persona que inventó la organización decimal de los números sin duda sintió
un poderoso sentimiento de belleza. La primera persona que descubrió
la posibilidad de sumar números al escribirlos uno arriba del otro de
seguro que también experimentó una satisfacción estética.
El Gran Libro en el cielo
El famoso matemático húngaro, Paid Erdös, solía hablar del “Gran Libro
en el cielo“, el cual contenía las demostraciones más elegantes de cada
teorema. Yo creo que muchas personas concuerdan que la primera página de este libro debería estar dedicada a la demostración de Euclides del
hecho que los números primos son infinitos. No sólo es una de las de-
Sección 1: Los elementos
33
mostraciones más elegantes conocidas en el ámbito de las matemáticas,
sino también una de las más antiguas.
¡Por el amor de Dios!
¿dónde está esa página?
Un número primo es un número que no es divisible por ningún otro
número natural, excepto por el 1. Por ejemplo, 2 es un número primo, al
igual que el 3 y el 5. El número natural 4 no es primo, porque se puede
dividir por 2. Un número natural se puede escribir como el producto de
números primos (no necesariamente diferentes: 4, por ejemplo, es 2 veces
2). Los primeros cinco números primos son el 2, 3, 5, 7 y 11.
Por supuesto, el 11 no es el último número primo. El 13, por ejemplo,
es un número primo mayor. No obstante, Euclides afirmaba que él podría probar que había un número primo mayor que 11 sin saber cuál era.
La idea es sencilla. Observemos el producto de los cinco primeros números primos, es decir, 2 x 3 x 5 x 7 x 11. Obviamente, el resultado 2.310 es
divisible por 2, 3, 5, 7 y 11. Por ende, el número entero 2.311, el resultado
de sumar 1 a 2.310, no es divisible por ninguno de estos números (si un
número entero es divisible por 2, entonces el sucesor no es divisible por
2; si es divisible por 3, entonces el sucesor no es divisible por 3, etc.). Pero,
como ocurre con muchos otros números naturales, 2.311 es divisible por
algún número primo y, como ya hemos mencionado, no puede ser ni 2,
34 Aritmética para padres y madres
ni 3, ni 5, ni 7 ni 11, debido a que 2.311 no se puede dividir por ninguno
de ellos. Entonces debe existir un número primo que no corresponde a
ninguno de estos números.
Obviamente, pasaría lo mismo si tomásemos los 100 primeros números primos. Lo que hemos demostrado es que por cada número primo
hay un número primo más grande, por lo que hay una cantidad infinita
de números primos.
Esta demostración es, sin lugar a dudas, elegante. En primer lugar,
por la idea (que parece salir “de la nada”) de multiplicar todos los números primos hasta un número entero y añadir 1; segundo, porque la
prueba indirecta demuestra la existencia de un número primo mayor sin
tener que hacer mención explícita de él.
“Saber sin saber”
Todavía no hemos llegado a lo esencial de este tema: ¿qué es lo que inspira una sensación de belleza? Por ejemplo, en el arte, la belleza no deriva
realmente del descubrimiento de ideas novedosas. ¿Existe una relación
entre la belleza matemática y la belleza de la poesía o de la música, por
poner un ejemplo?
Para comprender esta relación consideremos el poder de las metáforas poéticas. La belleza de una metáfora radica en el mensaje indirecto
que transmite: se dice algo sin mencionarlo, para que de esa manera el
receptor no vea las cosas directamente. Tomemos a modo de ejemplo la
siguiente metáfora tomada del Cantar de los Cantares:
No reparéis en que soy morena,
Porque el sol me miró.
Los hijos de mi madre se airaron contra mí;
Me pusieron a guardar las viñas;
Y mi viña, que era mía, no guardé.
(Capítulo 1, versículo (i)).
La metáfora en la última línea contiene un mensaje sencillo, pero por
un momento le pediré al lector que pretenda que no comprende, es decir,
que piense que en verdad se trata de un viñedo mal mantenido.
¿Qué pasó aquí? Como en las matemáticas, una “idea venida de otro
lugar” aparece: un viñedo en vez de un mensaje erótico. Como resultado, nosotros percibimos el mensaje en un nivel, sin absorberlo completamente en el otro. A esto se le llama “saber sin saber”. De la misma
manera, en una solución matemática sorprendente, la conexión no prevista de la ideas nos permite comprender nuevos órdenes en un nivel,
Sección 1: Los elementos
35
mientras que las herramientas normales de la razón, dado que todavía
utilizan los conceptos antiguos, no pueden entender esta conexión. ¿Pasa
esto con todos los tipos de belleza? Yo creo que sí. La belleza extraña es
una maravilla frente a nuestros ojos; en otras palabras, contiene algo que
no comprendemos completamente. Por ejemplo, un paisaje glorioso inspira un sentimiento de belleza porque se escapa del alcance de nuestras
herramientas de percepción normales.
Las matemáticas y el arte
Es cierto que un matemático que no tiene algo
de poeta jamás será un matemático perfecto.
Carl Weierstrass, matemático
Las matemáticas tienen dos características en común con el arte: una es
el orden y la otra es la economía y brevedad. Respecto al orden, el arte,
como las matemáticas, encuentra un orden en el mundo. Por ejemplo,
mientras la música organiza los sonidos, las pinturas ordenan la experiencia visual. En cuanto a la brevedad, la poesía, por ejemplo, es el género literario que mejor exprime la capacidad de acortar y comprimir
muchas ideas en una sola línea. En alemán, poesía se dice Dich-tung, lo
que literalmente significa “compresión”. El poeta Ezra Pound define a
la gran literatura como un lenguaje cargado de significados hasta el máximo
extremo posible.
Todo estos ejemplos están relacionados con la idea de “saber sin saber”. El orden inspira una sensación de belleza cuando es percibido por
el subconsciente. Las explicaciones para este tipo de percepción son dos:
una es que el orden es tan sorprendente que la percepción estándar no logra comprenderlo del todo; la otra es que el orden es demasiado complejo
como para que la razón sea capaz de percibirlo. La economía y brevedad
también surten efecto en la idea de “saber sin saber”: la idea llega tan rápidamente que no tenemos el tiempo de comprenderla. Lo mismo ocurre
con el caso de la compresión de varios significados en una sola expresión:
impide la comprensión consciente de toda la información que engloba.
La aritmética básica que aprendimos en la infancia contiene algunos
de los descubrimientos matemáticos más hermosos de la historia. Entonces, ¿por qué no toda la gente ve la belleza en las matemáticas? Por lo
general, se debe a que las matemáticas suelen aprenderse de manera mecánica, lo que impide admirar su belleza. Pero nunca es demasiado tarde.
Aquellos que están dispuestos a ver los principios de las matemáticas
elementales desde una nueva perspectiva, podrán volver a descubrir su
belleza. Doy mi palabra: esto es justamente lo que me ocurrió a mí.
36 Aritmética para padres y madres
Capa por capa
Los profesores demostraron que se puede
pensar libremente / Y pensar en instrumentos
gimnásticos, en grupos y por uno. / Pero no
entendí la mayoría de sus palabras, /creo que
aún no estaba listo.
Yehuda Amichai, “I Am Not Ready” (No estoy listo),
en Poems (Poemas)
El margen estrecho de Fermat
En 1637 el matemático francés Pierre Fermat escribió una conjetura en el
margen de un libro, una copia de la Aritmética de Diofanto, la que versaba:
“He descubierto una demostración realmente maravillosa”, y continuaba, “pero el margen es muy angosto como para anotarla aquí”.
Generaciones de matemáticos se atormentaban al pensar que la demostración de esta conjetura matemática, que se convertiría en la más
famosa de la historia, se había perdido para siempre, por lo que dedicaron su vida a reproducirla. Después de algún tiempo se empezaron a dar
cuenta que Fermat, tal como muchos otros de sus seguidores, se estaba
engañando a sí mismo y en realidad su demostración era errónea. En
1995, cuando el inglés Andrew Wiles encontró una demostración, quedó
claro que era imposible que ésta cupiese en los márgenes de un libro. Era
una demostración que se debía explicar en 130 páginas, y si además se le
añadían todos los argumentos sobre los cuales se basaba, ésta llegaría a
tener miles de páginas.
Otras demostraciones más cortas que la conjetura de Fermat también
se construyen por capas, en donde cada una depende de la anterior. Cada
capa queda establecida y sirve como una base para la siguiente, similar
a la idea de “esto ya ha sido resuelto”. Existen otras áreas de estudio en
donde el conocimiento se construye en base a conocimientos ya establecidos. No obstante, en ninguna otra área de estudio esta torre llega a
ser tan alta, y en donde cada una de sus capas depende claramente de la
anterior.
El primer hecho que uno debe saber respecto a la enseñanza de las
matemáticas es que lo anterior es válido tanto para las matemáticas avanzadas como para las matemáticas elementales. En ambas el conocimiento
se establece por capas, en donde cada capa depende de la anterior. Por lo
tanto, el secreto de la buena enseñanza está en reconocer estas capas y
establecerlas de manera sistemática.
Sección 1: Los elementos
37
Una anécdota famosa en la historia de las matemáticas cuenta acerca
de la imposibilidad de tomar atajos. El héroe de esta historia es Euclides,
quien vivió en Alejandría entre 350 y 275 a.C. y se convirtió en el autor de
Los Elementos, el libro sobre geometría más importante de la antigüedad
y, posiblemente, de la historia. Entre otros logros, en su libro define los
términos “axioma” y “demostración”, dos de los avances más importantes de las matemáticas. Tolomeo, rey de Egipto en ese entonces, le pidió
consejos para que la lectura del libro fuese más fácil, a lo cual Euclides
respondió: “No hay un Camino Real a las matemáticas”. Ni siquiera los
reyes pueden saltarse las etapas.
Nota: el historiador griego del siglo V, Stobaeus, atribuye la misma
historia a Alejandro Magno con su maestro, Menecmo.
En las matemáticas elementales se sigue la misma lógica. Sin embargo,
como se encuentran en la base de la torre, son menos las capas que se establecen. No hay cadenas largas de argumentos, como en las matemáticas
más avanzadas. Por esta razón, se considera que es un nivel adecuado para
niños. Aun así, desde otro punto de vista, se podría decir que las matemáticas elementales presentan más dificultades. Algunas de sus capas están
escondidas y no son fáciles de discernir, como si estuvieran construidas
bajo el agua en un lugar con una visibilidad casi nula. Para verlas es necesario observar atentamente, pues es fácil pasarlas por alto. Las matemáticas que se enseñan en la educación básica no son sofisticadas, pero sí
requieren sabiduría. Tal vez no son complejas, pero sí son profundas.
La ansiedad matemática
La “ansiedad matemática” es un término acuñado por investigadores
en el área de la pedagogía. No hay una ansiedad de la historia, o de la
geografía, pero sí de las matemáticas. ¿Por qué provocan ansiedad las
matemáticas?
La principal razón radica en su estructuración por capas: la ansiedad matemática ocurre cuando uno se salta una etapa sin darse cuenta.
Como ya se mencionó, gran parte de las capas de conocimiento matemático son tan básicas que es fácil pasarlas por alto. Cuando esto ocurre,
y se trata de establecer una nueva capa sobre la que fue olvidada, ni la
profesora ni el alumno serán capaces de discernir el origen del problema. Desde el punto de vista del alumno o alumna, lo que escucha no le
hace sentido pues “probablemente todavía no puede pasar a la siguiente
etapa”. Además, el profesor o profesora no sabe qué hacer, dado que tampoco puede identificar la fuente del problema. Cuando no somos capaces
de comprender el origen de una dificultad sentimos miedo y confusión,
y es ahí cuando surge la ansiedad.
38 Aritmética para padres y madres
No es necesario que una “capa” sea información que se deba mencionar
de manera explícita. Algunas veces la experiencia basta para adquirirla.
Por ejemplo, el concepto de número se aprende cuando se tiene una amplia
experiencia contando. Algo pasa en la mente de los niños cuando cuentan.
Los conocimientos implícitos se construyen gradualmente, por medio de
tiempo y esfuerzo, aun si los resultados no son inmediatamente aparentes.
Uno no puede hablar sobre la ansiedad hacia las matemáticas sin
mencionar la otra cara de la moneda: la alegría que producen las matemáticas. De igual manera que la ansiedad no se asocia con ninguna
otra asignatura, la alegría que resplandece en el rostro de un niño o niña
cuando comprende un principio matemático no se ve en ninguna otra
asignatura. Es posible que haya una conexión entre ambas.
Un ejemplo sobre la importancia de no saltarse etapas
Puedo contarles un ejemplo, de mi propia experiencia, sobre lo que ocurre cuando uno se salta una etapa. Probablemente un profesor o profesora con más experiencia no hubiese caído en la misma trampa. Él o ella
habría estado consciente de la complejidad que presentaba a los niños el
término que yo estaba tratando de enseñar, que correspondía a “...más
grande que...” o “...más que...”. No obstante, esa trampa resultó ser una
valiosa enseñanza para mí. Gracias a ella comprendí la importancia de
establecer los conceptos en el orden correcto y a identificar cuánto más se
puede seguir avanzando cuando se hace esto.
Por un tiempo, enseñé en dos clases de primer año de enseñanza básica en Maalot. Un día, cuando nos acercábamos al fin del primer semestre del año, llegué a clases con la intención de enseñar a ambas clases
problemas que incluyeran expresiones tales como “4 más grande que...”
o “4 más que....”. En la primera clase escribí en la pizarra lo siguiente:
“Emilia tiene 4 lápices más que Esteban. ¿Cuántos lápices tiene Emilia si
Esteban tiene 5 lápices?". El orden en que presenté los datos no es casual.
Por el contrario, comencé a conciencia por la relación entre el número de
lápices que tienen Emilia y Esteban, y no por el número de lápices que
tiene Esteban. Quería que los niños entendieran que es posible hablar
sobre una relación entre números sin conocer el punto de referencia (la
cantidad de lápices que tiene Esteban).
Hasta ese momento los niños no tenían problemas para asociar historias de la vida real con expresiones aritméticas. Sin embargo, esta vez
fue una excepción. La confusión se apoderó de la sala de clases. Traté de
ordenar la pregunta de forma directa: “Esteban tiene 5 lápices; Emilia
tiene 4 más. ¿Cuántos lápices tiene Emilia?”. Sin embargo, esto tampoco
sirvió. La mayoría de los niños no entendía el razonamiento.
Sección 1: Los elementos
39
En ese momento entendí que me había saltado una etapa. De hecho,
me había saltado más de una. No fue sólo el concepto de relación entre
dos elementos desconocidos lo que les causó dificultad a los niños. También tenían dificultades con el concepto de tener 4 más que, o 4 más grande
que, pues era un tema desconocido para los niños. Cualquier profesor de
un curso de primer año hubiese previsto mi error. Éste no es un concepto
que los niños encuentran en el día a día. La mayoría de los niños conoce
el término “más grande que”, pero no necesariamente con el significado
de “4 más grande que”.
No quedaba otra alternativa que empezar todo de nuevo. Dibujé un
círculo y un cuadrado grande en el pizarrón y les pedí a los niños que
dibujaran el mismo número de triángulos dentro del cuadrado y dentro
del círculo. Luego de pedirles que añadieran un triángulo al círculo, les
pregunté cuál de las dos figuras contenía más triángulos. A continuación
les pregunté cuántos más tenía. En este momento la clase terminó.
Después me fui a la otra clase de primer año. La experiencia anterior
me volvió más sabio, por lo que expliqué el problema correctamente, desde el principio. Invité a dos niños a la pizarra y entregué a cada uno 5 lápices. Luego pregunté qué niño tenía más lápices; recibí como respuesta
que ambos tenían la misma cantidad. Di un lápiz adicional a uno de los
niños y pregunté: ¿quién tiene más ahora?, ¿cuántos más tiene?, ¿cuántos
lápices menos tiene el otro niño? Le di al primer niño otro lápiz más y
repetí las mismas preguntas. Continué dando más lápices al mismo niño
y en cada etapa preguntaba cuántos lápices más que el otro niño tiene,
y por cuántos lápices el otro niño tiene menos. A continuación di al segundo niño más lápices, uno por uno, hasta que ambos tenían la misma
cantidad. En la siguiente etapa invertimos el orden: empecé a quitar uno
por uno los lápices a uno de los dos niños, y a cada paso de la operación
preguntaba quién tenía más y cuántos más tenía. Completamos todo el
proceso sin parar. También preguntamos quién tenía menos y por cuánto menos.
Después dibujé unas escaleras en el pizarrón y a cada escalón le asigne un número. Dibujé dos niños: una niña en el escalón 9 y un niño en
el escalón 6. Pregunté a los alumnos cuántos escalones tenía que subir el
niño que se encontraba más abajo para llegar a la niña que estaba en el
escalón superior. Luego les pregunté cuántos escalones tenía que bajar la
niña que se encontraba más arriba para llegar al niño que se encontraba
más abajo. Mi preguntaba versaba: “¿cuánto escalones más arriba que el
niño se encuentra la niña? y “¿cuántos escalones más abajo que la niña se
encuentra el niño?”. Revisamos muchos ejemplos de este estilo.
40 Aritmética para padres y madres
¿Cuántos escalones más arriba que el niño está la niña?
¿Cuántos escalones debería subir el niño para llegar donde está la niña?
¿Cuántos escalones debería bajar la niña para alcanzar al niño?
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Después llevamos la abstracción al siguiente paso. En vez de utilizar escaleras concretas, lo cambiamos a diferentes edades. Pregunté a
uno de los niños cuántos años más de edad tenía que su hermano. Me
respondió que 3. ¿Cuántos años más joven era su hermano? Lo que vino
después fue pura entretención. Les pregunté: ¿Cuántos años tendrá él
cuando su hermano tenga 20 años? y ¿cuántos años tendrá su hermano
cuando él tenga 100 años? ¿Cuando tenga 1.000 años? Algunos de los
niños me siguieron hasta los números superiores: en casi todas las clases
de primer año hay estudiantes que pueden calcular las centenas e incluso hasta cálculos complicados, como 1.000 - 3. Claramente, a los alumnos
les gustaba imaginar lo que pasaría cuando tuvieran cien o mil años.
La parte final de la clase la dedicamos a la experimentación personal.
Para esto, improvisamos unos ábacos: utilizamos unos pinchos de madera
en los cuales pusimos cuentas hechas de plastilina (éstas son mejores que
las cuentas normales, dado que los niños las pueden hacer ellos mismos
y pueden tocar el material con sus manos. Además, este tipo de cuentas
no produce tanto ruido cuando se caen y ruedan por el suelo). Formé a los
niños en grupos de a dos y luego pedí a un niño de cada pareja que pusiera
tres cuentas más en el pincho respecto a su compañero de grupo. Esta actividad también fue muy entretenida. No les mencioné la cantidad de cuentas que cada niño debería poner, ni cuál niño debería tener más cuentas.
Sólo les mencioné la diferencia, y esto les permitió seguir con los números mayores. Por ejemplo, en uno de los grupos, un niño puso 10 cuentas,
seguro de que sería el ganador. Cuando se dio cuenta de que había sido
derrotado por su compañero de grupo, que había puesto 13 cuentas, él
Sección 1: Los elementos
41
añadió 6 a su pincho. Un aforismo pedagógico bien conocido afirma que
toda clase debe atravesar tres etapas: de lo concreto al dibujo y finalmente
a lo abstracto. En este sentido, la clase fue ejemplar: comenzamos con lo
concreto (los lápices). Luego continuamos con el dibujo de las escalas, para
después seguir con el debate sobre las edades de los hermanos, en el que
los números no se presentaron de forma concreta. Finalmente, terminamos la clase con la aplicación de los conceptos que habíamos aprendido
(cuentas de plastilina y pinchos de madera).
Eso sería por el lado de la didáctica. ¿Qué pasa con el contenido? ¿Qué
estructuras conceptuales adquirieron los niños durante la clase? Más de
lo evidente. Primero, aprendieron el concepto de relación, como “mayor
que” y “menor que”, entre números. Además, comprendieron el mensaje
que había tratado, sin éxito por lo demás, de hacer entender en la primera
clase: que podemos hablar sobre una relación entre números sin que sea
necesario tener una representación de los números. Al final de la clase
asigné la siguiente tarea: crear una situación donde un niño tiene tres
cuentas más que su compañero o compañera, sin tener que decirles explícitamente cuántas cuentas debía tener cada niño.
Asimismo, los niños aprendieron que una relación se puede ver en
ambas direcciones, y que las cosas se ven diferentes desde cada ángulo:
si uno es más grande por tres, entonces el otro es más pequeño por tres.
Ellos se dieron cuenta de que la relación cambia cuando uno de los componentes se altera (si yo tengo tres más, tú puedes tener lo mismo si le
sumas tres a lo tuyo, o si le restas tres a lo mío).
Por supuesto, también aprendieron el concepto de “...más grande
que”, que era el objetivo de la clase. Al mismo tiempo vimos la relación
entre “...más grande que” y la suma: si agregas 4 al número, el resultado
es 4 más grande que el original.
Otra idea que vimos en esta clase corresponde a la ley de conservación. “Conservación” significa que algo permanece constante, mientras
otras cosas cambian. Por ejemplo, cuando uno gira un triángulo su posición cambia, pero la relación entre sus lados permanece constante; es
decir, sus ángulos son los mismos.
Ley de conservación: cuando los triángulos rotan, los ángulos permanecen intactos.
42 Aritmética para padres y madres
En esta clase vimos la conservación de las diferencias: la diferencia
entre las edades de los dos hermanos es siempre la misma. Si tú tienes
7 años y tu hermano 4, entonces la diferencia entre las edades es 3. En
veinte años más la diferencia seguirá siendo la misma: 27 es mayor que
24 por 3. En otras palabras, si aumentas los números por el mismo valor, la diferencia entre ellos seguirá constante. Esta ley acompañará a los
niños durante toda su escolaridad. Se encontrarán con ella, por ejemplo,
cuando tengan que expandir fracciones, donde la razón entre dos números no cambia si se multiplica por el mismo número.
Ley de conservación: 17 – 14 = 7 – 4
La primera de estas dos clases siempre me servirá para recordar lo
elusivas que pueden resultar las estructuras de pensamiento establecidas durante la infancia, lo fácil que es creer que los niños ya lo saben, y
lo fácil que es olvidarse de que incluso las estructuras más básicas tienen
que, en algún momento, establecerse por medio del trabajo sistemático.
No obstante, es la segunda clase la que fue realmente instructiva,
pues además aprendí una lección que seguirá apareciendo a lo largo de
este libro. Me di cuenta de que si uno establece los conceptos en el orden
correcto y los enseña por medio de la experimentación concreta, es posible llegar muy, pero muy lejos. El concepto de “más grande que...” se
estableció por medio de la experimentación concreta; nos fijamos en cada
uno de sus aspectos, hasta los que parecían más sencillos. Insistimos en
frases explícitas para verbalizar incluso los principios más obvios. Por
medio de estas frases logramos llegar a un punto que, al principio de la
clase, no pensé sería posible.
“Pregúntame algo más fácil”
Siendo un padre joven, solía hacer preguntas matemáticas a mis hijos.
Ahora lo hago menos (hacer preguntas no es el patrón natural de la relación padre-hijo). Pero un día le hice una pregunta a mi hija menor, y
ella me enseñó algo valioso: me dijo “pregúntame algo más fácil”. No me
respondió eso porque estaba tratando de evadir la pregunta, sino porque
me estaba pidiendo que le concediera una ayuda al principio. Por lo general, si la pregunta es difícil significa que nos hemos saltado una etapa.
Siempre utilizo esta oración en mi clase. Cuando los estudiantes encuentran que un problema es demasiado difícil les cuento la historia de
Sección 1: Los elementos
43
mi hija y los animo a seguir su ejemplo: siempre que no puedan resolver
un problema complejo deberían pedir uno más sencillo. Mi objetivo es
que tomen conciencia de la posibilidad de que se estén saltando una etapa en el proceso de aprendizaje. Esto no sólo evita que surja la frustración, además los vuelve conscientes de sus procesos mentales, lo que en
sí mismo ya es un gran logro.
Paso a paso
Una vez me tocó la oportunidad de observar una clase en un curso
pequeño conformado por estudiantes con dificultades de aprendizaje. A algunos de ellos les costaba calcular sumas tales como 8 + 6. Estaban aprendiendo acerca de la conversión entre horas y minutos. La
profesora les hizo la siguiente pregunta: se realizaron 3 reuniones de
50 minutos cada una. ¿Cuánto tiempo tomaron todas las reuniones, en
términos de horas y minutos? Yo sabía muy bien lo que pasaría si nadie
guiaba la conversión: uno o dos de lo estudiantes sabrían la respuesta,
pero el resto se quedaría atrás. Por lo que le pedí permiso a la profesora
para participar. Dije a los estudiantes que, en las matemáticas, uno tiene que ir lentamente, y luego les conté la historia de mi hija (que tenía
una edad similar a ellos) cuando me pidió “que le hiciera una pregunta
más sencilla”. Indiqué que les iba a hacer preguntas paso a paso; también prometí que cada pregunta sería sencilla. A continuación pregunté
a una niña, que se había negado de antemano a contestar preguntas,
cuántas horas eran 60 minutos. Supo responderme sin problemas: una
hora. Luego le pedí que me dijera cuántas horas y minutos hay en 61
minutos. Esta pregunta tampoco fue difícil. Luego le pregunté lo mismo con 62 minutos, y luego con 63, sin saltarme ninguna etapa. Aunque
fue un proceso lento, los niños fueron capaces de seguirme y al final todos sintieron que lo habían logrado. Cuando llegamos a los 90 minutos
me atreví a hacer un salto, y les pregunté qué pasaba con 100 minutos
y después con 110. Entonces, nuevamente empezamos paso a paso: 111,
112, hasta que llegamos a 119 minutos, que equivale a una hora y 59
minutos. Luego resolvimos el caso de 120 minutos, que ellos dijeron
que equivalía a 1 hora y 60 minutos, tal como me lo esperaba. Pero, ¿qué
son 60 minutos? Cuando les pregunté esto, dieron con la respuesta correcta: 120 minutos son dos horas. El paso desde este punto al número
que aparecía en la pregunta original, 150 minutos, fue fácil, y todos los
estudiantes sabían la respuesta. Todos pueden avanzar un paso más
adelante, siempre que sean pasos pequeños. Sólo hay que saber cómo
dividir el problema en pasos y no desesperarse por avanzar. A la larga,
avanzar a pasos pequeños no es malgastar tiempo; es ahorrarlo.
44 Aritmética para padres y madres
Dividir para reinar
Un error, no menos común que saltarse etapas, es enseñar dos ideas (o
más) al mismo tiempo. Las ideas se deben enseñar por separado, aun
si no dependen la una de la otra, y aun cuando el orden en el que se
enseñen no sea de importancia. Es importante enseñar cada etapa por
separado. Dividir para reinar o, en otras palabras, “reparte los principios
en varios componentes”, es una de las reglas principales que guían una
buena enseñanza.
En muchos casos, separar el problema en etapas es todo lo que se necesita: el niño hará el resto por su propia cuenta. Por ejemplo, cuando un
niño encuentra que es difícil calcular 2 x 70, a veces basta con preguntarle cuánto es 2 x 7 y él completará la información que falta por su propia
cuenta. Para que una persona pueda subir una escalera por su propia
cuenta sólo basta con poner un escalón intermedio. Esto me recuerda a lo
que una vez le escuché decir a un profesor que tuve: “una demostración
matemática es una combinación poco común de argumentos comunes”.
La parte difícil es separar el problema en etapas, pero cada etapa no es
realmente difícil en sí misma.
Sección 1: Los elementos
45
Los números naturales
Dios hizo los números naturales;
lo demás es invención del hombre.
Leopold Kronecker, matemático
¿Por qué se inventaron los números?
A mi hija de 9 años le gusta entregar tarjetas de cumpleaños con las siguientes palabras: “Con mucho y mucho y mucho... cariño”, hasta que
llena la mitad de la página con la palabra “mucho”.
Es posible que hace mil años, antes de que los números fueran inventados, este método haya sido utilizado como una forma de contar. En vez
de decir “3 piedras”, el hombre de las cavernas quizás decía: “piedra,
piedra, piedra”.
Ahora se nos vuelve más evidente por qué se inventaron los números:
¡para economizar! En vez de llenar la mitad de la página, mi hija podría
haber escrito “cientos de mucho cariño”.
Aunque debo admitir que no surten el mismo efecto.
En una de mis clases que impartí a un curso de tercer año quería que
los niños entendieran lo económico que resulta utilizar números. Así que
les conté una historia. “La historia que les voy a contar ahora”, les advertí, “pasó antes de que una cosa fuera inventada. ¿Pueden adivinar a qué
me refiero?”.
Un cavernícola regresó a su caverna después de cazar durante todo el día y le
dijo a su esposa: “Traje un conejo, un conejo, un conejo y un conejo”. Su esposa
le contestó: “Gracias, gracias y gracias”.
Los niños adivinaron sin problemas: la historia ocurrió antes de la
invención de los números. En nuestros tiempos diríamos: “4 conejos” o
“3 gracias” (o, como de costumbre, muchas gracias).
No hay problema si decimos “conejo, conejo, conejo y conejo” cuando
sólo hay 4 conejos. Pero imaginemos lo que pasaría si el cavernícola caza
100 conejos. Los números nos ahorran mucho tiempo, pues utilizan las
tres formas de economizar de las matemáticas: la representación, la generalización (el número 4 se utiliza para contar conejos, lápices o autos) y el
orden; es decir, conocer cuántos elementos existen de cada tipo nos brinda
información esencial acerca del mundo y crea un orden particular.
Los números 1, 2, 3,... nacieron del hecho de que el mismo tipo de unidad se puede utilizar muchas veces. Dado que su invención fue una ocurrencia natural, se les bautizó como “números naturales”. Todos los otros
tipos de números fueron inventados en etapas posteriores y, de hecho,
46 Aritmética para padres y madres
son menos naturales porque se alejan más de la vida real: las fracciones,
los números negativos, los números reales, los números complejos y así
la lista sigue y sigue.
En este libro, cuando aparece la palabra “número” por sí sola, se refiere a números naturales.
¿Por qué los números cumplen una función tan importante
en las matemáticas?
Pregunten a cualquiera qué son las matemáticas, y su respuesta probablemente incluirá la palabra “números”: las matemáticas tienen que
ver con los números. Los matemáticos profesionales saben que esto no es
completamente preciso. Algunos campos de las matemáticas, tales como
la geometría, no se relacionan directamente con los números. Sin embargo, hay mucho de verdad en la visión popular: los números sí cumplen
una función especial en las matemáticas. Aunque sea de forma indirecta, los números aparecen en casi cualquier campo matemático. ¿Por qué
ocurre esto?
Las matemáticas, como ya lo mencionamos, abstraen los procesos elementales del pensamiento. Los números cumplen una función central
porque son el resultado de la abstracción del más elemental de los procesos: clasificar el mundo de acuerdo con los diferentes objetos. Una persona identifica una parte del mundo, la separa del resto, la define como
una unidad única, y le asigna un nombre: “manzana”, “silla” o “familia”.
Es así como se crearon las palabras y nació el número “1”: “una manzana”, “una silla”, “una familia”. Los números naturales surgieron dada la
repetición de una unidad del mismo tipo: “2 manzanas, 3 manzanas...”.
Números con una denominación y números puros
“Mi plan era tener un marido y siete hijos,
pero al final salió al revés”.
Lana Turner, estrella de cine.
Los números son importantes, nos recuerda Lana Turner. Pero la denominación se encuentra antes que todo. En otras, es importante saber lo
que el número cuenta.
El concepto de número comenzó con números que tienen denominaciones o, en otras palabras, con el acto de contar objetos. Los números abstractos vinieron mucho después, debido a que las propiedades
importantes de los números, tales como las operaciones aritméticas, no
dependen de la denominación: 2 + 3 = 5 es verdad tanto para manzanas
Sección 1: Los elementos
47
como para sillas. Por ende, los seres humanos tomaron la idea abstracta
de 4 manzanas y 4 sillas e inventaron un número “puro”, es decir, un
número sin denominación: 4. Los números puros se pueden utilizar para
formular proposiciones que son verdaderas sin importar el objeto.
A partir de los ejemplos concretos se puede realizar una abstracción
y, por ende, los números con denominaciones se deben enseñar antes
que los números puros. En otras palabras, el número se debe enseñar
contando objetos reales. Un niño de primer año debería contar tantas
veces como sea posible. Esta es la única manera de establecer el concepto
de número. Una sala de un curso de primer año debería estar completamente llena de botones, cuentas, bombillas, etc. Cuando contamos, la
denominación siempre se debe mencionar. La respuesta a la pregunta:
“¿cuántos lápices tenemos aquí?” no es simplemente “4”, sino “4 lápices”.
La primera clase sobre denominaciones
A continuación propongo una primera clase sobre denominaciones. Es
importante advertir al curso que van a tener que seguir instrucciones que
parecerán extrañas. Una vez que los alumnos están prestando atención,
diga a uno de ellos: “Dame dos”. El debate que sigue les enseñará a los
niños que cuando uno dice “dos” tiene que decir también de qué cosa.
Los conjuntos
La primera operación aritmética no es ni una suma ni una resta, sino
aquello de donde proviene el número: la definición de unidad. En otras
palabras, es la separación de un objeto del resto del mundo, la asignación
de un nombre y la identificación del mismo como una “unidad” que se
puede repetir muchas veces.
De hecho, la definición de una unidad es una operación más simple que la invención de los números. Sirve además para establecer otros
conceptos matemáticos. Específicamente, constituye la base de uno de
los conceptos matemáticos más importantes después del número: el concepto de conjunto. Este concepto se origina gracias al descubrimiento de
que unos cuantos elementos se podían agrupar para formar una unidad,
llamada un “conjunto”. Muchas personas juntas forman un conjunto llamado “familia”, al igual que 5 jugadores forman un conjunto de fútbol
(o un equipo).
La operación es más notoria en el sistema decimal, el cual se utiliza
para organizar números. Diez unidades se pueden agrupar para conformar una nueva unidad llamada una “decena”. Diez decenas se pueden
agrupar para crear otra unidad: una “centena”.
48 Aritmética para padres y madres
El orden
Los números se utilizan no sólo para contar sino también para ordenar
objetos: “primero, segundo, tercero,...”. Los números se pueden comparar
y ordenar de acuerdo con esta comparación. Cuando un número a es más
pequeño que un número b, entonces podemos escribir: a < b. Por ejemplo,
3 < 5. A algunos niños les resulta difícil recordar la dirección en que debe
ir el signo, y la mayoría de los libros ofrece una ayuda de memoria: el
lado abierto y más amplio del signo “<” está de frente al número mayor.
El signo “<” se utiliza sólo para los números puros: no utilizamos la notación “3 manzanas < 5 manzanas”. Por ende, en primero básico, cuando los
números se utilizan principalmente con denominación, es mejor utilizar
los términos “mayor” y “menor”, o los términos oficiales “mayor que” y
“menor que”, y dejar la notación “<” para cursos de segundo año.
Existe una herramienta básica para visualizar el orden entre números. Se llama recta numérica. Se trata de una línea recta con los números colocados a intervalos de igual longitud. Nuevamente, esto se utiliza
para ordenar números puros y, por ende, es mejor dejarlo para cursos
de segundo año. Los niños en cursos de primer año todavía están en la
etapa de contar, y los espacios regulares, al igual que la asociación con
la recta numérica y la identificación de los números con un cierto punto
son conceptos demasiado abstractos para ellos.
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Significado y cálculo
La aritmética en busca del sentido
La mayoría de las personas asocia la “aritmética” a las operaciones aritméticas, y las operaciones aritméticas a los cálculos.
La primera asociación es definitivamente correcta. La aritmética, de
hecho, se centra principalmente en las operaciones aritméticas. Por el
contrario, la segunda asociación dista mucho de ser verdad. Las operaciones y sus cálculos no son lo mismo. Los cálculos son sólo la segunda
etapa. Lo primero que se debe hacer es comprender el significado de las
operaciones.
El significado de una operación radica en su vínculo con la realidad:
cuáles situaciones requieren sumar números, cuáles requieren restar números y cuáles requieren multiplicar o dividir. Por ejemplo, el significado de la suma es unir: 3 + 4 se logra uniendo cuatro objetos a tres objetos.
Sección 1: Los elementos
49
El significado de la resta (entre otros) es sacar: 7 – 3 corresponde a una
situación donde se sacan 3 de 7 objetos.
Puede parecer sencillo, pero es en este punto donde yace la complejidad de la aritmética, principalmente porque las leyes que guían el uso de
las operaciones matemáticas derivan de su significado.
Actuación, dibujos e historias aritméticas
Al igual que con cualquier concepto abstracto, el camino hacia el significado de las operaciones comienza en lo concreto. Para entender la suma,
el niño debe unir por experiencia propia conjuntos de objetos una y otra
vez. Para entender la división, debe dividir un grupo de objetos en partes
iguales.
Existen tres maneras de experimentar las operaciones aritméticas:
actuar, dibujar y contar historias. Una forma particularmente eficaz de
presentar por primera vez una operación aritmética es actuar. Al principio, el profesor es el director. Se invita a dos niños a pasar al frente de la
clase; a uno se le entregan 3 bombillas y al otro 2. ¿Cuántas tienen entre
los dos? Una vez que los niños responden “5 bombillas”, se señala el
conjunto de 3 bombillas y el de 2, y luego se dice en voz alta: “3 más 2 es
igual a 5”. Luego se pide a los alumnos que lo escriban. No obstante, se
debe recordar que a la aritmética le gusta ser breve. En vez de palabras,
utilizamos signos. Entonces, se debe escribir el signo más en el pizarrón:
2 + 3 = 5. Luego se hace una pequeña variación en el ejemplo: un niño tiene 4 lápices en su mano y otro tiene 3. El primer niño le da todos sus lápices al segundo: ¿Cuántos lápices tiene el segundo niño ahora? ¿Cuál es
la expresión matemática correcta? ¿Cuántos lápices tiene el primer niño
ahora? El mismo acto se puede repetir, sólo que esta vez el segundo niño
le da lápices al primero.
En la próxima etapa los niños se convierten en los directores. Ellos
deciden el acto aritmético, actúan y escriben expresiones matemáticas
en el pizarrón.
Ahora vienen los dibujos aritméticos. El profesor les puede mostrar
cómo dibujar 3 flores al lado de 2 flores. ¿Cuántas flores se pueden ver
juntas? A continuación los niños tienen que crear su propio dibujo. Primero en el pizarrón y luego en sus cuadernos o en sus pizarras personales. En los ejercicios de sumas los dibujos son sencillos; pero se vuelven
más complejos con las restas, la multiplicación y la división. A propósito,
he aquí un “consejo” para dibujar restas: por ejemplo, cuando se explica
5 - 2 dibujando 5 globos y eliminando 2, no se deben borrar los 2 globos
eliminados, es mejor tacharlos; de esta manera, todavía es posible apreciar aquello que fue restado.
50 Aritmética para padres y madres
La última etapa se trata de contar historias aritméticas utilizando palabras. “Pedro tiene 3 flores, Ana tiene 2 flores. ¿Cuántas flores tienen
entre los dos?”. Esto en sí ya es abstracto, porque los números no están
representados por objetos o dibujos sino por sus nombres.
Inventar sus propias historias aritméticas
Lo que escucho, lo olvido.
Lo que veo, lo recuerdo.
Lo que hago, lo comprendo.
Confucio
No se puede aprender a conducir con sólo mirar a otros hacerlo, como
tampoco se puede aprender a bailar con sólo presenciar el ballet “El
lago de los cisnes”. De la misma manera, no es posible comprender
completamente el significado de las operaciones aritméticas sólo con
oír historias que cuentan otros. Se debe ser capaz de inventarlas uno
mismo.
Si uno demuestra ser capaz de inventar una nueva historia, significa
que se ha entendido el concepto. Por ejemplo, cuente una historia que
se ajuste a 3 + 4 o a 4 - 3 (“Para su tarea, Ana debe resolver 4 ejercicios
aritméticos. Resolvió 3. ¿Cuántos le quedan?”), o que se ajuste a 3 x 4 o
a 12 ÷ 3.
La invención de historias aritméticas tiene otra ventaja adicional:
permite enseñar la reversibilidad de los procesos. Primero, hicimos la
transición desde una historia aritmética (Ana debe resolver 4 ejercicios
aritméticos, resolvió 3, ¿cuántos le quedan por resolver?) hacia un ejercicio aritmético (4 - 3). Ahora sabemos que lo opuesto también es posible:
Si tenemos el ejercicio 4 - 3, también podemos inventar una historia que
se ajuste. De hecho, podemos inventar más de una.
Calcular significa encontrar la representación decimal del
resultado
¿Qué significa “calcular”? Obviamente, encontrar el resultado de un ejercicio. Pero ésta es sólo una parte de la respuesta, la que ni siquiera llega a
explicar el punto principal de esta noción. Durante los últimos milenios
la mayor parte de la humanidad ha representado los números utilizando
un sistema decimal. Por lo tanto, la esencia detrás de la noción de cálculo
está en resolver la representación decimal del resultado.
Antes de que se inventara el sistema decimal los cálculos eran sencillos. Por ejemplo, el número 4 se representaba con cuatro rayas: ||||. El
Sección 1: Los elementos
51
cálculo de 8 + 4 significaba hacer 8 rayas y añadir 4 más al lado. El resultado también se escribía con las mismas rayas, de esta manera:
|||||||| + |||| = ||||||||||||
¿Se puede decir que este cálculo es sofisticado? Para nada. No era
necesario que los cavernícolas enviaran a sus hijos al colegio para que
aprendieran esto. Lo único que se debe saber en este cálculo es que el
significado de sumar es “juntar”: el resultado se logra al juntar los dos
conjuntos de rayas. No requiere ningún cálculo.
En la actualidad, el mismo cálculo se escribe de manera diferente: 8 +
4 = 12. ¿Se puede decir que es más inteligente? ¿Tiene sentido que se enseñe en el colegio? Esta vez la respuesta es un “sí” rotundo. Este ejercicio
requiere un cálculo verdadero: la agrupación de una decena. De las 12
rayas en el resultado, diez están agrupadas en una decena. Este cálculo
entrega información: el resultado incluye una decena y dos unidades. Es
decir, se ha informado acerca de la representación decimal del resultado.
Aquí, el cálculo está en descifrar la representación decimal del resultado a
partir de la representación decimal de los componentes del problema. Ésta es
una de las razones por la cual saber calcular es tan importante en la educación básica. Su propósito no es sólo tratar de descifrar los resultados
de un problema, sino también tratar de llegar a una comprensión más
exhaustiva del sistema decimal.
¿Cómo calculamos?
Lo que la mayoría de las personas recuerda de sus clases de matemáticas
son las maneras de realizar operaciones aritméticas. Éstas se asemejan a
recetas de cocina: son recetas paso a paso, una por una, que siguen un
orden determinado. Una receta establecida que dicta pasos en un orden
determinado se denomina “algoritmo”.
Los algoritmos que nos enseñaron en el colegio los hemos asimilado
tan bien que tendemos a olvidar que no son exclusivos. Es decir, existe
más de una manera de realizar cada operación aritmética. Los algoritmos que conocemos, aquellos que nos enseñaron en el colegio, se realizan con un lápiz y un papel en donde uno escribe los números ordenados de manera vertical, uno encima del otro. Estos algoritmos llegaron a
Europa durante el siglo X I I gracias a los árabes, y se fueron estableciendo
lentamente. El hecho de que estos algoritmos han permanecido intactos
por cientos de años es testigo de la sabiduría sobre la cual se sostienen.
52 Aritmética para padres y madres
Reseña histórica:
La palabra algoritmo viene del nombre de un matemático del siglo IX , Al
Khwarizmi, quien nació en la región de Khwarizm, ahora territorio de Uzbekistán, y vivió en Bagdad. Gracias a la traducción de uno de sus libros, los europeos
aprendieron el sistema decimal y los métodos para resolver operaciones con este
sistema. En esta traducción los cálculos de cualquier tipo originalmente llevaban
el nombre de “algorismo”; pero luego, al ser confundido con la palabra griega
“arithmus” (número), se comenzó a llamar “algoritmo”.
Los algoritmos de hoy en día se realizan con lápiz y papel. Pero no siempre
fue así. Entre el siglo X I I , cuando el sistema decimal llegó a Europa, y el siglo
X V I , existía una rivalidad entre los “algoritmistas”, aquellos que realizaban los
cálculos con lápiz y papel (como lo hacemos hoy) y los “abaquistas”, aquellos que
utilizaban ábacos. El sistema decimal pasó a ser la norma cuando los algoritmistas se transformaron en la mayoría predominante.
¿Por qué los ejercicios de suma y resta se anotan de manera
vertical?
Desde mi primer año de escolaridad he sabido que se ocupa el papel con
líneas para redactar y que se ocupa el papel cuadriculado para las matemáticas. Lo que no sabía en ese entonces era por qué. Esto se les debería
explicar a los alumnos, pues no es un secreto de Estado. Los cuadros hacen que sea más fácil anotar las unidades bajo las unidades, las decenas
bajo las decenas, y así sucesivamente. ¿Para qué? Para que podamos su-
Sección 1: Los elementos
53
mar o restar cifras del mismo tipo: unidades con unidades, decenas con
decenas. Se trata simplemente de un tema de “denominación común”.
Por ejemplo, veamos el siguiente ejercicio:
23
+ 64
87
Al anotarlo de manera vertical podemos entender con más facilidad
que las 3 unidades en 23 se deben sumar a las 4 unidades en 64, y que las
dos decenas en 23 se deben sumar a las 6 decenas en 64.
54 Aritmética para padres y madres
El sistema decimal
Diez dedos tengo.
Con ellos puedo construir cualquier cosa.
Rivka Davidit, Ten Fingers Have I
(Diez dedos tengo)
La organización y representación de los números
Cualquiera que utilice números grandes necesitará un buen sistema para
organizarlos y representarlos. El sistema que se utiliza actualmente es el sistema decimal. Sin duda, éste es uno de los inventos más ingeniosos y útiles
que haya ideado el hombre. Permite no sólo expresar números de manera
concisa, sino también hacer cálculos sencillos de manera eficaz. Nuestra generación, la generación de la informática, es la prueba viviente de su utilidad. En la actualidad se invierten sumas cuantiosas para que los investigadores descubran maneras de simplificar los cálculos. Si existiera un método
más eficiente para representar los números, probablemente ya se habría descubierto. Efectivamente, los principios de la representación numérica en los
computadores son similares a los principios del sistema decimal.
Dos principios: agrupación de decenas y notación posicional
El sistema decimal se basa en dos principios. Uno tiene que ver con la
organización de los números o, más precisamente, con los conjuntos de
objetos. El otro tiene que ver con la notación de los números. El primer
principio está relacionado con la recolección: la agrupación de diez elementos para formar una nueva unidad. Este proceso se repite: diez unidades se agrupan para formar una decena, diez decenas para formar una
centena, diez centenas para formar una unidad de mil, y así sucesivamente. El segundo principio se relaciona con la notación de los números
que se expresa por medio de un sistema denominado “notación posicional”. Esto significa que cada dígito posee un valor diferente dependiendo
de su posición en la cifra. El dígito que se encuentra más a la derecha
corresponde a las unidades, el segundo dígito de derecha a izquierda
corresponde a las decenas, el tercer dígito de derecha a izquierda corresponde a las centenas, y así continúa sucesivamente.
El sistema decimal se utiliza para organizar y representar números.
Se basa en dos principios: la agrupación de decenas y la adscripción de
un valor a un dígito según su ubicación en la cifra. Mientras más a la
izquierda se encuentre el dígito, mayor será su valor.
El sistema decimal simplifica la anotación de cifras mayores y facilita
los cálculos que se hacen con ellas.
Sección 1: Los elementos
55
Los números no nacen organizados
Siendo adulto, cuando traté de aprender a jugar ping-pong mi entrenador no me alentó a seguir. Me dijo que ya estaba muy acostumbrado a los
movimientos incorrectos y que me sería difícil corregirlos. Usualmente,
en la aritmética este problema no ocurre, pues el conocimiento previo
suele ser útil. Sin embargo, hay un área en el conocimiento que adquiere
un niño en el jardín infantil que suele ser un problema: el sistema decimal. En el primer año de escolaridad los niños deben aprender todo
desde cero, de una manera diferente. La razón es que los niños ya saben
contar y el sistema decimal lo consideran como algo natural, como si
fuese parte del número. De hecho, ocurre lo mismo con los adultos. A la
mayoría de nosotros nos resulta difícil representar los números de una
manera diferente.
Probablemente, lo más importante que se debe saber acerca del sistema decimal es que los números no tienen una organización innata,
somos nosotros los que los organizamos. Si tenemos treinta y cuatro objetos, éstos no vienen naturalmente organizados en 3 decenas. Somos
nosotros los que los organizamos en 3 decenas y dejamos aparte las 4
unidades.
¿Por qué es importante saber esto? Porque un niño o niña que entiende que es él o ella misma quien discierne las unidades y decenas, bajo su
propio juicio, ya no pensará que los cálculos con el sistema decimal son
un truco de magia. Si aparecen diez unidades en un cálculo, sabe que
las puede agrupar para formar una decena. Aun más importante, si sabe
que es él mismo o ella misma quien las agrupó, también entenderá que
puede desagruparlas de ser necesario. La necesidad de desagrupar las
decenas surge cuando se debe restar.
Ésta también es una de las razones por la cual los niños deben tener
la experiencia de agrupar decenas sin la ayuda de instrumentos. Deben
agrupar objetos en grupos de 10: pídales que pongan 10 cuentas en una
cuerda, que dibujen círculos pequeños en una página, y pídales que los
agrupen en decenas y dibujen una línea alrededor de cada grupo. Por
56 Aritmética para padres y madres
ejemplo, si dibujaron una línea alrededor de 4 decenas y 5 círculos quedaron fuera de la línea, deberían entender que eso significa que hay 45
círculos.
Los alumnos de segundo año deberían aprender a agrupar centenas.
Diez grupos de decenas se agrupan para formar un elemento denominado “una centena”. No hay que temer usar ejemplos concretos de agrupaciones, incluso cuando se trata de unidades de mil. Una vez que un
niño aprende esto y lo experimenta, comienza a integrar el sentido de la
naturaleza fundamental del sistema decimal.
¿Por dónde se comienza?
Cuando uno enseña, siempre se debería empezar por lo que es conocido
y familiar. En este caso, lo familiar es contar, pues los niños ya lo saben
hacer. Seguramente saben vagamente que al cruzar la frontera en el número 10 algún tipo de operación se debe realizar: apartar una decena y
comenzar una nueva.
Ahora, este conocimiento se debe formular de manera explícita. Se
debe aclarar el proceso de agrupar decenas, que aún es vago. Una manera de hacerlo es ir contando objetos con los niños. Después de contar
diez objetos, hay que atarlos o separarlos en montones y seguir contando: once, doce, trece...
Reseña histórica:
¿Quién inventó el sistema decimal?
El sistema que conocemos hoy en día se inventó en India. Pero en realidad
data de la Babilonia antigua: los babilonios ya habían inventado ambos principios (la agrupación y la notación posicional) hace unos 3.700 años.
Sin embargo, en el sistema que utilizaban en esa época no se agrupaban unidades en decenas. Se agrupaban unidades por grupos de a 60. Es decir, se agrupaban 60 unidades para formar un elemento de 60, y se agrupaban 60 elementos
de 60 para formar un nuevo elemento de 3.600 unidades (de acuerdo con nuestra
notación ¡claramente!). Este método de escritura fue adoptado por los griegos,
quienes lo utilizaban para los casos de cálculos complejos, como los que se usan
en astronomía.
Como ya lo mencionamos, el sistema decimal se comenzó a utilizar en India
durante los siglos V I y V I I . Los árabes adoptaron el sistema en el siglo V I I I , y lo
trajeron a Europa durante el siglo X I I .
Los árabes también adoptaron la grafía de los dígitos utilizada en India. Pero
ésta se instauró de manera diferente alrededor del mundo. La cultura occidental
utiliza los dígitos que se crearon en la España árabe. Pero los árabes mismos
utilizan los dígitos que se crearon en el Medio Oriente.
Sección 1: Los elementos
57
La historia del rey Krishna
Que el Dios de la Historia me perdone, pero cuando yo enseño el sistema decimal en cursos de segundo o tercer año cuento la historia de un
rey, llamado Krishna (en honor a los indios). Este rey apreciaba el oro
más que nada en el mundo y tenía una bodega llena de monedas de oro.
Cada mañana iba a la bodega para contar cuántas monedas tenía. Pero
como eran tantas, le costaba estimar cuántas tenía. Por lo tanto, pidió a
su administrador que juntara las monedas en bolsas que contuvieran 10
monedas cada una. Pronto se volvió difícil contar la bolsas pues había
muchas. Entonces pidió al administrador que pusiera las bolsas en sacos
que contuvieran 10 bolsas cada uno. Cuando, nuevamente, lo sacos eran
muy numerosos y perdían la cuenta, comenzaron a utilizar baúles de
madera en donde cada uno contenía diez sacos.
A Krishna también le gustaba mostrar su riqueza. Cada mañana marcaba el número de monedas de oro que poseía sobre la entrada del palacio. El primer día, cuando sólo comenzaba su colección, tenía 7 monedas.
Entonces escribió sobre la entrada:
7¤
El segundo día recibió 3 monedas más. ¿Qué hizo? Juntó todas sus
monedas en una bolsa de diez y escribió sobre la entrada:
1^
El tercer día recibió 5 monedas más. Ahora, tenía una bolsa y cinco
monedas adicionales. Escribió:
1^ 5¤
¿Por qué escribió el número de bolsas a la izquierda y el número de
monedas a la derecha? Porque la aritmética, como el español, se escribe
de izquierda a derecha, y la bolsa, que contiene más monedas, es más
importante.
La mañana siguiente tenía 8 monedas más. Juntó 5 de ellas con las 5
monedas sueltas que ya tenía en otra bolsa. Ahora tenía dos bolsas y tres
monedas sueltas. Sobre la entrada escribió:
2^ 3¤
Siguió haciendo lo mismo cada día hasta que un día su consultor le
preguntó: ¿Por qué se toma la molestia de dibujar monedas y bolsas? Ya
todos sabemos que el dígito a la derecha corresponde a las monedas y el
dígito a la izquierda corresponde a las bolsas. “¡Ahora puede escribir solamente los dígitos!”. Entonces, en vez de escribir 2^ 3¤, el rey escribió:
2 3
Así es como se inventó el sistema decimal (al menos, según lo cuenta
la historia).
58 Aritmética para padres y madres
El dígito 0
El cuarto día, como ya lo mencionamos, Krishna tenía 23 monedas. El
quinto día tenía 7 más. Agrupó las 3 monedas sueltas con 7 monedas
más en una decena, y así juntó 3 bolsas; es decir, 3 decenas. Orgulloso,
escribió sobre la entrada del palacio:
3
Recordó que no era necesario escribir el dibujo para aclarar si se trataba de 3 bolsas o 3 monedas porque, ¡ya todos lo entendían! Pero cuando
miró por segunda vez lo que acababa de escribir, se dio cuenta de algo
espantoso: ¿cómo va a saber la gente que no se trata de “3 monedas”?
Debe aclarar, de alguna manera, que ¡se trata de 3 bolsas (es decir, 3 decenas)! Algo tiene que ponerse en el lugar de las monedas, ¡para que sea
obvio que el tres indica bolsas y no monedas!
Entonces el rey Krishna inventó (esta vez, que el Dios de la Aritmética
me perdone por tomarme tales libertades literarias) el dígito 0. Escribió
un 0 a la derecha del 3 para indicar que no había monedas sueltas pero
que sí se seguiría indicando el número de la cantidad de monedas sueltas. Entonces, escribió:
30
tal como escribimos el número hoy.
El número 0 es como la mochila que coloca un niño en su silla para
mostrar que la silla ya está ocupada. En el número 201 significa: “no hay
decenas, pero sí sigue habiendo un lugar para las decenas.” De esta manera sabemos que el 2 indica centenas. Si se hubiese omitido el 0, el número hubiese sido 21, en donde el 2 indica dos decenas.
Reseña histórica:
La verdad histórica es que el dígito 0, al igual que los principios de agrupación
y notación posicional, fue inventado por los babilonios. Sin embargo, no lo utilizaban al final de un número, sólo lo utilizaban en el medio. La diferencia entre
el 3 y 30 se deducía del contexto.
Otra ventaja del sistema decimal: la facilidad para la estimación
La notación decimal nos permite apreciar un número tan pronto lo vemos. Sólo una breve mirada al número 34.522 nos dice que contiene 5
dígitos, y que por lo tanto se encuentra en las decenas de mil. El primer
dígito es 3, por lo tanto, se aproxima a 30.000. Parecido a la población
que tiene una ciudad pequeña. Sabemos que los dígitos que siguen son
menos importantes que el primero.
Los comerciantes se aprovechan de nuestras costumbres de estimación: venden un juguete a $29.999 sabiendo que pondremos más atención
Sección 1: Los elementos
59
al primer dígito y no nos preocuparemos tanto de los que siguen. También entra en juego un aspecto psicológico: el peso que falta es supuestamente un descuento, y como todos sabemos, los descuentos nos atraen a
pesar de su valor real.
60 Aritmética para padres y madres
¿Qué es lo que se aprende?
¿Qué es lo que se aprende en la educación básica?
¿Qué conocimientos matemáticos deberían aprender los niños en el colegio? Ésta fue una de las primeras preguntas que me hice cuando comencé
a enseñar en la educación básica. No sabía lo sencilla que era la respuesta: una comprensión exhaustiva de la esencia de los números y las cuatro
operaciones aritméticas.
No obstante, esta sencillez es engañosa. Acabamos de ver que detrás
de la inocente frase “las cuatro operaciones aritméticas” se encuentran
dos principios básicos que no son para nada sencillos: el significado de
las operaciones y la manera de realizarlas. El significado, como lo hemos
mencionado, es el vínculo con la realidad. Realizar una operación, por
el otro lado, significa descifrar y encontrar la representación decimal del
resultado. Por lo tanto, para dominarlo, se requiere un conocimiento exhaustivo del sistema decimal.
Entonces, desde ahora en adelante se debe decir: en la educación básica aprendemos el significado de las operaciones y las reglas que derivan de
éste, y el sistema decimal.
Las estructuras fundamentales del razonamiento
Los niños no entran al colegio como si fuesen una página en blanco. Ya
saben, o deberían saber, muchas cosas. Como en la vida, los principios
importantes se aprenden a una edad temprana. Asimismo, los principios
básicos son los que suelen ser lo más difícil de discernir. No nos damos
cuenta de la mayoría de los mecanismos básicos del razonamiento. Por
ejemplo, todos sabemos que si subimos 4 escalones, tendremos que bajar
4 para volver al punto de partida. Sin embargo, este conocimiento no es
innato. Su adquisición es un logro significativo.
La siguiente lista contiene diferentes estructuras de razonamiento
que un niño o niña que entra a su primer año de escolaridad puede percibir de alguna manera. Uno debería recordar que la comprensión de
estos principios por parte de los niños suele ser vaga e intuitiva, por lo
que se deben volver a enseñar de manera explícita.
Izquierda - Derecha
Arriba - Abajo
Grande - Pequeño
Antes - Después, en el espacio
Antes - Después, en el tiempo
Sección 1: Los elementos
61
Igualdad (de formas o números)
Simetría
Contar objetos
Enumerar
(es decir, la habilidad de repetir los números en el orden que corresponde)
Invertir el razonamiento
(Si eres más grande que yo, entonces yo soy más chico que tú. Si subí 3
escalones, para volver debo bajar 3 escalones.)
Agrupar conjuntos
Sorprendentemente, la mayoría de los conceptos en esta lista tienen
que ver con la idea de relación. Incluso “izquierda-derecha” es una relación: un objeto puede estar a la derecha o a la izquierda de otro.
Consejo para los padres y las madres
Un recurso importante para un niño o niña que entra al colegio es el conocimiento de izquierda-derecha. Éste es un preámbulo del concepto de
orden, y es esencial en todos los campos de las matemáticas. Usualmente,
los números se escriben de izquierda a derecha, y ésta es la base para
representar números que utilizan el sistema decimal.
Por lo general, los conceptos principales que debería conocer un niño
o niña cuando se está preparando para entrar a su primer año de escolaridad son los conceptos de relación: “antes-después”, “arriba-abajo”,
“más-menos”. El niño o niña se encontrará con estos conceptos en cualquier juego en el que participe, y todo lo que debe hacer el padre o la
madre es centrar la atención en ellos. Al tirar un dado pregunte: ¿Quién
obtuvo más? ¿Cuánto más?
Un resumen del currículo
El siguiente currículo resumido puede ayudarle a entender e identificar
en qué nivel se encuentra su hijo o hija, hacia dónde se dirige, y qué se
puede esperar como resultado. Es importante recordar que los diferentes
textos escolares que existen tratan la materia de diferentes maneras y
que los diferentes establecimientos de educación enseñan el currículo de
diferentes formas. Por lo tanto, el currículo que se presenta aquí es un
punto medio entre los diferentes tipos. En este currículo se considera a
los cursos desde primero a sexto año, que corresponde justamente a los
cursos que se tratan en este libro. También agregué algunos puntos, de
mi propia experiencia, que abogan que la exposición temprana a los con-
62 Aritmética para padres y madres
ceptos siempre será beneficiosa. Permite que los niños tengan presente
e incuben los conceptos durante el periodo desde la primera vez que lo
vieron hasta que lo estudian en el colegio de forma concreta. Por ejemplo, los alumnos en primer año deberían conocer, a un nivel básico, los
conceptos de fracción y su relación con la división. La fracción decimal
puede enseñarse en segundo y tercer año, con ejercicios relacionados con
el dinero.
La enseñanza en el primer año comienza con la orientación espacial:
izquierda, derecha, arriba y abajo. Luego los niños aprenden el concepto
de contar números, la relación grande - pequeño, y el orden de los números. Después se les enseña el significado de las operaciones aritméticas
y el sistema decimal. En cuanto al significado de las operaciones, en el
currículo israelí se incluye el significado de la suma, la resta y la multiplicación (aunque algunas veces no se tiene el tiempo para explicar las
multiplicaciones). En los currículos un poco más ambiciosos se incluye la
división, como en el caso de Israel en 1960. Cuando se aprende el sistema
decimal, el niño o niña debería experimentar formando grupos de a diez
(decenas), haciéndoles entender que se pueden formar varios grupos de
a diez: 30, por ejemplo, son 3 decenas. Un alumno en primer año es capaz de entender el significado de la notación decimal y la función de
los dígitos en una cifra: 23 significa 2 decenas y 3 unidades. En cuanto
al cálculo de las operaciones, los niños deberían saber sumar, restar y
multiplicar del 1 al 20 (es decir, el resultado no debería ser mayor que
20). En los currículos ambiciosos se llega hasta la suma y resta entre 1 y
100. Si además se enseña la división, no es necesario quedarse por mucho
tiempo en su cálculo. Las fracciones, como un medio, un cuarto e incluso
un tercio, deberían enseñarse a un nivel básico, a modo de introducción.
Se deberían estudiar las mediciones básicas de tiempo y distancia. Es importante conocer las mediciones básicas de tiempo no sólo porque tiene
un valor práctico, sino porque además están relacionadas con las fracciones, y porque la relación de horas con minutos es similar a la relación de
decenas con unidades en el sistema decimal.
En el segundo año los niños desarrollan una comprensión más exhaustiva del sistema decimal. Se les enseña los números del 1 al 100 y
a calcular las sumas y restas dentro de este intervalo. En los currículos
ambiciosos se enseña incluso hasta el 1.000. Respecto a la multiplicación, en mi experiencia, no es difícil enseñar toda la tabla de multiplicación cuando ya se está terminando el año. Algunos programas ponen
el límite en los múltiplos del 6. A éstos yo añadiría una presentación de
los dos significados de la división (ver capítulos sobre la división) y el
concepto de resto de una división; además, incluiría una introducción
Sección 1: Los elementos
63
a las fracciones y su relación con las divisiones. En esta etapa es importante presentar las fracciones de un grupo: ¿Qué es 1/2 de una clase de
30 estudiantes? Otro tema que se debería enseñar a modo introductorio
en este nivel es el de las medidas (gramos y kilogramos, centímetros y
metros).
En el tercer año se enseña principalmente el sistema decimal. Los niños aprenden los métodos para sumar y restar dentro del intervalo del
1 al 1.000 (como mínimo), y a multiplicar. Además, se enseña con más
detalle el concepto de fracción. Asimismo, se debe enseñar el método
para dividir. Se aprende con más detalle la medición de tiempo, y los
estudiantes deberían saber cómo convertir minutos en horas y vice versa, incluyendo fracciones de horas. Se enseña el concepto de volumen de
manera concreta, examinando la capacidad de varios contenedores.
En el cuarto año los niños aprenden a sumar, restar y a multiplicar
números grandes (por ejemplo, hasta un millón), lo que requiere de una
comprensión abstracta de los principios que han aprendido hasta ese
momento, ya que con los números grandes es más difícil confiar en la
intuición. Se debería enseñar a dividir. Se enseña en detalle el concepto
de fracción. En cuanto a las mediciones, se llega al concepto abstracto de
área: lo que es un centímetro cuadrado y un metro cuadrado.
En el quinto año se estudian principalmente las fracciones simples,
incluyendo las operaciones en las que están involucradas, y las razones.
Se enseñan además los factores y potencias, ambos conceptos necesarios
para encontrar el común denominador. Otro tema relacionado con las
fracciones son los números mixtos. En algunos currículos se enseñan las
fracciones decimales.
En el sexto año los niños estudian las fracciones decimales y aprenden a resolver ejercicios con ellas. Entre los temas adicionales se incluyen
los problemas de razones y porcentajes. También se pueden enseñar los
números negativos, dependiendo del tiempo disponible y de si se vio a
modo introductorio en años anteriores o no. (En este libro no se incluyen
los números negativos; pues en la mayoría de los casos no se enseñan.)
La función especial de la división
Si se analiza el currículo que acabamos de detallar, o cualquier otro
currículo en el mundo, se encontrará un hecho sorprendente: la división
se considera como algo especial. Se le dedica más tiempo de enseñanza
que a cualquier otra operación. El punto de encuentro ocurre a mediados
del cuarto año de escolaridad. Desde este punto hasta que se termina
el sexto año de estudio, se enseña a los niños el significado de la división, los problemas con las razones (que se expresan por la división) y las
64 Aritmética para padres y madres
fracciones, que son una herramienta eficaz y sistemática para enseñar la
división.
¿Por qué es tan especial la división? Porque las operaciones de suma
y resta son muy simples como para describir el mundo. Cuando las cosas
empiezan a ser complejas es necesario recurrir a la división y multiplicación. En gran medida, nuestro mundo funciona según los principios
de proporcionalidad. Por ejemplo, en las elecciones el número de representantes que obtiene cada partido es más o menos proporcional al número de votos que obtuvo. La proporcionalidad es el principio que guía
nuestra comprensión del entorno, y la proporción se expresa por medio
de la división.
Otra razón por la cual se dedica más tiempo a la división es porque
es más difícil que las otras operaciones. De las cuatro operaciones, la división es la que más significados tiene, la más difícil de resolver y la que
presenta los problemas más complejos.
Espiral
Pooh ya se estaba aburriendo de jugar en la
misma caja de arena. Sospechaba que la caja
los seguía, ya que sin importar la dirección
hacia la cual caminaban, siempre terminaban
llegando a la misma caja. A medida que
avanzaban por la neblina, y cada vez que se
encontraban de vuelta en la caja, el Conejo
decía triunfante: “¡Ya sé dónde estamos!” y
Pooh respondía decepcionado: “Yo también”.
A. A. Milne, The House on Pooh Corner
(La casa en la esquina de Pooh)
Tal como los personajes en La casa en la esquina de Pooh, cuando se estudia
aritmética se repite el mismo punto una y otra vez. Pero, a diferencia de
esta historia, nosotros nos hacemos más sabios con cada repetición, pues
somos capaces de ver el tema desde diferentes puntos de vista. Los docentes denominan este fenómeno “aprendizaje cíclico o en espiral”. Tal
como un espiral, pasamos sobre un punto una y otra vez; y tal como un
espiral, cada vez lo hacemos a un nivel más alto.
Por ejemplo, veamos el sistema decimal. Desde la percepción vaga de
agrupar decenas en el jardín infantil, los alumnos en primero año continúan aprendiendo la notación explícita del principio de agrupamiento.
El alumno sabe calcular 8 + 5, agrupando una decena en el resultado y
dejando las tres unidades que sobran. Más adelante el alumno puede
Sección 1: Los elementos
65
utilizar el ejercicio 8 + 5 = 13 para calcular 28 + 5, que tiene más componentes: desarmar 28 en 20 y 8, sumar el 8 y el 5 para obtener 13, y juntar
los componentes para llegar a 13 + 20. Un alumno en tercer o cuarto año
puede utilizar el mismo principio y generalizarlo para agrupar decenas
en centenas y centenas en unidades de mil. En sexto año se construye un
puente entre las fracciones y el sistema decimal, compuesto por fracciones decimales y porcentajes.
Sección 2
El camino a la abstracción
Principios fundamentales de la pedagogía
Si no eres capaz de explicar un concepto
a un niño de seis años,
significa que no lo entiendes completamente.
Albert Einstein
Sección 2: El camino a la abstracción
69
Enseñar abstracciones
El Camino Real a la abstracción
Durante un año sabático en Estados Unidos, me resbalé en el hielo y me
lesioné el hombro. Los doctores dudaban si es que era necesario operar
o no. Fui a la consulta de un especialista reconocido, quien concluyó que
sí debía operarme. Le pregunté quién haría la operación y, por supuesto,
respondió que él mismo sería el cirujano. En ese momento me acordé de
un consejo que sale en el libro de Jackson Brown, Life’s Little Instruction
Book (Pequeño libro de instrucciones para la vida): “Nunca le preguntes al
peluquero si necesitas un corte de pelo”. Decidí no someterme a ninguna
operación, lo que resultó ser la decisión correcta.
Después pensé: ¿qué habría pasado si Brown hubiese parafraseado
su consejo de manera abstracta, como “Nunca pidas consejos a una persona que tiene algún interés personal en el asunto”? Probablemente no
me habría acordado de ese consejo en el momento oportuno. No habría
estado lo suficientemente incrustado en mi mente como para recordarlo
y asociarlo con una situación real. El consejo de Brown es eficaz porque
se entrega por medio de un ejemplo. Por lo tanto, es más fácil asociar un
ejemplo específico de un principio con otro ejemplo específico que recordar el principio abstracto.
Si lo que se busca es explicar una abstracción, se debe recurrir a lo
concreto; específicamente, a un ejemplo. Éste es el Camino Real a la
comprensión. Nadie puede llegar a ser General sin antes haber sido soldado y haber superado todas las etapas camino a la cumbre. Lo mismo
es válido para las abstracciones: no es posible imponérselas a alguien.
Se deben fundar sobre bases concretas. Es posible que una persona le
transmita información a otra, pero las abstracciones se establecen y entienden de forma personal, y el profesor sólo puede guiar la comprensión entregando ejemplos específicos. Ninguna persona, niño o adulto,
es capaz de entender una abstracción sólo por leer las palabras. Si uno
logra entenderla, es porque uno ya tenía un ejemplo adecuado en la
mente.
Lo mismo ocurre con las ideas matemáticas que se enseñan y con la
manera en que éstas se forman. Cuando le preguntaron a Karl Friedrich
Gauss (a quien mencionamos en el capítulo “Las tres formas matemáticas de economizar”) cómo resolvía los problemas matemáticos, respondió: “Por medio de la experimentación sistemática y palpable”. Para resolver un problema uno debe estudiar ejemplos.
El arte que está más cercano al secreto de transmitir abstracciones es
la poesía. Al igual que una buena clase, un poema transmite su mensaje
70 Aritmética para padres y madres
por medio de lo concreto. En vez de decir: “Estas son las pequeñas cosas
que conforman nuestro mundo; nuestra mente las interpreta como queremos que sean”, Emily Dickinson escribe:
Para hacer una pradera, se necesitan un trébol y una abeja,
Un trébol, una abeja,
Y un ensueño.
Comenzar por lo conocido
Uno de los principios pedagógicos fundamentales es siempre comenzar
con lo que nos es familiar. Si un alumno ya tiene una idea estructurada en
su mente, hay que aprovecharla. Éste es otro punto de encuentro entre la
enseñanza y la poesía: el uso de las metáforas. El secreto del éxito de una
metáfora poética es que cumple dos funciones: transmite información
y, al mismo tiempo, esconde información. Por un lado, es una manera
inteligente de transmitir información condensada. Por el otro, distrae
a nuestra mente del mensaje principal, pues supuestamente se trata de
algo completamente diferente. En la enseñanza, el poder de la metáfora
está en la primera de estas dos funciones, principalmente en la transmisión de información. De una sola vez se transmite un patrón por completo, cargado de muchos significados. Es como si justo en el momento en
que uno está construyendo una estructura complicada en un lugar, uno
descubriera que esa estructura ya existe en otro lugar y basta con transferirla completamente. La comprensión de una metáfora requiere menos
esfuerzo de parte del receptor, pues la estructura ya existe en su mente.
El principio de común denominador, por ejemplo, puede relacionarse
con los idiomas: si queremos sumar fracciones, es necesario que “hablen
1
2
el mismo idioma”. Por ejemplo, es fácil sumar 5 y 5 pues ambos hablan el
1
2
mismo “idioma de quintos”. Pero, ¿cómo se suma 2 y 3 ? Se debe encontrar
un idioma en común, como un chileno que no entiende el idioma que habla un francés pero que descubren que ambos hablan inglés. En el caso de
1
2
y 3 , el idioma en común es el idioma de los sextos. Ambas fracciones se
2
pueden expresar en sextos:
1
2
=
3
6
y
2
3
4
= 6.
Sección 2: El camino a la abstracción
71
La diversidad y fijación
La necesidad de ejemplos diferentes
¿Cómo se le enseña a un niño lo que es un perro? Por supuesto, no le damos una definición sino que le ofrecemos ejemplos. Sin embargo, cuando
uno apunta a un perro y le dice al niño “perro”, ¿cómo sabe el niño que
nos referimos sólo a ese perro en particular y no a un cierto tipo de perro?
Se necesita más de un ejemplo para enseñar el concepto general, y más de
un tipo de ejemplo. El niño necesita ver perros grandes, perros pequeños,
perros negros y perros blancos, poodles y labradores, para que así entienda que “perro” es el común denominador de todos esos ejemplos. En
otras palabras, se necesita la diversidad. La falta de diversidad lleva a la
“fijación”, la adherencia a un detalle insignificante que no está realmente
asociado al concepto abstracto.
Éste es un principio pedagógico importante cuando se está enseñando
conceptos abstractos, particularmente en matemáticas. Si el niño cuenta
sólo manzanas, terminará asociando el número 4 con “4 manzanas”. En
otras palabras, si los niños aprenden a contar objetos que se organizan
de una manera dada y con un cierto patrón, terminarán asociando el
número a ese patrón. Para que entiendan el concepto de número deben
contar distintos objetos ordenados de diferente manera.
Los ejemplos de un concepto deben ser lo suficientemente diversos
como para evitar la fijación en los detalles.
Ejemplo: el concepto del “todo”
Una vez, cuando presenciaba una clase sobre fracciones en una escuela en Tel Aviv, me encontré con un ejemplo interesante. Cuatro niños
1 2
7
recibieron tarjetas con las fracciones 5 , 5 , ... , 5 y se les pidió que las
clasificaran y ordenaran como quisieran. Al parecer ya sabían lo que la
profesora esperaba que hicieran: clasificaron las fracciones en grupos con
5
fracciones menor que 1, igual a 1 (sólo 5 ) y mayor que 1. Luego pedí a
uno de ellos que me explicara lo que era un quinto. Murmuró algo sobre
círculos, y entendí cuál era el problema. Le di una hoja de papel y le pedí
que me mostrara un quinto de la hoja. No supo cómo hacerlo. Logró
dividirla en cuatro partes iguales al dibujar una línea horizontal y una
vertical por la mitad de la hoja. Pero no supo dividirla en cinco partes; o
cuando pedí que la dividiera en tres partes con la ayuda de sus otros tres
compañeros, tampoco pudieron hacerlo. Los cuatro trataron de dividir el
72 Aritmética para padres y madres
rectángulo como si fuera un círculo: con líneas que parten desde el centro. El problema está en que un círculo se puede dividir en cinco partes
de esta manera, pero no un rectángulo. En el caso de los rectángulos, la
división es mucho más sencilla: se trazan 4 líneas paralelas.
Después de un rato, le dije al mismo niño: ya sé cuál es el problema.
La hoja es muy grande. Aquí hay un rectángulo más pequeño (dibujé un
rectángulo del tamaño de un pedazo rectangular de un pastel). Éste es
una porción de un pastel, y eres una mamá que debe dividir esta porción
para que tus tres hijos tengan porciones del mismo tamaño. ¿Cómo lo
harías? De inmediato supo cómo hacerlo y trazó dos líneas verticales. De
ahí en adelante el camino a otros conceptos de fracciones fue fácil.
Cuando terminó la clase revisé el texto escolar. Para mi sorpresa, había 90 páginas consecutivas en que las fracciones se presentaban de la
misma manera: dividiendo círculos, todos del mismo tamaño, como si
fuesen “porciones de pizza”. Las porciones de pizza son un buen ejemplo
para explicar el concepto de fracciones. No obstante, si se sigue sólo este
modelo, los niños lo toman como si fuese en sí el principio abstracto. En
otras palabras, induce a la fijación.
En un texto escolar bueno ocurre lo opuesto. Las fracciones son presentadas, desde el principio, como partes de una variedad de unidades
enteras: como parte de un cuadrado, de un rectángulo, de un círculo pequeño, de uno grande y como parte de un grupo. ¿Cuál es la mitad de un
grupo de 30 niños? ¿Cuánto es un cuarto de 20 manzanas? Esto ayuda a
que el niño entienda la noción abstracta del “todo”, y que éste puede ser
cualquier cosa.
Sección 2: El camino a la abstracción
73
Por qué la enseñanza es difícil
He impartido esta charla a las clases de
primer año durante 25 años. Uno pensaría a
esta altura que ya deberían entenderla.
John Littlewood, matemático
“Imposible perderse”
La primera vez que fui a Estados Unidos me sorprendió que cada vez
que pedía que me ayudaran a encontrar una dirección la persona que me
ayudaba me decía “es imposible perderse”. En la mayoría de los casos
me perdí. Entonces, ¿qué quiere decir “es imposible perderse”? Sólo hay
una respuesta: “No entiendo cuál es el problema. Como ya me sé el camino, no veo por qué es tan difícil”.
Una persona que indica un camino a seguir cuenta con un montón de
pequeñas referencias que sirven de guía: un árbol, un basurero, un cartel, etc. Pero nunca ha verbalizado este conocimiento, por lo que no se da
cuenta que lo sabe. Entonces, sin darse cuenta, esta persona supone que
la persona a la cual está ayudando también cuenta con esta información.
A aquellos que ya tienen el conocimiento les es difícil saber lo que
otros no entienden. Por lo tanto, mi recomendación es que siempre hay
que recordar el siguiente dicho de un sabio hebreo: “Los tímidos no pueden aprender y los impacientes no pueden enseñar”. Tanto el profesor
como los alumnos deben estar conscientes de que el profesor sabe algo
que el alumno no sabe, y que ambos se encuentran ahí para reducir esta
diferencia que los separa, y que ambos deben esforzarse por lograrlo.
Sutilezas matemáticas
El árbol, el basurero y el cartel también existen en las matemáticas, aunque estas sutilezas son a veces tan diminutas que es fácil pasarlas por
alto. Los diferentes significados de la operación de la resta son un ejemplo de una de estas sutilezas.
Durante una clase de primer año de enseñanza básica los niños tenían frente a sí un dibujo: tres manzanas verdes y dos rojas. La tarea
era contar “historias aritméticas” basadas en el dibujo de la página siguiente, una de suma y otra de resta. (Veremos la importancia de estas
“historias” cuando hablemos sobre el significado de las operaciones aritméticas.) No tuvieron ningún problema con la primera actividad. “Tenía
tres manzanas verdes y dos manzanas rojas. ¿Cuántas tenía en total?”.
Pero cuando les tocó inventar la historia con una resta, se empezaron
74 Aritmética para padres y madres
a confundir; en consecuencia, como suele ocurrir en educación básica,
los niños dejaron de prestar atención. Finalmente, uno de los niños dijo:
“Tenía cinco manzanas. Me comí dos. ¿Cuántas me quedan?”.
Es fácil contar una historia de suma con esta imagen, pero,
¿es igual de fácil contar una historia de resta?
El problema estaba en que ésta no era la historia “correcta”. No estaba
basada en el dibujo. El dibujo no muestra a dos manzanas que desaparecen, ya sea porque alguien se las esté comiendo o de alguna otra forma.
Por eso los niños encontraron que esta actividad era difícil.
La complejidad deriva de una sutileza: la resta tiene más de un significado. Está el significado de “sacar”, en donde los objetos ya no están:
tenía 5 globos, 2 se reventaron, ¿cuántos me quedan? Éste es el significado que el niño utilizó en su historia: sus manzanas ya no estaban. Pero
también está el significado de “parte-todo”, en donde nada desaparece.
Hay 5 niños en un grupo y 2 son varones. ¿Cuántas niñas hay? En este
caso el ejercicio sigue siendo una relación de 5 - 2, pero el significado es
diferente. Éste es el significado en el dibujo. La historia que se ajusta al
dibujo es: “Tengo 5 manzanas, 2 son rojas. ¿Cuántas son verdes?" Para
evitar que los niños se confundan y sientan ansiedad es necesario explicarles esto con anterioridad.
Los niños piensan de manera diferente
Otro obstáculo que impide reconocer las capas de conocimiento es que
a los adultos les cuesta entender una realidad sencilla: los niños piensan
de manera diferente. Tal como en la cita de Theodore Roethke en la introducción de este libro: “Un poeta debe tener su infancia a flor de piel”.
Un poeta debe ser capaz de conectarse con sus sentimientos. Un profesor
debe ser capaz de conectarse con la forma de pensar del niño que tiene
en su interior.
No es para nada fácil. Los patrones de pensamiento cambian con la
edad, y a medida que crecemos tendemos a olvidarlos, tanto en matemáticas como en todos los otros aspectos de la vida.
Sección 2: El camino a la abstracción
75
La mediación
Un profesor de matemáticas es como
una matrona de las ideas.
George Pólya, matemático
Debe nacer del niño
Mi sobrino de dos años de edad se sentó en la silla de su hermano Rotem,
de cuatros años. Estaba muy contento de haberlo logrado, pero su hermano no estaba para nada contento. Los papás trataron de convencer al hijo
más joven: “Esa silla no es tuya; tú tienes tu propia silla, cada niño tiene
su propia silla”. Pero nada de lo que decían convencía al menor. Después
me dirigí al menor y le pregunté: “¿De quién es esta silla?”. “De Rotem”,
me dijo al mismo tiempo que se bajaba de ella.
Tiempo después me di cuenta de que este truco lo había aprendido
enseñando en la educación básica. Los docentes le han dado un nombre
especial, “mediación”, que significa que la solución debe surgir del niño.
Cuando el conocimiento surge de uno, su comprensión es completamente diferente en comparación con el conocimiento que se aprende por escuchar a otros. Ésta es una verdad general de la pedagogía y, en particular, de la enseñanza en educación básica. Todos los que han enseñado en
este nivel saben que los niños no aprenden conceptos de manera pasiva.
Para entender por qué 3 + 2 = 5, por ejemplo, el niño debe hacer más que
escuchar a su profesor: debe experimentarlo él mismo.
Entonces, ¿cuál es la función del profesor? ¿Por qué se necesita un
profesor?
¿Qué significa enseñar?
He sido profesor por 25 años y sigo preguntándome: ¿qué significa
“enseñar”? ¿Qué hace un profesor en una clase?
La respuesta parece ser sencilla: enseñar es transferir conocimientos
de una persona que lo tiene a otra que no. ¿Qué podría ser más sencillo
que eso? Pero la verdadera pregunta es ¿Qué significa “transferir”?, y en
particular, ¿cuál es la función del estudiante en esta transferencia?, ¿es
su función mantener una posición pasiva?, ¿es su única actividad esperar
que el profesor vierta todo el conocimiento en su mente? Al igual que
cuando se construye una casa no basta con sólo verter concreto y hierro
en un terreno de construcción. El profesor y el estudiante deben trabajar
juntos para que los conceptos afloren en la mente del estudiante.
La ventaja del profesor está en que él ya sabe cuál es el camino a
seguir. Su función es guiar al estudiante para que ponga atención a las
nociones adecuadas, en el orden que corresponde.
76 Aritmética para padres y madres
Ejemplo de mediación en el primer año de enseñanza básica
El siguiente es un ejemplo de mediación en el primer año de enseñanza
básica.
Profesora: ¿Cuál número es más grande, 7 o 5?
Estudiante:7.
Profesora: ¿Cuál de estos números es el mayor, 3, 5 o 6?
Estudiante:6.
Profesora: ¿Cuál es la diferencia entre las dos preguntas que acabo de
hacer?
Estudiante:En la primera pregunta usted preguntó cuál número es
más grande. En la segunda preguntó cuál era el mayor.
Profesora: Muy bien, es decir, el más grande de los tres. ¿Cuándo se
pregunta cuál es más grande y cuál es mayor?
Estudiante:Cuando hay dos números uno pregunta cuál es el más
grande. Cuando hay tres números uno pregunta cuál es el
mayor.
Profesora: ¿Tienen que ser tres números?
Estudiante: No. Pueden ser más.
Profesora: Denme un ejemplo de la pregunta “cuál es el número mayor” que incluya más de tres números.
Estudiante: ¿Cuál de estos números es el mayor, 4, 10, 5 o 13?
Profesora: Muy bien.
En el proceso de mediación recién descrito no sólo se presentaron los
conceptos de “mayor” y “más grande”, también se cumplieron al menos
otros dos objetivos. Primero, se llevó a que los niños reflexionaran de
manera introspectiva: ¿qué hicimos?, ¿qué es lo que nos están preguntando?, ¿cuál es la diferencia entre las dos preguntas? El otro objetivo logrado fue conseguir que los alumnos encontraran sus propios ejemplos. Las
respuestas las dieron los alumnos; la profesora los guió y enunció conceptos bien preparados y descritos, por medio de un lenguaje adecuado.
Se debe mencionar hasta lo evidente
¿Te ha disgustado alguna vez una clase
porque la encuentras demasiada obvia?
Paul Halmos, matemático, de
How to Talk Mathematics (Cómo hablar matemáticas).
“Dame un ejemplo de la pregunta cuál es el número mayor con más de
3 números”, le preguntó la profesora a una de sus alumnas en el diálogo
Sección 2: El camino a la abstracción
77
anterior. No era una tarea difícil. El profesor no dudaba de la habilidad
de los niños de realizarla. Aun así, fue valiosa.
“Debe nacer del niño” no significa ponerlos a prueba; la idea no
es asignarles tareas difíciles y dejar que las resuelvan solos. La idea
es guiarlos poco a poco hacia los conceptos correctos. Hasta las cosas
más simples deben experimentarse, y hasta lo evidente se tiene que
mencionar.
Durante las últimas tres décadas una de las tendencias de la educación, el “constructivismo”, ha interpretado el enfoque “debe nacer del
niño” de manera extrema: el niño debe descubrir los principios y las
reglas por sí mismo. Pero esto no es mediación: no se trata sobre el descubrimiento personal de conceptos, sino más bien de vivir en conjunto
aquello que el niño es capaz de lograr.
Otro ejemplo de mediación
Tomé prestado el siguiente ejemplo de una profesora que es amiga mía.
Me encanta este ejemplo, y pronto explicaré por qué:
Profesora: Abran sus nuevos libros en la página 6. ¿Por qué estamos
empezando en la página 6 y no en la página 1?
Estudiante: El libro tiene una portada con el nombre del libro y el año.
Esa es la página 1. Luego está la contraportada, que corresponde a la página 2. La página 3 es la introducción.
Después está el índice en las páginas 4 y 5. El texto en sí
recién comienza en la página 6.
Profesora: Muy bien. ¿Qué debemos tomar en cuenta al comenzar un
nuevo capítulo?
Estudiante: El título.
Profesora: ¿Por qué?
Estudiante: El título nos ayuda a entender qué es lo que vamos a estudiar.
¿Qué es lo interesante de este diálogo? En primer lugar, la mayoría de
los profesores se habría saltado esta parte (yo incluido). Tales omisiones
dejan un vacío en el niño, pues se deja un área sin explicar: ¿qué pasa
hasta la página 6? En segundo lugar, el diálogo fomenta la útil costumbre
de leer introducciones y títulos y de prestarles atención.
78 Aritmética para padres y madres
Es más fácil hablar que escuchar
Años después disfrutaría de pensar que
él había vivido El Grave Peligro durante
el Gran Diluvio, pero el único peligro
real había sido la última media hora de su
encarcelamiento, cuando Búho, que recién
había llegado volando, se sentó en una
rama para calmarlo, y le contó una gran
historia sobre una tía suya que una vez
había empollado un huevo de gaviota por
equivocación, y de ahí en adelante la historia
siguió y siguió, al igual que esta oración...
A.A. Milne, Winnie de Pooh
Es extraño que en la vida sea más fácil hablar que escuchar. Un profesor
universitario puede hablar por horas. Sin embargo, si no logra que su
público participe su audiencia pronto se cansará. Al parecer, escuchar no
es siempre un acto pasivo. Comprender requiere esfuerzo y una asimilación rápida de conceptos. Un profesor que lo único que hace es hablar no
entrega el entusiasmo necesario para que ocurra esta asimilación. Algunos estudios han demostrado que los estudiantes universitarios se desconcentran a los quince minutos de estar escuchando una clase. A partir
de ese instante sus pensamientos empiezan a divagar.
Si esto es verdad en estudiantes universitarios, claramente es aún más
evidente para estudiantes de enseñanza básica. Además, cuando un niño
o niña se desconcentra es más fácil notarlo. A veces, hasta en la universidad es necesario hacer una pausa para conversar y debatir con los estudiantes. En la enseñanza básica los debates en clase y la participación de
los estudiantes son las únicas formas de enseñar.
Sección 2: El camino a la abstracción
79
Palabras mágicas
¿Qué hay en un nombre? Lo que llamamos
rosa mantendrá su dulce perfume con
cualquier otro nombre.
Shakespeare, Romeo y Julieta
¿Qué hay en un nombre? Mucho. No se trata tanto de cómo uno denomina una cosa, sea una rosa o cualquier otra denominación, sino el hecho
mismo de darle un nombre. Un nombre identifica un patrón en el mundo
y, al mismo tiempo, indica que tal patrón existe. Es lógico que la primera
cosa que hizo Adán fuera nombrar a los animales.
¿Qué tan importante es poner nombres en la enseñanza
básica?
Cuando comencé a ejercer como profesor de enseñanza básica creía que
a los niños no se les debía dar demasiados conceptos. A ellos se les debía
enseñar por medio de ejemplos. La denominación explícita era sólo para
adultos. Una de las sorpresas con las que me encontré fue descubrir lo
equivocado que estaba respecto a este asunto. A los niños les encantan
los términos, los nombres y la explicitación. Lo que es más, se sienten
orgullosos de ser capaces de usarlos. Recuerdo una vez, cuando una profesora de segundo año que estaba distraída dijo: “Hay otras opciones
aquí”. Sin embargo, se corrigió enseguida: “Otras posibilidades”. No
pasó ni un momento cuando uno de los niños levantó su mano entusiasmado y gritó: “¡Aquí hay otra opción! ¡Aquí hay otra opción!”. En una de
mis clases de primer año utilicé la expresión “etcétera”. Esta palabra causó mucha conmoción: los niños la repetían una y otra vez, como el Rey
de Siam en el musical El rey y yo, quien utilizaba la misma expresión con
mucho orgullo. Los niños se sienten aún más orgullosos del manejo de la
notación que de los nombres; nadie estará más orgulloso que un niño de
primer año que ha aprendido la notación de “un medio” y es capaz de
explicar el significado de 2 en el denominador.
Los pensamientos no vienen de las palabras, pero las palabras nos sirven de andamios para construir torres de ideas. Al principio las ideas se
forman intuitivamente, pero una vez que se forman, si se utilizan como
la fundación sobre la cual construir más conceptos, se deben consolidar
y formular con precisión. No se deben confundir los nombres con las
ideas, al igual que no se deben confundir las definiciones con los teoremas. Sin embargo, para pensar y comunicar ideas sobre las matemáticas
es necesario conocer los nombres. Por ende, cuando los niños aprenden
80 Aritmética para padres y madres
a dividir, deben aprender a utilizar las palabras “dividendo” (el número
dividido), “divisor” (el número que divide) y “cociente” (el resultado).
Gracias a estos términos podrán hablar con precisión sobre la operación
de divisiones y, posteriormente, sobre las fracciones.
Un ejemplo en primer año de enseñanza básica
Tuve la suerte de poder participar en la enseñanza de la misma página de
un libro en 3 cursos diferentes dentro de una semana. Esto me permitió
probar diferentes enfoques y comparar su eficacia.
Ya mencioné esto antes, en el capítulo “Por qué la enseñanza es difícil”, en donde se muestra un dibujo de 3 manzanas verdes y 2 manzanas rojas, y se les pide a los niños que inventen historias sobre sumas y
restas. Describí una clase en la que no fue posible enfocar la atención de
los niños hacia los distintos significados de la resta, lo que al final causó
confusión.
A la semana siguiente llegamos a la misma página del libro con otro
curso en el mismo colegio. Ahora, con más experiencia a cuestas, detuve
la lección y les dije a los niños: antes de comenzar esta página, por favor cuéntenme una historia acerca de una resta. Como lo había previsto,
el ejemplo que obtuve era del tipo “sacar cosas”, es decir, una historia
donde las cosas desaparecían. Algo así como: “Yo tenía 5 globos, pero 2
explotaron. ¿Cuántos quedan?”. Bien, dije a los niños. Sin embargo, deberían saber que hay historias de resta en las que nada desaparece. En
vez de eso, se incluyen diferentes tipos de objetos. Sabemos cuántos elementos hay de un tipo, y podemos preguntar cuántos elementos hay de
otra cosa. Por ejemplo: “Hay 5 niños en un grupo. 2 son niñas. ¿Cuántos
varones hay? La respuesta es el resultado de la resta: 5 - 2. En este caso,
ordenamos según el género.
Luego pasamos a las manzanas y su historia aritmética. Esta vez
los niños no tuvieron problema: “Tengo cinco manzanas, dos son rojas.
¿Cuántas verdes hay?”. En este caso ordenamos según el color.
En la tercera clase probé un enfoque diferente. Nuevamente detuve
la clase, sólo que esta vez no lo explicité. En cambio, utilicé un ejemplo:
antes de comenzar la historia les dije: voy a contar una historia similar.
Les conté el cuento de los 5 niños, de los cuales 2 eran niñas.
El truco no funcionó. Los niños todavía lo encontraban difícil. Mi
explicación no fue lo suficientemente explícita, y los niños no tuvieron
tiempo de comprender el principio. Aprendí mucho de esta clase, pues
me demostró que no es necesario evitar dar nombres específicos. Siempre ayuda presentar la materia de forma explícita y definir claramente
los conceptos.
Sección 2: El camino a la abstracción
81
De hecho, hoy haría las cosas diferentes: pediría a los niños que formulen los principios. Empezaría con el ejemplo de los 5 niños, de los
cuales dos son niñas, y crearía un debate en clase sobre este tipo extraño
de resta en donde nada desaparece. Los niños deben descubrir los principios.
La importancia de las instrucciones claras
Además del principio de dar nombres hay un principio adicional en la
enseñanza, el cual es más importante en la enseñanza básica que en cualquier otra parte. Las instrucciones del profesor deben ser claras. He visto
instrucciones poco claras en muchas clases, y siempre terminan en lo
mismo: en vez de tratar de resolver el problema, los niños tratan de descubrir lo que está pensando el profesor y de adivinar sus intenciones. El
mensaje que comunican es que los pensamientos del profesor son más
importantes que lo que piensan los niños, cuando el mensaje debería ser:
“Estamos descubriendo juntos las reglas que gobiernan el mundo”.
82 Aritmética para padres y madres
La calculadora y otros materiales didácticos
¿Se deben utilizar las calculadoras en la educación básica?
En el último par de décadas ha aumentado el uso de la calculadora en la
enseñanza básica. El daño es tremendo. He conocido niños en el colegio
que utilizan la calculadora para multiplicar 3 por 15. Incluso escuché a
un estudiante de un prestigioso departamento de mi universidad pidiendo una calculadora durante un examen para multiplicar 7 por 8.
¿Cuál es el problema? Los cálculos contienen principios que se asimilan únicamente por medio de la práctica. Por ejemplo, tomemos el cálculo de 3 por 15. Contiene dos principios. El primero es que: 10 + 5 = 15. Esto
parece obvio, pero no lo es. Saber de dónde uno viene es tan importante
en los números como en la vida y, en este sentido, la representación de
los números viene del sistema decimal. Cuando se parte el 15 en 10 y 5,
uno vuelve a los principios del sistema decimal.
El segundo principio es el de la ley de distribución: cuando 3 se multiplica por 10 + 5, se multiplica tanto por 10 como por 5, dado que 3 veces
10 + 5 significa: (10 + 5) + (10 + 5) + (10 + 5), que es 3 por 10 más 3 por 5. Este
conocimiento se pierde cuando se utiliza una calculadora.
Uno de los argumentos a favor del uso de la calculadora es que les
permite a los niños que se saltaron alguna etapa compensar esa falta. Por
ejemplo, un niño que no aprendió a multiplicar y dividir puede utilizar
una calculadora para resolver problemas complejos, tales como los problemas de proporciones. Las multiplicaciones y divisiones que él tiene
que realizar las hace la calculadora.
Tal argumento demuestra una falta básica de comprensión. Ningún
material didáctico de apoyo constituye un Camino Real a las matemáticas, y esto ciertamente incluye a la calculadora. En las matemáticas no
es posible saltarse pasos. Un niño que no aprende los cálculos básicos
no puede seguir con las matemáticas avanzadas. En las matemáticas, los
atajos sólo llevan a una ignorancia matemática acompañada de ansiedad
matemática.
Las pruebas internacionales, que se toman cada cierto número de
años, revelan el daño que han causado las calculadoras. En un análisis
de los resultados de las pruebas se encontró que en los primeros 5 países con los mejores puntajes el uso de las calculadores en las escuelas
básicas se encontraba muy limitado. En los diez países con puntajes
más bajos se hacía mayor uso de las calculadoras que en los diez con
mejores puntajes.
Sección 2: El camino a la abstracción
83
Materiales de apoyo adicionales
La calculadora es el apoyo máximo: para utilizarla no es necesario tener
mayor conocimiento. Pero existen muchos otros “materiales didácticos”.
Por ejemplo, existen varias ilustraciones del sistema decimal que agrupan decenas para que los niños no tengan que hacerlo; también hay materiales que permiten dividir círculos en partes iguales y reglas que les
permiten expandir fracciones. La imaginación de los inventores no tiene
límites.
Todo esto es equivalente a traer automóviles a la clase de educación
física para que así los niños no tengan que correr. Nadie puede llevar a
cabo la tarea de la comprensión por el niño. Cada persona tiene que vivir
el proceso por sí misma; debe experimentar las bases concretas de las
abstracciones por cuenta propia. Si no ocurre tal experimentación sólo se
comprende verbalmente y de manera mecánica.
Cálculos mentales
Hasta un lápiz y un papel son un apoyo. Sin embargo no se pueden eliminar completamente, debido a las limitaciones de nuestra memoria.
Aun así, cuando es posible dejarlos de lado vale la pena hacerlo. Una
de las mejores formas de entender el sistema decimal es que los niños
lleven a cabo “cálculos mentales”, es decir, calcular sin lápiz ni papel.
Por ejemplo, multiplicar un número de dos dígitos por un número de un
solo dígito, como 17 por 8. En papel, este ejercicio se puede llevar a cabo
automáticamente. Para realizar este ejercicio en la cabeza el niño tiene
que entender la estructura decimal y practicar el sistema decimal. La importancia de los cálculos mentales queda demostrada con las pruebas internacionales de matemáticas: aquellos países que fomentan los cálculos
mentales logran mejores lugares que aquellos que no lo hacen.
Patrones como un modo de apoyo
Un tipo especial de apoyo son los patrones, en los que se supone que un
niño introduce datos y recibe el resultado de una forma mecánica. El más
famoso es la “regla de tres” para resolver problemas de proporciones,
regla temida por generaciones de estudiantes. Ésta corresponde a un patrón en el que los números se ordenan y luego se multiplican y dividen
de acuerdo con una regla que a la larga pocas personas logran recordar.
Los profesores que la utilizan afirman que es la única forma de que los
niños aprendan a resolver problemas de proporciones. Debemos entender este argumento de la misma manera que entendimos los argumentos
que defendían las ventajas de la calculadora: los apoyos no llevan a la
comprensión. Es mejor que un niño no aprenda a resolver problemas
84 Aritmética para padres y madres
de la “regla de tres” a que siga una regla que no entiende, lo que es una
manera probada de crear ansiedad matemática.
Muy bien Pablo, pero
todavía no llegamos a
fracciones.
En defensa de la pizarra personal
Hay un instrumento de enseñanza que no se cuenta como un “material
didáctico de apoyo”, sino más bien como una herramienta, al igual que el
cuaderno o el lápiz. Descubrirlo fue muy importante para mí como profesor, y me gustaría recomendarlo: una pizarra personal, la descendiente
del tablero que se utilizaba antaño. Esta pizarra es una tabla del tamaño
de una página grande o un poco mayor en la que el niño puede dibujar o
escribir, y puede levantarla para mostrársela al profesor. Existen pizarras
blancas que utilizan plumones, y pizarras negras que utilizan tiza; algunas personas improvisan una pizarra con papel laminado y plumones
borrables. El aspecto técnico no es importante. En todas las clases en las
que observé el uso de tales pizarras me di cuenta de que se trataba de una
herramienta muy útil.
Hay muchas razones que explican su utilidad. En primer lugar la pizarra permite que el niño pueda sentirse orgulloso de actuar como el
profesor: él escribe como su maestro. En segundo lugar, permite escribir
en letra manuscrita grande, lo que es más fácil para los niños en los primeros años de enseñanza básica. Más importante aún, cuando se levanta, toda la clase puede verla, lo que inspira el sentimiento de que “todos
Sección 2: El camino a la abstracción
85
estamos participando en una misión”, un sentimiento que no ocurre al
escribir en cuadernos. Además, el profesor puede revisar el resultado de
todos sus estudiantes en un instante y darse cuenta rápidamente de los
problemas que puedan tener los alumnos.
Un pequeño consejo sobre el uso de la pizarra: al completar la tarea
el alumno no debe levantarla inmediatamente. Debe darla vuelta para
mostrar que ha terminado su trabajo, y sólo cuando el profesor lo solicite
todos los alumnos de la clase muestran sus pizarras al mismo tiempo.
De esta forma se evita el espíritu de competencia y se fortalece el sentido
de unión.
Atreverse a ser simple
Pronto pasaremos de los principios generales a la materia matemática en
sí. ¿Podemos utilizar, como colación para el viaje, un resumen corto de
las cosas que hemos aprendido?
El siguiente es un intento de hacer el resumen. El primer principio es
que el secreto de la enseñanza correcta de las aritméticas radica no en la
didáctica sino en conocer bien las matemáticas. En especial, comprender
las capas finas que conforman los conceptos.
El segundo principio se puede llamar “atreverse a ser simple”. La
función del profesor no es ser una barrera entre los alumnos y las matemáticas, sino permitir que los niños experimenten directamente con
los principios matemáticos. Esto también significa experimentar con las
cosas más sencillas: el secreto radica no en la sofisticación sino en establecer conceptos desde su base. Además, es importante explicitar y hacer
uso de las palabras precisas. Aquí tampoco se le debe tener miedo a lo
sencillo. Hasta lo más obvio se debe explicitar.
Sección 3
Aritmética de primero a sexto
año de educación básica
A. Significado
El significado de los números y de las operaciones aritméticas es el vínculo
que los une con la realidad. Ésta es la primera etapa que se debe completar
antes de enseñar a realizar cálculos. De hecho, es el primer paso en la enseñanza de la aritmética y, si se enseña como corresponde, es probablemente
lo más entretenido.
El significado del número se obtiene al contar objetos. El significado
de la suma es la unión de dos grupos. El significado de la resta es la
extracción de elementos. El significado de la multiplicación yace en la
repetición de grupos de un mismo tamaño. El significado de la división
es la separación en partes iguales.
Una de las cosas que hacen que el significado sea interesante es que
contiene sutilezas. Por ejemplo, hay una distinción sutil entre juntar,
cuando esto implica la suma de más objetos del mismo tipo, y juntar
diferentes tipos de objetos que siempre están presentes. Asimismo, se
encuentra una sutiliza similar en el significado de la resta. La resta posee
dos significados completamente distintos, y es sumamente importante
resaltar ambos.
El significado también determina las reglas que gobiernan las operaciones.
90 Aritmética para padres y madres
El significado de la suma
Mira, somos dos números /
estamos juntos y nos sumamos /
o nos restamos, ya que después de todo /
el signo cambia de vez en cuando.
Yehuda Amichai, “Up on the Acorn Tree”
(“Sobre el roble”) de Poems (Poemas)
Sumar es unir
La expresión 3 + 2 representa la unión de dos grupos, uno que consta de
3 miembros y otro de 2 miembros. José tiene 3 flores, Ana tiene 2 flores.
¿Cuántas flores tienen entre los dos?
Aparentemente no hay nada más sencillo que este ejemplo. No obstante, antes de que avancemos, debemos identificar una sutileza en el
significado. En realidad hay dos formas diferentes de sumar: una dinámica y una estática. En la suma dinámica, unir significa cambiar una
situación: 3 pájaros estaban en un árbol, 2 llegaron y se les unieron.
¿Cuántos pájaros hay ahora? En la suma estática la unión se refiere a la
acción de agrupar según tipos: un florero contiene 3 flores rojas y 2 flores
amarillas. ¿Cuántas flores hay en total?
La suma dinámica: 3 pájaros
estaban sentados en un árbol, 2
llegaron y se les unieron.
La suma estática: un florero tiene
3 flores rojas y 2 amarillas.
Conozco a una profesora que llama al primer tipo de suma “película”
y al segundo tipo “foto”. En mi caso, no utilizo estos términos en la clase.
Sin embargo, sí hago hincapié en la diferencia, especialmente porque se
relaciona con la resta, pues en ella también existe esta distinción y suele
ser un asunto importante debido a la dificultad que presentan los niños
para entender la resta estática.
En un ejercicio de suma se encuentran los sumandos. Así, en el ejercicio 2 + 3 = 5, los números 2 y 3 son sumandos, y el resultado es la suma.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica
91
Denominación común
3 lápices más 4 lápices es igual a 7 lápices. La suma tiene la misma denominación que los sumandos. En otras palabras, estamos sumando el
mismo tipo de objeto. ¿Qué sucede cuando dos sumandos tienen diferentes denominaciones, como en el ejemplo: “¿Cuánto es 3 plátanos más
4 naranjas”?
Para poder calcular esta suma se necesita tener un denominador común: “fruta” por ejemplo, u “objetos”. 3 plátanos más 3 naranjas es igual
a 7 frutas o 7 objetos.
El ejemplo más famoso sobre la importancia de la denominación común se encuentra en la suma de fracciones. Un séptimo puede sumarse a
dos séptimos, pues ambos tienen la misma denominación: juntos suman
3 séptimos. Por el contrario, si queremos sumar un séptimo y dos tercios,
primero se debe expresar ambas fracciones con el mismo denominador.
En otras palabras, se debe buscar un “común denominador”.
Algunos creen que no es muy buena idea enseñar el principio de común denominador tan pronto. No obstante, la verdad es que a los niños
les gusta aprenderlo. ¿Cuál es el común denominador entre leones y tigres o entre sillas y mesas? ¿Cuánto es 2 leones más 3 tigres? ¿3 sillas más
4 mesas?
La ley conmutativa: ¿es lo mismo 3 + 4 que 4 + 3?
Por supuesto, el resultado es el mismo: 7. Ésta es la “ley conmutativa”,
cuyo nombre deriva del hecho de que sus dos sumandos se pueden intercambiar de lugar. ¿Quiere decir esto que su significado es el mismo? En
la suma estática sí. La pregunta “Jorge tiene 4 lápices, Marcela tiene 3.
¿Cuántos tienen entre los dos?” es igual a “Marcela tiene 3 lápices, Jorge
tiene 4. ¿Cuántos tienen entre los dos?”. Sin embargo, el caso es diferente
cuando se trata de la suma dinámica: la historia “se añadieron 4 pisos
a un edificio de 3 pisos” no es la misma que “se añadieron 3 pisos a un
edificio de 4 pisos”; incluso en este caso la diferencia no es tan grande.
Ambos sumandos tienen el mismo denominador (en el ejemplo anterior
tanto el 3 como el 4 se refieren a “pisos”), y por lo tanto la diferencia en el
orden no posee un significado sustancial. Tampoco existe una diferencia
entre los números sumados, pues ambos se denominan “sumandos”.
Si la diferencia en el significado de 4 + 3 y 3 + 4 no es significativa,
¿vale la pena explicarlo? La respuesta es un “sí” rotundo, aun si es sólo
porque a los niños les gusta aprenderlo.
Otra razón por la cual esta regla es importante es que algunas veces, cuando uno cambia el orden, el cálculo se puede hacer con mayor
facilidad. Por ejemplo, es más fácil calcular 9 + 2 que calcular 2 + 9: en
92 Aritmética para padres y madres
el primer caso uno comienza con el 9 y suma dos más, mientras que en
el segundo caso uno comienza con 2 y después tiene que sumar 9. (Otra
razón es que ésta es una introducción a la ley conmutativa de la multiplicación.) Para enseñar esta ley, por lo general le pido a un estudiante
que tome 4 lápices con la mano derecha y 3 con la izquierda, que se pare
frente al resto del curso y que muestre sus manos. Entonces le pregunto
al resto de los alumnos: “¿Cuál es la historia aritmética?”. Los alumnos
me responden “4 + 3” (pues ven 4 lápices en el lado izquierdo y, por
lo general, siempre empezamos por el lado izquierdo). Ahora le pido al
estudiante que cruce las manos. ¿Cuál es la historia ahora? “3 + 4” me
responden; entonces escribimos en la pizarra “4 + 3 = 3 + 4”.
Reseña histórica:
¿De dónde viene el signo “+” de la suma?
Hasta hace unos 600 años las operaciones aritméticas se escribían en latín.
La suma se indicaba con la palabra “et”, que significa “y”. La letra “t” fue sustituida en algún momento por el signo “+”, que representa la cruz que se forma en
la parte superior de la letra “t”.
Las reglas de cambio
El significado de las operaciones determina las reglas que las gobiernan.
Las reglas más básicas son las llamadas “reglas de cambio”. Estas reglas determinan lo que sucede con el resultado de una operación cuando
uno de sus componentes cambia. Por ejemplo: ¿qué le sucede al 7, el resultado de 4 + 3, si se suma 2 al 3? ¿Y si se le resta 1 al 4?
En la suma las reglas de cambio son muy sencillas; en la resta son un
poco más difíciles. En la multiplicación y división estas reglas son particularmente útiles. Por ejemplo, las reglas de multiplicación y división
de las fracciones derivan de ellas. Una vez que los niños entiendan estas
reglas de suma y resta no les será difícil entender las reglas de la multiplicación y división.
La regla de cambio en la suma
¿Qué le sucede al resultado del ejercicio 4 + 3 si aumentamos el sumando
3 por 2, es decir, lo reemplazamos por un 5? En vez de 7 como resultado
ahora tenemos que 4 + 5 = 9. En otras palabras, la suma aumenta también
por 2. Por lo tanto, la regla de cambio en la suma es:
Cuando uno de los sumandos aumenta por una cantidad, el resultado
aumenta por la misma cantidad.
A pesar de que no es obvio, la regla de cambio incluye la separación
de uno de los sumandos. El ejemplo anterior se puede escribir como:
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica
93
4 + 5 = (4 + 3) + 2. En otras palabras, como el 5 se puede separar en dos
partes, 3 y 2, éste se puede sumar en dos etapas: primero se suma el 3
y después el 2. Usualmente, ésta es la base de todo cálculo. Por ejemplo,
cuando uno calcula 50 + 23, separamos el 23 en 20 + 3, casi sin darnos
cuenta, y luego calculamos 50 + 20, que es 70, y añadimos el 3 para obtener como resultado 73.
Ahora podemos preguntarnos lo inverso: ¿qué sucede cuando uno
de los sumandos disminuye? Dado que cuando un sumando aumenta
la suma también lo hace, es lógico que esto también es válido cuando
ocurre lo opuesto:
Cuando uno de los sumandos disminuye por una cantidad, el resultado disminuye por la misma cantidad.
Este es un ejemplo del uso de esta ley: ¿Cómo se calcula 76 + 99? Podemos calcular con facilidad 76 + 100, para obtener como resultado 176.
Dado que 99 es menor que 100 por una diferencia de 1, de acuerdo con la
regla de cambio 76 + 99 es también menor que 76 + 100 por una diferencia
de 1, es decir, es 175.
En primero básico la tabla de sumar para el 9 se debería enseñar de
esta manera. Uno puede preguntar ¿cuánto es 10 + 8? 18, por supuesto.
¿Cuánto es 9 + 8? Los niños saben: es 1 menos, entonces es 17.
En los cursos más avanzados se puede calcular 365 + 999 de una manera similar. ¿Saben cómo?
La regla de cambio en la suma también tiene un nombre en particular: ley asociativa. El origen de este nombre se aclarará cuando hablemos
de esta misma regla en la multiplicación.
94 Aritmética para padres y madres
El significado de la resta
Historias sobre restas
En uno de los cursos de primer año más entretenidos en los que me ha
tocado enseñar, les pedí a los alumnos que inventaran historias sobre
restas. La regla era que la palabra importante, la que indica la resta, no
podía repetirse. Nuestra misión era buscar una palabra nueva en cada
ejercicio. Escribimos estas palabras en la pizarra. Los niños irradiaban
creatividad: tenía 5 globos, tres se reventaron, ¿cuántos me quedan? (escribimos la palabra “reventar” en la pizarra). Tenía 100 dulces, me comí
90. Daniel tenía 5 autos, 5 se averiaron (los alenté a que incluyeran el
número 0 en el ejercicio o resultado). Y así seguimos: se cayó, se rompió,
desapareció, se echó a perder, fueron comidos, y así sucesivamente. Les
había prometido a los niños que la resta sería mucho más interesante
que la suma. La resta se nos presenta en muchas más situaciones. Esto se
debe al hecho bien conocido de que es más fácil destruir que construir...
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica
95
Los niños comenzaron a competir para ver quién podía inventar ejercicios con los números más grandes. Entonces, les pregunté si es que
podían inventar un ejercicio con el número más pequeño que podían encontrar. Poco a poco los números comenzaron a bajar, hasta que una niña
dijo: “0 - 0, pero no tengo una historia”. Pregunté a los alumnos cuántos
elefantes pensaban que yo tenía en mi casa. “Cero”, me respondieron.
Entonces les dije: “Hoy se escaparon todos”.
En el ejercicio 7 - 4, el 7 se llama el minuendo (sobre el cual se realiza
la resta) y el 4, es el sustraendo (el que realiza la resta). El resultado se
denomina resta o diferencia.
Los tres significados de la resta
En todos los ejemplos anteriores la resta tenía sólo un significado: sacar
algo. Se saca una parte del grupo y la pregunta es cuánto queda. Ésta es
la resta dinámica, en donde la situación cambia con el tiempo. El término
que usamos en la clase para este tipo de resta es “sacar”.
Pero la resta tiene a lo menos otros dos significados. Uno se llama
“parte-todo”.
En un grupo de 5 niños, 2 son niñas. ¿Cuántos varones hay?
La respuesta, por supuesto, es 5 - 2. Hay dos tipos de objetos. El total
de todos los objetos y el número de los objetos de un tipo ya se conocen:
lo que se busca es el número de objetos del otro tipo.
El tercer significado de la resta es la comparación: ¿por cuánto el monto A es mayor que el monto B? Por ejemplo, José tiene 7 gatos y Rocío
tiene 4 perros. ¿Cuántos más gatos tiene José que perros tiene Rocío?
La regla de cambio en la resta
¿Qué ocurre con la diferencia de 7 - 4 si el minuendo, 7, es reemplazado por
un número más grande por 2, es decir, 9? En vez de 3, el resultado de la resta
anterior, ahora tenemos 9 - 4, es decir, 5. La diferencia también es más grande
por 2. En las notaciones más avanzadas, donde se utilizan paréntesis (no se
utilizan todavía en las clases de primero y segundo año), esto se escribe:
(7 + 2) - 4 = (7 - 4) + 2.
Por ende, la primera regla de cambio en la resta es:
Cuando el minuendo aumenta por una cantidad, la diferencia aumenta por la misma cantidad.
¿Qué sucede si el sustraendo, 4, aumenta por 2? Si restamos 2 más,
tenemos en el resultado 2 menos. La notación formal es:
7 - (4 + 2) = (7 - 4) - 2.
Cuando el sustraendo aumenta por una cantidad, la diferencia
disminuye por la misma cantidad.
96 Aritmética para padres y madres
Les voy a mostrar un truco pedagógico. Cuando enseñen este principio, no pregunten: “¿Por cuánto es 7 - 4 más grande que 7 - (4 + 2)?”. Es
mejor preguntar: “¿Cuál de los dos es más grande?”. Es mejor aún si se
utiliza una historia para mostrarlo: Ana y José tienen la misma cantidad
de lápices. José regaló 4 de sus lápices y Ana regaló 6 de sus lápices.
¿Quién tiene más lápices ahora? Los niños descubrirán por sí mismos
no sólo que José tiene más lápices, sino que tiene 2 más. Descubrir el
resultado por cuenta propia, sin que uno lo tenga que preguntar, es un
aprendizaje valiosísimo.
Ejemplos de uso de la regla de cambio
En el capítulo anterior vimos la utilidad de la regla de cambio cuando se
hacen sumas. Lo mismo es válido para la resta. Por ejemplo, para calcular
80 - 23, el 23 se separa en 20 + 3. Primero, 20 se resta a 80 (el resultado es
60) y luego se resta el 3 (que da como resultado 57).
Para calcular 14 - 6, el 6 puede separarse en 4 + 2. Por lo tanto, según
las reglas de cambio, si queremos restar el número 6 al 14, primero se
resta el 4 (una operación sencilla que da como resultado 10) y luego se
resta 2, que da como resultado 8.
Los paréntesis
En la última sección, e incluso antes, utilizamos paréntesis. La función
de los paréntesis es indicar el orden prioritario al calcular las operaciones. Primero se calcula lo que se encuentra dentro de los paréntesis. Por
ejemplo, 7 - (3 + 2) significa que primero se debe calcular 3 + 2, que está
entre los paréntesis, y luego el resultado, 5, se resta al 7, lo que queda
como 7 - 5 = 2.
Los paréntesis son como cajas. Primero se calcula lo que se encuentra
dentro de la caja, para luego utilizar el resultado como una unidad. Tal
como se pueden colocar más cajas dentro de una caja, los paréntesis pueden contener más paréntesis. En el ejercicio 7 - ((3 + 2) - (1 + 1)), primero
se calcula 3 + 2 y 1 + 1, lo que da como resultado 5 y 2, respectivamente.
Luego, estos resultados se colocan en los paréntesis externos: (5 - 2) = 3,
y el 3 vuelve al cálculo: 7 - 3 = 4. Los paréntesis, y las operaciones con un
orden se enseñan desde tercero básico en adelante.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica
97
La esencia de la multiplicación
Multiplicar es como contar
Como ya se ha mencionado, los números fueron inventados en pos de la
concisión. En vez de decir “beso, beso, beso ...” podemos decir “mil besos”. La multiplicación se inventó por una razón similar: en vez de decir
“2 más 2 más 2 ...” decimos, de forma breve, “mil veces 2”.
La similitud entre multiplicar y contar no es fortuita. Las dos operaciones están relacionadas intrínsecamente. Tal como cuando contamos,
en la multiplicación el objetivo es la creación de una única unidad. Y
al igual que cuando contamos, en la multiplicación la unidad se repite
varias veces. En este caso, la unidad es un conjunto. Por ejemplo, 3 por 2
significa que un conjunto de 2 miembros se repite 3 veces, y la pregunta
es cuántos hay en total.
3 veces 2
2 veces 3
Dado que la unión de grupos se expresa como una suma, se puede
escribir lo mismo de esta manera: 2 + 2 + 2. Por lo tanto, la multiplicación
es la repetición de la suma del mismo número. La repetición de la suma
se puede abreviar como 3 x 2.
Reseña histórica
El signo “x” que representa la multiplicación fue inventado en el siglo XVII . En
álgebra, donde los números se representan con letras, el signo “x” es reemplazado por un punto. Si tenemos los números x e y, la operación x veces y se escribe:
x • y. El propósito de esta notación, presentada por Leibniz (1646 - 1716) era
evitar la confusión entre el signo de la multiplicación y la letra x. En álgebra, el
signo de la multiplicación por lo general se omite, y simplemente se escribe xy.
Existe una razón importante de por qué es posible omitir el signo: la multiplicación es como contar, pues “2 manzanas” y “2 veces una manzana” es lo mismo.
Cuando contamos, no escribimos un signo entre los números y la denominación,
sólo decimos “2 manzanas”, o escribimos un 2 al lado de la manzana.
98 Aritmética para padres y madres
Economía en el cálculo
Hemos visto que multiplicar economiza la representación. En otras palabras, en vez de escribir muchas operaciones sólo es necesario escribir una.
Sin embargo, la verdadera economía de la multiplicación se presenta en
otro aspecto: el cálculo. Si la humanidad se hubiese conformado con la
suma, el cálculo del número de piernas de toda la población de Estados
Unidos, por ejemplo, hubiese requerido ¡300 millones de sumas!
Esta economía sólo existe cuando se multiplican números mayores
a 10. Calcular 4 x 2 no es más sencillo que calcular 2 + 2 + 2 + 2, ya que
la única forma de calcular esta operación es sumando 2 cuatro veces.
Por el contrario, cuando se calcula 14 veces 2, no es necesario sumar
el número 2 catorce veces: se calcula como 4 veces 2, más 10 veces 2,
y 10 veces 2 es más sencillo porque se trata simplemente de sumar 10
más 10.
¿”Multiplicado por” o “veces”?
El significado de “veces” es lo que le da los nombres a los componentes
de la multiplicación. En “3 veces 4”, el 3 actúa sobre el 4: indica cuántas
veces el 4 se repite. Por lo tanto, se denomina multiplicador, y el 4, sobre
el cual se realiza la operación, se denomina multiplicando. Por cierto,
no hay un consenso general respecto a esta denominación. La Real Academia Española utiliza estos términos, pero en varios diccionarios los
términos aparecen intercambiados. Todavía se debe llegar a una decisión
oficial, pero creo que los términos deberían encajar en la expresión “veces”, en donde el número a la izquierda es el multiplicador y el número
a la derecha el multiplicando.
La primera clase sobre la multiplicación: contar manos
El cuerpo de los niños siempre es una buena manera de empezar al momento de explicar la multiplicación. Contar manos, pies y dedos es el
vínculo más directo con la realidad. En cierto momento, los niños deberían dejar de contar manos y dedos y empezar a contar otros objetos,
pero, para comenzar, no hay nada más fácil que contar dedos.
Pido que 5 niños se paren frente a la clase y les indico que deben contar cuántas manos tienen en total. Pido a un niño que levante las manos
y pregunto a la clase: “¿Cuántas manos tiene él?”. “2”, me responden los
demás. “Muy bien”, entonces tenemos 1 por 2. Después, el segundo niño
levanta las manos: ahora tenemos 2 por 2. Después el tercer niño levanta
sus manos: 3 por 2, y finalmente, cuando todos levantan las manos: 5
por 2. Resolvemos el cálculo: 5 por 2 es igual a 5 veces 2, que da como
resultado 10.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica
99
¿Podemos decir lo mismo si utilizamos la palabra “más”?, les pregunto. Claramente: 2 + 2 + 2 + 2 + 2. En esta fórmula el número 2 aparece 5
veces. Entonces, es más breve si decimos: “5 veces 2” o “5 por 2”. No
obstante, en aritmética preferimos usar signos en vez de palabras. En
aritmética, “por” se indica con una “x”; entonces, en vez de decir “5 por
2”, escribimos “5 x 2”. ¡Es mucho más corto que escribir 2 + 2 + 2 + 2 + 2!
A la aritmética le gusta la brevedad.
Entonces escribimos en la pizarra: 5 x 2 = 10. La oración debería escribirse inmediatamente después de haber contado la historia aritmética.
Los niños deberían escribir las oraciones que corresponden a “dos veces
2, tres veces 2, cuatro veces 2” por su cuenta. ¡Lo harán con ganas y entusiasmo!
Un poco más abstracto: los pies
La etapa siguiente es hacer lo mismo con los pies, ¡porque con los pies es
más abstracto! No es fácil ver los pies pues están escondidos bajo las mesas
de cada alumno. Entonces, este ejercicio requiere realizar un cálculo mental. Se selecciona un grupo de niños que se sienten cerca y se les pregunta
cuántos pies tienen en total. Recomiendo escoger el mismo número de niños que se seleccionó para el ejercicio anterior, por ejemplo, 5 (contamos
las manos de 5 niños). A pesar de que los niños sabrán la respuesta inmediatamente, también aprenderán algo: si 5 niños tienen 10 manos, también tienen 10 pies. En aritmética los objetos no son lo importante, sino los
números. Entonces se cuenta el número de pies de todos los niños y niñas
en la clase y se escribe el ejercicio. Muéstreles lo largo que sería escribir el
ejercicio si se usara la suma: 2 + 2 + 2 + 2 ... y todo lo que nos ahorramos
cuando usamos la multiplicación.
Múltiplos de 10
Ahora es un buen momento para mostrar los múltiplos de 10, pues constituyen una introducción al sistema decimal. Invito a una niña a la pizarra y le pido que muestre sus dedos. Después escribe el número de
dedos en la pizarra sobre ella. Le digo que se quede en su lugar cerca del
número que acaba de escribir, y le pido a otra niña que pase adelante,
que muestre sus dedos y que escriba cuántos tienen ella y su compañera
en total: 20. La clase dice al unísono: “2 veces 10 es 20”. Luego, un tercer
niño se une y se hace lo mismo hasta que toda la clase se una, si es posible. Los niños se emocionan cuando llegan a 100 y a 200.
Ahora descubrimos lo que pasa: ¿qué escribió la primera niña? Escribió 1 con un 0 al lado. ¿Y la segunda niña? Escribió 2 con un cero al
lado. ¡El niño que llegó en el lugar 13, escribió un 13 con un cero al lado!
100 Aritmética para padres y madres
Entonces descubrimos la regla: 10 veces 13 añade un 0 a la derecha del 13.
¡La multiplicación por 10 añade un cero a la derecha del número! En este
nivel de estudios los niños realmente no entienden por qué esto es así, lo
que no impide que aprendan la regla.
La familia Saltarina
A modo de ilustrar la multiplicación, a veces le cuento a la clase una
historia sobre una familia (los niños escogieron el nombre “Saltarina”),
con dos hijos, una mamá, un papá y un abuelo. El hijo menor avanza una
baldosa con cada paso. El otro hijo avanza 2 baldosas, la mamá avanza 3
baldosas, el papá avanza 4 y el abuelo 5.
Abuelo
Papá
Mamá
Hijo
Hijo
0
1
2
3
4
5
Dibujo un eje que corresponde al número de baldosas y escribo “baldosas”. Los personajes se paran sobre las líneas que separan las baldosas.
El hijo menor avanza 3 pasos. ¿Cuántas baldosas avanzó? 3 por 1, lo
que es igual a 3.
El segundo hijo avanza 3 pasos. ¿Cuántas baldosas avanzó? 3 por 2. ¿Y
el papá que avanzó 3 pasos también? ¿Y la mamá? ¿Y el abuelo? Escribo
entonces en la pizarra: 5 + 5 + 5 (para el abuelo), y digo: ¿Cuántas veces
se repite el 5 ahí? Entonces, ¿cuántas baldosas son 3 por 5? Hacemos lo
mismo para cada miembro de esta familia.
Nuevamente, se deberían presentar los múltiplos de 10 en esta etapa.
A la familia se le une un canguro, que avanza 10 baldosas por cada salto
que da (tiene que ser un canguro pequeño porque ése es un salto corto
para un canguro...) ¿Cuántas baldosas avanzó al dar 3 saltos?
La ley conmutativa de la multiplicación
Ahora llegamos a un tema importante: la ley conmutativa, donde se afirma que si se cambia de lugar el multiplicador y el multiplicando, el producto no cambia. Se debería hacer hincapié en este punto, pues, en la
multiplicación, si se cambia el orden de los factores se está cambiando el
significado de la operación. Cuando se suma, el significado de 3 + 2 no es
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 101
tan diferente del de 2 + 3. Por el contrario, el significado de 2 x 3 y 3 x 2
es completamente diferente. Esto se debe a que los dos factores cumplen
funciones distintas en la multiplicación. Comparemos por ejemplo el dibujo que representa 3 + 2,
| | | | |
con el dibujo que representa 3 x 2:
| | | | | |
En la suma los dos grupos cumplen una función similar. Pero no así en
la multiplicación, en donde el 3 representa a 3 conjuntos, mientras que el 2
representa las dos rayas en cada conjunto. ¡Son funciones completamente
diferentes! En este caso, incluso los dos factores tienen denominaciones
distintas: “conjuntos” y “rayas”. La denominación del resultado en la multiplicación también indica la diferencia entre los factores: Tiene la misma
denominación que el multiplicando, pero no es la misma que el multiplicador (que no tiene denominación). Por ejemplo: 3 veces 2 rayas son 6 rayas.
La diferencia en el estatus de los dos factores en la multiplicación significa que cambiar el orden también cambiará el significado. Por ejemplo,
2 x 3 significa “2 veces 3”, lo que es 3 + 3. Por el contrario, 3 x 2 indica
“3 veces 2”, que es 2 + 2 + 2. Es una historia aritmética completamente
diferente.
¿Por qué 3 x 2 = 2 x 3?
Estoy seguro de que a lo menos algunos de los lectores se sorprenderán
cuando lean esta pregunta. ¡No hay duda de que son iguales! ¿Qué es lo
que hay que explicar? Sin embargo, no es para nada fácil. ¡Acabamos de
decir que los dos tienen diferentes significados!
Siempre que vuelvo a la casa después de enseñar en el colegio, les pregunto a mis hijos si es que quieren escuchar lo que hice ese día. Un día le
dije a mi hija, que en ese entonces cursaba segundo básico, que les había
enseñado a los niños por qué 2 x 3 = 3 x 2. Se molestó y me dijo: “¡Es lo
mismo!”. Le pedí que me mostrara con sus dedos 2 por 3 (2 x 3). Levantó
tres dedos de una mano y tres dedos de la otra. “Ahora muéstrame 3 por
2 (3 x 2)”, le dije. Levantó 2 dedos de una mano, 2 dedos de la otra y yo
levanté 2 de la mía: juntos hicimos 3 veces 2. Ahora muéstrame que son
lo mismo, le pedí.
Para mi sorpresa, levantó 3 dedos de su mano derecha, sin pensarlo,
tres dedos de su mano izquierda (2 veces 3) y juntó ambas manos, para
que los dedos hicieran tres pares: ¡3 por 2!
102 Aritmética para padres y madres
Mi hija nos entregó una demostración matemática para la ley conmutativa. De hecho, ésta es una demostración real que usualmente se
da para esta ley, la cual se logra arreglando objetos en un rectángulo.
Cuando miramos los dedos desde arriba, se encuentran ordenados como
si fueran un rectángulo:
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
El número de círculos en el rectángulo es 2 veces 3, dado que hay
dos filas y cada una de ellas contiene 3 círculos. Sin embargo, también
equivale a 3 veces 2, debido a que hay tres columnas y cada una de ellas
contiene 2 círculos.
Un rectángulo similar, con 3 filas y 4 columnas, nos dará 3 x 4 = 4 x 3,
y lo mismo se aplica para cualquier par de números.
Axiomas y teoremas
“Axioma” es una palabra griega que se refiere a un supuesto que se acepta sin haber sido demostrado. Se utiliza para demostrar otras proposiciones, pero el axioma en sí mismo no se demuestra. Una proposición
que puede ser demostrada se llama teorema. El término “axioma” fue
establecido por Euclides. Su geometría la fundó sobre la base de 5 axiomas (también llamados “postulados”). Por ejemplo, uno de ellos hace
referencia a que dos puntos distintos determinan una línea única.
Con el ejemplo acabamos de descubrir que la ley conmutativa de la
multiplicación no es un axioma sino un teorema. Se puede demostrar.
Los axiomas aritméticos se pueden elegir de muchas maneras. Se puede
tomar una proposición (digamos A) como axioma y luego utilizarla para
demostrar otra proposición (digamos B) o la proposición B se puede elegir como un axioma y luego se puede demostrar la proposición A. Un
ejemplo de una proposición que usualmente se considera un axioma es
que añadir un 0 a un número no cambia la cifra.
He aquí un pequeño acertijo: ¿La proposición 1 + 1 = 2 es un axioma o
un teorema? La respuesta no es ninguna de las dos alternativas. Es una
definición. Es la definición del número 2.
Otra forma de aprender la ley conmutativa: contar pies
En una clase de primer año les demostré a los niños la ley conmutativa
de una manera diferente. Les pregunté cuál era el número total de sus
pies. Para contar, fueron sumando niño a niño sus pies: 2, 4, 6... Ese
día había 23 niños en la sala de clase, por lo que calcularon 23 veces 2:
sumaron 2 + 2 + 2... veintitrés veces. Luego les pregunté cuántos pies
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 103
derechos había. Me respondieron que había 23. ¿Y cuántos pies izquierdos? También 23. ¿Y todos juntos? 23 + 23, es decir, 2 veces 23. Dado que
se trata de los mismos pies, la conclusión fue que 23 veces 2 es igual a
2 veces 23.
La regla de cambio en la multiplicación
Un pirata encontró tres cofres de tesoros, cada uno con 4 monedas. Por
ende, el pirata tenía 3 x 4 = 12 monedas. ¿Qué pasaría si multiplicamos el
número de monedas que viene en cada cofre por 5? En otras palabras, si
tiene 3 cofres, y cada uno de ellos contuviera 20 monedas. El número de
monedas que posee aumentaría 5 veces, por supuesto. Tendrá 60 monedas, que es 5 veces más que las 12 que tenía al principio: 5 x 12 = 60.
¿Qué pasaría si multiplicamos el número de cofres por 5, es decir, si
reemplazamos el multiplicador, que era 3, por 15? Entonces el resultado
también sería 5 veces mayor. La regla del cambio en la multiplicación
dicta:
Cuando el multiplicador o el multiplicando aumenta tantas veces un cierto número, el resultado aumenta tantas veces dicho número.
Es muy similar a la regla de cambio en la suma, con la diferencia de
que en la multiplicación el aumento es en “número de veces” en vez de
“número de elementos”.
Oficialmente, esta regla se llama “ley asociativa”, dado que indica que
en la multiplicación no importa cómo se agrupan los términos: 3 x (4 x 5)
= (3 x 4) x 5. A la izquierda tenemos 3 x 4 y hemos multiplicado el multiplicando por 5; mientras que a la derecha multiplicamos todo el producto, 3 x 4, por 5. La regla es que en ambos casos el resultado es el mismo.
Se puede parafrasear la misma regla al revés: cuando el multiplicador
o el multiplicando disminuyen un cierto número de veces, el resultado
también disminuye el mismo número de veces.
La ley distributiva
Tres hermanos recibieron 5 galletas y 2 juguetes cada uno. ¿Cuántas cosas tenían entre los tres?
La respuesta es: 3 por (5 galletas + 2 juguetes), lo que equivale a 3
veces 5 galletas más 3 veces 2 juguetes. Es decir, tenían 15 galletas y 6 juguetes. Es fácil ver esto si expresamos la multiplicación como una suma:
3 x (5 + 2) = (5 + 2)+ (5 + 2)+ (5 + 2) = (5 + 5 + 5) + (2 + 2 + 2) = 3 x 5 + 3 x 2.
Para resumir:
3 x (5 + 2) = 3 x 5 + 3 x 2.
104 Aritmética para padres y madres
Esta regla se llama “la ley distributiva”. Es muy útil para calcular
multiplicaciones. ¿Cómo se multiplica 52 por 3? Dado que 52 = 50 + 2, de
acuerdo con la ley distributiva, la multiplicación se puede llevar a cabo
multiplicando 50 por 3 (que equivale a 150) y sumando 2 veces 3 (que es
igual a 6), para así obtener 156. ¡Exactamente igual que en el ejemplo de
las galletas y los juguetes!
Distribución significa cambiar el orden entre agrupar y
multiplicar
Analicemos el siguiente ejemplo de distribución:
3 x (R + ) = 3 x R + 3 x .
¿Qué pasó aquí? A la izquierda, primero agrupamos el sol y la luna
en un conjunto, y luego lo repetimos 3 veces. A la derecha tomamos los 3
soles y las 3 lunas y los agrupamos.
El hecho de que el resultado sea el mismo significa que es posible primero agrupar y luego multiplicar, o primero multiplicar y luego agrupar.
No hay diferencia en el resultado. Éste corresponde a un tipo de conmutatividad, y de hecho se relaciona con la ley conmutativa de la multiplicación. Por ejemplo, a continuación se presenta una demostración de 3 x
2 = 2 x 3 cuando se utiliza la ley distributiva:
3 x 2 = 3 x (1 + 1) = 3 x 1 + 3 x 1 = 3 + 3 = 2 x 3.
Distribución tanto del multiplicador como del multiplicando
¿Cómo se abren los paréntesis en (23 + 4) x (5 + 67)? La regla es que cada
sumando del multiplicador se debe multiplicar por cada sumando del
multiplicando. Por ende, el resultado sería:
23 x 5 + 23 x 67 + 4 x 5 + 4 x 67.
Una forma de demostrar esto es abrir los paréntesis por etapas. Pensemos en (5 + 67) como una caja, es decir, como un número. De acuerdo
con la ley distributiva, cuando se multiplica este número por 23 + 4, se
debería multiplicar tanto por 23 como por 4. En otras palabras, el resultado es: 23 x (5 + 67) + 4 x (5 + 67). Ahora utilizamos la ley distributiva
nuevamente para cada uno de los dos productos. Lo que se obtiene es el
resultado escrito anteriormente.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 105
Los dos significados de la división
La operación más interesante
La división es una operación tan natural como la multiplicación. Es parte
de la vida diaria: una madre divide 6 caramelos entre sus 2 hijos; 4 niños
dividen un mazo de 52 cartas. Pero la división es más complicada que
otras operaciones, y también es más interesante. Una de las razones, que
muchas personas no saben, es que hay dos significados diferentes: repartir y contener.
En ambos tipos de división, un conjunto dado se divide en conjuntos del mismo tamaño. No obstante, las preguntas que se formulan en
cada tipo son diferentes: en la división partitiva la pregunta es cuántos
contiene cada conjunto; en la división por agrupamiento la pregunta es
cuántos conjuntos hay.
La división partitiva:
6 ÷ 2 = 3 corresponde a 3 + 3 = 6
La división partitiva es el tipo más común en la vida diaria. Usualmente dividimos objetos en porciones iguales entre un grupo conocido de
personas. Seis caramelos se dividen en cantidades iguales entre dos hermanos. ¿Cuántos recibe cada uno? El cálculo correcto es, por supuesto,
6 ÷ 2. En la división partitiva, 6 ÷ 2 significa que 6 objetos se dividen en
dos conjuntos del mismo tamaño, y la pregunta es cuántos elementos
contiene cada conjunto. El resultado, 3, significa que los dos conjuntos,
cada uno conformado por 3 objetos, contienen 6 objetos en total. En otras
palabras: 2 veces 3 es 6, y en el lenguaje de la suma: 3 + 3 = 6.
Los nombres de los componentes del ejercicio de división derivan de
este tipo de división. En el ejercicio 6 ÷ 2 = 3, al 6 le llamamos dividendo
(debido a que está siendo dividido), el 2 se llama divisor, y el resultado,
3, se conoce como cociente (porque el 3 responde la pregunta: ¿qué tan
grande es la cuota que recibe cada uno?).
División por agrupamiento:
6 ÷ 2 = 3 corresponde a 2 + 2 + 2 = 6
En el segundo tipo de división la función del número de conjuntos y el
número de elementos en cada grupo se invierte. Esta vez se entrega el
número de elementos en cada conjunto y la pregunta se refiere a cuántos
conjuntos existen. Por ejemplo: una madre divide 6 caramelos entre sus
hijos, y a cada uno le llegan 2. ¿Cuántos hijos tiene?
106 Aritmética para padres y madres
Una vez más el ejercicio es 6 ÷ 2, sólo que esta vez se responde una
pregunta diferente. En la división partitiva la pregunta era: si se dividen 6 elementos en dos conjuntos: ¿cuántos elementos contendrá cada
conjunto? Ahora la pregunta es: se dividieron 6 objetos para que cada
conjunto contenga 2 objetos. ¿Cuántos conjuntos hay?
Se puede expresar lo mismo por medio de la pregunta ¿cuántas veces
cabe 2 en 6? o, ¿cuántas veces el 2 es contenido en el 6? La respuesta, 3, significa que 3 conjuntos de 2 corresponden a 6. En otras palabras, tres veces 2
es 6, y en el lenguaje de la suma: 2 + 2 +2 = 6. Por ende, la diferencia entre los
dos significados tiene su origen en la diferencia que existe entre 2 veces 3 y 3
veces 2. En la división partitiva, 6 ÷2 = 3 porque 2 por 3 es igual a 6 (o, en una
fórmula, 2 x 3 = 6). En la división por agrupamiento, 6÷2 = 3 porque 3 x 2 = 6.
La división tiene dos significados
6 ÷ 2 se puede interpretar como:
Si 6 manzanas se dividen en dos conjuntos iguales de igual tamaño,
¿cuántas manzanas contiene cada conjunto? Ésta es una división partitiva.
También es posible interpretarla de la siguiente manera:
Si 6 manzanas se dividen en conjuntos donde cada uno contiene 2
manzanas, ¿cuántos conjuntos existen? En otras palabras, ¿cuántas
veces cabe 2 en 6? Ésta es una división por agrupamiento.
Los niños se encontrarán con ambos significados, por lo que hay que
explicarles la diferencia.
¿Por qué es necesaria la división por agrupamiento?
La división partitiva es el significado más común de la división, dado que
estamos acostumbrados a compartir con los demás. No obstante, esto no
quiere decir que el significado de la división por agrupamiento es menos
importante. La principal razón es que ésta es la forma de calcular en la
división. Para calcular 56 ÷ 7, saltamos de siete en siete: 7, 14, 21, 28, 35,
42, 49, 56. Saltamos 8 veces, por lo que 7 está contenido 8 veces en 56. Ésta
es una división por agrupamiento.
Aquellos acostumbrados a jugar y repartir naipes pueden argumentar: cuando se reparte un mazo de 52 naipes entre 4 jugadores, calculamos 52 ÷ 4 por medio de la división partitiva ¿no? Después de todo,
¡estamos repartiendo el mazo entre 4 personas!
Un examen cuidadoso revelará que aquí también el cálculo se lleva
a cabo por medio de la división por agrupamiento. El mazo de cartas se
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 107
reparte en “jugadas”: 4 cartas por cada jugada. El número de cartas que
cada jugador recibe (el significado de 52 ÷ 4 en la división partitiva) es
idéntico al número de jugadas hechas. No obstante, el número de jugadas
es el mismo que el número de veces que 4 está contenido en 52, lo que
nuevamente nos lleva a calcular con división por agrupamiento.
Asimismo, este tipo de división se utiliza al dividir fracciones. Por
1
ejemplo, tomemos el ejercicio 3 ÷ 2 . ¿Se puede inventar una historia aritmética para este ejemplo? En la división partitiva el significado es: “Tenía
tres manzanas. Las dividí en medio niño. ¿Cuántas manzanas recibió
cada niño? “Medio niño” es un concepto confuso. Se puede explicar que
si medio niño recibió 3 manzanas, entonces un niño completo recibe el
doble: 6. Sin embargo, esta explicación es difícil para los niños. En la división por agrupamiento la pregunta es mucho más simple de entender:
“Dividí 3 manzanas entre los niños. Cada niño recibe media manzana.
1
¿Cuántos niños había?” O, ¿cuántas veces cabe 2 en 3?
¿Cuántas
1
manzanas están contenidas en 3 manzanas?
2
La división por agrupamiento y el uso de saltos
La división por agrupamiento también se puede enseñar con la ayuda de
la familia Saltarina, del capítulo sobre la multiplicación. Recordemos que
cada paso que da el hijo mayor es del largo de dos baldosas. ¿Cuántos
pasos necesita para avanzar 10 baldosas? El significado de esta pregunta
es: ¿cuántas veces cabe 2 en 10? La respuesta, 5, es el resultado de una
división por agrupamiento, es decir, se divide 10 por 2.
Casi todos los cursos tienen unos cuantos estudiantes que, de vez en
cuando, pueden manejar los problemas más avanzados. Los estudiantes que avanzan más rápido también merecen un tratamiento especial.
En segundo año utilicé la historia de la familia Saltarina para presentar la división con fracciones. Agregué a la historia un bebé pequeño
1
que avanza 2 baldosa con cada paso. ¿Cuántos pasos debe realizar para
1
avanzar 10 baldosas? El ejercicio correcto es 10 ÷ 2 , donde se expresa el
1
número de veces que 2 está contenido en 10. Un número considerable de
niños sabía que una baldosa contiene 2 pasos y, por ende, 10 baldosas
contienen 10 veces 2, lo que significa 20 pasos.
108 Aritmética para padres y madres
Las reglas de cambio en la división
Todo pirata sabe que mientras más grande sea el tesoro, más grande será
la parte que cada uno recibirá. Por otro lado, mientras más socios haya,
menor será la porción. Es aconsejable para los piratas encontrar tesoros
grandes y compartirlos con un número pequeño de socios. A continuación veremos una forma de expresar cuantitativamente estas reglas:
Cuando el dividendo aumenta cierto número de veces, el cociente también
aumenta el mismo número de veces.
Ayuda de memoria: en el ejercicio 12 ÷ 3, el 12 es el “dividendo” y el
3 es el “divisor”. Supongamos, por ejemplo, que 2 piratas encontraron 12
monedas de oro. Cada uno recibirá 12 ÷2 = 6 monedas. Si el tesoro es 3
veces mayor (por lo que ahora tenemos 36 monedas en vez de 12), el cociente que corresponde a cada pirata será tres veces mayor, es decir, cada
pirata recibirá 36 ÷ 2= 18.
Si, por el contrario, el número de socios aumenta de 2 a 6 (al multiplicarlo por 3), la parte que corresponde a cada socio disminuirá a 12÷6 = 2,
tres veces menos que antes. En general:
Cuando el divisor aumenta un cierto número de veces, el cociente disminuye el mismo número de veces.
Es importante destacar que existe una regla similar en la resta: 12 - 2 - 3
= 12 - (2 + 3): Restar dos números, uno después del otro, es como restar su
suma. En la división, al dividir por dos números, uno después del otro, es
lo mismo que dividir por su producto.
La división
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 109
¿Qué pasa cuando el dividendo disminuye 3 veces, por ejemplo? Cualquier pirata dirá automáticamente: si el total de los tesoros es tres veces
menor, la parte que corresponde a cada socio será tres veces menor. En
otras palabras, cuando el dividendo disminuye un cierto número de veces, el cociente disminuye el mismo número de veces. Finalmente, cuando el divisor disminuye cierto número de veces, el cociente aumenta el
mismo número de veces.
La división con "resto"
Los niños descubren rápidamente que el resultado de una división no
siempre es un número natural. Los grupos no siempre se pueden dividir en partes iguales. No se puede dividir siete objetos en partes iguales
entre 3 niños. Dado que los niños están conscientes de esta diferencia, se
la debe señalar desde el principio. Cuando no se aclaran estos temas se
deja un sentimiento de incertidumbre. Por ende, creo que uno debería
comenzar desde el principio a hacer ejercicios con números que no se
dividen dando como resultado números naturales. En mi experiencia,
esto no es un problema. Entonces, ¿qué pasa cuando tratamos de dividir
7 objetos entre 3 niños? Cada niño recibe 2 objetos. Sobra un objeto. ¿Qué
tenemos que hacer con él? Hay dos opciones. Se puede dividir el objeto
1
que sobra entre los tres niños, para que así cada uno reciba 3 , o se puede
dejar sin dividir, lo que se conoce como “resto”. Esto se escribe como:
7 ÷3 = 2R1 (o, en notación europea 2 (1)), y en palabras: el resultado es 2
con un resto de 1.
¿Cuándo se utiliza cada opción? Éste es un tema de preferencia, pero
también depende de la posibilidad de dividir a los objetos en fracciones.
Se puede partir un pastel, pero resulta imposible partir una bolita. Los
niños disfrutan ordenar los objetos de acuerdo con esta característica.
El resto como una oportunidad para presentar las fracciones
Las situaciones en las que el resto se puede dividir, como ocurre con
sándwiches u hojas de papel, son una buena oportunidad para presentar
a las fracciones junto a la división. Dado que las fracciones se encuentran tan cerca de las divisiones, es inteligente presentarlas justo cuando
se está comenzando a estudiar la división. La notación para fracciones,
1 1
1
como 2 , 3 o 4 , se puede presentar incluso en primer año de enseñanza
básica. Cuando un objeto se divide en dos partes iguales se debe enseñar
inmediatamente que cada parte corresponde a una “mitad o un medio”,
y cuando un objeto se divide en 3 partes iguales, cada parte se llama un
“tercio”. Ya volveremos a este punto en el capítulo sobre fracciones.
110 Aritmética para padres y madres
La primera clase sobre la división partitiva
A los niños les gusta actuar las divisiones. Uno debería partir con las
divisiones partitivas. A un niño se le invita a pasar al frente de la clase
para que sea el “papá” (o la “mamá”, si es una niña). Debe dividir, por
ejemplo, 12 bombillas (que les llamamos “caramelos”) entre 3 niños. Se le
tiene que motivar a que lo haga de la misma manera en que se reparten
las cartas de un naipe: una bombilla a la vez para cada niño.
A continuación se cuenta la historia aritmética. Los niños dicen: un
papá tenía 12 caramelos, los que dividió entre sus tres hijos. ¿Cuántos
recibió cada hijo? Ahora les decimos a los niños que dado que el papá
dividió los caramelos, la operación se llama una “división”. Se marca con
un signo ÷. La operación era “12 dividido por 3”, y el ejercicio se escribe:
12 ÷ 3 = 4. No se debe olvidar especificar la denominación en la respuesta:
4 caramelos.
Esto se debe repetir una y otra vez con distintos números. Luego, la
clase se divide en grupos y cada grupo recibe diferentes objetos, los que
dividen en partes iguales; luego escriben el ejercicio e informan al resto
de la clase lo que hicieron.
La siguiente etapa es dibujar: los niños dibujan objetos (digamos círculos
o corazones) en sus cuadernos o en sus pizarras personales y los dividen en
grupos que contienen la misma cantidad de objetos.
En una clase de segundo año, en la que enseñaba en conjunto con el
profesor de siempre, invité a 6 niños a pasar al frente y les pedí que demostraran 6 ÷ 2. Después de hablar entre ellos brevemente, se dividieron en
dos grupos; uno de los grupos se quedó conmigo y el otro con su profesor.
Por razones de timidez, sólo dos vinieron a mí y los otros cuatro se quedaron con el profesor. Ésta era una oportunidad para mencionar el principio
de división explícitamente. Le preguntamos a la clase si esto era justo, y si
en verdad era 6 ÷ 2. Ellos llegaron a la forma correcta de formularlo: “La
división significa dividir en partes iguales”. Un ejemplo negativo usualmente nos lleva a formar una definición precisa de un concepto.
Luego pedí a los mismos 6 niños que demostraran 6 ÷ 3. Luego de hacer esto, descubrieron por cuenta propia que también se podían dividir
en seis grupos o en un único grupo con seis integrantes, que corresponden al ejercicio 6 ÷ 1 y 6 ÷ 6, respectivamente. Les pedí que demostraran
6 ÷ 4. Dividimos el pizarrón en 4 partes, y cuatro de los seis niños se colocaron al lado de cada una de las partes de la pizarra. Dos niñas quedaron
afuera. Ellas mismas se ofrecieron para inclinarse, posicionándose entre
dos partes del pizarrón, de modo que la mitad de sus cuerpos quedó en
cada parte del pizarrón. De esta manera, descubrimos que 6 ÷ 4 es uno
y medio.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 111
La división es la operación inversa a la multiplicación
Una vez que se hayan dividido 10 objetos entre 5 niños y que cada niño
recibe 2 objetos, se puede llevar a cabo la operación inversa: los objetos se
reúnen nuevamente, por lo que cada niño tiene que devolver los dos objetos recibidos. Luego, los niños descubren que los 10 objetos originales
son 5 veces 2. Ambos ejercicios se deberían escribir uno al lado del otro:
10 ÷ 2 = 5, 5 x 2 = 10. A continuación se puede llevar a cabo el proceso
contrario. 3 niños reciben 4 lápices cada uno y se les pide que reúnan los
lápices, para así formar un conjunto de 12. Se escribe la oración correspondiente: 3 x 4 = 12. Luego, se les pide a los niños que dividan 12 lápices
entre ellos, y se escribe al lado de la oración anterior: 12 ÷ 3 = 4.
La primera clase sobre la división por agrupamiento
Una vez que se ha aprendido la división partitiva al cabo de unas cuantas clases, es hora de ver otros tipos de divisiones. Les digo a los niños
que existe otro tipo de historia sobre la división. Ayer me encontré con
un papá que me contó una historia muy diferente. El papá tenía 12 caramelos (invité al “papá” a pasar al frente de la clase y le di 12 bombillas).
Las dividió entre sus hijos, por lo que cada niño recibió 3 caramelos. Hay
una cosa que no me quiso decir. ¿Pueden adivinar cuál fue? Los niños
encuentran con facilidad el detalle perdido: ¿cuántos hijos tiene el papá?
Tampoco tuvieron problemas con la respuesta: el papá tiene 4 hijos.
Sin embargo, insisto en que este ejercicio se debe resolver sistemáticamente, sin adivinar. Invité uno a uno a los niños y a cada uno le di 3
bombillas. Las bombillas se acabaron luego de que se dividieran entre
los 4 niños.
Ahora es el momento de preguntar la diferencia entre las dos historias. Los niños se dan cuenta: en la primera historia les preguntamos
cuántos niños recibieron cosas. En otras palabras, dividimos en 3 partes
iguales y preguntamos cuántas había en cada parte. En la segunda historia preguntamos cuántos niños había. En otras palabras, preguntamos
cuántas partes. En la segunda historia el ejercicio también es 12 ÷3, pero
el resultado no son 4 caramelos, sino 4 hijos. De esta manera se responde
la pregunta de cuántos hijos había.
Los niños de primero y segundo básico que anteriormente se habían
expuesto a sutilezas de significado (principalmente en la resta), no sienten que esta distinción sea muy difícil. Sin embargo, se aconseja distinguir primero entre las historias que tratan sobre el tamaño de las partes
y aquellas que tratan sobre la cantidad de las partes, antes de utilizar los
términos “división partitiva” y “división por agrupamiento”.
112 Aritmética para padres y madres
Una clase de segundo año sobre la división con "resto"
En una clase de segundo año le pedí a una niña que dividiera 6 caramelos entre 4 niños del grupo. Después de que entregara a cada uno de los
niños un caramelo, se quedó con dos de sobra. Con el curso, analizamos
qué debería hacerse con lo que quedaba. Los niños ofrecieron romperlos
en 2 y dividir las 4 mitades entre los 4 niños. Ésta fue una oportunidad
para enseñarles a anotar la fracción “un medio”: escribimos en la pizarra
1
6 ÷ 4 = 12.
Luego reemplazamos los caramelos por monedas. Le pedí a la misma
niña que dividiera 6 monedas de 10 pesos entre cuatro compañeros. Esta
vez no era posible romper por la mitad las dos monedas que quedaban.
Los niños sugirieron que se las dejase a un lado. Les quería decir a ellos
el nombre de lo que sobra, o el resto, pero la profesora me detuvo. “Los
niños encontrarán esto por sí mismos”, me afirmó. De hecho, casi fue así:
después de hablar el tema, ofrecieron el nombre “sobras”. Les dijimos
que el nombre oficial era “resto” y que su notación era 6 ÷ 4 = 1 (2).
(La notación en Estados Unidos es diferente: 6 ÷4 = 1R2). Uno debería
tener presente que 1R2 no denota un número, sino el resultado de una
operación, y que la apreciación de su significado exige recordar que hemos dividido por 4.)
En este momento uno de los niños nos sorprendió: cada una de las
dos monedas del resto se puede cambiar por 2 monedas de 5 pesos, nos
dijo. De esta manera, cada niño recibe una moneda de 10 y una de 5, lo
que da como total 15 pesos. Escribimos esta opción en el pizarrón (no
teníamos monedas de 5) y analizamos la relación entre cambiar dinero y
las fracciones: el valor de una moneda de 5 es la mitad o “un medio” de
una moneda de 10. Escribimos el ejercicio en pesos: 60 ÷ 4 = 15. Analizamos si el resultado estaba correcto: 4 veces 15 es realmente 60.
Casi al final de la clase empezamos con la experimentación personal.
Agrupamos a los alumnos en pares y dimos a cada par un número diferente de caramelos. Les pedimos a los niños que dividieran entre ellos
los caramelos, y dejamos que eligieran si querían partir el caramelo que
sobraba (en caso de que el número no se dividiera en partes iguales) o
si lo querían dejar como resto. Cada niño debía escribir el ejercicio que
correspondía. Cada pareja anunció a la clase lo que habían hecho. Obviamente, los niños estaban tan contentos (al igual que la profesora y yo)
que decidimos finalizar la clase con los niños contándonos lo que más les
había gustado de la clase. Ellos afirmaron que les había gustado aprender cómo partir o dejar el resto y cómo anotarlo.
Ésta fue una de esas clases mágicas que hacen que nuestro trabajo
como profesores valga la pena.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 113
Significado y problemas de enunciados
Algunos libros escolares incluyen “problemas de enunciados” en un capítulo separado. El mensaje es que éstos corresponden a una de las áreas
de la aritmética o, lo que es peor: son su aplicación. Es como si un texto
escolar en otra lengua incluyese, entre sus variados capítulos, un título
que diga: “Cómo utilizar el lenguaje estudiado para describir el mundo”;
o como si se dedicara un año completo para aprender palabras, y su significado sólo se enseñara al final del semestre. Los problemas de enunciados no son un capítulo más dentro de los capítulos de la aritmética, sino
que son la esencia. Son los puntos de partida y de llegada, porque expresan el significado de las oraciones. El significado de la aritmética, que corresponde a traducir situaciones de la vida real en ejercicios aritméticos,
se debería enseñar desde el principio. A quienes se les enseñó de esta
manera, y que además ejercitaron lo inverso, es decir, que inventaron
sus propias historias aritméticas, los problemas de enunciados no serán
la pesadilla que son para la mayoría de los estudiantes en la actualidad.
Aun así, calcular sigue siendo importante. Después que se ha completado la transición de situaciones de la vida real a ejercicios aritméticos,
se debe calcular el resultado del ejercicio. Ése será nuestro próximo tema.
B. El cálculo
Calcular no consiste sólo en encontrar el resultado de un ejercicio: implica encontrar la representación decimal del resultado. Por ende, la capacidad
de calcular es clave para una comprensión profunda del sistema decimal.
Ésta es una de las razones por las cuales calcular es tan importante, además de ser la razón por la cual la calculadora no sirve de reemplazo.
Las operaciones matemáticas se pueden resolver de muchas maneras. Los métodos que se enseñan en los colegios en la actualidad son el
resultado de ideas desarrolladas y perfeccionadas generación tras generación y se ha invertido en ellos mucha sabiduría. La mayoría se basa en
la notación vertical de los ejercicios, de manera tal que los dígitos que
corresponden a las unidades estén uno arriba del otro, los dígitos que corresponden a las decenas estén uno encima del otro y así sucesivamente
con la centenas en adelante.
Los cálculos se basan en el conocimiento de las tablas de sumar y
multiplicar, que corresponden a la suma y al producto de números menores a 10. Éstas se deben aprender de memoria. Los alumnos deberían
conocer de manera acabada la tabla de sumar en primer año, y las tablas
de multiplicar en el segundo o tercer año. Además, los niños deberían
estar familiarizados con las reglas que rigen tales operaciones, como la
ley distributiva y las reglas de cambio.
La operación de la división es una de las más difíciles de calcular. Por
otro lado, el algoritmo de la división incluye principios fundamentales y,
por ende, no se debería pasar por alto.
116 Aritmética para padres y madres
El cálculo de la suma
El conteo secuencial
Calcular, como ya lo mencionamos, significa descifrar y encontrar la representación decimal del resultado. No obstante, tiene una excepción, un
método de cálculo básico que aparece en las sumas. ¿Cómo calculamos
6 + 2? Sabemos que 6 + 2 significa unir un grupo de 6 elementos y un
grupo de 2. Sin embargo, hay un pequeño truco que nos puede ahorrar
mucho esfuerzo: después de todo, ya hemos contado 6 elementos. No
hay necesidad de repetir lo que ya se ha hecho. Podemos empezar desde
6 y sumar 2 más: 7, 8. Este método se llama “conteo”. Vamos a preferir el
término un poco menos coloquial “conteo secuencial”.
| | | | | | | |
| |
... 6, 7, 8
Comprender el principio del conteo secuencial es la piedra angular
en el desarrollo del pensamiento del niño, por una buena razón: requiere
la capacidad de retener una cantidad en la mente, aunque sólo sea por
un breve instante. Aunque este principio es fundamental, no es innato.
Se puede enseñar. He aquí un pequeño truco que uso en las clases de
primer año para enseñar este principio. Dibujo 5 líneas en la pizarra, y 3
más al lado de ellas, y les pido a los niños que me digan cuántas hay en
total. Ellos cuentan todas las líneas: 1, 2, 3,..., 8. Lo que hacen está bien,
pero es una pérdida de tiempo. Luego dibujo, por ejemplo, 6 líneas y 2
más al lado. Una vez que contaron todas las líneas del grupo 6, las cubro
con mi mano y sólo dejo el grupo de 2 líneas al descubierto. ¿Me puede
decir cuántas líneas hay en total, aunque algunas se encuentran escondidas? Ahora no tienen opción, no pueden contar. Pero sí saben que 6
están escondidas. Si esto es así, ellos pueden seguir contando de ahí en
adelante: 7, 8.
El conteo secuencial
Para calcular 6 + 2 comenzamos con el 6 (“ya lo hemos contado”) y
continuamos contando 2 más, es decir: 7, 8. Cuando usamos el conteo
secuencial es más fácil contar 6 + 2 que 2 + 6.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 117
La tabla de sumar
“Existe el Polo Sur”, dijo Christopher Robin,
“y supongo que existe un Polo Este y un
Polo Oeste, pero a la gente no les gusta hablar
acerca de ellos”.
A. A. Milne, Winnie de Pooh
La tabla de multiplicar es una de las principales características de la aritmética, como ya sabemos todos. Aunque sólo unos pocos hablan acerca de la tabla
de sumar, no por eso es menos importante. La “tabla de multiplicar” consiste
en los múltiplos de los números menores a 10. La “tabla de sumar” incluye sus
sumas: 1 + 1, 8 + 3, 9 + 7. A veces éstos se denominan “verdades de la suma”.
¿Por qué son tan importantes estas dos tablas? Porque son la base de los
cálculos del sistema decimal. Representan las herramientas básicas para
hacer cálculos con números mayores. Ambas deberían ser memorizadas.
Los niños deberían aprender y memorizar la tabla de sumar en primero
básico y la de multiplicar a finales de segundo básico o en tercero básico.
Para sumar, uno debe saber la tabla de sumar (la suma entre dos
dígitos cualquiera) y el principio de agrupar por decenas.
Para restar, uno debe saber la tabla de sumar, la que se utiliza para
realizar restas como 13 – 5, además de saber cómo romper decenas en
unidades, o centenas en unidades.
Para multiplicar, uno debe saber la tabla de multiplicar, el principio de agrupar en decenas y la ley distributiva. La división utiliza los
mismos principios de la multiplicación, pero es un poco más difícil.
Sumar decenas a unidades
Cuando uno suma decenas a unidades, uno no hace nada en especial: 3
decenas más 2 unidades son simplemente 3 decenas más 2 unidades; eso
es todo. En otras palabras: treinta más dos es igual a treinta y dos.
30
2
3 2
Un chiste puede ayudar a aclarar este punto: ¿Cuál es el color del
caballo blanco de Napoleón? O incluso otro chiste: ¿Qué está sobre una
118 Aritmética para padres y madres
repisa y hace tictac, y si se cae hay que comprar un reloj nuevo? Los niños
descubren el principio de inmediato: la respuesta está en la pregunta.
Lo mismo ocurre con treinta más dos: simplemente es treinta y dos. La
respuesta está en la pregunta.
Cuando se cruza la frontera del diez
En el ejercicio 8 + 5 ambos sumandos son menores que 10, pero el resultado es mayor a 10. Dado que este tipo de ejercicio es importante, vamos a
darle el siguiente nombre: “Cuando se cruza la frontera del diez.”
Cruzar la frontera del diez es importante tanto desde un punto de vista matemático como educacional. Matemáticamente, representa la base
para calcular la suma y resta de números mayores a 10. Por otro lado, en
el plano pedagógico constituye una experiencia nueva para los alumnos:
hasta ahora, los niños han aprendido a agrupar decenas sólo con el propósito de organizar el número. Ésta es la primera vez que la agrupación
de decenas aparece en un cálculo. Como en cualquier instancia en que
los niños hacen algo por primera vez, se les debe felicitar.
La primera clase donde se cruza la frontera del diez
Profesor (dibuja una fila de 14 corazones en la pizarra): ¿Cuántos corazones hay aquí?
Alumnos:14.
Profesor (escribe el número 14 en la pizarra): ¿Qué representa el número 1?
Alumnos:Una decena.
Profesor: ¿Y el 4?
Alumnos:4 unidades.
Profesor: Muy bien. 14 es una decena y 4 unidades. ¿Pueden mostrarme eso en el dibujo? Muéstrenme el 10.
Un alumno se acerca a la pizarra y encierra en un círculo diez de los
14 corazones.
Profesor: Muy bien. Dentro del círculo tenemos diez corazones y se
puede ver que es una decena. Fuera del círculo hay 4 corazones. Ahora hagamos otro dibujo (dibuja 9 corazones en
una fila, y en una fila diferente al lado dibuja 5 corazones).
¿Cuál es la oración matemática que se esconde aquí?
Clase:
9 + 5.
Profesor: Muy bien. Descubramos cuánto es 9 + 5. Ya hemos visto que
debemos agrupar una decena. ¿Quién quiere venir a agrupar una decena? Se parte con el 9 y se completa hasta llegar
a diez. Un alumno se acerca a la pizarra y encierra en un
círculo 9 corazones, y añade un corazón del grupo de 5.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 119
Profesor: Sí, muy bien. ¿Cuántos corazones se quedan fuera del círculo?
Alumnos:4.
Profesor: Muy bien. El 5 le dio un 1 al 9 para completar 10. Quedaron
4. ¿Cuántos corazones hay en total?
Alumnos: 10 más 4, que es 14.
Este proceso se debería repetir también con una actuación aritmética.
Para hacer esto se les pide a dos niños que vengan al frente de la clase y
se les da 9 bombillas a uno y 5 al otro. Hay que recordar a los niños que
deben agrupar decenas: ¿puede un niño pasarle más bombillas a otro para
que completen una decena? ¿A qué niño le sale más fácil completar una
decena? ¿Al que tiene nueve bombillas o al que tiene cinco bombillas? Los
niños llegarán a la conclusión de que el segundo niño debería darle una
bombilla al primero, para que así las bombillas del primero lleguen a 10.
Después de hacer eso, se queda con 4. ¿Cuántas tienen entre los dos? Se
debe repetir el mismo ejercicio una y otra vez con diferentes números.
Sorprende observar que este proceso, al parecer sencillo, requiere de
una gran cantidad de conocimientos previos. De hecho, requiere todos los
conocimientos aprendidos hasta ahora en primero básico. En primer lugar,
requiere saber el significado de la suma: juntar 9 corazones y 5 corazones
es igual a sumar 9 + 5. Asimismo, uno debe estar consciente de la posibilidad de partir números: por ejemplo, partir 5 en 4 + 1. Se requiere saber que
se puede partir 10 en 9 + 1. Además, para este ejercicio, se debía resolver
una ecuación: ¿cuánto se le debe sumar a 9 para llegar a 10? Por supuesto,
es necesario saber el principio de agrupación de decenas. Finalmente, se
necesita conocer el orden de los números. En el proceso que describimos,
el mayor de los sumandos debe completarse para llegar a 10: por ejemplo,
en 9 + 5 se debe completar el 9 para que llegue a 10; es decir, se debe transferir un 1 del 5, y no al revés: transferir 5 del número 9 al número 5. Por lo
tanto, también se debe conocer la idea de “menor” y “mayor”.
Cuando se cruza la frontera del diez: 9 + 5 = 14
120 Aritmética para padres y madres
En primera instancia, cruzar la frontera del diez parece ser un proceso sencillo. Pero cuando lo examinamos de cerca se nos vuelve patente el
número de principios que contiene y la complejidad de los mismos. Si las
matemáticas básicas parecen sencillas, es sólo porque sus principios son
tan fundamentales que se nos pierden de vista.
Éste también es un buen ejemplo de la importancia de la sistematización y de conocer las etapas preliminares de cada materia. También nos
enseña cuánto se puede esperar de un alumno de primero básico. ¡Es
increíble todas las estructuras de pensamiento que adquieren los niños
durante un lapso tan corto de tiempo!
¿Por qué se comienza a sumar desde la derecha?
O: las unidades son superiores a las decenas
Ahora llegamos al cálculo general de la suma. Veamos el ejercicio: 92.138
+ 78.964. ¿Es posible calcular a primera vista la unidad de mil del resultado? Lo dudo.
Pero, ¿podemos encontrar a primera vista el dígito de la unidad? Sí,
2. ¿Por qué? Porque 8 + 4, la suma de las unidades de ambos sumandos
es igual a 12, que tiene 2 unidades. Todos los otros dígitos de los sumandos
representan decenas, centenas, unidades de mil; y éstos no incluyen unidades no
agrupadas. Debido a esto, las 2 unidades permanecerán invariables a lo
largo de todo el algoritmo. Sin temor a que tengamos que repetir pasos,
el número “2” puede anotarse como el dígito que representa la unidad
del resultado.
Por esta razón al sumar, restar y multiplicar se empieza por la derecha, por el dígito de la unidad. Mostremos esta regla con una suma de
números de dos dígitos:
26
+ 39
Como lo mencionamos en el capítulo “Significado y Cálculo”, la suma
se escribe de manera vertical para que las unidades queden sobre las
unidades y las decenas sobre las decenas. Nuevamente se comienza por
la derecha, con los dígitos de las unidades. La suma del 6 y el 9, las unidades de los sumandos, es 15, y ahora toca el turno de agrupar: los 10 del 15
se agrupan en una decena; por ende, quedan 5 unidades, que se anotan
en el lugar que corresponde. ¡El dígito de la unidad no cambiará de ahora
en adelante! Cuando continuemos, sólo nos encontraremos con decenas
completas, lo que no cambiará el dígito de la unidad.
Por lo tanto, el 5 del 15 permanece como la unidad. La decena agrupada anteriormente se transfiere a las decenas (que es donde pertenece).
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 121
¿Cuántas decenas hay ahora? 2 de 26; 3 de 39; y 1 más, la que fue transferida. En total, 6.
Entonces, el resultado es: 5 unidades y 6 decenas. En total, 65.
¿Qué habría pasado si hubiésemos empezado por la izquierda? Había
2 más 3 decenas, que suman 5. Pero si el 5 se hubiese anotado como el
dígito de las decenas, tendría que haberse cambiado después, cuando
descubramos que hay otra decena que sumar, resultado de la suma de
las unidades.
Así es como se inició la escritura del lenguaje chino antiguo. Comenzaban por la izquierda y después tenían que cambiar lo que habían escrito. Nosotros hacemos lo mismo cuando realizamos cálculos mentales, lo
cual tiene sentido: los dígitos a la izquierda son más importantes, por lo
que parece razonable comenzar por ellos. Sin embargo, cuando estamos
frente a números grandes es posible que haya muchos cambios como
para recordarlos todos.
Los algoritmos que se usan en la actualidad para sumar, restar y
multiplicar comienzan todos por el lado derecho del número. La ventaja de este método es que se evita tener que volver atrás. Una vez que
se encuentra el resultado del dígito de la unidad, éste nunca cambiará.
Después, se puede calcular el dígito de las decenas sin temor a que
haya que volver a revisar los pasos anteriores, y así sucesivamente.
122 Aritmética para padres y madres
Resta: ¿prestar o reorganizar?
Dos maneras de cruzar la frontera del diez en la resta
En un ejercicio como 12 - 5 la frontera del diez se cruza al descender. Es
lo opuesto a lo que hicimos con 7 + 5. Tal como cruzar la frontera del diez
al ascender es la base de la suma vertical, cruzar la frontera del diez al
descender es la base de la resta.
En algún momento los niños deberían conocer bien los detalles de
la resta, especialmente todas las restas que requieren cruzar la frontera
del diez. Estas restas se deberían memorizar para luego utilizarlas como
parte del algoritmo de la resta. Pero, antes de que sean memorizados, se
debe aprender a calcularlas. Aquí me encontré con otra de las muchas
sorpresas que enfrentaría durante mi aventura en la enseñanza básica:
creía que sólo existía una manera de calcular diferencias como 12 - 5,
pero descubrí que hay otra manera de hacerlo.
El método que yo conocía consiste en romper el 5 en 2 + 3, restando
primero el 2 del 12 y luego el 3. Restar el 2 es sencillo (el método se basa
en este hecho): nos lleva al 10. Luego se resta el 3 del 10, un ejercicio que
ya deberíamos conocer, que da como resultado 7.
El segundo método consiste en partir el 12 en vez del 5, lo cual igual
es sencillo: 12 es 10 + 2. Ahora debemos restar el 5, y podemos hacerlo
restándolo al 10: 10 - 5 = 5. Ahora, el 2 que ignoramos por un momento
debería sumarse: 5 + 2 = 7.
La ventaja del primer método es que es el proceso inverso de la suma,
la cual los niños ya conocen. La desventaja es que requiere saber cómo
partir el 5. La ventaja del segundo método es que romper el 12 en 10 y 2
es bastante sencillo y no requiere mucho esfuerzo. La desventaja es que
“desciende para después volver a ascender”; es decir, se debe primero
restar y después sumar, lo que no es del todo natural cuando se realiza
una resta.
¿Cuál método se debería utilizar? Ambos se deberían enseñar. En mi
experiencia, algunos estudiantes prefieren el primer método mientras
que otros prefieren el segundo. Cada niño escogerá el método que le sea
más conveniente. Eventualmente, el cálculo de ejercicios como 12 - 5 de-
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 123
bería convertirse en algo que se realiza de manera automática, es decir,
de memoria.
La historia de Liping Ma
Ahora comenzamos con la resta vertical. Éste es el momento ideal para
contar un relato de la historia reciente de la enseñanza de las matemáticas.
Desde 1964 la Asociación Internacional para la Evaluación del Rendimiento Educativo (IEA por sus siglas en inglés) ha realizado evaluaciones
matemáticas comparativas en establecimientos de educación básica en
varios países alrededor del mundo. Aparte de entregar a cada país un
indicador de la eficacia de sus sistemas educativos, estas evaluaciones
también permiten comparar diferentes métodos de enseñanza. Resulta
que, en estas evaluaciones, los estudiantes chinos han obtenido mejores
resultados que los estudiantes estadounidenses. Esto nos presenta un
acertijo que nos deja perplejos. Los estadounidenses invierten más en la
educación, sus clases tienen menos estudiantes y, por lo general, sus profesores tienen más años de educación. El profesor promedio norteamericano estudia en una universidad por cuatro años. Por lo tanto, tiene a su
haber un total de 16 años de educación. El profesor promedio chino tiene
a su haber 11 años de educación: 9 años de educación escolar y dos años
en seminario para la formación como docente.
Liping Ma, una profesora china que completó su Doctorado en Estados Unidos, se dedicó a investigar este asunto. Su historia es, en sí
misma, fascinante. Durante la Revolución Cultural, a finales de la década de 1960, debido a su calidad de hija de padres cultos, fue deportada
a un pueblo remoto. El alcalde del pueblo descubrió sus habilidades de
enseñanza y le asignó a los alumnos de primero y segundo año en un
solo grupo. Cuando volvió a su ciudad natal, Shanghái, se interesó por la
educación. Viajó a Estados Unidos y obtuvo un Doctorado en Educación
en la Universidad de Stanford. En su tesis compara a los profesores chinos y estadounidenses, en particular los conocimientos de matemáticas
que poseen. A cada profesor entrevistado Ma le asignó un tema y le preguntó cómo lo enseñarían. Su conclusión fue sorprendente: la principal
razón por la cual los chinos obtuvieron mejores resultados es porque los
profesores de enseñanza básica chinos saben más sobre las matemáticas
básicas que sus contrapartes estadounidenses.
La primera sorpresa fue darse cuenta que sí había algo que saber. Ma
tituló su libro “Conocimiento y Enseñanza de las Matemáticas Elementales”, lo que implica que es bastante lo que se debe saber para enseñar
matemáticas básicas, y que existe una relación cercana entre lo que sabe
cada docente y la calidad de la educación. La segunda sorpresa es que
124 Aritmética para padres y madres
la materia avanzada que los estadounidenses aprenden y estudian en la
universidad no es realmente relevante para su desempeño como docentes. Es mucho más importante saber en detalle sobre las matemáticas que
se enseñan en la educación básica y respetar su complejidad, pues este
respeto se transmite de manera inconsciente a los estudiantes.
La resta vertical: nueva agrupación de números
Una de las preguntas que hacía Ma a los profesores era cómo enseñarían
el ejercicio:
53
– 26
El problema aquí es que 6 es mayor a 3; por lo tanto, no se pueden calcular las unidades por separado. Sólo aquellos que conocen los números
negativos pueden calcular 3 - 6. ¿Cómo se puede resolver este problema?
Usualmente, a esta solución se le llama “préstamo”. El 3 “pide prestado”
una decena de las 5 decenas representadas por el dígito 5. Hay una razón
válida detrás de esta metáfora (lo que veremos más en detalle después),
pero su contribución a la enseñanza de la aritmética es dudosa. La mayoría de los profesores estadounidenses utilizaron estos términos. Pero los
chinos, justamente, señalaron que eran términos engañosos. Realmente
no ocurre ningún “préstamo” en el ejercicio, pues el 3 no tiene ninguna
intención de devolver la decena que tomó prestada. Un profesor chino
afirmó que un préstamo por lo general se debe negociar. ¿Qué ocurre si
el 5 se niega a prestarle una decena al 3?
Los profesores chinos prefirieron utilizar el término “reagrupar”, lo
que significa que se debe reagrupar el 53: s e saca una decena de las 5
decenas y se le suma al 3. El resultado es 40 + 13. Es importante entender
que el 13 representa a 13 unidades no agrupadas, a partir de la cual se
pueden restar las 6 unidades, lo que nos deja con 7 unidades. El 7, entonces, se anota como el dígito de la unidad del resultado. En el lugar de las
decenas quedan 4 decenas, a partir de las cuales restamos 2 decenas, lo
que nos da como resultado 2 decenas. El resultado final es 27.
Uno de los profesores chinos relacionó este problema con lo que sucede en la suma (“Conocimiento y Enseñanza de las Matemáticas Elementales,” página 8):
...Descubrirán ellos mismos el problema, que 53 no tiene las unidades suficientes como para restarle 6. Entonces les diré: bueno, hoy no tenemos las unidades necesarias. Pero a veces, tenemos de sobra. ¿Se acuerdan de la semana pasada
cuando sumamos y agrupamos decenas? ¿Qué hicimos con las unidades que nos
sobraron? Ellos responderan que las agrupamos en decenas. ...Entonces, ahora
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 125
que no tenemos las unidades que necesitamos, podemos romper las decenas en
unidades. Vamos a romper una decena del 53 para que así tengamos las unidades
que nos faltan.
La metáfora del préstamo
A pesar de que la metáfora del préstamo no es realmente la más adecuada, ésta no surgió de manera fortuita. Hay algo de verdad en ella: tal
como en los préstamos reales, la generosidad puede ser temporal. Cuando un dígito da una decena al dígito a su derecha, puede ser que después
reciba, como devolución, un monto mayor, como una centena. Pero, a diferencia de un préstamo, el que hace la devolución no es el mismo dígito
que recibió el préstamo. La decena fue prestada al dígito en la derecha,
pero la centena proviene del dígito en la izquierda.
Por ejemplo:
432
– 198
Comencemos por la derecha. Para restar las 8 unidades del sustraendo de las 2 unidades del minuendo, se debe transferir una decena de las
tres decenas a la izquierda. Ahora hay 12 unidades, y al restar 8 quedan
4. Éste es el dígito de la unidad del resultado.
Pero ¡tenemos el mismo problema con las decenas! De las 3 decenas
del número 432 original solo quedan 2. A ellas se les tiene que restar las
9 decenas del número 198, pero no hay suficientes decenas. Una de las
centenas del 4 en 432 tendrá que cambiarse y sumarse a las 2 decenas.
Ahora hay 12 decenas, a partir de las cuales se puede restar las 9 decenas:
el dígito de la decena del resultado es el 3.
432
– 198
34
□
De las 4 centenas de 432 sólo quedan 3. A ellas se debe restar una centena de 198. El resultado es 2 centenas. Éste es el dígito de la centena del
resultado. Entonces, el resultado es 234.
El generoso 3, que dio una decena al 2 a su derecha, recibió después
diez decenas (una centena) de las 4 centenas a su izquierda. ¿Significa
que pidió un préstamo? No realmente. Pero algo así hizo.
126 Aritmética para padres y madres
El cálculo de la multiplicación
La tabla de multiplicar
Un matemático se encuentra con un viejo
amigo y se da cuenta que ahora es un hombre
adinerado. “¿Cómo lo hiciste?”, le pregunta.
“Apostando”, le responde el amigo. “Una
noche soñé con seis vagones, cada uno
llevaba a 7 caballos. Supe de inmediato que
mi número de la suerte era 6 por 7, que
es 43. Aposté todo mi dinero en el caballo
número 43 y efectivamente el caballo ganó.
“¡Pero 6 por 7 es 42!”, le responde alterado
el matemático. “¿En serio?” dice el amigo.
“Bueno, tú eres el matemático”.
En este capítulo estudiaremos el algoritmo de multiplicación vertical, un
método muy usado para calcular multiplicaciones. Se basa en dos principios: la tabla de multiplicar (números menores a 10) y la agrupación en
decenas. Se debería enseñar en tercero básico.
Comenzaremos por la tabla de multiplicar. Pippi Longstocking,
la heroína del libro de Astrid Lindgren, afirma que uno puede vivir
una vida perfectamente normal sin esta tabla. ¿Es realmente necesario
memorizarla? ¿Tenemos que recordar cuánto es 7 por 8? ¿No debería
ser suficiente sólo con saber cómo hacer el cálculo? (Aunque Pippi
tampoco es muy buena en estos cálculos). En los capítulos siguientes
veremos que hay buenas razones por las cuales es preferible memorizar las tablas.
El primer paso para memorizar la tabla de multiplicar es repetir series. Por ejemplo, para aprender la tabla de multiplicación del 6, se debería recitar la serie 0, 6, 12, 18, etc., en voz alta: “0 por 6 es 0, 1 por 6 es
6...”. Los niños se darán cuenta que en cada paso se suman 6 más. Luego
se retrocede, empezando por 60: “10 por 6 es 60, 9 por 6 es 6 menos, es
decir, 54, 8 por 6 es 6 menos, que es 48,” y así en adelante. El número 9
tiene un truco especial. Por ejemplo, 9 por 7 es 10 por 7 menos 1 por 7, o
70 - 7 = 63. De la misma manera, 9 x 6 es 60 - 6, que es igual a 54. Otra manera de recordar los múltiplos de 9 es tomar en cuenta la siguiente regla:
en 9 por 2, el dígito de la decena es 1; en 9 por 3, el dígito de la decena es
2; en 9 por 4 el dígito de la decena es 3. La regla: el dígito de la decena es
1 menos que el multiplicando. Por ejemplo, en 9 por 7, el dígito de la decena es 1 menos que 7, es decir 6. ¿Qué ocurre con el dígito de la unidad?
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 127
Completa el dígito de la decena hasta que sume 9. Por ejemplo, en 9 por
7, el dígito de la decena es un 6 y el dígito de la unidad completa el seis
para que entre los dos sumen 9; es decir, es 3.
Esta regla es la base para poder calcular los múltiplos del 9 sólo con
los dedos. Hagamos nuevamente una demostración con 9 x 7. Extienda
todos los dedos de las manos y doble el 7° dedo desde la izquierda (que
corresponde al dedo índice de la mano derecha). A la izquierda del dedo
doblado ahora hay 6 (es decir, 7 - 1) dedos, y a la derecha hay 3 (que es
9 - 6) dedos. Estos dos números corresponden a los dígitos del resultado.
Personalmente, yo prefiero el método de 70 - 7.
Los múltiplos del 8 tienen un truco similar. Por ejemplo, 8 x 6 es igual
a 10 x 6 - 2 x 6. En otras palabras, es 60 - 12, que es 48.
Los múltiplos de 5 son fáciles de calcular si se recuerda que significa
multiplicar por 10 y luego dividir por 2. Por ejemplo, 5 x 6 = 10 x 6 ÷ 2 =
60 ÷ 2 = 30.
Los alumnos de primero y segundo básico ya conocen los múltiplos
de los números 2, 3 y 4. Hasta ahora hemos visto los múltiplos de 1, 2,
3, 4, 5, 9. ¿Qué nos falta? No mucho más. Sólo los productos de 6, 7, 8
entre ellos (tomando en cuenta que la regla para el 8 que mencionamos
anteriormente es un poco difícil y no se utiliza realmente). Sólo hay
seis. En primer lugar, los tres múltiplos de los números multiplicados
por sí mismos: 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49 y 8 x 8 = 64. Después quedan 6 x 7 =
42, 6 x 8 = 48 y 7 x 8 = 56. De las docenas de multiplicaciones en la tabla
de multiplicar, sólo seis se deben aprender por separado. Éstas hay que
memorizarlas; no queda otra alternativa. La última, a todo esto, es fácil
de recordar, pues la sucesión de números 5 6 7 8 calza con 56 = 7 x 8.
Aquí hay otra regla: Los múltiplos de 6 por números pares son fáciles,
pues el último dígito siempre es el mismo que el multiplicando. Por
ejemplo, 6 x 4 = 24, el último dígito es 4. O 6 x 8 = 48, en donde el último
dígito es 8.
¿Pueden descubrir cuál es la regla para averiguar el primer dígito de
los múltiplos de 6 que son pares?
Semana de la tabla de multiplicar
A finales de segundo año, o a comienzos de tercero, me gusta organizar
una semana de la tabla de multiplicar. Los padres reciben un boletín informativo que anuncia esta semana y donde se les pide que participen.
En el primer día de esta semana se enseñan los múltiplos de 4 (se supone
que los niños ya saben los múltiplos del 2 y 3). Esto se hace revisando una
y otra vez los múltiplos del 4; los escribimos y los comparamos entre ellos
(si 4 por 10 es 40, ¿cuánto es 4 x 9? Si 5 por 4 es 20, ¿cuánto es 6 por 4?)
128 Aritmética para padres y madres
Esto no debería tomar más de una hora. Luego, en casa, los padres deben
ensayar con sus hijos hasta que memoricen la tabla del 4. En el segundo
día se estudian los múltiplos del 6 (los múltiplos del 5 son fáciles, y se
deberían aprender antes); en el tercer día se estudian los múltiplos del 7;
en el cuarto día se estudian los múltiplos del 8; y en el quinto día se estudian los múltiplos del 9. Cada día los niños deberían darse cuenta que
cada vez les quedan menos múltiplos por aprender: por ejemplo, 9 por 4
lo aprendieron en el primer día, por lo que cuando llegan a los múltiplos
del 9 ya conocen el resultado de esta multiplicación. La participación de
los padres permite que se involucren en el proceso de aprendizaje de sus
hijos, lo que en sí mismo es un gran logro.
Consejo para padres y madres:
Una de las cosas más fáciles que los padres pueden hacer es ayudar a sus
hijos a memorizar la tabla de multiplicar. Se pueden hacer juegos, ejercicios antes de cenar, pegar información en el refrigerador y muchas otras
actividades. Es fácil ser creativo en este aspecto.
Por ejemplo, cuando un niño está estudiando la tabla de multiplicar,
se pueden cantar canciones relacionadas mientras se está en el auto, en
donde cada pasajero tiene su turno: “Papá: uno por 6 es 6”, y el hijo: “2
por 6 es 12”, y luego hacerlo al revés: “10 por 6 es 60, 9 por 6 es 54 ...”.
Como siempre, las preguntas que dan el resultado pero buscan la multiplicación son una buena idea: ¿Quién puede encontrar primero un ejercicio de multiplicación que dé como resultado 30? ¿Y uno que resulte en 42?
Multiplicar por decenas enteras
Ahora ha llegado el momento de aprender a multiplicar por 10, 100,
1.000, etc. ¿Qué le ocurre a un número cuando es multiplicado por 10?
Todos sabemos que se añade un 0 a la derecha. Por ejemplo, 23 x 10 = 230.
¿Por qué? Veamos qué le sucede al 23 cuando se añade un cero a la
derecha. Las 3 unidades se mueven un espacio hacia la izquierda y se
transforman en 3 decenas, por lo tanto, éstas han sido multiplicadas por
10. Las dos decenas se corren un espacio hacia la izquierda, al lugar de
las centenas, y se convierten en 2 centenas. Ellas también son 10 veces
más grandes. Cada parte del número aumenta 10 veces, por lo que todo
el número aumenta 10 veces.
De igual manera, si multiplicamos por 100 se añaden dos ceros a la
derecha del número, si multiplicamos por 1.000 se añaden 3 ceros, etc.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 129
La multiplicación vertical
Primera etapa: multiplicar por un número de un solo dígito (menor a 10)
Ahora contamos con todas las herramientas para realizar la multiplicación vertical. Sin embargo, la estudiaremos etapa por etapa. La primera
parte consiste en multiplicar por un número de un solo dígito, por ejemplo 234 x 7. En primer lugar, se debe recordar el significado de 234, que
es 200 + 30 + 4. De acuerdo con la ley distributiva, deberíamos multiplicar
7 por 200, por 30 y por 4, y luego sumar los resultados.
Una observación útil, que ya se ha hecho, es que las unidades de un
solo dígito se obtendrán sólo de la multiplicación de 7 por 4, porque la
multiplicación de 7 por 30 y por 200 daría como resultado decenas y
centenas. Por lo tanto, el dígito de las unidades sólo vendrá de 4 por 7,
que es 28, el cual tiene 8 unidades. Ahora sabemos cuál es el dígito de las
unidades: es el 8.
Entonces, escribimos 8 en el espacio que corresponde a las unidades. Pero
recuerden, el resultado era 28, por lo que todavía quedan 2 decenas que
se deben añadir al resultado. Éstas no se deben olvidar. Por lo general, se
anotan sobre el dígito de la decena del multiplicador: sobre el 3 en 234.
Ahora sigamos con las decenas, y multipliquemos 30 por 7. Aquí utilizamos un atajo. El 3 (el segundo dígito del número 234) es multiplicado
por 7, y debemos recordar que corresponde a 3 decenas y no a 3 unidades. El resultado es 21 decenas. Pero no olvidemos que aún quedan 2
decenas de la multiplicación anterior. Por lo tanto, ahora hay 23 decenas
que corresponden a 3 decenas y 2 centenas. Las dos centenas se dejan
para la próxima etapa, pues no afectará el dígito de las decenas. Entonces
podemos escribir 3 en el lugar que corresponde a las decenas. Todavía queda
multiplicar 7 por 200, pero el resultado estará en centenas y no alterará el
resultado de las decenas.
Recordemos que quedan 2 centenas de la multiplicación anterior, las
cuales se guardaron para esta multiplicación.
Finalmente, las dos centenas del número 234 se multiplican por 7. El
resultado es 14 centenas. Se suman las dos centenas que sobraban de la
operación anterior, para que en total haya 16 centenas, que corresponde
a 1 unidad de mil y 6 centenas.
Al juntar todo el resultado obtenemos 1.638.
Etapa dos: multiplicar por decenas
Después debemos aprender a multiplicar por decenas enteras, específicamente por números como 20. ¿Cómo se calcula, por ejemplo, 234 x
20? La respuesta está en el chiste de la tetera; es decir, “esto ya lo hemos
130 Aritmética para padres y madres
resuelto”. El que sabe calcular 234 x 2 también sabe calcular 234 x 20.
Sabemos que 234 x 2 = 468 (es una multiplicación fácil, pues cada dígito
es multiplicado por 2, no hay nada que sobre y se deba guardar para el
siguiente). Pero entonces
234 x 20 = 234 x 2 x 10 = 468 x 10 = 4.680.
¡Sólo multiplicamos por 2 y añadimos un cero a la derecha!
Etapa tres: unión de las primeras dos etapas
Ahora podemos unir las dos primeras etapas. En los ejemplos, calculamos 234 x 7 y 234 x 20. Ahora calculemos 234 x 27.
Según la ley distributiva, 234 x 27 es igual a 234 x 7 + 234 x 20. (234
x 7 aparece primero porque así es como se realiza la multiplicación, el
primer número se multiplica por el dígito de la unidad y luego por el de
las decenas, lo que guarda relación con un tema de convención y no de
necesidad). El resultado del primero, como ya hemos visto, es 1.638. El
del segundo es 4680. Para sumarlos, los ponemos uno sobre el otro, como
de costumbre. De hecho, para que sea aún más organizado, escribimos el
resultado de 234 x 20 bajo el 1638 a medida que resolvemos el ejercicio de
esta multiplicación. Entonces, el algoritmo completo se ve así:
234x27
1638
+ 4680
6318
Eso es todo. Ese es el algoritmo. Sin embargo, en este momento hay
un pequeño cambio: el dígito de la unidad, 0, se borra del número 4.680.
Entonces el algoritmo ahora queda así:
234x27
1638
+468
6318
¿Por qué se puede hacer esto? Sabemos que el dígito 0 cumple la función de marcar la posición con el objeto de clarificar que hay 4 unidades
de mil, 6 centenas, 8 decenas y no cuatrocientos sesenta y ocho. Para esto
se escriben los ejercicios en columnas. Por ejemplo, el dígito 8 aparece en
el lugar de las decenas bajo el número 1.638, por lo que podemos decir
que significa 8 decenas y no 8 unidades.
Si es así, entonces se puede descartar el 0. Sin embargo, esto no es
realmente necesario. Entonces, ¿por qué se hace? Porque el 0 es el re-
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 131
sultado de haber multiplicado por 20. Sin embargo, el número que estamos multiplicando, 27, contiene un 2 y no un 20. Si recuerdan, esto es
exactamente lo mismo que hicimos cuando multiplicamos por 2 y luego
añadimos un 0 a la derecha. En consecuencia, el 0 no existía en un principio y no hay ninguna razón para añadirlo. Algunas personas suelen
dejarlo. Quizás es una buena idea. Hace que las cosas no parezcan un
acto de magia.
¿Qué pasa cuando hay centenas en el multiplicando? Por ejemplo, 234
x 527. Al resultado de 234 x 27 que calculamos antes, ahora se le deben
añadir 234 x 500. Ya sabemos cómo hacer este cálculo: multiplicar 234
por 5 y añadir dos ceros. Sin embargo, ya aprendimos que los ceros no
son realmente necesarios. Su trabajo es empujar el número dos puestos
hacia la izquierda. Esto lo podemos hacer por nuestra propia cuenta, sin
su ayuda.
¿Por qué este método en especial?
234 x 27 también se puede calcular de una forma que es más fácil de
describir:
234 x 27 = (200 + 30 + 4) x (20 + 7)
= 200 x 20 + 200 x 7 + 30 x 20 + 30 x 7 + 4 x 20 + 4 x 7.
Se trata de la ley distributiva del multiplicador y del multiplicando:
cada uno de los sumandos del multiplicador se multiplica por cada uno
de los sumandos del multiplicando. Ahora ya sabemos cómo calcular
cada uno de los seis productos. De hecho, también calculamos las seis
operaciones utilizando el algoritmo normal, pero organizamos los elementos de manera diferente.
Algunos profesores de matemáticas afirman, supuestamente de forma
razonable, que basta con enseñar sólo este método. No necesita mucha
práctica o muchos ejercicios de multiplicación para entenderlo. Puede ser
un poco engorroso, pero la idea no es realmente que los niños al final lo
usen para calcular; sólo tienen que entender el principio y luego utilizar
una calculadora. ¡Los adultos también utilizan calculadoras para resolver
tales operaciones!
La ventaja del algoritmo clásico
Sin embargo, es mejor confiar en la sabiduría obtenida generación tras
generación, que se expresa en el antiguo algoritmo. Está mejor organizado y requiere anotar menos: en el ejemplo anterior, el algoritmo clásico
requiere la suma de sólo dos números en vez de seis. Esto se debe a que
algunas de las operaciones de suma se llevan a cabo en la mente.
132 Aritmética para padres y madres
Debido a lo engorroso del otro método, es muy probable que no se
utilice y practique demasiado. Éste es un grave error. Las revoluciones
educacionales han fallado por no considerar la práctica. Los principios
se asimilan por medio del trabajo y el esfuerzo.
Hay otro problema acá. No se practica mucho el algoritmo porque se
supone que se puede utilizar una calculadora. Una vez que los niños se
acostumbran al hecho de que algunas cosas están fuera de su capacidad,
y que pueden usar una calculadora, la usarán cada vez más. Lo que es
en sí dañino es la experiencia misma de utilizar un soporte externo para
sacar cálculos (y en este caso, un soporte que no sólo ayuda sino que hace
todo el trabajo).
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 133
¿Memorizar o calcular de nuevo?
Los beneficios de memorizar
“Comprender, no recitar”, repiten una y otra vez los profesores. De
hecho, no hay mucho que memorizar en las matemáticas básicas. Sólo
en dos oportunidades durante sus estudios los niños tienen que aprender conceptos de memoria: en primero básico la tabla de sumar, y en
tercero básico la tabla de multiplicar. De hecho, no hay forma de evadir
la memorización de estas dos tablas. Si un niño que escribe un ensayo
no sabe cómo escribir la letra “g”, tarde o temprano esto no le permitirá desarrollar su escritura. Cuando un niño no aprende la tabla de
sumar de memoria y se encuentra con una suma como 28 + 17, perderá
tiempo calculando 7 + 8, en vez de aprender los nuevos principios que
se necesitan para resolver el ejercicio. Lo mismo se aplica a la multiplicación. Cuando se calcula 24 x 7, el cálculo de 4 x 7 y 2 x 7 debería ser
automático.
La pregunta es cómo grabar este conocimiento en la memoria: ¿hay
que hacer el esfuerzo de memorizar, o es mejor calcular desde el principio cada operación y esperar que, con el tiempo, el recuerdo se forme
en nuestras mentes? Al principio, recuerdo que me incliné por la segunda posibilidad. Calcular una y otra y otra vez es una buena forma para
aprender bien los principios del cálculo.
Me tomó ver a dos de mis hijos, quienes habían preferido (o tal vez
fue el colegio quien decidió) este método y que se negaban a memorizar, para darme cuenta que esto simplemente no funciona. Es posible
calcular 8 x 7 muchas veces sin tener que recordar el resultado de memoria. Debí prever esto, porque sé que un número de teléfono se puede
marcar docenas de veces sin que se grabe en la memoria. Si no se realiza ningún esfuerzo por tratar de recordar el número, simplemente se
olvida. En otras palabras, pasa de la vista al papel sin dejar marca en
la conciencia.
¿Por qué? La psicología nos ofrece una interesante respuesta.
Dos tipos de memoria
¿Qué tiene 4 patas, una cola y hace “guau”?
Un perro. ¡Oh, alguien ya te lo había dicho!
“Alguien ya te lo había dicho” o “ya sabías” no se pueden dejar de lado
como si nada. Éste es un tipo de memoria. Los psicólogos le llaman a esto
“memoria declarativa”. Incluye las cosas que nos decimos explícitamente
134 Aritmética para padres y madres
o que otras personas nos dijeron y que nos convencimos a nosotros mismos de que son verdad.
La broma del “perro” incluye dos ejemplos de la memoria declarativa.
Uno es “ya sabías”. El otro es que el perro dice “guau”. Sólo los perros en
países de habla hispánica dicen “guau”. Los perros de Israel dicen “howhow”, mientras que sus pares japoneses dicen “hip-hip”. Cada lengua ha
tomado una decisión diferente al respecto, de forma bastante aleatoria.
De hecho, los perros no emiten ninguno de esos sonidos. Sin embargo,
nos dijeron que ése es el sonido que hacen y desde ese entonces tenemos
almacenada esa información en nuestra memoria declarativa.
El segundo tipo de memoria corresponde a la memoria de eventos:
cosas que nos han sucedido o que hemos hecho. No hay mucha relación
entre las dos. Lo que nos sucede no siempre se puede poner en palabras,
ni siempre puede ser recordado. Para viajar de la palabra a la memoria es
necesario declarar y realizar el esfuerzo voluntario de aprender.
No hay otra alternativa: algunas cosas se deben memorizar. No es tan
difícil. Con el tiempo, un poco de práctica nos ahorra mucho tiempo y
nos permite seguir a la siguiente etapa. Tratar de calcular de cero cada
vez es como vivir en un país extranjero sin aprender la lengua y con un
diccionario en la mano durante toda la vida.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 135
El cálculo de la división comienza por la izquierda
El algoritmo de la división y la “guerra de la matemáticas”
¿Cómo se calcula 1368 ÷ 72? En la actualidad utilizamos un algoritmo
abreviado: sacamos la calculadora del bolsillo, apretamos los números
correctos y presionamos el botón “=”. En el pasado se hacía diferente,
pues se utilizaba un método llamado “división larga”, que se ganó su
nombre debido a sus muchas etapas. Las personas que estudiaron este
método adquirieron un conocimiento acabado de los números y una
comprensión profunda del sistema decimal.
De los algoritmos necesarios para calcular las cuatro operaciones
aritméticas, el de la división larga es el más difícil. La mayoría de los
profesores ha llegado a la conclusión de que no es necesario. Afirman
que la mayoría de los niños no lo comprenden. La división, argumentan,
se debería calcular con una calculadora, al igual que calculamos las raíces cuadradas, es decir, sin que las tengamos que resolver por nosotros
mismos. Por otro lado, muchos creen que la división contiene principios
esenciales para la comprensión del sistema decimal. Por ende, la pregunta de si enseñar o no el algoritmo de la división se convirtió en una
forma de contención, en el símbolo del desacuerdo entre las personas
que defendían el uso de las calculadoras y sus oponentes y en un tema
importante de la llamada “guerra de las matemáticas”.
Comprender el algoritmo de la división ofrece grandes beneficios.
Son muchos los principios que se enseñan por medio de esta operación:
el significado de la división, la estimación, al igual que la forma de entender el sistema decimal. Además de éstos, también es importante el
sentido de la maestría. Es importante que los niños sepan cómo calcular
una operación tan común como ésta. Por último: el algoritmo no es tan
complicado. En las siguientes secciones hablaremos en detalle de sus diferentes etapas.
Uno de los logros de los cuales estoy más orgulloso es que formé parte
de un grupo de matemáticos que convencieron al ministro israelí de educación de poner fin al currículo apoyado en la calculadora e implementar
en su lugar la enseñanza del algoritmo de la división en el currículo.
La primera clase sobre el algoritmo de la división
El algoritmo también se conoce como división larga porque, cuando se
escribe en papel, usualmente deriva en una larga columna de números.
¿De qué se trata esta forma de anotación vertical? La multiplicación se
escribe verticalmente para que así podamos añadir verticalmente los
136 Aritmética para padres y madres
componentes del producto. En la división, la razón es diferente: aquí hacemos resta vertical. La resta se hace de esta manera para encontrar la
parte del dividendo (el número que será dividido) que todavía no ha sido
dividido; en otras palabras, el resto.
Esta es la idea principal del algoritmo, y por ende es la primera que se
debe enseñar. Para enseñarla, lo mejor es comenzar con un ejemplo muy
simple que casi llega a ser trivial. De hecho, un ejemplo que en realidad
no requiere una división larga. La división larga es útil cuando el resultado es superior a 10, pero el principio se puede enseñar con resultados
menores a 10.
En tercero básico, para enseñar la división empecé enseñando la división con resto. Tomé 7 lápices y le pedí a una niña que los dividiera entre
dos estudiantes. Le dio tres lápices a cada uno y se quedó con el lápiz
que sobraba como resto. “¿Cuántos lápices dividimos realmente?”. “6”,
me respondió. “¿Cómo lo sabes?”. “Bueno, porque eran 2 estudiantes y le
di a cada uno 3, por lo que, de los 7, dividí
2 x 3 = 6 lápices”.
“Les voy a decir algo nuevo”, le anuncié a la clase. Hay otra forma
de escribir una división. En vez de 7 ÷ 2, las personas a veces lo anotan
como:
7:2=3
Escribimos el divisor a la derecha y el resultado después del signo
igual. Ahora, ¿qué hicimos para saber cuántos lápices se tenían que dividir en realidad? Multiplicamos 2 por 3. Escribamos eso debajo de 7, como
se muestra a continuación:
7:2=3
6
¿Y qué hicimos para encontrar cuántos lápices sobraban, es decir, el
resto? Hicimos una resta, como se muestra a continuación:
7 : 2 = 3
–6
1
¿Por qué la escribimos verticalmente? Al cabo de un rato de debate
llegamos a la conclusión de que, en este caso, no era realmente necesario.
Pero si los números hubiesen sido mayores, escribir uno encima del otro
simplificaría la resta.
Todo esto parece tan simple como un juego de ajedrez en un tablero
de 2 por 2. ¿Es realmente necesario? Sí, claramente. Los principios se
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 137
deben separar y cada ingrediente se debe enseñar por separado. Hasta la
parte más sencilla tiene que enseñarse de manera explícita.
Sugerencia didáctica: comenzar dividiendo por 2
Para realizar una división se necesita conocer la estructura del algoritmo y calcular las operaciones involucradas en cada etapa. A modo de
simplificar la comprensión de lo primero, es importante que la segunda
parte sea lo más sencilla posible. La mejor forma de hacerlo es comenzar
con la división por 2, en que las operaciones de división son fáciles. Sólo
involucran dividir los números menores de 20 por 2, lo que la mayoría de
los niños puede realizar fácilmente.
Primer caso: dividir por 2 cuando todos los dígitos son
divisibles por 2
Analicemos el ejercicio 68 ÷ 2. Sabemos que 8 ÷ 2 = 4, y 60 ÷ 2 = 30. Dado
que 68 = 60 + 8, de acuerdo con la ley de distribución de la división:
68 ÷ 2 = 8 ÷ 2 + 60 ÷ 2 = 30 + 4 = 34.
¿Qué pasó aquí? ¡Sólo dividimos cada dígito por 2! Primero, dividimos el dígito de las decenas, 6, por 2, y el dígito de las unidades, 8, por 2.
Esto se puede hacer siempre que todos los dígitos sean divisibles por 2.
Por ejemplo, 8642 ÷ 2 = 4.321.
¡El algoritmo de la división comienza por la izquierda!
¿Cómo se calcula un ejercicio como 758 ÷ 2, cuando el dividendo tiene un
número que no es par como el 5? Aquí llegamos a una regla que sirve de
título a este capítulo: comenzar por la izquierda. Por ende, la regla es lo
opuesto a lo que utilizamos en la multiplicación y la suma. Sin embargo,
la razón es la misma: tratar de evitar repetir los pasos. Hay un dígito en
el resultado que se puede calcular inmediatamente, sin tener que preocuparnos en caso de que se deba modificar más adelante. En la división esto
ocurre con el dígito que se ubica más a la izquierda.
¿Cuántas unidades hay en 758 ÷ 2? No necesariamente 8 ÷ 2, es decir,
4. (luego ya veremos por qué; de hecho, tenemos que dividir 18 por 2, lo
que da como resultado 9). Sin embargo, está claro cuántos cientos obtendremos. Hay 7 centenas en el dividendo, y cuando se dividen 7 centenas
por 2, la respuesta es 3. Por ende, el dígito de las centenas es 3. Este dígito
no cambiará de aquí en adelante: dividir las decenas por 2 no va a añadir
centenas al resultado.
138 Aritmética para padres y madres
¿Qué se hace con la centena no dividida?
¿Qué pasa ahora? No se dividieron las 7 centenas. Sólo 6 centenas se dividieron, y 1 centena no se dividió, es decir, un resto. Cuando el resto se
divida, no dará como resultado centenas sino decenas. Para saber cuántas decenas son, la centena que sobra se debe cambiar por 10 decenas. Y
las 10 decenas se pueden dividir por 2.
Sin embargo, 758 ya tienes 5 decenas, lo que representa el segundo
dígito. Cuando se suman a las 10 decenas que quedaron del cambio de la
centena, hay 15 decenas en total. Si se dividen por 2, quedan 7 decenas.
Éste será el dígito de las decenas del resultado.
No todas las decenas se dividieron: de las 15 decenas sólo se dividieron 14. Una decena quedó sin dividir: 1 decena no se puede dividir por
2 como decena. Se tiene que cambiar y añadir a la unidad. Sumando
ahora las 8 unidades, se tiene 18. Si se divide por 2, se obtienen 9 unidades, sin resto. Por ende, el resultado final son 3 centenas, 7 decenas
y 9 unidades.
Anotar los cálculos
Ya hemos echado un vistazo a la forma normal de organizar lo que acabamos de hacer. Comencemos con los dígitos de las centenas. Las 7 centenas que se dividen por 2 son 3 centenas, y se escriben a la derecha del
signo =, por ende:
758 : 2 = 3
¿Por qué el divisor, 2, se escribe a la derecha del dividendo, 758? No
existe razón alguna. En Israel también se escribe a la derecha. En Estados Unidos el divisor se escribe a la izquierda y la primera vez que me
tocó enseñar en ese país, escribía divisiones como lo había hecho durante
toda mi vida, es decir, creyendo inocentemente en la universalidad de
escribir el divisor a la derecha, por lo que toda la clase se largó a reír.
Volvamos al cálculo. El problema ahora es que no todas las 7 centenas
fueron divididas, sino sólo 6. ¿Cómo sabemos esto? Si multiplicamos 3
por 2 el resultado es 6, lo que significa que 6 centenas fueron divididas.
Se debe escribir este número bajo el 7 y restar: de esta manera, sabemos
cuántas centenas no se dividieron:
758 : 2 = 3
–6
15
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 139
7 - 6 es igual a 1, sobra una centena sin dividir que, como lo mencionamos antes, se debe transformar en decenas. Las 5 decenas de los 758
se anotan al lado (ver la línea al final) y juntos tienen 15 decenas. Si se
dividen por 2, quedan 7 decenas, las que se deben escribir en el lugar de
las decenas del resultado: 7 decenas.
758 : 2 = 37
–6
15
¿Cuántas decenas se dividieron realmente? Lo descubriremos si multiplicamos 7 por 2. El resultado es 14, y cuando se resta a 15, sobra una
decena. Ésta es la decena que queda sin dividir.
758 : 2 = 379
–6
15
–14
18
Se suman las 8 unidades a la decena, representada por un 1, que se
tiene que dividir, lo que da como resultado 18. Si se divide por 2, hay 9
unidades, y en esta ocasión no hay resto. Uno puede verificar que no hay
resto multiplicando 9 por 2, y luego restando el resultado a 18, lo que se
escribe:
758 : 2 = 379
–6
15
–14
18
–18
0
Una vez que se maneja con destreza la división por 2, el camino
se encuentra despejado. Los niños deberían practicar la división por
3 y por 4. Luego veremos casos más complejos. He aquí otro ejemplo:
623 ÷ 7. Esta vez nos enfocaremos en la receta para dividir, por lo que
las explicaciones serán más cortas.
¿Cuántas centenas hay en 623 ÷ 7?
Hay 6 centenas en 623; por ende, hay 6 ÷ 7 centenas en 623 ÷ 7, lo que es
0 (con un resto de 6, pero este resto, como recordamos, se vuelve decenas
en la próxima etapa).
140 Aritmética para padres y madres
El dígito de las centenas es 0. Por ende, escribimos:
623 : 7 = 0
El 0 usualmente no se escribe, pero contiene un elemento educacional: un recuerdo de nuestro intento de dividir las centenas. Por ende, lo
dejaremos hasta que el algoritmo esté completo.
¿Cuántas decenas hay en 623 ÷ 7?
Las 6 centenas de 623 todavía no se dividen. En la siguiente etapa se
cambian por decenas. Las seis centenas son 60 decenas. Sumando las 2 decenas del número 623, hay 62 decenas. Por ende, el número de las decenas
en el resultado es 62 ÷ 7, que corresponde a 8. Escribimos 8 en el lugar de
las decenas.
623 : 7 = 08
Al multiplicar 8, el número de las decenas en el resultado, por 7 confirmaremos el número de las decenas que han sido divididas: 56. Este número se anota debajo de las 62 decenas que se supone fueron divididas.
La diferencia, 62 - 56, es el número de las decenas que se mantiene y que
tiene que ser dividido. Por ende, escribimos:
623 : 7 = 08
– 56
6
Todo lo que queda por calcular son los dígitos de las unidades del
resultado. Hay 6 decenas que todavía se deben dividir, y no se pueden
dividir por 7. Esto no es algo arbitrario: todas las decenas que se pueden
dividir ya han sido divididas. La siguiente etapa consiste en cambiar
las decenas por unidades, a lo cual se le añade 3 unidades de 623. Esto
entrega 63 unidades en total. 63 se puede dividir por 7, lo que da como
resultado 9 sin resto. Éste corresponde al dígito de la unidad del resultado. Por ende, el resultado da 89. Escrito como algoritmo sería:
623 : 7 = 089
– 56
63
Uno puede verificar que no hay resto multiplicando 7 por 9, y luego
restando el resultado a 63, lo que se anota como:
623 : 7 = 089
– 56
63
– 63
0
C. Fracciones
La palabra “fracción” se utiliza con dos significados diferentes: fracciones normales, como 1 y fracciones decimales, como 0,25. En este capítulo
4
estudiaremos las fracciones normales.
Las fracciones son una herramienta que permite manejar la división.
En consecuencia, su enseñanza debe ir acompañada por la enseñanza
de la división: la fracción 1 se debe presentar al mismo tiempo que la
2
división por 2.
Así como los números naturales cuentan objetos, las fracciones “cuentan” partes de los objetos. La parte de donde se toma la fracción se denomina “el todo”. El todo es a una fracción lo que la denominación es a un
número: cuando tomamos la mitad de una manzana, el todo corresponde a la manzana.
Para aprender fracciones se necesita un tiempo considerable de experimentación con estas dos etapas. La primera es encontrar un 1 , un 1 , un
2
3
1
, etc. de muchos todos dividiéndolos en partes iguales. De esta forma
4
se puede internalizar la conexión con la división. En la segunda etapa
la misma parte se repite: la repetición de un “quinto” entrega 2 , 3 , etc.
5 5
Dado que las fracciones expresan división, y dado que la división se
lleva bien con la multiplicación y con la división, es más fácil multiplicar
y dividir las fracciones que sumarlas y restarlas. La suma y la resta que
se llevan a cabo haciendo uso de un “común denominador” no son tan
difíciles, siempre que uno no insista en buscar el mínimo común denominador.
142 Aritmética para padres y madres
Divisiones y fracciones
Incluso en este mismo instante, bajo nosotros,
el mundo es una línea de fracción. No teman,
sino que veamos cómo esa misma línea ahora
desaparece: el mínimo común denominador.
Yehuda Amichai, “Up on the Acorn Tree”, de Poems.
(“Sobre el roble”, de Poemas)
El contenido más complejo de la aritmética básica
En el Museo de Louvre hay un documento interesante del siglo XV: se
trata de la correspondencia entre un padre preocupado y su amigo matemático. El padre le pregunta a qué universidad debería enviar a su hijo a
estudiar. El matemático le contesta que la Universidad A es buena, pero
que si en verdad quiere que su hijo entienda fracciones, lo debe enviar a
la Universidad B.
¡Sí, es cierto: hace tan sólo 500 años, las fracciones se enseñaban sólo a
nivel universitario! De hecho, las fracciones (y los contenidos relacionados con los problemas de razón) son por lejos los temas más difíciles que
se estudian en la enseñanza básica. Por ende, su complejidad se encuentra a la par con la de muchas materias universitarias.
Terminología
Distinguimos diferentes tipos de fracciones. Una es la fracción simple,
por ejemplo: 2 . Consiste en un numerador (sobre la línea de fracción), un
3
denominador (debajo de la línea de fracción), y la línea de la fracción en
sí misma, que se llama “línea de división”. En fracciones simples, el numerador es menor que el denominador. También hay fracciones impropias, donde el numerador es mayor que o igual al denominador, como 5
3
y 3 . Hay números mixtos, que son la combinación de un número entero y
3
una fracción, como 2 3 , es decir, dos enteros y tres quintos. Y finalmente,
5
hay fracciones decimales, tales como 0,25. A pesar de que contiene un
número entero, 2,5 también se llama una “fracción decimal”.
El nombre del denominador deriva del hecho que es una denominación (“nom” significa “nombre”): Indica qué parte se toma del todo.
Por ejemplo, el denominador “3” en la fracción 2 indica que estamos
3
tratando con tercios. El numerador, como su nombre lo señala, indica el
número de tales partes.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 143
El significado de la fracción
Las fracciones son abstractas. Sólo piensen: ¿qué es “una mitad”? A veces
podemos imaginar lo que es “uno”: un pastel. Pero, ¿qué es la mitad de
un pastel? Después de todo, también es uno de algo. ¿Qué lo convierte en
“medio”? “Medio pastel” es sólo la mitad en relación con algo más, todo
un pastel. Por ende, las fracciones involucran relaciones entre la parte y
el todo. Y todas las relaciones son abstractas.
¿Es una mitad o una unidad? Todo depende de la definición de un “todo”.
Si el todo es un pastel, ésta es la mitad. Si el todo es medio pastel, esto es uno.
Al igual que los números naturales cuentan objetos, las fracciones
derivan su significado por formar parte de una unidad con una denominación: el “todo”. La fracción “pura” o libre de denominación, 2 , es
3
una abstracción de tomar 2 de 3 partes iguales de una manzana, o de un
pequeño círculo, o de uno mayor, o de un grupo de 30 niños.
El nombre “dos tercios” de la fracción 2 sugiere su significado: dos ve3
ces un tercio. Un tercio de un entero completo es el resultado de dividir
un entero en tres partes iguales, y cada una de esas partes se llama “un
tercio”. 2 es dos veces la misma parte.
3
El numerador cuenta (¡enumera!) el número de partes. El denominador indica el tipo de parte que se tiene que contar o el número de
partes iguales en que se debe dividir el todo.
La primera clase sobre fracciones
Para establecer una conexión entre división y fracción me gusta empezar
no con la división de un objeto sino con la de muchos. Luego de hacer
divisiones tales como 6 ÷ 2, donde no hay resto, dejo que dos niños dividan entre ellos, por ejemplo, siete palitos. Cada niño recibe 3 palitos.
A continuación debatimos qué es lo que se debe hacer con el palito que
sobra. Los niños proponen partirlo en 2. Asimismo, saben cómo llamarle
a cada parte: “una mitad”.
144 Aritmética para padres y madres
Luego colocamos la notación: 1 . Los niños por sí mismos adivinan su
2
origen: el denominador es 2, dado que dividimos el entero en 2 partes; el
numerador es 1, porque tomamos 1 parte. Posteriormente descubren por
cuenta propia, y con mucho orgullo, las notaciones para un 1 y 1 .
3
4
Las fracciones con numerador 1 se presentan primero. Se les llama
“fracciones egipcias”, debido a que los egipcios solían utilizarlas. Las
fracciones 1 , 1 y posiblemente 1 pueden, y posiblemente deberían, en2
4
3
señarse al final del primer año de escolaridad. Para que los niños comprendan el significado de la fracción deben experimentar con la división
una y otra vez, con ejemplos y dibujos concretos: encontrar un medio,
un tercio y un cuarto de los diferentes conjuntos y figuras geométricas.
Un tercio: de un pastel pequeño, de un pastel grande,
de un conjunto de 6 manzanas, de 2 rectángulos.
La segunda etapa es la comprensión del papel del numerador: ¿cuánto
es dos tercios o tres cuartos? Lo usual es comenzar con las partes de las
figuras geométricas: cuando se divide una pizza en 3 partes iguales, dos
tercios son dos tajadas de pizza. Sin embargo, es mejor ir a las partes de
un número lo antes posible: un tercio de un grupo de 15 lápices es 5, por
lo que dos tercios son dos veces 5, es decir, 10. En mi experiencia, los niños nunca se cansan de encontrar fracciones de distintos tipos de todos.
Reseña histórica
¿Dónde se originó la notación de fracciones?
A los egipcios se les ocurrió la idea de una estructura vertical, con el denominador en la parte inferior. Los egipcios sólo tenían fracción con un numerador
de 1, tales como 1 , 1 , 1 ... (aquellas fracciones, por ende, se llaman “fracciones
2 3 4
egipcias”). Sin embargo, su notación era diferente: en vez del numerador, ellos
dibujaban un óvalo y además no escribían la línea divisoria.
Las fracciones con numeradores generales fueron utilizadas por primera vez
en la India. Los indios tampoco utilizaban la línea de fracción, sino que simplemente escribían el numerador sobre el denominador.
La línea de la fracción fue inventada en el siglo X I I I por el matemático Leonardo de Pisa (también conocido como Fibonacci).
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 145
Clase sobre el “todo”
Dibuja la mitad de un círculo (la mitad de una pizza) y pídele al alumno
que marque la mitad. Como resultado se obtiene un cuarto de un círculo,
obviamente. Sin embargo, ¿cómo es que repentinamente el cuarto se convirtió en un medio? ¿El niño marcó un cuarto o un medio?
Después, dibuja una pizza grande y una pequeña. Acto seguido, pídele al niño que dibuje un medio de la primera y un medio de la segunda.
Los dibujos, claramente, no son los mismos. ¿Cómo es posible que ambos
sean un medio?
Éste es el punto de partida crucial para explicar lo siguiente: la naturaleza de un medio depende del todo que se toma como referencia. Si el todo es
una pizza completa, entonces un medio es la mitad de la pizza. Si el todo
es la mitad de una pizza, entonces un medio es un cuarto de la pizza entera. Si el todo son 20 flores, entonces un medio corresponde a 10 flores.
En las fracciones, tal como en el caso de los números, la denominación
cumple una función determinante.
Cuando hablamos acerca de la importancia de la denominación al
contar, nos referimos al truco de pedirle a un niño que nos diera dos, lo
que nos llevaba al debate: “¿Dos de qué?”. En este caso se debe hacer lo
mismo: pedirle al niño que dibuje un medio. El niño tendrá que pensar:
¿un medio de qué?
El “todo” en las fracciones es como la denominación al contar. Tal
como la denominación nos dice qué es lo que estamos contando, el
todo nos dice a partir de dónde se ha tomado una fracción.
En un curso de segundo año, después que los niños habían practicado
divisiones y algunas fracciones, organicé a la clase en grupos y le asigné
a cada uno una tarea: dividir un objeto en 3 partes iguales. Uno de los
grupos recibió un círculo, el segundo recibió dos círculos, el tercer grupo
recibió un cuadrado, el cuarto grupo recibió dos palitos de helado y el
quinto recibió un dibujo de 7 estacas.
Todos estaban muy emocionados. Algunos no sabían cómo dividir
un círculo, pero un niño sí sabía, pues su papá era dueño de una pizzería. Después de las instrucciones fui a observar otra clase, y volví una
hora más tarde para ver el avance. Descubrí que los niños querían seguir
con la tarea, por lo que continuaron dividiendo triángulos, trapezoides y
óvalos en 3. No siempre les fue fácil dividir en 3 partes iguales las diferentes formas, ¡pero ellos querían seguir!
146 Aritmética para padres y madres
¿Por qué se enseñan la división y las fracciones por separado?
Un error que prevalece en la enseñanza de las fracciones en toda la práctica profesional y en todos los textos escolares es que se enseñan de forma independiente de la división. Por lo general, las fracciones se enseñan
mucho más tarde que las divisiones, y se presentan como un tema completamente nuevo. ¿Por qué ocurre esto?
La razón es que la división primero se enseña con números, como
12 ÷ 3. Las fracciones, por lo general, se enseñan por medio de formas.
Con frecuencia, por medio de círculos, como las famosas “porciones de
pizza”. Generalmente, los niños aprenden el significado de “un tercio de
un conjunto de 12 elementos” mucho más tarde y les cuesta hacer una
conexión con las porciones de pizza.
Hay razones detrás de esta opción. La idea de comenzar primero por
fracciones con formas se fundamenta en que las fracciones con números
requieren que el alumno tenga desarrollado el sentido de abstracción.
Significa que el “todo” es un conjunto: tomar un tercio de 12 significa que
el todo es un conjunto de 12 elementos. Es más fácil considerar un círculo
o a un rectángulo como un todo que considerar un conjunto de objetos o
números como una unidad.
Aun así, ambas opciones son incorrectas. La enseñanza de la división
debería, desde el principio, incluir la división de formas: dividir un rectángulo, un círculo o dos rectángulos en tres partes iguales. Al mismo
tiempo, se debería incluir la división de conjuntos en tres partes: un conjunto de 3 manzanas o un conjunto de 12 niños. Cada una de las partes
debería llamarse un “tercio” del todo, y dos partes deberían llamarse
“dos tercios”. Esto significa que, desde un comienzo, las fracciones se ven
en relación a conjuntos de cosas, es decir, números.
Cuando el todo es un conjunto
Cuando ocurre que el todo es un conjunto, el cálculo que se requiere es la
fracción de un número. Por ejemplo:
60 estudiantes fueron a un paseo.
tas niñas fueron al paseo?
2
3
de los estudiantes son niñas. ¿Cuán-
Un 1 de 60 se obtiene dividiendo el todo, que es un conjunto de 60
3
miembros, en 3 partes, a partir del cual se toma una de estas partes. Como
60 ÷ 3 = 20, un 1 de 60 es 20. 2 de 60 es (tal como su nombre, “dos tercios”,
3
3
lo indica) 2 de estas partes; es decir, 2 veces 20, que da como resultado 40.
De igual manera, 3 de 200 se obtiene al dividir 200 por 5 (que resulta
5
en 40) y multiplicándolo por 3, que da como resultado 3 x 40 = 120.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 147
Por lo general, para encontrar la parte de un número, primero se debe
dividir el número por el denominador y luego multiplicarlo por el numerador.
Ahora veamos el proceso inverso: si ya conocemos una parte de un
número, ¿a qué fracción del número corresponde?
Hay 32 alumnos en una clase. 20 son hombres. ¿Qué parte de la clase
la constituyen los hombres?
A los niños les cuesta más entender esta pregunta que la anterior. Con
facilidad responden a la pregunta: “¿Qué parte de 20 es 10?”. Respuesta:
un medio. No obstante, la pregunta anterior la encuentran compleja.
Tal como en muchas otras ocasiones en que nos topamos con dificultades, el problema es que nos saltamos un paso, es decir, estamos avanzando dos pasos a la vez. Aquí tenemos un ejemplo clásico que confirma
que enseñar un tema difícil por etapas facilita la comprensión. El primer
paso debe ser: ¿qué parte de una clase de 32 niños constituye 1 niño?
Esto es fácil: uno de 32 es 1 . El segundo paso es: “De ser así, ¿qué parte
32
de la clase constituyen 20 niños?”
20
32
de la clase. Esta fracción se puede
reducir al dividir el numerador y el denominador por 4 (ver el siguiente
capítulo): 20 también se puede anotar como 5 . Asimismo, un día es 1 de
32
8
7
una semana; por lo tanto, 5 días de una semana son 5 , y así se pueden
7
encontrar muchos ejemplos más.
Encontrar el todo a partir de las partes
Hasta ahora hemos encontrado la parte del todo. Para encontrar 2 de un
3
número, el todo se multiplica por 2 y se divide por 3. Pero en el sentido
contrario, uno sabe la parte y falta averiguar el todo. Por ejemplo, si sabemos que 2 de una clase es 26 estudiantes, ¿cuánto estudiantes hay en
3
total?
Puede parecer difícil, pero debemos recordar que cuando algo parece ser difícil es porque no lo hemos separado en etapas. Tal como me
enseñó mi hija: “Hazme una pregunta más fácil”. La primera pregunta
debería ser: si un tercio de un conjunto es tal cosa, ¿qué tan grande es el
conjunto? Por ejemplo, si un tercio de una clase es 7 estudiantes, ¿cuántos
estudiantes hay en la clase?
La respuesta a esta pregunta es obvia: el todo es tres veces el tercio,
es decir, 3 por 7, que da como resultado 21. Si el quinto del precio de un
chicle es 31 pesos, entonces el precio total del chicle es 5 veces $31, es
decir, $155.
148 Aritmética para padres y madres
Volvamos ahora a la pregunta original: queremos encontrar el número de estudiantes en la clase, sabiendo que 2 de la clase es 26 estu3
diantes. Podemos separar el problema en dos etapas. Primero: si 2 de
3
los estudiantes es 26, ¿cuánto es un tercio? Un tercio es un medio (la
mitad) de dos tercios. Entonces, si 2 de la clase es 26, un tercio de la
3
clase es 26 ÷ 2 = 13. La segunda etapa: si un tercio de los estudiantes es
13, ¿cuántos estudiantes hay en la clase? Esto ya lo habíamos resuelto:
es 3 x 13, que da como resultado 39 estudiantes.
Para encontrar el todo a partir de 2 del mismo, dividimos por 2 y
3
multiplicamos por 3. Es exactamente lo opuesto a la operación que realizamos para encontrar los 2 de un todo. Esto no es sorprendente, pues
3
encontrar el todo de una parte es lo opuesto a la operación de encontrar
la parte de un todo.
He aquí otro ejemplo. Si sabemos que 5 de un grupo es 40, ¿qué tan
7
grande es el grupo? Un séptimo del grupo es 40 ÷ 5, es decir 8, ¡porque un
séptimo es 5 veces menor que 5 ! Y si un séptimo del grupo es 8, entonces
7
todo el grupo es 7 veces mayor; es decir, 7 x 8 = 56.
La operaciones que hicimos aquí son: la división por 5 (el numerador
de 5 ) y la multiplicación por 7 (el denominador). Para encontrar el todo
7
a partir de sus partes, se debe multiplicar por el denominador y dividir
por el numerador.
Las fracciones son la herramienta para manejar la división
Pregunta: ¿Por qué los judíos responden a las
preguntas con una pregunta?
Respuesta: ¿Y por qué no deberían los judíos
responder a una pregunta con una pregunta?
¿Por qué son tan importantes las fracciones? Respondamos a esta pregunta con una pregunta: ¿por qué son necesarios los números negativos? Todos saben la respuesta a esta pregunta: para que el comprobante
del cajero automático pueda indicar los sobregiros. Los números negativos nos permiten pagar $5.000 incluso cuando sólo tenemos $2.000 en
nuestra cuenta bancaria, lo que nos deja con $2.000 - $5.000 = -$3.000.
Los números negativos también nos permiten restar un número mayor
de uno menor.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 149
De igual forma, las fracciones permiten dividir un número menor
por uno mayor. Por ejemplo: 2 ÷ 3 = 2 . Inventamos un nuevo tipo de nú3
mero denominado “dos tercios”, que es el resultado de la división de 2
por 3; de la misma manera que inventamos el nuevo número “menos 1”,
para que así pudiésemos anotar el resultado del ejercicio 2 - 3 como: -1.
El siguiente ejemplo ilustra el hecho de que las fracciones son realmente divisiones: ¿cómo se reparten 2 pasteles entre 3 niños? Primero se divide
el primer pastel entre los tres niños. Cada niño recibirá 1 . Ahora se divide
3
el segundo pastel. Nuevamente, cada niño recibirá 1 . En total, cada niño
3
recibirá 2 .
3
Dividir cada pastel entre tres niños. En total, cada niño recibirá 2 .
3
Este ejemplo demuestra que 2 ÷ 3 = 2 . En otras palabras, el resultado
3
de la división es una fracción, en donde el numerador es el dividendo y
el denominador es el divisor. Por lo tanto, la línea de la fracción es equiparable con el signo de la división: 2 = 2 ÷ 3.
3
Pero entonces, ¿por qué se escribe de esa manera? ¿Por qué no se puede anotar como 2 ÷ 3?
La razón se debe a que 2 ÷ 3 es una operación, como 2 + 3, y buscamos
un número que sea el resultado de una operación. Antes de que se inventara la fracción no era posible nombrar el resultado de la división de 2
por 3. Pero ahora que ya existen sí es posible, el resultado es el número 2 .
3
150 Aritmética para padres y madres
Multiplicar y dividir fracciones
¿En qué orden se deberían enseñar las operaciones con
fracciones?
Con los números naturales la enseñanza de la suma y la resta antecede a
la multiplicación y a la división. La razón es evidente: con estos números,
la suma y resta son operaciones más básicas y sencillas. En parte debido
a cierta obcecación, este orden se mantiene al enseñar operaciones con
fracciones. Sin embargo no se justifica del todo, ya que las fracciones,
debido a que expresan una división, se llevan mejor con la multiplicación
y la división que con la suma y la resta. Claramente, los cálculos como
“dos séptimos más tres séptimos”, que son similares a “dos manzanas
más tres manzanas”, deberían enseñarse al comienzo, cuando recién se
están estudiando las fracciones. Sin embargo, cuando se debe encontrar
además un común denominador al sumar o restar las fracciones, esta
operación sí se vuelve más difícil que la multiplicación o división de fracciones. Por lo tanto, se debería enseñar después. Asimismo, la expansión
y reducción de fracciones, que son necesarias para la comprensión de la
noción del común denominador y encontrar a los comunes denominadores, se relacionan más de cerca con la multiplicación y división de fracciones. Por esta razón he optado por el enfoque menos ortodoxo: escogí
enseñar primero la multiplicación y división.
Multiplicar una fracción por un número natural
¿Cuánto es 4 por 2 ? La fracción 2 significa “2 tercios”; tal como 4 veces 2
3
3
manzanas son 8 manzanas, 4 veces 2 tercios es 8 tercios. Es decir:
4x
2
3
=
4x2
3
=
8
3
La regla es que cuando se multiplica una fracción por un número natural se
debe multiplicar su numerador por ese número. Otro ejemplo:
6x
3
2
=
6x3
2
=
18
2
=9
Hay otra manera de ver esta misma regla. Sabemos que 2 = 2 ÷ 3.
3
Cuando el dividendo en esta expresión, 2, se multiplica por 4, la primera
regla de cambio para la división dice que el cociente se multiplica por 4.
Entonces (4 x 2) ÷ 3 = 4 x (2 ÷ 3), que en el lenguaje de las fracciones es:
4x2
3
= 4 x 2 ; ésta es exactamente la misma regla de antes.
3
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 151
Dividir una fracción por un número natural
¿Cuánto es 2 ÷ 4? Sabemos que 2 = 2 ÷ 3, y de acuerdo con la segunda
3
3
regla de cambio para la división, dividir el cociente 2 ÷ 3 por 4 es equivalente a multiplicar el divisor, 3, por 4. En otras palabras (2 ÷ 3) ÷ 4 =
2 ÷ (3 x 4) = 2 ÷ 12. Para volver a la notación en fracciones, se lee:
2
3
÷4=
2
3x4
=
2
12
La regla es la división de una fracción por un número natural se realiza
multiplicando el denominador por el número. Otro ejemplo:
5
2
÷6=
5
2x6
=
5
12
Ésta es una ilustración gráfica del hecho de que
2
3
÷4=
2
.
12
El área gris en el dibujo a la izquierda constituye 2 del rectángulo.
3
En el dibujo a la derecha las líneas horizontales cortan el rectángulo en
4 partes iguales; por lo tanto, el área más oscura constituye un cuarto
de los 2 . Los dos sistemas de líneas, horizontales y verticales, parten el
3
rectángulo en 12 rectángulos más pequeños e iguales, de los cuales los 2
rectángulos oscuros representan
2
.
12
Fracciones equivalentes
Creo que mejor cortas la pizza en cuatro
porciones porque no tengo tanta hambre como
para comerme seis porciones.
Yogi Berra, jugador profesional
de béisbol
¿Qué ocurre si multiplicamos el numerador y el denominador por 4? Si
tomamos las dos reglas que acabamos de aprender, ¡la fracción primero
aumenta 4 veces y después disminuye 4 veces! Como Alicia en el país de
las maravillas, quien después de haber tomado las dos pociones vuelve
a su tamaño original, cuando un número se multiplica por 4 y luego se
divide por 4, éste se mantiene igual.
152 Aritmética para padres y madres
Al igual que cuando se suma 4 a un número y luego se resta la misma
cantidad, el número no cambia.
10 x 4 ÷ 4 = 10, al igual que 10 + 4 - 4 = 10.
La conclusión es que reemplazar
número. Las dos fracciones,
8
12
y
2
,
3
2
3
con
2x4
,
3x4
es decir,
8
,
12
no altera el
son iguales. Es terminología común
denominar a ambos modos de notación “equivalentes”. Decimos que
es la expansión de
2
3
por 4.
8
12
¿Quién ordenó 1 de
6
pastel y quién 3 ?
18
He aquí un ejemplo de la igualdad de
2x4
3x4
= 2 . En el dibujo de la de3
recha dividimos cada uno de los tercios en gris del rectángulo en 4 partes
iguales. El tamaño de cada parte es un cuarto de un tercio: 1 = 1 . Cada
3x4
12
tercio contiene cuatro partes como éstas. Ambos tercios tienen 2 x 4, es
decir, 8 partes en conjunto. Por lo tanto, dos tercios son 8 partes de 12,
como lo vemos en el dibujo:
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 153
La misma fracción puede escribirse de diversas maneras. Por ejemplo:
1
= 2 = 3 = 4 =...
2
4
6
8
(Aquí la fracción se expandió por 2, 3, 4...)
Expandir una fracción significa multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número. La expansión no altera el valor de
la fracción.
Reducción
Pregunta: ¿Qué es el capitalismo?
Respuesta: Un hombre explotando a otro.
Pregunta: ¿Qué es comunismo?
Respuesta: Viceversa.
La operación opuesta a la expansión es la “reducción”. Significa dividir el
numerador y el denominador por el mismo número. Dado que la expansión no altera la fracción, la operación opuesta, la reducción, tampoco la
afecta. Por ejemplo, en la fracción 8 , cuando se dividen el numerador y el
12
denominador por 4, el resultado es 2 . Por supuesto, ya sabemos que
3
8
= 2.
12 3
Reducir una fracción significa dividir el numerador y el denominador por el mismo número. Tal como la expansión, reducir una fracción
no altera su valor.
Multiplicar una fracción por otra
Ahora podemos ir a lo general: la multiplicación de dos fracciones. Por
ejemplo, el producto de 4 x 2 . Como 4 = 4 ÷ 5, multiplicar por 4 significa
5
3
5
5
multiplicar por 4 y dividir por 5. De acuerdo con la reglas que obtuvimos
para multiplicar y dividir una fracción por un número natural, 4 x 2 se
5
3
obtiene de 2 primero multiplicando el numerador (es decir, el 2) por 4,
3
y luego multiplicando el denominador (es decir, 3) por 5. Por lo tanto:
4
5
x
2
3
=
4x2
5x3
La regla es cuando multiplicamos dos fracciones, el numerador se multiplica
por el numerador y el denominador por el denominador.
154 Aritmética para padres y madres
Otro ejemplo:
3
2
x
7
6
= 3 x 7 = 21
2x6
12
el cual, cuando se reduce por 3, es 7 .
4
Reducir antes de multiplicar
En el último ejemplo podríamos haber hecho la reducción antes de la
multiplicación. Como sabemos que 3 va a ser un factor del numerador
que se obtiene como resultado, y el 6 un factor del denominador que se
obtiene como resultado, podríamos reducirlos antes dividiendo ambos
por 3. Por lo tanto:
3
2
x
7
6
=
1
2
x
7
2
=
1x7
2x2
=
7
4
el cual, si lo deseamos, puede anotarse como 1 3 . Esto es relevante cuan4
do los números son mayores. Por ejemplo, en la expresión 27 x 10 podría16
9
mos (y deberíamos) reducir primero por 9, al dividir ambos 27 y 9 por 9,
y reducir por 2, al dividir ambos 16 y 10 por 2. Esto da como resultado:
27
16
x 10 =
9
3
8
x
5
1
= 15 = 1 7
8
8
Tomar una fracción de algo es multiplicarlo por la fracción
Un aspecto de las fracciones que confunde a los niños y a los adultos es
que tomar una fracción de algo significa multiplicarlo por esa fracción.
Por ejemplo, de acuerdo con la definición de 2 , sabemos que 2 de 60
3
3
manzanas se obtiene dividiendo las 60 manzanas en tres partes iguales,
cada una con 20 manzanas, y tomando 2 de estas partes, que en total suman 40 manzanas. Por el otro lado,
2
3
x 60 =
2 x 60
3
=
120
3
= 40
(en nuestro caso 40 manzanas). Sin embargo, ¿por qué es así? La respuesta tiene dos niveles, uno técnico y otro que es más profundo. En el
nivel técnico entendemos que “tomar 2 “ se logra al dividir en 3 partes
3
iguales y tomar 2 de ellas, lo que significa dividir por 3 y multiplicar por
2 (tomar 2 veces algo es multiplicarlo por 2). Por el otro lado, dado que
2
= 2 ÷ 3, multiplicar por 2 es lo mismo: es multiplicar por 2 y dividir por 3.
3
3
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 155
A un nivel más profundo, hemos visto que multiplicar y contar son
casi idénticos. Tomar 5 objetos es lo mismo que multiplicar el objeto por
5, que es la repetición de ese objeto. Entonces, por ejemplo, 5 decenas es 5
x 10, donde ambos son la repetición de 10 cinco veces y ambos dan como
resultado 50. Lo mismo ocurre con las fracciones. Dos tercios de un todo
es lo mismo que multiplicar 2 por ese todo. En otras palabras, tomar una
3
fracción es lo mismo que contar por un número fraccionario de veces.
Entonces, tomar 2 de un todo es lo mismo que contarlo 2 de veces, que
3
3
es lo mismo que repetirlo 2 de veces, que es lo mismo que multiplicarlo
3
por 2 .
3
Ejemplo:
en una clase de 32 estudiantes,
tos hombres hay?
Primera solución:hay
5
x 32 = 5 x 4
8
5
8
son mujeres. ¿Cuán-
1
mujeres (redujimos por 8 antes de multiplicar, es
decir, dividimos 32 por 8) o 20 niñas. Entonces hay
32 - 20 = 12 hombres.
Segunda solución:si 5 de la clase son mujeres, lo que queda, es decir 3 ,
8
8
son hombres. Entonces hay
3
8
x 32 =
3
1
x 4 = 12 niños.
Tomar una fracción de una fracción
“Tomar una fracción de un todo” y “multiplicar el todo por esa fracción”
son lo mismo, sin importar la naturaleza del todo. En particular esto se
cumple cuando el todo es una fracción. Por ejemplo, ¿qué es 1 de 1 de
3
2
una manzana? Es 1 x 1 de una manzana; es decir, 1 x 1 = 1 de una man3
2
zana. También podríamos hacer esto recordando
1
3
2x3
que 1
2
6
de una manzana
se obtiene al dividirla por 2, y que se obtienen al dividir la mitad de la
manzana en 3; entonces, en conjunto, dividimos por 2 x 3 = 6.
Ejemplo: ¿cuánto es
3
4
de
5
?
8
(Tome en cuenta que aquí
5
8
es un “nú-
mero puro”, sin denominación, lo que quiere decir que podría ser de
cualquier cosa). Respuesta:
3 x 5 15
=
4x8
32
156 Aritmética para padres y madres
Ejemplo: una niña lanza dos monedas al aire 100 veces. En
1
2
de los
lanzamientos, la primera moneda cayó en “cara” y en la mitad de estos
lanzamientos la segunda moneda cayó también en “cara”. ¿En cuántos
lanzamientos las dos monedas cayeron en “cara”? Respuesta: En 1 x 1 =
2
2
1
de los lanzamientos, es decir, en 25 lanzamientos.
4
Problema: si la niña lanzó 3 monedas 1.000 veces, y en la mitad de los
lanzamientos la primera moneda cayó en “cara”, y en la mitad de esos
lanzamientos la segunda moneda cayó en “cara”, y en la mitad de esos
lanzamientos la tercera moneda cayó en “cara”, ¿en cuántos lanzamientos cayeron en “cara” todas las monedas? ¿Se puede generalizar?
Dividir por una fracción
Llegamos ahora a lo que se considera como el mayor obstáculo de las
operaciones con fracciones: dividir por una fracción. La regla que todos
recuerdan es “invertir y multiplicar”, es decir, dividir por 5 es lo mismo
8
que multiplicar por 8 . Pero no todos entienden por qué. Primero redac5
temos de manera más formal esta regla: para dividir por una fracción se
multiplica por su recíproco.
Aquí el “recíproco” se obtiene al intercambiar el numerador con el
denominador. En otras palabras: dividir por una fracción se logra al dividir
por su numerador y multiplicar por su denominador.
Ejemplos:
20 ÷ 2 = 20 x 3 = 10 x 3 = 30,
3
10
7
÷
5
8
2
= 10 x
7
8
5
1
=
2
7
x
8
1
= 16.
7
Pero ¿por qué es cierta esta regla? La ejemplificaremos con ejercicio
÷ 2 . Lo que queremos es descubrir que esto es igual a 4 x 3. Calculemos
3
5x2
primero 4 ÷ 2. Sabemos que 4 = 4 ÷ 5, y de acuerdo con la primera regla
5
5
de cambio para la división, dividir 4 ÷ 5 por 2 es lo mismo que dividir 4
por 5 x 2. Es decir (4 ÷ 5) ÷ 2 = 4 ÷ (5 x 2), en el lenguaje de las fracciones,
4
5
4
5
÷2=
4
.
5x2
Después, como 2 = 2 ÷ 3, de acuerdo con la segunda regla de cambio para
3
la división, dividir por 2 ÷ 3 da como resultado 3 veces más que la mera
división por 2. Es decir:
4
÷ (2 ÷ 3) = Q 4 ÷ 2R x 3
5
5
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 157
y como 4 ÷ 2 = 4 , se obtiene 4 x 3, que como sabemos es 4 x 3, como
5
5x2
5x2
5x2
ya decíamos.
Si esto parece demasiado técnico, se recomienda recordar que el divisor
es una fracción: si el divisor tiene un numerador grande, éste será mayor;
si tiene un denominador grande, será menor. Por lo tanto, un numerador
grande aumenta el divisor, y un denominador grande lo vuelve más pequeño. Así, mientras mayor sea el numerador, menor será el resultado de
la división, y mientras mayor sea el denominador, mayor será el resultado.
Si aún resulta difícil de entender, creo que el siguiente capítulo, que
constituye un interludio acerca de algunos principios pedagógicos, servirá de ayuda para lograr una mejor comprensión.
A continuación se presentan las reglas a modo de resumen:
1. Multiplicar una fracción por 2 (por ejemplo) significa multiplicar su
numerador por 2.
2. Dividir una fracción por 3 (por ejemplo) significa multiplicar su
denominador por 3.
(Ambas reglas derivan de las reglas de cambio en la división y del
hecho de que las fracciones son divisiones).
3. Como 2 es 2 dividido por 3, multiplicar por 2 significa multiplicar
3
3
por 2 y dividir por 3.
4. La división es la operación inversa de la multiplicación. Por lo tanto, dividir por 2 es lo opuesto a multiplicar por 2 : significa multi3
3
plicar por 3 y dividir por 2.
Dividir por una fracción menor a 1 aumenta el número
Multiplicar 9 por
2
3
resulta en:
9x
2
3
= 9 x 2 ÷ 3 = 18 ÷ 3 = 6.
El resultado es menor que 9. Esto no es sorprendente, pues multiplicamos por 2 y dividimos por 3, que es mayor que 2. Por el contrario, dividir
por 2 significa multiplicar por 3 y dividir por 2. Cuando se multiplica
3
un número por un número mayor que el número por el cual se divide, el
número aumenta. Por ejemplo, 6 ÷ 2 = 9. (¿Pueden ver el vínculo con el
3
ejercicio anterior?) En otras palabras, el resultado es un número mayor
que 6, específicamente, 9.
Es evidente que existe un vínculo entre ambos. Si multiplicar por 2
3
reduce, la operación opuesta, dividir por 2 , aumenta.
3
158 Aritmética para padres y madres
Una conversación sobre la división por fracciones
Este capítulo tiene dos objetivos: ofrecer otra oportunidad para enseñar
la división con fracciones, e ilustrar algunos principios pedagógicos.
Para los niños, probablemente, es difícil entender la regla de división por
fracciones. Aquí se presenta una manera más apropiada para enseñar
este tema en clases. Ha sido diseñada en base a una conversación que
tuve con mi hija Geffen. Cuando ella estaba en cuarto año fuimos a dar
un paseo. Durante el recorrido, que duró menos de una hora, le enseñé
cómo se divide un número por una fracción. A continuación se reproduce la conversación de manera bastante precisa, ya que también es una
oportunidad para ilustrar algunos principios pedagógicos. Los principios involucrados en cada etapa aparecen entre paréntesis y en cursiva.
Yo: Hemos aprendido cómo multiplicar por una fracción. Veamos ahora
cómo se debe dividir por una fracción. Por ejemplo, cómo se calcula
10 ÷ 2 . ¿Cómo deberíamos comenzar?
3
G: Deberíamos preguntar algo más sencillo. (Se debe empezar por la pregunta
más sencilla posible. Además, se les debe explicar a los alumnos los principios del razonamiento acertado. Se debe enseñar a los alumnos la regla de
empezar por lo más sencillo.)
Yo: Correcto. Comencemos por dividir por una fracción más sencilla.
¿Cuál es la fracción más sencilla de todas?
G:
1
.
2
Yo:Ciertamente, 1 es una fracción que conocemos y entendemos bien.
2
¿Cuál es el ejercicio más sencillo que te puedes imaginar en donde
tengamos que dividir por 1 ?
2
G: 1 ÷ 1 . (Se debe dejar que los alumnos inventen los problemas.)
2
Yo: ¿Puedes calcular el resultado?
G: Sí, es 2, pues 1 ÷ 2 = 1 . Si 6 ÷ 2 = 3 entonces 6 ÷ 3 = 2, y de la misma
2
manera, si 1 ÷ 2 = 1 entonces 1 ÷ 1 = 2. (Bueno, esto es bastante complejo.
2
2
No todos los niños son capaces de hacer estos cálculos. No obstante, lo que
sigue no requiere de esta capacidad de cálculo.)
Yo: ¡Muy bien! Pero hay otra manera de hacerlo, que yo creo es más fácil.
6 ÷ 2 = 3 porque el 2 cabe en 6 tres veces. ¿Recuerdas cómo llamamos
a esta división?
G: Sí, división por agrupamiento. (Se deben utilizar palabras precisas y distinguir las sutilezas en el significado.)
Yo: Si 6 ÷ 2 significa cuántas veces cabe 2 en 6, ¿qué significa 1 ÷ 1 ?
2
G: ¿Cuántas veces cabe 1 en 1?
2
Yo: ¿Y cuánto es?
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 159
G:
1
2
cabe en 1 dos veces. Entonces 1 ÷ 1 es 2 (sin quererlo, aquí seguimos
2
otro principio pedagógico: tratar de ver un problema desde varios puntos de
vista. Vimos dos maneras de calcular 1 ÷ 1 ).
2
Yo: ¿Puedes decirme ahora cuánto es 3 ÷ 1 ? (se debe añadir un ingrediente
2
a la vez).
G: Sí. 1 cabe 2 veces en 1. Tres es 3 unos, entonces
2
en 3. Entonces 3 ÷ 1 es 6.
1
2
cabe 3 x 2 = 6 veces
2
Yo: Correcto. ¿Y 4 ÷ 1 ?
2
G:8.
Yo: ¿Y 5 ÷ 1 ? (el conocimiento se va estableciendo con la práctica y los ejercicios).
2
G:10.
Yo: ¿Me puedes decir cuál es la regla?
G: Sí, dividir un número por un 1 es lo mismo que multiplicarlo por 2.
2
Esto se debe a que cada 1 en el número contiene 2 mitades. (Luego de
experimentar con una regla, se debe formular con palabras.)
Nota: en clase se debe repetir este ejercicio varias veces. ¿Cuántas
mitades de una manzana hay en 5 manzanas? ¿Cuánto es 5 ÷ 1 ?
2
¿Cuántas veces cabe 1 en 10? ¿Cuánto es 10 ÷ 1 ? Dividimos 13 barri2
2
tas de chocolate entre los niños, y a cada uno le tocó media barrita.
¿Cuántos niños había? ¿Cuánto es 13 ÷ 1 ?
2
Yo: Muy bien. Ahora dividamos por un tercio. ¿Cuánto es 1 ÷ 1 ?
G:
1
3
cabe en el 1 tres veces, por lo que es 3.
G:
1
3
cabe 3 veces en 1, por lo que 4 x 3 = 12 veces.
3
Yo: ¿Y qué ocurre con 4 ÷ 1 ?
3
Yo: ¿Cuál es la regla para dividir por 1 ?
G: Dividir un número por
1
3
3
es lo mismo que multiplicarlo por 3.
Yo: Genial. Por ende, sabemos que dividir por 1 es lo mismo que multi2
plicar por 2, al igual que dividir por 1 es multiplicar por 3. ¿Cómo se
3
divide por 1 ?
4
G: Lo multiplicamos por 4.
Yo: Muy bien, ya entiendes el principio. Dividir por una fracción con un
uno como numerador es lo mismo que multiplicar por el denominador (sería muy difícil para ella formular esto). Dividamos ahora por 2 ,
3
que es con lo que empezamos. Primero, por un momento recordemos la división por 1 . Si en una fiesta había 10 pasteles, y a cada niño
3
se le dio 1 del pastel, ¿cuántos niños habían?
3
160 G: 10 ÷
Aritmética para padres y madres
1
3
= 30, por lo que habían 30 niños.
Yo: Ahora supongamos que a cada uno de esos niños se le dio
2
3
del pastel en vez de 1 , es decir, dos veces más que antes. ¿A cuántos niños
3
les llegaría pastel?
G: Cada niño recibe lo que antes se le daba a dos. Por ende, sería la mitad de 30 niños, lo que corresponde a 15.
Yo: Correcto. ¿Qué ejercicio utilizaste?
G:
Yo:
G:
Yo:
G:
Yo:
G:
Yo:
G:
10 ÷ 2 , porque descubrimos cuántas veces cabe 2 en 10.
3
3
Correcto, y ¿qué operaciones llevaste a cabo?
Multipliqué 10 por 3 y luego lo dividí por 2.
Entonces, ¿cuál es la regla para dividir un número por 2 ?
3
Se toma el número, se multiplica por 3 y se divide por 2.
¿Cuál es la regla para dividir por 3 ?
4
Multiplicar por 4 y luego dividir por 3.
Muy bien. Y ¿cuál es la regla para dividir por una fracción general?
Se multiplica por el denominador y se divide por el numerador.
Ejercicios de fracciones resueltos
Este libro aboga por un estudio sistemático, pero en sí no reemplaza un
texto escolar. Por ende, a lo menos en lo que respecta a los ejercicios, no
se busca entregar un conjunto sistematizado de problemas que cubran
todos los tópicos. No obstante, dado que las fracciones son un tema tan
abundante, es necesario revisar unos cuantos ejercicios más.
Problema (tomar fracciones de un todo sucesivamente): el área del parque
era de 60 acres. 1 del parque se utilizó para construir un camino. 1 del
6
6
área restante se destinó a un zoológico. ¿Cuántos acres del parque quedan?
Solución: después de que se tomó 1 , quedaron 5 del parque, y 5 de 60
6
6
6
5
es x 60 acres. Después de tomar otro sexto del área, quedó 5 de eso, es
6
6
decir
5
x 5 x 60 = 5 x 5 x 60 acres.
6
6
Al reducir por 6, es decir:
como resultado
6x6
25 x 10
6
25 x 5
3
=
acres. Al reducir por 2 nuevamente da
125
3
= 41 2 acres.
3
Problema (sumar una fracción y encontrar el número original a partir del
resultado): María tiene 1 más de bolitas que José. ¿Cuántas bolitas tiene
4
José si María tiene 45 bolitas?
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 161
Solución: primero, tenemos que entender lo que el problema nos dice:
la manera natural de interpretarlo es que María tiene tantas bolitas como
José, más 1 de lo que tiene José. Esto significa que María tiene 1 + 1 , es
decir
5
4
5
4
4
4
del número de bolitas que tiene José. Entonces la pregunta es: si
del número es 45, ¿cuál es el número? Ya sabemos cómo hacer esta operación: multiplicamos 45 por 4 . Al reducir por 5, obtenemos:
5
4
5
x 45 = 4 x 9 = 36
(Un recordatorio breve sobre una manera de ver por qué debemos
multiplicar por 4 . Para obtener el número de María a partir del número
5
de José, multiplicamos por 5 ; entonces, si queremos hacer lo contrario, ob4
tener el número de José a partir del de María, debemos hacer lo contrario:
dividir por 5 , que significa multiplicar por 4 .)
4
5
Problema (cambiar de nombre a las fracciones): Completar con el número
que falta en cada espacio en donde se ve un △:
1)
4
5
=
△
15
2
2)
△
= 10 3)
60
3
△
=
4
5
Solución: 1) Para pasar de la izquierda a la derecha, multiplicamos el
denominador por 3. (15, el denominador en la derecha, es 3 veces 5, el
denominador en la izquierda). Para mantener las fracciones iguales, tenemos además que multiplicar el numerador por 3. Por lo tanto: △ = 4 x
3 = 12.
2) Para pasar de la derecha a la izquierda, dividimos el numerador
por 5. En consecuencia, también debemos dividir el denominador por 5,
es decir: △ = 60 ÷ 5 = 12.
3) Este ejercicio es diferente, pues el denominador de la fracción a la
izquierda no da como resultado un entero, sino una fracción. Para ir de
derecha a izquierda multiplicamos el numerador por
3
4
(es decir, 3 =
3
4
x 4).
Por lo tanto, para obtener △ debemos multiplicar el 5, el denominador a la
3
derecha, por 4 . Esto da como resultado:
△=5x
3
4
=
15
4
3
= 34
La ecuación 3 se ve un poco más extraña:
3
3
34
4
= 5.
162 Aritmética para padres y madres
El denominador común
Hijo: Padre, ¿puedes ayudarme a encontrar
el común denominador?
Padre: ¿Todavía no lo encuentran?
¡Lo han estado buscando desde
que yo era un niño!
Un lenguaje común
Por lo general, cuando alguien es torpe con sus movimientos se dice que
no puede mascar chicle y caminar al mismo tiempo. De hecho, es difícil
realizar dos actividades diferentes a la vez. Esto es justamente lo que
ocurre cuando tratamos de sumar fracciones. Una fracción es en realidad
una división. Por lo tanto, sumar fracciones significa realizar dos operaciones: dividir y sumar. En otras palabras, una mezcla de todo. Con
razón es complicado. Requiere aquello que se ha convertido en uno de
los símbolos de las matemáticas que se enseñan en la educación básica:
el común denominador.
En el capítulo “Enseñar abstracciones” decíamos que el común denominador es similar a tener un idioma en común. Cuando la fracción
1
se encuentra con la fracción 2 , pueden conversar entre ellas. Viven en
5
5
el mismo mundo, el mundo de los quintos, por lo que no tienen ningún
problema para comunicarse. Tal como una manzana más dos manzanas
son tres manzanas, un quinto más dos quintos son tres quintos: 1 + 2 = 3 .
5
5
5
Como en la vida real, el problema surge cuando las dos fracciones no
hablan el mismo idioma; es decir, cuando no tienen el mismo denominador. En este caso no queda otra opción que encontrarles un idioma en
común, lo que significa encontrar el mismo denominador para las dos:
un común denominador. En la vida real no siempre se logra, pero en la
aritmética sí.
El dueño de la pizzería y el cliente indeciso
Me gusta explicar el principio del común denominador por medio de
una historia sobre un dueño de una pizzería y un cliente indeciso.
Un cliente pide una pizza para sus dos hijos y solicita que la partan
en dos porciones iguales. Pero de pronto recuerda que quizás también
comerá con ellos un amigo. Entonces solicita que dividan la pizza en
partes iguales, para que así puedan repartirla entre dos o tres niños. ¿En
cuántas partes dividirá la pizza el cocinero?
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 163
Claramente, la respuesta es 6. Si la pizza va a ser repartida entre dos
niños, cada niño podrá recibir 3 partes (entonces se puede decir que 1 es
2
3 sextos), mientras que si llega un tercer niño, a cada niño le corresponde
dos partes Q 1 = 2 R.
3
6
En todo caso, dividir en 2 y 3 no es sólo uno de los ejemplos más sencillos, también es uno de los casos más conocidos, pues las pizzas casi
siempre vienen divididas en 6 partes.
En el segundo día el cliente pide otra pizza: hoy probablemente compartiremos la pizza entre 3. Pero quizás llega a comer otro niño, entonces seríamos 4. ¿En cuántas partes dividirá la pizza el cocinero? 12, por
supuesto. Si hay 3 niños, cada uno recibirá 4 porciones, y si hay 4 niños,
cada uno recibirá 3 porciones.
Esta historia se debe repetir una y otra vez, durante toda una clase o
más. Con 2 y 5 niños, con 2 y 4 (que es diferente porque 4 es divisible por
2), con 4 y 6, y suma y sigue.
Múltiplos comunes
¿Por qué cuando dividimos una pizza en 6 partes iguales se puede repartir de manera equitativa entre 2 y 3 niños? La respuesta es simple: porque
6 es divisible por 2 y por 3.
Otra manera de decir lo mismo es que el 6 es un múltiplo común de 2 y
de 3. Decir que un número es divisible por otro número significa que es
un múltiplo de tal número: 6 es múltiplo de 2, pues es 3 por 2, y también
es un múltiplo de 3, porque es 2 por 3.
Sin embargo, si 6 es divisible por 2 y por 3, quiere decir que hemos
encontrado el idioma en común para 1 (al dividir por 2) y 1 (al dividir
2
3
por 3): el idioma de los sextos. Hemos descubierto que ambos se pueden
expresar como sextos: 1 = 3 y 1 = 2 .
2
6
3
6
El término que se utiliza en este caso es “común denominador”: 6 es
el común denominador de 1 y 1 . Ésta es una tercera manera de decir lo que
2
3
ya hemos expresado de dos otras maneras: 6 es divisible por 2 y por 3, y
el 6 es un múltiplo en común entre 2 y 3.
Ahora, finalmente, podemos sumar
den expresar como sextos:
1
2
1
2
+ 1 . Ambas fracciones se pue3
=
3
6
y
1
3
= 2 , por lo tanto, se pueden sumar:
1
2
+
1
3
=
3
6
6
+
2
6
= 5.
6
164 Aritmética para padres y madres
El truco: la expansión
Anotar
1
2
=
3
6
significa expandir la fracción
1
3
2
6
1
2
al multiplicar el numerador
y denominador por 3. = también es el resultado de una expansión:
multiplicar el numerador y el denominador de 1 por 2.
3
Encontrar un común denominador, entonces, requiere expandir ambas fracciones que se suman, a fin de que tengan el mismo denominador.
Éste es otro ejemplo, esta vez sin la analogía de la pizzería: calcular
2
+ 1.
3
4
Primero se debe encontrar un múltiplo en común de ambos denominadores, es decir, de 3 y 4. En esta etapa podemos adivinar: 12 es divisible por 3 y por 4. (¿Podemos descubrir, basado en los ejemplos, un
método para seleccionar el múltiplo en común?)
Ahora nuestro objetivo es expandir la fracción 2 para que su deno3
minador sea 12. El denominador, 3, debe multiplicarse por 4 para que dé
como resultado 12; por lo tanto, el numerador también debe multiplicarse por 4, específicamente 2 = 8 .
3
12
El 1 también se debe expandir para que el denominador sea 12. En4
tonces el denominador se debe multiplicar por 3. Por lo tanto, el numerador también se debe multiplicar por 3, específicamente 1 = 3 . Entonces,
4
12
el resultado es:
2
3
+
1
4
=
8
12
+
3
12
= 11 .
12
El múltiplo común más sencillo
Los números 3 y 4 tienen muchos múltiplos en común. Por ejemplo, 120
es uno de los múltiplos en común. Sin embargo, entre todos los múltiplos
en común hay uno que es más sencillo o más natural: el producto de los
dos números, es decir, 3 x 4. ¡Porque 3 x 4 es obviamente un múltiplo de 3
y 4! De hecho, ¡éste es el primer múltiplo en común que adivinamos: 12!
La regla es: el producto de los denominadores es siempre un múltiplo
en común (en otras palabras, un común denominador).
El producto de los denominadores es un común denominador.
Fórmula a modo de resumen: multiplicación cruzada y suma
La suma de fracciones tiene una fórmula breve y sencilla. Para estudiarla
calcularemos otro ejemplo: 2 + 1 . El común denominador es el produc5
3
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 165
a ese denominador, 2
5
debe expandirse por el denominador de la otra fracción, es decir, por
3. El numerador entonces será 2 x 3. Para traer 1 al denominador 15, 1
3
3
debe expandirse por el denominador de la otra fracción, es decir, por 5,
y el numerador será entonces 1 x 5. Cuando se suman las fracciones el
numerador es 2 x 3 + 1 x 5. Ésta es la suma de productos de números cruzados: el numerador de una fracción por el denominador de la otra, más
el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera.
El resultado es:
2
+ 1 = 2 x 3 + 1 x 5.
to de los denominadores: 5 x 3 = 15. Para traer
5
3
2
5
5x3
Esta regla se puede expresar de manera general: la suma de dos fracciones tiene como denominador el producto de los denominadores de las
fracciones y como numerador la suma de los dos productos de la multiplicación de los numeradores con los denominadores de la otra fracción;
es decir, cada numerador se multiplica por el denominador de la otra
fracción.
Restar fracciones
Ahora sabemos cómo sumar fracciones. ¿Qué ocurre con la resta? Se hace
exactamente lo mismo. Por ejemplo:
2
5
–
1
3
=
2•3
5•3
–
1•5
3•5
=
2•3–1•5
15
=
6–5
15
1
= 15 .
Una ventaja adicional del común denominador: comparación
de fracciones
¿Qué fracción es mayor,
2
3
2
3
o 4 ? La pregunta tiene una respuesta sencilla:
5
es 1 menos 1 , mientras que 4 es 1 menos 1 . Un quinto es menor que un
3
5
5
tercio, por lo tanto, 1 menos un quinto es mayor que 1 menos un tercio.
En otra palabras, 2 es menor que 4 .
3
5
Sin embargo las preguntas de comparación pueden ser más complicadas:
¿Cuál fracción es mayor, 2 o 5 ?
7
17
Una opción es encontrar un común denominador para las dos fracciones,
2
2 • 17
34
= 7 • 17 = 119 ,
7
mientras que
5
17
=
5•7
17 • 7
=
35
.
119
166 Por lo tanto,
Aritmética para padres y madres
5
17
es mayor. Al igual que 35 manzanas es mayor que
34 manzanas. Cuando dos fracciones tienen un común denominador, la
fracción con el numerador mayor es el mayor de los dos.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 167
El mínimo común denominador
¿Realmente es tan terrible?
En el capítulo anterior aprendimos que cuando sumamos y restamos
fracciones, el producto de sus denominadores es un común denominador. Aquellos que recuerdan el común denominador de sus años en el
colegio, probablemente estarán sorprendidos. ¿Eso es todo? ¿Sólo basta
con multiplicar los denominadores? ¡Pero si el común denominador es
terrible! ¡Generaciones de estudiantes se han estremecido al escuchar su
nombre!
La razón es que hay una pequeña trampa. A veces lo que se espera es
el mínimo común denominador, es decir, el menor múltiplo en común de
los denominadores. A pesar de que existen buenas razones para buscar
un mínimo común denominador, éste complica un poco las cosas.
Por ejemplo, en el ejercicio 1 + 1 , se necesita el múltiplo en común
4
6
entre 4 y 6. En el capítulo anterior aprendimos a buscar un múltiplo en
común: se multiplican los denominadores entre ellos, en este caso, 4 x 6,
que es 24. Sin embargo, hay un múltiplo en común que es menor: 12. Doce
también se puede dividir por 4 y por 6, por lo que también sirve como
denominador común.
Existen algunas razones para buscar el mínimo común denominador,
al igual que para enseñarlo. La primera es la economía en el cálculo.
Para resolver el ejercicio se tienen que expandir las fracciones, y mientras menor sea el denominador común, menores serán las fracciones de
la expansión. La segunda razón es pedagógica: requiere del estudiante
un mejor manejo de las fracciones. Un estudiante que, en un ejercicio de
1
+ 1 , toma el denominador común como el producto de 100 y 200,
100
200
es decir, 20.000, en verdad no entiende la esencia de la operación, por lo
que realizará el cálculo automáticamente. Otra razón es que buscar el
mínimo común múltiplo enseña algunos principios del pensamiento, especialmente aquellos asociados con partir números en fracciones y, como
veremos, con la clasificación. Sin embargo, creo que el tema del mínimo
común denominador se debe enseñar independientemente del denominador común, y que se les debe indicar esta distinción a los estudiantes.
¡Divide y vencerás!
Tres tipos de pares de fracciones
Como ya se mencionó, uno de los principios del mínimo común denominador es el de clasificación. Los pares de fracciones pueden ser clasificados convenientemente en tres tipos:
168 Aritmética para padres y madres
Tipo A: los denominadores son “primos relativos”, lo que significa que
no hay número, aparte del 1, que los divida a ambos. Por ejemplo: 1 + 1 .
3
4
En este caso, el mínimo común denominador es el producto de 3 x 4,
es decir, 12. No hay espacio para la economía.
Tipo B: uno de los denominadores se puede dividir por el otro. Por
ejemplo: 1 + 5 . El doce se puede dividir por 4. Este caso también es sim4 12
ple: el mínimo común denominador es el mayor de los dos denominadores del ejemplo, es decir, 12, por lo que se puede dividir por sí mismo y
por 4. La fracción 1 se debe expandir por 3, lo que da como resultado 3 .
4
12
La suma es, por ende, 3 + 5 , lo que corresponde a 8 .
12 12
12
Tipo C: los dos denominadores tienen un divisor en común, que es el
número mayor que 1 que los divide a ambos, pero que no son divisibles
entre ellos. Por ejemplo, en 1 + 1 , los dos denominadores se pueden divi4
6
dir por 2, pero 6 no se puede dividir por 4. Éste es el caso más interesante, y el único que es en sí complejo.
Para encontrar la solución tenemos que aprender un nuevo término:
los factores primos de un número. Estos son los números primos cuyo
producto corresponde al número que nos ha sido entregado. (Recordemos que un número es primo si no tiene divisor aparte de sí mismo y el
1. Por ejemplo, 7 es primo, pero 6 no es primo porque se puede dividir
por 2 y 3. Un factor puede aparecer más de una vez, es decir, se puede
repetir. Por ejemplo, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, por lo que los factores de 24 son
2, 2, 2 y 3.)
Volvamos al ejemplo de 1 + 1 . Estamos buscando un número que
4
6
sea divisible tanto por 6 como por 4. Hagamos un intento: comencemos
con uno de los números: 6. Obviamente, cumple con una de los dos
condiciones: se puede dividir por 6, es decir, por sí mismo. Sin embargo
no cumple con la segunda condición, pues no se puede dividir por 4. La
razón de que 6 no sea divisible por 4 es que el último número no contiene todos los factores, debido a que sólo incluye el valor 2 dos veces, por
lo que 4 = 2 x 2. En cambio, el seis contiene el factor 2 sólo una vez, dado
que 6 = 2 x 3. Para que pueda ser divisible por 4, el 6 tiene que tener una
copia más del factor 2. Con el fin de resolver el problema se tiene que
multiplicar el 6 por 2. El resultado, 12, contiene el factor 2 veces, porque
12 = 2 x 2 x 3. En otras palabras, 12 se puede dividir por 4 y, de hecho, es
el mínimo común denominador, es decir, lo que estábamos buscando.
La regla es:
Para encontrar el mínimo común múltiplo de dos números, A y B, se
multiplica A por aquellos factores primos de B que no se encuentran en A.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 169
Es evidente que se puede elegir cualquiera de los dos números como
punto de partida. He aquí otro ejemplo: primero encontrar el mínimo
común múltiplo de 10 y de 15. Empezamos con uno de los números. Por
ejemplo, tomemos el 10. Hay que tratar de multiplicar de tal manera que
el número que salga de resultado también se pueda dividir por 15. Los
factores de 15 son 3 y 5, y el múltiplo común debe contenerlos a ambos.
No obstante, el factor 5 ya está contenido en 10 (10 se puede dividir por
5) y, por lo tanto, no tenemos que multiplicarlos. Por el contrario, el segundo factor, 3, no se encuentra contenido en 10. Por ende, 10 se tiene que
multiplicar por 3. El resultado es 30; es decir, éste es el mínimo común
múltiplo.
Como último ejemplo, calculemos 3 + 1 . Se debe seleccionar uno de
10
8
los denominadores, digamos 10, y se debe multiplicar por los factores
contenidos en 8, pero no en 10. La factorización de 8 es: 8 = 2 x 2 x 2, por
lo que 8 contiene 3 factores de 2. En 10, que es igual a 2 x 5, hay sólo un
factor 2. Por ende, contiene dos factores de 2 más. Partiendo esta base,
para que se pueda dividir por 8, 10 se tiene que multiplicar por 2 dos
veces, es decir, por 4. El resultado, 40, es el mínimo común denominador.
Para llevar a cabo la adición se deben expandir ambas fracciones en
la suma, con el fin de obtener denominadores iguales al común denominador. En este caso:
3
= 12 , 1 = 5 .
10
Ahora, la suma es posible:
12
40
40
+
5
40
8
40
= 17.
40
170 Aritmética para padres y madres
Números mixtos
No ararás con buey y asno juntos.
Deuteronomio 22:10
¿Qué es un número mixto?
Un número mixto es la suma de un número natural y una fracción. Por
ejemplo, 7 + 4 , o como se escribe convencionalmente 7 4 .
9
9
Los números mixtos salen en varios contextos. Por ejemplo, cuando
se suman fracciones: la suma 3 + 3 es igual a 1 1 . O: 17 ÷ 7 es 2 3 (7 está
4
4
2
7
contenido 2 veces en 17, lo que deja como resto 3, que se tiene que dividir
por 7).
Fracciones impropias
“He estado pensando y creo que he llegado
a una decisión muy importante”, dijo Pooh.
“Estas no son el tipo correcto de abejas”.
“¿No lo son?”, dijo Christopher Robin.
“En ningún sentido correcto. Por lo que creo
que van a producir el tipo equivocado
de miel, ¿o no?”
A.A. Milne, “Winnie de Pooh”
La expresión 17 se conoce como “fracción impropia”. ¿Por qué? Porque
7
sólo parece una fracción. En fracciones, de acuerdo con la forma como se
le define en la escuela básica, el numerador debe ser más pequeño que
el denominador (son los matemáticos profesionales lo que no hacen esta
distinción, por lo que llaman a 17 una fracción).
7
De hecho, no hay nada impropio en una fracción impropia. Se suma
y se resta como una fracción, y se multiplica y divide como una fracción.
¿Cómo se convierte una fracción impropia en un número mixto?
La primera respuesta tiene que ser que no hay por qué convertirlo. ¡No
hay para qué! Una fracción impropia puede seguir siendo así.
La única desventaja de las fracciones impropias es que es difícil estimar su tamaño. Por ejemplo, calcular 17 requiere pensar. Cuando se
7
escribe como 2 3 es fácil colocarlo entre 2 y 3.
7
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 171
¿Cómo se transforma 17 en un número mixto? La línea de la fracción
7
representa la división. Por ende, tenemos que dividir. El resultado de la
división 17 ÷ 7 es 2 3 .
7
Para convertir una fracción impropia en un número mixto
se divide el numerador por el denominador.
¿Cómo se suman los números mixtos?
El principio es muy similar al de añadir números decimales. Los números enteros y las fracciones se suman de forma separada, y si el número
natural se puede agrupar para la suma de las fracciones, entonces el re3
1
sultado se debe traducir a enteros. He aquí un ejemplo: 1 4 + 3 2 .
3
1
14 +32 =1+3+
3
4
+
1
2
=4+
3
4
+
1
2
=4+
5
4
1
1
= 4 + 1 4 = 5 4.
¿Cómo se restan los números mixtos?
También en este caso el principio es similar al de restar números decimales.
5
2
Comencemos con un ejemplo simple: 3 7 – 1 7 . En los números decimales las decenas se restan a las decenas y las unidades a las unidades.
Acá, los enteros se restan a los enteros y las fracciones a las fracciones.
El resultado es 3 enteros menos 1 entero, que corresponde a 2 enteros; y
5
– 2 , que equivale a 3 . Todo junto: 2 3 .
7
7
7
7
Al igual que los números decimales, el tema se vuelve más complejo
cuando se tiene que cambiar un número por las unidades menores, en
2
este caso, por fracciones. Por ejemplo: 3 – 7 . El 3 no tiene las suficientes
2
“partes de fracciones” de las cuales sustraer 7 . ¿Qué deberíamos hacer?
7
¡A cambiar! Tomar 1 de 3 y cambiarlo por séptimos: 1 = 7 . De los siete
séptimos, dos séptimos se pueden sustraer:
3–
2
7
=2+1–
2
7
=2+
5
7
5
= 27.
1
5
He aquí un ejemplo un poco más complejo: 5 4 – 3 6 .
1
5
El problema, en este caso, es que 4 es menor que 6 . Si tratamos de
1
5
calcular 4 – 6 , dará como resultado un número negativo. No es un problema serio, pero todavía no hemos estudiado los números negativos.
172 Aritmética para padres y madres
Por ende, tenemos que volver a hacer un cambio. De los 5 enteros del
4
minuendo, uno se cambia a 4 . De los 5, sólo 4 se mantienen enteros y el
1
,
4
4
5
más los 4 , se convierte en 4 .
Ahora tenemos:
4+
5
4
–35 =1+
6
5
4
–
5
6
5
5
Lo único que falta por calcular es 4 – 6 . El mínimo común denominador es 12, por lo que la primera fracción se debe expandir por 3 y la
segunda por 2, lo que da como resultado:
5x3
4x3
5x2
6x2
–
15 10
5
= 12 – 12 = 12 .
Recordemos que se debe calcular 1 +
5
resultado es 1 12 .
5
4
–
5
.
6
Dado que
5
4
–
5
6
=
5
,
12
el
Transformar números mixtos en fracciones impropias
Como ya lo mencionamos, no hay ninguna razón en especial para transformar fracciones impropias en números mixtos. En cambio, convertir
números mixtos en fracciones impropias muchas veces resulta ser necesario. Se requiere para multiplicar y dividir. Veamos un ejemplo de cómo
2
se hace. ¿Cómo es que un número como 3 7 se convierte en una fracción
impropia? El 3 se puede expresar como una fracción impropia con un denominador de 7. El número 1 es 7 séptimos. Por ende, 3, que es 3 enteros,
es 3 veces 7 séptimos, lo que equivale a
2
37 =
21
7
+
21
.
7
2
7
=
Por ende,
23
7
que es la traducción que queríamos del número en una fracción impropia.
Si examinamos lo que acabamos de hacer, descubriremos una regla
sencilla: el numerador, 23, se obtiene multiplicando el número entero, 3,
2
de 3 7 , por el denominador 7 y después sumamos 2. Si utilizamos esta
1
regla para transformar 5 3 , vemos:
1
53 =
5x3+1
3
=
16
.
3
¿Cómo se multiplican los números mixtos?
Ahora podemos multiplicar y dividir números mixtos. Por ejemplo, vea1
1
mos el ejercicio 1 2 x 2 3 . Ya habíamos mencionado que las fracciones se
llevan bien con las multiplicaciones y las divisiones y viceversa. Por lo
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 173
tanto, los números mixtos deberían transformarse en fracciones, ¡incluso
si esto lleva a fracciones impropias!
1
12 =
3
2
1
7
1
1
y 2 3 = 3 . Por ende, 1 2 x 2 3 es lo mismo que
3
2
x
7
3
3x7
= 2x3 =
7
2
1
= 3 2.
¿Cómo se dividen los números mixtos?
Daniel y José van a un restaurant. Daniel pide un café con azúcar y leche.
José pide lo mismo, pero un té, en vez de café, endulzante en vez de azúcar y
limón en vez de leche.
¿Cómo se dividen los números mixtos? Tal como se multiplican. Pero,
a diferencia del chiste, esta vez sí es lo mismo.
1
1
Por ejemplo, para realizar el ejercicio de división 1 2 ÷ 2 3 , los números
mixtos se transforman en fracciones impropias. Realizamos esta transición en el ejercicio anterior, así que podemos escribirlo de inmediato:
3
2
÷
7
3
=
3x3
2x7
9
= 14 .
D. Decimales
Las fracciones decimales son el resultado de un encuentro entre las
fracciones y el sistema decimal. Se basan en el hecho de que se puede
utilizar el sistema de notación posicional en las fracciones. A la izquierda
de los dígitos de las unidades están las decenas, luego las centenas, luego
las unidades de mil, y así sucesivamente. A la derecha se encuentran las
fracciones: décima, centésima, milésima, etcétera.
En esencia, en cuanto a los métodos de cálculo e ideas que se requieren para entenderlas, las fracciones decimales pertenecen más a la esfera
de la representación decimal de los números que a la esfera de las fracciones.
Las fracciones decimales por lo general se enseñan en quinto o sexto
año, pero se pueden presentar mucho antes por medio de ejemplos con
dinero. Por ejemplo: anotar “3 dólares y 27 centavos” como “3,27 dólares”.
La suma y la resta en las fracciones decimales son tan sencillas como
la suma y la resta en los números naturales. La multiplicación y la división se realizan ignorando (¡sólo por un momento!) la coma del decimal y
haciendo el cálculo como si fueran números normales, y luego se vuelve
a colocar la coma del decimal en el lugar que corresponde.
El método decimal de anotar fracciones tiene una desventaja: no todas
las fracciones pueden anotarse como fracciones decimales. Sólo aquellas
que incluyen un 2 y un 5 como factores de sus denominadores pueden
anotarse como fracciones decimales. Pero cada fracción puede aproximarse tanto como uno quiera a una fracción decimal.
176 Aritmética para padres y madres
Fracciones decimales
El profesor Elemeno inventa las fracciones decimales
Como una continuación de la historia sobre el descubrimiento del sistema decimal por King Krishna, les voy a presentar ahora otro cuento
sobre fracciones decimales. Para ser más preciso, esta vez se trata sobre
su redescubrimiento. Cabe destacar que éste es un cuento para adultos,
pues a los niños les resulta muy complejo.
El profesor Elemeno llegó un día a su casa muy entusiasmado. “Ana
Luisa”, dijo, mientras su rostro irradiaba entusiasmo. “Inventé algo maravilloso. Algo que a nadie se le ha ocurrido jamás”.
Ana Luisa, acostumbrada a las invenciones de su marido, permaneció
impasible como siempre. “Sí”, respondió mientras batía 3 huevos para un
queque, “¿Qué inventaste ahora?”.
“Mira”, dijo Elemeno. “En el número 354, el dígito más a la izquierda,
3, nos dice cuántos cientos hay, el segundo desde la izquierda, el 5, nos
dice cuántas decenas hay, y el tercero, el 4, cuántas unidades. 100, 10, 1:
¡diez veces menos cada vez! ¿Por qué no seguir así? Diez veces menos
que 1 es una décima. Si pongo un dígito a la derecha, ¡éste representa
décimas! Por ejemplo, cuando anoto 3547, me refiero a 3 centenas, 5 decenas, 4 unidades y ¡7 décimas! ¿No lo encuentras ingenioso?”.
“Quizás”, respondió Ana Luisa, mientras vertía 2,3 tazas de harina a
la mezcla, según lo indicaba la receta. “Pero eres el único que va a entenderlo así. Cuando veo el número 3547, veo tres mil quinientos cuarenta y
siete. ¿Cómo puedes hacer la distinción entre los dos números?”
El profesor Elemeno lo pensó con atención por un tiempo. ¿Qué está
mal? En 354, el 4 corresponde a 4 unidades, ¿entonces por qué el 7 que se
7
añade a la derecha no representa 10 ?
“Es porque todo el número se mueve a la izquierda”, dijo Ana Luisa,
mientras prendía la batidora, por lo que Elemeno apenas pudo escuchar lo que decía. “Ahora el 7 representa unidades. El 4 se movió a la
izquierda y representa decenas”, le explicó a su esposo. “Necesitas algo
que evite que el 4 se corra a la izquierda. Por ejemplo, un signo como
una barra |. Si anotas 354|7, todos entenderán que a la izquierda de la
barra están las unidades y que a la derecha están las décimas.”
“Excelente”, dijo Elemeno. “¿Por qué no se me ocurrió eso?”
Ana Luisa se quedó pensando. Tomó un papel y anotó: 354|7. “Sí, está
bien. No es por nada que me casé con un matemático“, pensó ella. “Tiene buenas ideas de vez en cuando. Pero la barra, |, se parece mucho al
número 1. Se puede confundir. Quizás sea más conveniente utilizar un
dibujo interesante. Por ejemplo un corazón. Anotaremos: 354♥7”.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 177
“Pero cuesta mucho dibujarlo”, comentó Elemeno. “¿Y si ponemos una
coma? Entonces se verá así: 354,7. Es fácil de dibujar y claro. Ahora, si
anoto 354,78, todos sabrán que 7 representa décimas y que 8 representa
centésimas”.
De esta manera, la familia Elemeno inventó las fracciones decimales. Es verdad que estas fracciones se conocen en Europa desde hace 500
años. Pero no le robemos la ilusión a Elemeno y a Ana Luisa.
Las fracciones decimales son la continuación del sistema de notación posicional hacia las fracciones. Hacia la izquierda de la coma decimal los dígitos
representan unidades, decenas, centenas, etcétera. A la derecha de la coma,
representan décimas, centésimas, milésimas, y así sucesivamente.
La historia sobre el profesor Elemeno puede ser ficticia, pero desde
un punto de vista matemático es correcta. Las fracciones decimales son
la continuación natural del sistema decimal. Cuando se mueven hacia
la derecha, los dígitos van de representar unidades de mil a representar centenas, luego decenas y unidades: cada vez son 10 veces menos.
Después de las unidades hay décimas y luego centésimas. Sin embargo,
como Ana Luisa lo recalcó, se debe marcar el lugar en que las unidades
se separan de las décimas. De lo contrario, todo el número se “corre” a la
izquierda. Esta separación se logra con la coma decimal.
Reseña histórica
¿Quién inventó realmente el sistema decimal?
Tal como con la representación de números, la idea detrás de las fracciones decimales de continuar el número más allá de la coma decimal fue inventada por los
babilonios. Como ya lo mencionamos, agrupaban en grupos de 60 elementos, y,
1
por lo tanto, el valor del dígito que sigue después de la “coma” era 60 y el valor
1
del dígito siguiente era 3.600 . Sin embargo, no marcaban la coma: sabían su ubicación según el contexto.
Increíblemente, incluso después de que comenzaron a utilizar el sistema decimal para representar los números normales, los europeos continuaron utilizando
el método del “60” en fracciones hasta el siglo XV. El sistema de fracciones decimales, como se utiliza hoy en día, sólo tiene 500 años.
La partición de las horas en 60 minutos y de los minutos en 60 segundos es
una de las herencias del sistema babilonio. Para la medición de ángulos se ha preservado un sistema similar, en donde las unidades también se llaman “minutos”
y “segundos”.
178 Aritmética para padres y madres
La ventaja de las fracciones decimales
La mayor ventaja de las fracciones decimales es que son útiles para resolver cálculos. Traen con ellas el mecanismo listo del sistema decimal,
con sus algoritmos familiares de cálculo. Esto significa que también incluyen un común denominador listo. ¿Quiere sumar 2,3 más 4,5? No hay
problema: el 2 y el 4 representan unidades, lo que significa que tienen un
común denominador. El 3 y el 5 representan décimas, así que también
tienen un común denominador.
También es fácil estimar el tamaño de una fracción decimal y comparar los tamaños de las fracciones.
Fracciones decimales infinitas
Nada es perfecto. Las fracciones decimales deben tener algo malo, y así
es: no todas las fracciones pueden anotarse como fracciones decimales,
al menos no de manera finita. Algunas fracciones, y hasta cierto punto
la mayoría de ellas, pueden representarse de manera decimal sólo como
fracciones decimales infinitas.
La fracción más conocida de todas deber ser la representación de la
1
fracción 3 . En la notación decimal, ésta es: 0,333..., en donde los tres puntos significan que la serie de 3 sigue de forma indefinida.
El significado de la igualdad 0,333... =
1
.
3
1
3
es que los números, 0,3; 0,33;
La terminología precisa es que la dis-
0,333; se acercan cada vez más a
1
tancia desde 3 tiende hacia 0.
Un ejemplo más sencillo aún es la fracción decimal infinita 0,999...
1
Ésta es igual a 1. ¿Por qué? Porque la distancia desde 0,9 a 1 es 10 . La
distancia desde 0,99 a 1 es
1
1
. La distancia desde 0,999 a 1 es 1.000. La dis100
tancia hasta 1 tiende a 0, lo que significa que 1 es el límite. Resulta que un
número puede tener dos representaciones decimales diferentes: 1 = 0,999...
Es un poco confuso, pero así es como funciona.
¿Por qué está permitido agregar un 0 a la derecha de la
fracción decimal?
Agregar un 0 a la derecha de un número decimal normal lo altera. Por
ejemplo, agregar un 0 a la derecha del número 58 lo transforma en 580.
En las fracciones decimales, por el contrario, agregar un 0 no altera el
número. Por ejemplo, 5,8 = 5,80.
¿Por qué ocurre esto? Agregar un 0 a un número normal mueve todo
el número a la izquierda. El dígito 8 en el número 58, por ejemplo, que
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 179
antes representaba las unidades, ahora representa las decenas del número
580.
En las fracciones decimales la coma decimal previene este cambio. Define la función de cada dígito, por lo tanto, cuando se agrega un 0 no ocurre nada. Por ejemplo, el 8 en 5,80 representa décimas, tal como en 5,8.
12,0 = 12
Veamos el número 12,0: a la izquierda del 0 hay unidades. Tal como en
12. Por lo tanto, ambos números son iguales: poner una coma decimal al
final del número no lo altera.
¿Se puede poner una coma decimal, sin un cero y anotar 12? Por supuesto. No es necesario poner el 0 a la derecha de la coma decimal, tal
como no es necesario anotar 12,10 en el lugar de 12,1, aunque sea verdad
que hay 0 centésimas. Si no se escribe, se puede dar por sentado que hay
un 0. El problema es que la coma se puede confundir con una coma al
medio de una oración. Por lo tanto, por lo general sí se escribe el 0 y se
anota 12,0.
Por esta misma razón, también es posible escribir “,34” en lugar de
“0,34”; la coma decimal deja claro que hay 0 unidades, por lo que no es
necesario anotar el 0.
Operaciones con potencias
En los cursos más avanzados las fracciones decimales pueden vincularse
con la operación de potencias. Los dígitos de un número decimal representan 1, luego 10, 100 y así en adelante. Unidades, decenas, centenas,
unidades de mil... ¿Qué representan estos números? Cada número en la
serie 1, 10, 100, 1.000 es el resultado de la multiplicación del predecesor
por 10. Tal operación, la multiplicación repetida, se llama “potencia”. En
este caso, las potencias de 10. Por ejemplo, 1000 es 10 elevado a 3, dado
que es un producto en donde 10 aparece 3 veces: 1.000 = 10 x 10 x 10. Se
denota como 1.000 = 103.
Cien es 10 elevado a 2, o 102, pues corresponde a 10 x 10, un producto
en donde 10 aparece dos veces. Diez es 101, pues es un producto en donde
10 aparece una vez.
¿Cómo sabemos qué potencia de 10 tenemos? Simplemente, se tienen
que contar los ceros. En 1000, que es 10 elevado a 3, hay 3 ceros.
¿Cómo se multiplican las potencias?
¿Cuánto es 102 x 104?
102 significa 10 x 10, y 104 significa 10 x 10 x 10 x 10. Por lo tanto, el producto es (10 x 10) x (10 x 10 x 10 x 10), en donde el 10 aparece 2 + 4 veces,
180 Aritmética para padres y madres
es decir, 6 veces. Conclusión: 102 x 104 = 106, es decir, 10 elevado a la suma
de las dos potencias.
Una potencia representa una multiplicación repetida. Por ejemplo, 3 elevado
a 4 es 3 x 3 x 3 x 3; es un producto que incluye el 3 cuatro veces. El nombre
“potencia” proviene del hecho de que es de verdad una operación poderosa:
su resultado puede ser enorme, incluso cuando los números involucrados son
pequeños.
¿Cuánto es 10 0?
Hemos visto que 103 = 1.000, 102 = 100 y 101 = 10. De izquierda a derecha,
cada número es una décima de su predecesor. Por lo tanto, si continuamos esta serie hacia la derecha, el próximo término será una décima de
10, que es 1. Por lo tanto, 100 = 1.
Esto tiene sentido. Dijimos que la potencia se determina por el número de ceros que hay a la derecha del dígito 1, por lo que 10 elevado a
0 es 1 sin ceros a la derecha. Otra manera de verlo es ésta: ¿Cuánto es 10
elevado a 2? Es el número 1 multiplicado por 10 dos veces. En otras palabras, 102 = 1 x 10 x 10. ¿Cuánto es 10 a la potencia 0? Es el número 1 multiplicado por 10 cero veces. No se debe confundir con la multiplicación por
0. Simplemente no se multiplica; no se hace nada. Se deja como tal, un 1.
Las potencias negativas
Anotemos las potencias de 10 : 100 = 1, 101 = 10, 102 = 100, 103 = 1.000, ...
Ahora, leamos la serie de exponentes (potencias) de derecha a la izquierda y continuemos más allá del 0, de esta manera: 3, 2, 1, 0, –1, –2, –3.
De ser así, las potencias que siguen son potencias negativas.
103 = 1000, 102 = 100, 101 = 10, 100 = 1,
1
1
1
10 –1 = 10 , 10 –2 = 100 , 10 –3 = 1.000 ,...
En las fracciones decimales, el primer dígito a la derecha de la coma
decimal representa, como ya lo dijimos, décimas; es decir, 10 –1. El segundo dígito representa céntimas, es decir, 10 –2, y así sucesivamente. Los
dígitos a la derecha de la coma decimal representan las potencias negativas de 10, mientras que los dígitos a la izquierda de la coma decimal
representan las potencias no negativas.
Por ende, las fracciones decimales son una expansión del sistema decimal hacia las potencias negativas.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 181
Cálculo con las fracciones decimales
¿Qué le ocurre a la fracción decimal cuando la coma decimal
se corre a la izquierda o a la derecha?
En este capítulo estudiaremos dos temas: primero, cómo expresar una
fracción decimal como una fracción normal y viceversa; segundo, veremos cómo realizar operaciones aritméticas con fracciones decimales. Ambas operaciones requieren conocer un principio sencillo: ¿qué le ocurre a
la fracción decimal cuando la coma se corre a la izquierda o a la derecha?
Veamos un ejemplo: el número 57,34. ¿Qué ocurre si movemos la coma
decimal un lugar hacia la derecha? El resultado será 573,4. El 5, que antes representaba las decenas, ahora representa las centenas (5 centenas). En otras
palabras, representa un número 10 veces más grande que antes. Lo mismo
ocurre con el 7: antes representaba las unidades y ahora representa las decenas, por lo que también aumentó 10 veces más. El 3, que antes enumeraba las
décimas, ahora enumera las unidades: también es 10 veces mayor.
Ahora, cada dígito representa 10 veces más que el número que representaba antes. En otras palabras, todo el número aumentó 10 veces.
Por el contrario, si se corre la coma decimal hacia la izquierda, el número se reduce 10 veces. Por ejemplo, 0,75 es una décima de 7,5.
¿Qué ocurre si la coma se corre dos espacios hacia la derecha? Si se
corre un espacio, el número aumenta en 10 veces; un espacio más también provoca que éste aumente 10 veces. En total, el número se multiplica
por 10 x 10, es decir, por 100. Por ejemplo, 5.734,0 es 100 veces mayor que
57,34. Si se cambia la coma decimal 3 espacios a la derecha, el número
aumenta 1.000 veces. Si se corre la coma decimal 3 espacios hacia la izquierda, el número se reduce 1.000 veces.
La multiplicación de un número por 10 se expresa moviendo la coma decimal
a la derecha, por ejemplo: 2,34 x 10 = 23,4. La división por 10 se expresa
moviendo la coma decimal un espacio a la izquierda, por ejemplo:
23,4 ÷ 10 = 2,34.
Transformar fracciones decimales en fracciones normales
Cualquier fracción decimal se puede expresar como una fracción normal.
Por ejemplo, tomemos la fracción 0,24. Transformarla en una fracción
normal sólo requiere interpretar lo que está escrito. El dígito 2 representa
las décimas y el 4 representa las centésimas. En total tenemos 2 décimas
2
4
y 4 centésimas. Es decir, 10 + 100 o simplemente (después de encontrar el
común denominador):
24
.
100
182 Aritmética para padres y madres
Hay una manera más sencilla de ver este ejercicio. Si se mueve la coma
decimal en 0,24 dos espacios hacia la derecha, es lo mismo que multiplicar por 100. El resultado, 24, es entonces 100 veces mayor que el número
original. Para volver al número original el resultado debe dividirse por
24
100, lo que da como resultado 24 ÷ 100, o en fracción 100 .
Transformar fracciones normales en fracciones decimales
Ahora estudiaremos el proceso inverso: transformar una fracción normal
en una fracción decimal. Esto es muy útil, pues resolver cálculos con números decimales suele ser más fácil que hacerlo con fracciones. A modo
3
de ejemplo, transformaremos 8 en una fracción decimal.
El principio es sencillo: recordemos que las fracciones son divisiones,
3
es decir, 8 = 3 ÷ 8. Todo lo que tenemos que hacer es dividir.
Recordemos cómo se resuelve este problema. Anotemos:
3:8=0
Éste es el primer paso en el cálculo: el 8 no está contenido ni siquiera
una vez en el 3; el resultado incluye 0 unidades, que se anotan sobre el 3,
lo que corresponde al dígito de la unidad del dividendo.
Como podemos recordar, la siguiente etapa en la división consiste en
cambiar el 3 en unidades más pequeñas para que sea posible dividir por 8.
En este caso, cambiaremos las 3 unidades en décimas: 3 es 30 décimas. Se
anota un cero a la derecha del 3, pero con el propósito de aclarar que se está
frente a 30 décimas y no a 30 unidades, agregaremos una coma decimal:
3,0 : 8 = 0
Ahora debemos dividir las 30 décimas por 8. El resultado es 3, dado
que 8 está en 30 tres veces. Sin embargo, recordemos: 3 es 30 décimos,
por lo tanto, el resultado es 3 décimos. Esto se denota al colocar la coma
decimal en el resultado, como también en el dividendo:
3,0 : 8 = 0,3
De aquí en adelante, se sigue tal como si se tratara de una división
normal. El resultado, 3, se multiplica por el divisor, 8, lo que da como
resultado 24. Esto significa que 24 décimos se dividieron, y 30 – 24 = 6
décimas que permanecen sin ser divididas. Por ende, escribimos:
3,0 : 8 = 0,3
– 2,4
0,6
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 183
Ahora 0,6, o 6 décimos, deben dividirse por 8. Para hacerlo, se cambian a 60 centésimas. Sabemos que 60 contiene 8 siete veces, y por lo
tanto, 7 se anota en el lugar de las centésimas del resultado. Sin embargo, queda un resto: 7 veces 8 no es 60, es 56. Hay 60 - 56, es decir,
quedan por dividir 4 centésimas adicionales.
3,0 : 8 = 0,37
– 2,4
0,6
–0,56
0,04
Las 4 centésimas son 40 milésimas (se aclara al agregar un 0 a la derecha del 4). Cuando se divide por 8, el resultado es 5 milésimas, sin resto.
El resultado final es 0,375.
3,0 : 8 = 0,375
– 2,4
0,6
–0,56
0,04
–0,040
0,000
Lo que aprendimos aquí es cómo dividir un par de números naturales para que den como resultado una fracción decimal. Sólo hay un
problema: algunas veces el algoritmo simplemente no se acaba. Puede
continuar de manera indefinida. Cuando dividimos 1 ÷ 4, por ejemplo, el
resultado es 0,25, pero cuando dividimos 1 ÷ 3, es decir, cuando expre1
samos 3 como una fracción decimal, el resultado es 0,333... el algoritmo
añadirá un 3 en cada etapa de manera infinita.
¿Cuándo ocurre cada caso? La respuesta se entrega en la siguiente
sección.
¿Cuáles fracciones se pueden anotar como fracciones
decimales finitas?
La regla es que una fracción puede anotarse como una fracción decimal
finita sólo si su denominador contiene únicamente los factores 2 y 5; es
decir, se puede dividir solo por 2, por 5 y por sus potencias. Por ejemplo,
1
8 contiene solamente el factor 2, pues es igual a 2 x 2 x 2, y de hecho 8 =
0,125. Cien también contiene sólo los factores 2 y 5, pues es igual a 2 x 2
1
x 5 x 5, y efectivamente, 100 = 0,01.
184 Aritmética para padres y madres
Para entender por qué este tipo de fracción puede anotarse como una
fracción decimal finita analicemos la fracción
mero 8 es 2, ya que 8 = 2 x 2 x 2. Entonces,
1
8
=
1
.
8
El único factor en el nú-
1
.
2x2x2
El secreto es éste: 2 puede multiplicarse por 5 para que sea igual a 10.
Entonces, si la fracción se expande al multiplicar el numerador y el denominador por 5 x 5 x 5, el denominador sería igual a 10 x 10 x 10, es decir:
1
8
=
1
2x2x2
=
5x5x5
10 x 10 x 10
=
125
1.000
Esta fracción puede anotarse como una fracción decimal finita: 0,125.
Por lo general, si los factores del denominador son 2 y 5, se puede multiplicar para que resulte en una potencia de 10. Por ende, la fracción se
puede expandir de manera tal que el denominador sea una potencia de
diez, lo que da como resultado una fracción decimal finita.
Hemos demostrado que las fracciones con un denominador que contiene sólo los factores 2 y 5 (cada uno de los cuales puede aparecer varias
veces) pueden anotarse como fracciones decimales finitas. ¿Hay otras
fracciones que compartan esta propiedad? La respuesta es no. Sólo las
fracciones con un denominador que contiene únicamente los factores 2 y
5 pueden anotarse como fracciones decimales finitas. ¿Por qué? Veamos
166
una fracción decimal como 0,166. Como una fracción normal es 1000 . El
denominador contiene sólo múltiplos de 10, pues 1000 es una potencia
de 10. Dado que 10 = 2 x 5, los factores del denominador son sólo 2 y 5.
Por ejemplo,
3
14
no se puede anotar como una fracción decimal finita,
pues 14 = 2 x 7, y el factor 7 impide que se escriba la fracción como una
fracción decimal finita.
Fracciones decimales periódicas
Una fracción decimal infinita se dice que es periódica si, desde cierto punto, sus dígitos aparecen en un orden recurrente. Por ejemplo,
0,512121212... es una fracción periódica, pues el par de dígitos 12 se repite desde el segundo dígito después de la coma decimal.
La regla es que una fracción decimal periódica es siempre una fracción
1
normal. Ya hemos visto el ejemplo: 0,333... que corresponde a 3 . Comprobemos esta regla mostrando cómo se transforma una fracción periódica en
una fracción normal. Esta comprobación se basa en el hecho extraño que
ya habíamos mencionado: que el número 0,999... es igual a 1. Ahora tome1
mos este hecho para demostrar que 0,333... = 3 . Anotemos: 0,333... =
0,333...
.
1
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 185
Esto está permitido porque dividir por 1 no altera el número. Recordemos
que 1 = 0,999..., el denominador puede ser reemplazado por 0,999... Por lo
tanto:
0,333... =
0,333...
0,999...
.
Por cada 3 en el numerador, hay un 9 en el denominador; entonces, el
numerador es 3 veces más pequeño que el denominador, por lo que la
1
fracción es igual a 3 .
Aquí tenemos otro ejemplo: transformar la fracción 0,141414... en una
fracción normal. Anotemos:
0,141414... =
0,141414...
1
=
0,141414...
0,999999...
.
Por cada 14 en el numerador, hay un 99 en el denominador. Por lo tanto,
14
la fracción es igual a 99 .
Finalmente: ¿cómo se anota 0,5121212... como una fracción normal?
Dejaré que el lector resuelva este ejercicio por su cuenta, con una sola
pista. Anotemos:
1
0,5121212... = 0,5 + 0,0121212... = 0,5 + 10 x 0,121212...
Sumar y restar fracciones decimales
En el capítulo “Las tres maneras matemáticas de economizar” mencionamos un chiste muy útil sobre matemáticos: “Esto es algo que ya
hemos resuelto” (cómo hervir agua). Es muy útil cuando se resuelven
operaciones con fracciones decimales. Efectivamente, “esto”, es decir, calcular las cuatro operaciones aritméticas es algo que ya resolvimos con
los números naturales.
No hay nada nuevo con la suma y resta de las fracciones decimales: se
calculan exactamente de la misma manera que si fueran números decimales normales, es decir, de forma vertical. Lo único que se debe recordar es
que los números se deben colocar en el lugar que corresponde con el fin de
que las comas decimales estén una sobre la otra. Por ejemplo:
2,34
+ 15,8
En este tipo de notación las unidades se encuentran debajo de las unidades y las decenas debajo de las decenas, y lo mismo ocurre a la derecha
de la coma decimal: las décimas están bajo las décimas y las centésimas
bajo las centésimas, etcétera. De esta manera se crean denominadores
comunes de inmediato: las décimas se suman con las décimas, las centésimas con las centésimas.
186 Aritmética para padres y madres
¿Qué ocurre con el espacio bajo el 4? ¿Qué representa? Un espacio
vacío significa 0. El 4 en el número 2,34 representa centésimas, y en el
número 15,8 no hay centésimas. Se puede poner un 0 al lado del 8 para
señalar las centésimas: 15,8 = 15,80 sin cambiar el valor.
¿Cómo se multiplican las fracciones decimales?
¿Cómo se calcula 2,3 x 0,75?
La respuesta: se ignoran las comas decimales, se multiplica y luego se resuelve el problema que se crea por haber ignorado las comas.
En este caso, 23 se multiplica con 75, lo que da como resultado 1.725.
Entonces, el resultado se repara al dividirlo por 1000, lo que significa
que la coma decimal se corre 3 lugares hacia la izquierda y da como
resultado 1,725.
¿Por qué dividimos por 1.000 al final? Porque ignorar la coma decimal
significa multiplicar por 1.000. Al reemplazar 2,3 por 23 se está corriendo
la coma decimal un lugar hacia la derecha, o se está multiplicando por
10, dado que 23 = 10 x 2,3. De igual forma, reemplazar 0,75 con 75 significa correr la coma decimal 2 lugares hacia la derecha, o multiplicar por
100, dado que 75 = 100 x 0,75.
¿Qué ocurre cuando se multiplica 23 por 75? 23 es 10 veces más grande que el número en el ejercicio, y 75 es 100 veces más grande que el
número en el ejercicio. Por lo tanto, su producto es 10 veces 100, es decir, 1000 veces más grande que el resultado correcto del mismo ejercicio.
Para repararlo, el resultado se debe dividir por 1000.
He aquí otro ejemplo: 0,2 x 3,333. Nuevamente, se ignoran las comas
decimales, entonces se multiplica 2 x 3.333. El resultado es 6666. La coma
decimal en el multiplicador se corrió un espacio a la derecha, por lo que
0,2 pasó a ser un 2; la coma decimal en el multiplicando se corrió 3 espacios a la derecha. Entonces, para reparar el resultado, la coma decimal
debe correrse 1 + 3 veces, es decir, 4 espacios a la izquierda.
Dado que 6666 = 6666,0, al correr la coma decimal cuatro espacios a la
izquierda, el resultado es 0,6666.
Siempre es bueno asegurarse de que el resultado tenga sentido. 0,2 es
un quinto; 3,333 es casi 3. Tiene sentido que un quinto de un número que
está cerca de 3 sea más o menos 0,6.
Expandir razones de fracciones decimales
Miremos el ejercicio 6,33 ÷ 0,2. También se puede anotar como si fuera
una fracción con línea:
6,33
.
0,2
Corramos la coma decimal en el numerador
y denominador un lugar hacia la derecha:
63,3
.
2
¿Qué pasó aquí? El nu-
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 187
merador y el denominador se multiplicaron por 10. En otras palabras, la
fracción se expandió por 10, lo que no altera su valor.
Cuando se escribe en el lenguaje de la división en vez del de las fracciones, lo que hemos visto es que 6,33 ÷ 0,2 = 63,3 ÷ 2. Notemos cuánto
más fácil es estimar el resultado de 63,3 ÷ 2 (que es cerca de 30), que estimar el de 6,33 ÷ 0,2.
La regla es que, en la división, la coma decimal puede correrse la
misma cantidad de veces en la misma dirección en el dividendo y en el
divisor, sin que cambie el valor del cociente.
¿Cómo se dividen las fracciones decimales?
Enseñar a dividir fracciones decimales no es realmente lo más importante. La mayoría de los principios ya se enseñaron durante la división y la
multiplicación de fracciones decimales. Sin embargo, para aquellos que
sí han llegado a esta etapa, a continuación se presentan los métodos de
cálculos comunes, lo cuales son tres.
Primer método: ignorar la coma decimal
Una manera de dividir fracciones decimales es hacer lo mismo que cuando se multiplican: ignorar la coma decimal para después enmendarlo.
Por ejemplo, para calcular 33 ÷ 0,02 primero se calcula 33 ÷ 2, que es
16,5. Sin embargo, éste no es el resultado final, claramente, sólo es una
centésima del mismo: cuando se reemplazó 0,02 por 2, el divisor aumentó 100 veces, lo que reducirá el resultado por 100 veces. Para enmendarlo,
el resultado se debe multiplicar por 100. Esto se logra al correr la coma
decimal dos espacios a la derecha: 16,5 se transforma en 1650, que es el
resultado final correcto.
Segundo método: expandir el divisor y el dividendo para transformarlos
en números enteros
Otra manera de dividir fracciones decimales es corriendo la coma decimal de la misma manera en el divisor y el dividendo, hasta que ambos
se transformen en números enteros.
Por ejemplo, tomemos el ejercicio 0,123 ÷ 0,4. Cuando se mueve la coma
tres espacios a la derecha en el dividendo y divisor, ambos se transforman en enteros, sin cambiar el cociente, pues tanto el divisor como el
dividendo se multiplican por 1000. Después de estos cambios, el ejercicio
123
es 123 ÷ 400, o como fracción: 400 . Queda transformar esta fracción en
una fracción decimal, pero ya sabemos cómo hacerlo pues lo vimos, el
capítulo anterior.
188 Aritmética para padres y madres
Tercer método: correr la coma decimal hasta que el denominador se
vuelva un entero
Éste es probablemente el método más popular de todos, el cual también se
basa en la expansión, pero no implica transformar el divisor y dividendo
en enteros: sólo basta con transformar el divisor en un entero. Por ejemplo,
en el ejercicio 0,123 ÷ 0,4, las comas decimales en el divisor y el dividendo
se corren un espacio a la derecha, lo que se transforma en 1,23 ÷ 4. Luego,
el cálculo se realiza por medio del algoritmo de la división.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 189
Porcentajes: el lenguaje universal de las fracciones
El esperanto de las fracciones
Por lo general, comienzo a enseñar los porcentajes con la historia de la
Torre de Babel. Le pido a uno de los niños que cuente la historia, especialmente el final, acerca de cómo Dios mezcló todos los idiomas. Debatimos acerca de las ventajas de tener un idioma en común entre todos.
Un oftalmólogo de Varsovia llamado Zamenhoff (1859-1917) trató de hacer que se cumpliera el sueño de que todos tuviéramos un lenguaje universal: inventó un idioma nuevo, llamado Esperanto, y buscó que se expandiera
por el mundo. El hecho de que tuvo algo de éxito, y de que actualmente más
de un millón de personas hablan Esperanto, puede atribuirse a la simplicidad y lógica del idioma, sin que afecte su variedad léxica.
En las fracciones, el lenguaje común es el común denominador. ¡Imaginemos lo conveniente que sería si todas las fracciones tuvieran el mismo denominador! ¡Sería muy sencillo sumarlas, restarlas y compararlas!
El mundo de las fracciones también tenía a su Zamenhoff, es decir, alguien
que trató de encontrar un común denominador universal. Esta idea surgió en
Italia, en el siglo XVI o XVII. El común denominador seleccionado fue el 100.
1
Así, la fracción 100 se bautizó con un nombre especial: “por ciento”.
Uno por ciento es simplemente una centésima. 50 por ciento son 50 centésimas, es decir, una mitad. Cien por ciento son 100 centésimas, es decir,
un entero. 0,1 por ciento es una décima de una centésima, es decir, una milésima.
Esta herramienta nos permite, entre otras cosas, comparar de manera
sencilla las fracciones. Por ejemplo, cuando decimos que la tasa de desempleo en un país es de 10,3% y en otro es de 11,5%, podemos ver fácilmente en cuál de los dos países la tasa de desempleo es mayor.
¡Pero cuidado: el lobo se esconde entre las ovejas! ¿Por qué a nadie se
le ocurrió esto antes? Debe haber alguna trampa.
190 Aritmética para padres y madres
Un número que se ajusta a las mediciones del ser humano
Bueno, la verdad es que el invento de los porcentajes no es tan ingenioso.
No contiene ninguna idea matemática novedosa, sólo ventajas prácticas.
Los porcentajes no son tan diferentes de las fracciones decimales. Por
24
ejemplo, 24% sólo significa 24 centésimas; es decir, 100 o 24 ÷ 100, que
da como resultado 0,24. Cualquier número que pueda escribirse como
porcentaje también puede escribirse como fracción decimal. De ser así,
¿por qué es tan útil la invención de los porcentajes?
La ventaja de los porcentajes reside en el hecho de que, para muchos
usos prácticos, constituyen una herramienta con el grado correcto de
precisión. La elección del común denominador universal no es completamente arbitraria. Para facilitar los cálculos el denominador debe ser
1
1
1
una potencia de 10: la fracción básica debe ser 1, o 10 , o 100 , o 1000 , y así
sucesivamente. Resulta que, entre estas opciones, dividir por cien es lo
que más se ajusta a las mediciones que realiza la gente. En muchos casos,
tiene la precisión justa y necesaria. Por ejemplo: los resultados de una
elección requieren de mayor precisión que la que ofrecen las décimas,
pero las centésimas son suficientes. Si el candidato A recibe un 44% de
los votos, y el candidato B un 41%, en el idioma de las décimas ambos se
4
aproximan a 10 , por lo que no sabríamos quién ganó. La precisión que
entregan los porcentajes también sirve para regular los impuestos, que
usualmente se definen como porcentajes enteros.
Los porcentajes también se ajustan a las mediciones de las personas,
pues son fáciles de calcular. Los cálculos con porcentajes sólo involucran
números de dos dígitos, lo que la mayoría puede resolver sin problemas.
¿Cómo se transforman los porcentajes en fracciones y
viceversa?
¿Cómo se transforma 24% en una fracción? Es muy fácil. 24 por ciento
es, de acuerdo con la definición de “porcentaje”, 24 centésimas; es decir,
el número 24 se divide por 100. Para hacer la transición de porcentajes a
fracciones se divide por 100.
¿Y en la dirección opuesta? ¿Cómo se transforman las fracciones en
porcentajes? En la transición de porcentajes a fracciones se debe dividir
por 100; entonces, la transición opuesta es multiplicar por 100. Por ejem1
plo, para transformar 4 en un porcentaje se debe multiplicar por 100; es
decir: 100 x
1
4
por ciento es
= 25; por lo tanto,
25
,
100
1
4
es 25%. Comprobemos el resultado: 25
que al reducirse queda:
1
.
4
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 191
Se puede demostrar lo mismo de manera directa. Para expresar
1
1
4
en porcentaje, preguntamos: ¿cuántos por cientos contiene 4 ? En otras
palabras, ¿cuántas centésimas contiene un cuarto? Para descubrir, por
ejemplo, cuántas veces está contenido el número 2 en el número 6, dividimos 6 por 2. De manera similar, el número de centésimas contenida en
un cuarto es
1
4
÷
1
.
100
Sin embargo, dividir por
plicar por 100. Por lo tanto, la respuesta es
1
4
1
100
es lo mismo que multi-
x 100, como lo vimos antes.
Para transformar una fracción (o en realidad cualquier número) en un porcentaje, lo tenemos que multiplicar por 100. Para convertir un porcentaje en
una fracción se debe dividir por 100.
Un 10% adicional de salario
El dueño de una tienda de abrigos fue a hacer
trámites, por lo que dejó a su nuevo vendedor
a cargo de la tienda. Cuando regresó, el
vendedor con orgullo le dijo que había
vendido una chaqueta de cuero por 60.000
pesos. “¿Qué?”, profirió el dueño, “¡El precio
indicado era de 600.000 pesos!”. Al cabo
de un momento se calmó. “Bueno, de todos
modos obtuvimos una ganancia del 100%”.
Pregunta práctica: ¿cuál sería la ganancia para el dueño si la chaqueta se
hubiese vendido al precio original? ¿El hecho de que el precio indicado
sea 10 veces mayor que el precio de venta significa que la ganancia también es diez veces mayor? (la respuesta es “no” y le voy a dejar al lector
la tarea de descubrir por qué).
Éste es un ejemplo de los problemas prácticos que involucran porcentajes y que se pueden encontrar en la vida diaria. En esta sección y
en la siguiente nos dedicaremos a tales problemas. De hecho, no se diferencian de los problemas de fracciones, pero dado que en la vida diaria
usualmente aparecen como porcentajes, deben ir en este lugar. El primer
problema nos puede parecer familiar:
Después de un aumentó del 10%, tu salario ahora es de 110.000 pesos.
¿Cuánto era tu salario antes del aumento?
¡Parece muy sencillo! ¿Se añadió un diez por ciento? Para volver al salario
principal se tiene que descontar el diez por ciento. 10 % de 110.000 es 11.000.
¡Por lo que tu salario anterior era 110.000 – 11.000, es decir, 99.000 pesos!
192 Aritmética para padres y madres
Éste es un error común. Analicémoslo con mayor detención: partamos
de la base de que el salario original era de 99.000 pesos. 10% de 99.000 es
9.900 pesos. ¡99.000 más 9.900 es 108.900, y no 110.000!
El error reside en que lo contrario de añadir un 10% al salario original
es sustraer el 10% del salario original, y lo que hicimos fue sustraer el
10% del salario después del aumento.
No obstante, esto no nos lleva a una solución. ¿Cómo se puede restar
un 10% del salario original si no sabemos cuánto era? Después de todo,
precisamente es el salario original lo que estamos buscando.
El secreto para solucionar el problema es éste: añadir 10% a un valor
es lo mismo que multiplicarlo por 1,10.
El 10% de un número es su décima parte. Por ende, añadir un 10% sig-
10
de sí mis10
11
mo. Después de añadir un décimo, tendremos como resultado 10 . En otras
nifica añadir un décimo. Claramente, el número en sí es el
palabras, sumar un décimo es lo mismo que reemplazar el número con un
11
10
de sí mismo, lo que significa multiplicarlo por
11
,
10
lo que equivale a 1.1.
Ahora podemos responder la pregunta anterior. Sumarle a un salario su 10% es lo mismo que multiplicar el salario por 1,1. Por ende, para
volver al salario original, el nuevo salario se debe dividir por 1,1. Si la
multiplicación da como resultado 110.000, el salario original era 110.000 ÷
1,1 = 100.000, es decir, 100.000 pesos.
He aquí otro ejemplo del mismo tipo:
El precio de una prenda de vestir más un impuesto a la compra de 20%
suma 30.000 pesos. ¿Cuál era el precio antes del impuesto?
Agregar un 20% del impuesto es lo mismo que multiplicar por 1,2.
Para regresar al precio original, antes del impuesto, el precio se divide
por 1,2. El precio antes del impuesto era:
30.000 ÷ 1,2 = 30.000 ÷
6
5
=
30.000 x 5
6
= 25.000.
E. Razones
Las razones contienen en un solo tema gran parte del contenido que se
enseña en la enseñanza básica: división, fracciones y su vínculo con situaciones de la vida cotidiana. Los problemas de razones también son
útiles porque la realidad a menudo obedece a leyes de razones constantes entre cantidades, lo que se denomina “proporción directa” o “proporcionalidad”.
La principal herramienta para resolver problemas de razones es “la
razón por una unidad”, es decir, cuántas unidades del tipo A existen por
una unidad del tipo B. Por ejemplo: ¿cuántos kilómetros puede recorrer
un auto en una hora?
194 Aritmética para padres y madres
Proporcionalidad
Éstos son días donde los verdes son siete veces
más verdes y el azul en el cielo es setenta
veces más azul.
Rachel, Kineret
Problemas de razones
¿Qué es la “madurez”? Ya me gustaría saber la respuesta... Sin embargo,
“la madurez matemática” es fácil de definir: significa internalizar la forma matemática de pensar. Alguien que recién ha adquirido un concepto
no sabrá manejarlo de forma correcta; una persona que lo ha internalizado conoce con seguridad muchas situaciones en las que se pueden
aplicar. La madurez matemática significa tener confianza al momento de
usar argumentos matemáticos.
En la enseñanza básica las razones son la última materia de la aritmética que se enseña. Aquí las razones se relacionan con la proporcionalidad; es decir, se basa en una relación: cuántas veces una cantidad es
mayor que otra, en vez de comparar el tamaño de cada cantidad en sí, lo
que es variable. No hay otra materia escolar más adecuada para terminar
la educación básica con un broche de oro: es la verdadera prueba de la
madurez matemática. Es necesario internalizar los conceptos de división
y razón, al igual que comprender la conexión entre las operaciones matemáticas y la vida real, esa misma conexión que llamamos “significado”.
Proporción directa
El árbol A es dos veces más alto que el árbol B. ¿Cuántas veces más larga
es la sombra de A que la sombra de B?
Es evidente que la sombra es dos veces más larga también. Este fenómeno se llama “proporcionalidad” o “proporción directa”. Esto significa
que se tiene una razón constante entre dos medidas. Por ejemplo, entre
la altura de un árbol y el largo de su sombra.
El mundo se encuentra repleto de fenómenos relacionados con la proporcionalidad. Si viajan 3 veces más personas que las que originalmente
planificaron un viaje, se necesitará 3 veces más de comida. También tendrán 3 veces más dedos y 3 veces más orejas.
Otro ejemplo: las formas e imágenes se identifican por medio de la
proporción directa. El mismo objeto, dependiendo de su cercanía o lejanía, deja una imagen distinta en la retina del ojo. Sabemos que es el
mismo objeto en ambos casos, porque las razones entre los varios componentes son las mismas en ambos.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 195
Como siempre, el primer paso es familiarizarse con los ejemplos. He
aquí unos cuantos:
La razón entre el número de autos y el número de ruedas siempre es
de un cuarto.
La razón entre el número de metros y el número de kilómetros recorridos es siempre mil.
También se puede generalizar el ejemplo anterior. Se aplica una razón constante a toda transición entre unidades diferentes. Uno le puede
mostrar a los niños una regla para medir y demostrarles que el largo en
centímetros es siempre dos y media (lamentablemente no es exacto) veces el largo en pulgadas. Uno puede utilizar esto para explicar la razón
de cinco sobre dos, donde cada 5 centímetros son aproximadamente 2
pulgadas.
¿Quieres hornear un pastel 1,5 veces más grande que el que sale en la
receta? Tienes que aumentar cada uno de los ingredientes por un factor
de 1,5. En vez de 4 huevos, necesitarás 6. En vez de 2 tazas de harina,
necesitarás 3.
Conozco a un profesor que enseña las proporciones directas analizando la razón entre la altura de los niños y el largo de sus zapatos. Los
niños se tienden en el suelo y el profesor marca la altura con un pedazo
de tiza. Luego, dan un paso de “talón a pulgar” y marcan cuántas veces
el zapato se encuentra contenido en la altura del niño. La razón es más o
menos constante: 6 (7, si están descalzos). Mientras más alto sea el niño,
mayor será el tamaño de sus zapatos. Se debería incluir un adulto en el
experimento.
Se puede mostrar la proporción directa por medio de la medición de
las sombras. Las alturas de los niños y el profesor se miden y se comparan con los largos de sus respectivas sombras. Luego se examinan las razones: si una profesora es
3
2
3
2
veces más alta que un estudiante, su sombra
también es veces más larga.
Medir los diámetros y las circunferencias de diferentes círculos revela que la razón entre los dos es constante (la circunferencia es aproximadamente 3,14 veces mayor que el diámetro).
Un profesor que conozco celebra un “día de Gulliver” en el colegio:
Gulliver es 10 veces más pequeño que nosotros (suponiendo que nosotros somos los gigantes). ¿Cómo luciría su mesa? ¿Y su plato? Los estudiantes crean muebles y herramientas de cartón para él. Los alumnos
miden los muebles y las herramientas que tienen cerca y dividen sus
mediciones por 10.
196 Aritmética para padres y madres
Dos formas de expresar la proporción directa
Es importante notar que la proporción directa entre dos cantidades se
puede expresar de dos formas distintas. Para apreciar esto, echemos un
vistazo al hecho de que hay una proporción directa entre el número de
personas y el número de dedos. Esto se puede expresar de dos maneras:
para dos grupos cualesquiera de personas, A y B, la razón entre el número de dedos y el número de personas en cada uno de los dos grupos es
el mismo (igual a 10). O: la razón entre el número de dedos de cada uno
de los dos grupos es igual a la razón entre la cantidad de personas entre
ambos grupos. (Por ejemplo, si el Grupo A incluye 3 veces más personas,
entonces también incluye tres veces más dedos.)
Para aquellos que están familiarizados con álgebra, la equivalencia
entre el fraseo de ambos casos es muy sencilla. Definir a y b como el número de personas en los Grupos A y B, respectivamente, y x e y como los
números correspondientes a los dedos. La primera versión versa:
x
a
=
y
,
b
mientras que la segunda versión afirma
b
a
=
y
.
x
Es posible derivar la segunda formulación de la primera y viceversa, porque ambas expresan la misma igualdad de los productos:
a x y = b x x.
El Camino Real para solucionar problemas de razones: tasa
por una unidad
La proporción directa comprende cuatro cantidades. Por ejemplo: la
altura de cada uno de los dos árboles y el largo de sus dos sombras, o
el número de personas en los dos grupos y sus respectivos números de
dedos. Los problemas relacionados con estas cantidades usualmente
tienen el mismo formato: se dan tres de las cuatro cantidades, y la pregunta tiene que ver con la cuarta de ellas. Por ejemplo: la altura de uno
de los árboles es de 4 metros, mientras que el largo de su sombra es de
6 metros. (Una pregunta intermedia: ¿se puede decir algo sobre la hora
del día?) La altura de otro árbol es de 10 metros. ¿Qué tan larga es su
sombra?
Al igual que en muchos casos, el secreto de la solución de los problemas de razón se encuentra en una etapa intermedia, un peldaño que, si
se añade a la escala, nos hará más fácil subir. En esta oportunidad, el
peldaño intermedio es la tasa por una unidad.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 197
Hay un tipo de problema de razón donde el principio es bien conocido: problemas de movimiento, es decir, tiempo-distancia-velocidad.
Estos problemas por lo general no se consideran complejos. ¿Por qué?
Porque alguien se dio la molestia de inventar un paso intermedio para
nosotros: medir la velocidad en kilómetros por hora. Por ejemplo:
Un auto recorre 120 kilómetros en 2 horas. ¿Cuánto recorrerá en 3 horas?
El secreto reside en el cálculo de la velocidad: si un auto viaja 120 kilómetros en 2 horas, la velocidad es de 60 kilómetros por hora. Por ende,
en 3 horas viajará 3 veces 60, es decir, 180 kilómetros.
Estamos tan acostumbrados a esta solución que no apreciamos la sabiduría que contiene. Las cantidades A y B se entregan (en este caso, la
distancia que se mide en kilómetros y el tiempo que se mide en horas) y
la pregunta es: ¿cuántas unidades de A hay por unidad de B? Ésta es una
pregunta de “tasa por unidad” o sencillamente de “tasa”.
Primera etapa: uso de la tasa
Los problemas de razón se solucionan en dos etapas. La primera se basa
en calcular la tasa y la segunda en utilizarla. De las dos, la segunda es
más sencilla, debido a que requiere multiplicación en vez de división.
Por ende, se recomienda empezar enseñando los problemas de razón en
paralelo. He aquí un ejemplo:
Un auto viaja 50 kilómetro en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas?
La respuesta es, por supuesto, 3 veces 50, lo que es igual a 150 kilómetros. Este tipo de ejemplo se debe repetir una y otra vez, hasta el
cansancio: un auto viaja 40 kilómetros en una hora. ¿Cuánto recorrerá en
3 horas? Un trabajador cava 3 hoyos en una hora. ¿Cuántos cavará en 4
horas? Daniel recibe 100 pesos de mesada a la semana. ¿Cuánto recibirá
al cabo de 5 semanas?
Segunda etapa: cálculo de la tasa
Como ya ha sido mencionado, la primera etapa para resolver problemas
de razón es calcular la tasa. Cuando se esté enseñando los cálculos con
razones, esta parte debería enseñarse después, debido a que requiere división y, por ende, es más difícil. Para calcular la tasa de la Cantidad A
respecto a la Cantidad B (es decir, cuántas unidades de la Cantidad A
hay por una unidad de la Cantidad B), se divide la Cantidad A por la
Cantidad B. Por ejemplo:
Un grupo de sembradores planta 90 árboles en 3 horas. ¿Cuántos árboles
serán capaces de plantar en una hora?
En una hora, el grupo habrá plantado 3 veces menos que en 3 horas, es
decir, 90 ÷ 3, que es equivalente a 30 árboles. También se debería repetir
198 Aritmética para padres y madres
esta etapa una y otra vez: un auto viaja 100 kilómetros en 2 horas. ¿Cuánto recorrerá en una hora? Un árbol de 2 metros proyecta una sombra de 6
metros. ¿Qué tan larga es la sombra de un árbol de 1 metro?
Combinar ambas etapas
Una vez que se han internalizado ambas etapas, los problemas sobre proporcionalidad pierden complejidad.
Un trabajador coloca 50 baldosas en dos horas. ¿Cuántas baldosas puede
colocar en 5 horas?
Como ya se mencionó, la primera etapa se basa en calcular la tasa:
cada hora, el trabajador coloca 50 ÷ 2 = 25 baldosas. La segunda etapa utiliza esta tasa: si coloca 25 baldosas por hora, en 5 horas colocará 5 veces
eso, es decir, 125 baldosas.
Éste es otro tipo de pregunta:
Un grupo de trabajadores planta 90 árboles en 3 horas. ¿Cuánto les tomará
plantar 600 árboles?
Nuevamente la solución comienza por calcular la tasa, es decir, el número de árboles plantados en una hora. Este grupo planta 90 ÷ 3 = 30 árboles en una hora. Plantar 600 árboles tomará el número de veces que se debe
multiplicar 30 para llegar a 600, es decir, 600 ÷ 30, que es igual a 20 horas.
600
Otra opción: el número requerido de árboles, 600, es 90 veces más
grande que el número de árboles indicado, 90. Por ende, las veces también deben aumentar a
600
90
veces, lo que da como resultado 3 x
600
90
= 20.
La siguiente sería una tercera posibilidad: ¿Cuánto toma plantar 1 árbol? Si 90 árboles toman 3 horas, entonces 1 árbol toma
ende, 600 árboles tomarán 600 x
1
30
= 20 horas.
3
90
=
1
30
horas. Por
La regla de tres
Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci (1200-1260), realizó valiosas
contribuciones a las matemáticas. Sin embargo, una de sus contribuciones a la educación matemática es de dudoso valor: un patrón para resolver problemas de proporción directa, llamado “la regla de tres”: las
tres cantidades entregadas se colocan en los vértices de un triángulo y se
aplica alguna receta para encontrar la cuarta cantidad.
He perdido la cuenta de cuántos adultos me han dicho que “la regla de
tres” todavía los atormenta. He visto niños (entre ellos mi propio hijo) que
entendían los problemas de razón hasta que los obligaron a estudiar este
patrón. Cuando un patrón no permite la comprensión, induce la ansiedad.
Luego de uno a dos meses se olvida el patrón, pero la ansiedad permanece.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 199
Más problemas de razones
Este capítulo se desvía de la materia que se enseña actualmente en las escuelas básicas. Cuando era un niño, estas materias se enseñaban en sexto
año, y en algunos países sigue enseñándose en ese curso. La principal importancia reside en que contribuyen a internalizar el concepto de razón.
La razón inversa
Si 3 trabajadores pavimentan un camino en 10 días, ¿cuántos días les
tomará a 5 trabajadores?
Este problema se relaciona con la razón entre dos cantidades: el número
de trabajadores y el número de días. Sin embargo, debemos considerar lo
siguiente: ¿qué pasaría si hay más trabajadores? ¿También requerirán más
días? Claro que no. Por el contrario, lo harán en menos días. Si el número
de trabajadores es dos veces mayor, el número de días es dos veces menor.
Las dos cantidades son “inversamente proporcionales”. Cuando una
cantidad aumenta un cierto número de veces, la otra disminuye el mismo número de veces.
El secreto de los problemas de razón inversa también reside en manipular una cantidad para transformarla en una sola unidad. (Una forma
común para decir esto es “llevarlo a la unidad”). Por ejemplo, calcular
cuánto le toma a un trabajador cumplir la labor. Para lograr lo que hicieron 3 trabajadores, un trabajador necesita 3 veces más días, es decir, 3
veces 10, lo que es igual a 30 días. La segunda etapa de la solución: 5 trabajadores necesitan cinco veces menos días que un trabajador. En otras
palabras: 30 ÷ 5, que es igual a 6 días.
Otra opción es manipular la segunda cantidad, el tiempo, en una sola
unidad: calcular lo que pasaría si fuese un día en vez de 10. Para realizar
esta labor se requiere de diez veces más trabajadores, es decir, 30. Si 30
trabajadores pavimentan un camino en un día, entonces 5 trabajadores
requieren 30 ÷ 5 veces más tiempo, es decir, 6 días.
Problemas con piscinas como ejemplo
Una llave llena una piscina en media hora. Una segunda llave la llena
en una hora. ¿Cuánto tiempo le tomará a las dos llaves llenar la piscina?
Muchas personas recuerdan los “problemas de piscinas” y les da escalofríos. De hecho, estos problemas contienen una dificultad inherente.
Un profesor me contaba que le había estado enseñando a un alumno particular problemas de piscina por semanas. Al regresar de su examen, el
alumno estaba llorando: no había preguntas de piscinas. Había un proble-
200 Aritmética para padres y madres
ma sobre un cine, que se llenaba en una hora cuando se abría una de las
puertas y en media hora cuando la otra puerta estaba abierta. La pregunta
era en cuánto tiempo se llena el teatro si ambas puertas están abiertas.
El secreto de los problemas de piscinas: la razón inversa
Si todos se preocupasen de sus asuntos, el
mundo giraría bastante más rápido que en la
actualidad.
La duquesa, de Alicia en el país de las maravillas
por Lewis Carrol
Si los profesores les dijeran a sus estudiantes el secreto de los problemas
de piscinas, se evitaría un montón de sufrimiento. El secreto reside en la
idea de la razón inversa.
Si la tasa es un número de unidades de la Cantidad A por cada unidad de la Cantidad B, entonces la razón inversa se define como el número
de unidades de la Cantidad B por cada unidad de la Cantidad A.
Por ejemplo: la velocidad es el número de kilómetros por hora (Cantidad A en este caso es la distancia medida en kilómetros, mientras que la
Cantidad B es el tiempo medido en horas). La razón inversa es el número
de horas por kilómetro. Por ejemplo: un auto recorre 40 kilómetros en
1
una hora. ¿Cuánto le tomará recorrer un kilómetro? La respuesta es 40
1
del tiempo que le tomaría recorrer 40 km, es decir, 40 de una hora. En
general, la razón inversa es 1 dividido por la tasa original.
En los problemas de piscinas la idea es que, en vez de preguntar cuántas horas toma llenar una piscina, se debe preguntar cuántas piscinas se
pueden llenar en una hora. Por ejemplo: una llave llena una piscina en 3
horas. ¿Cuántas piscinas se llenan en una hora?
1
1
Por supuesto, la respuesta es 3 . La razón inversa es 3 de una piscina
por hora; uno dividido por la razón original, que era 3 horas por piscina.
O, si regresamos a la llave en el problema, al comienzo de la sección, re1
cordaremos que llenaba una piscina en 2 hora. ¿Cuántas piscinas se pue1
den llenar en una hora? 1 dividido por 2 , es decir, 2 piscinas. (Esto es tan
obvio: en una hora logrará el doble de lo que logra en media.)
¿Por qué es una buena idea usar la razón inversa? Porque cuando se
discuten piscinas por hora es fácil visualizar lo que dos llaves juntas
pueden hacer. Si una llave llena 2 piscinas en una hora y la otra llena 3
piscinas en una hora, entre ambas llenarán 3 + 2, lo que es equivalente a
5 piscinas por hora. Sencillamente se suma.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 201
De hecho, es una buena idea al momento de enseñar problemas de
piscinas comenzar con este tipo de problema, antes de presentar el tipo
original. Una llave llena una piscina en una hora, mientras que otra llave
llena un tercio de una piscina. ¿Cuántas piscinas llenarían juntas en una
hora? Una llave llena 2 piscinas en una hora, mientras que la otra llena
4. ¿Cuántas piscinas llenarían juntas en una hora? Y así se debe seguir
hasta el cansancio, hasta que el ejercicio se vuelva evidente.
Ahora sabemos cómo resolver el problema original. Utilizamos la razón inversa y resolvemos el tipo de problema más sencillo, aquel que no
requiere más que una suma. Como recordaremos, la primera llave llena
una piscina en media hora, por lo que llenará el doble en una hora: 2
piscinas. La segunda llave llena una piscina en una hora. Se nos entrega este dato, por lo que no hay necesidad de calcular la razón inversa.
¿Cuántas piscinas llenarían las dos juntas en una hora? Éste es el tipo de
problemas sencillo que ya analizamos: juntas, llenarían 1 + 2 = 3 piscinas
en una hora.
Sólo nos falta una etapa: si dos llaves llenan 3 piscinas en una hora,
¿cuántas horas necesitan para llenar una sola piscina? Claramente, se
1
requiere un tercio del tiempo, es decir, 3 de una hora, que es la respuesta
a la pregunta. La transición final se puede deducir de la regla de razón
inversa: La tasa en común de las llaves es 3 piscinas por hora, mientras
1
que la tasa inversa es de 3 de una hora por piscina.
¿Por qué son tan difíciles los problemas sobre piscinas?
Se debe a que se tienen que sumar factores que no existen en el problema original. De hecho, se suman dos factores. En primer lugar, se debe
encontrar la unidad correcta. Estamos acostumbrados a pensar en medir agua en términos de litros y metros cúbicos. Aquí la unidad correcta
es “una piscina”. La segunda nueva idea es la razón inversa; es decir,
preguntar cuántas piscinas llena una llave en una hora (la tasa por una
unidad de tiempo), en vez de preguntar cuántas horas toma llenar una
piscina. Esto no es completamente intuitivo, en especial debido a que es
difícil pensar en una llave que pueda llenar 2 piscinas por hora, cuando
de hecho sólo hay una piscina. ¿Cómo se pueden llenar dos piscinas?
Bien, si nos regalan una segunda piscina, tendremos que llenar ambas.
Lo mismo ocurre con los autos
Para no dar la impresión de que estos principios funcionan sólo con piscinas (o salas de cine, o cosas parecidas), a continuación se presenta otro
ejemplo, esta vez con velocidad.
202 Aritmética para padres y madres
Un auto viaja desde Tel Aviv a Haifa en tres cuartos de hora. Un segundo auto recorre la misma distancia en una hora. ¿Cuánto tiempo les
tomará encontrarse, si ambos salen a la misma hora, pero uno viene de Tel
Aviv a Haifa y el otro de Haifa a Tel Aviv?
Nuevamente, es importante encontrar primero la unidad correcta. En
este caso la unidad es la distancia entre Tel Aviv y Haifa. La pregunta es:
¿Cuánto les toma a ambos autos recorrer esta unidad juntos?
Ahora tenemos que invertir la razón: no se debe preguntar cuántas
horas toma recorrer la distancia entre Haifa y Tel Aviv en auto, sino
cuántas veces se puede recorrer esa distancia en una hora. El primer auto
3
recorre esa distancia en 4 de hora. Por ende, en una hora el auto recorrerá
4
4
esa distancia 3 veces. Sería lo mismo con una llave que llena 3 piscinas.
El segundo auto recorre la distancia en una hora. Por ende, en una hora
recorrerán el camino
4
4
3
7
+1= 3 + 3 = 3
3
3
de veces. Ahora utilizaremos el principio de la razón inversa: en 7 horas,
recorrerán la distancia una vez en total. Corresponde al tiempo que les
3
tomará encontrarse. Por ende, la respuesta es 7 de una hora.
Problemas de mezclas
En un compuesto de comida para ganado hay 3 kilogramos de mijo y 4
kilogramos de heno por cada 2 kilogramos de pasto. Una vaca come 18 kilogramos de la mezcla al día. ¿Cuántos kilogramos de mijo comió la vaca?
Este tipo de problema se conoce como “problema de mezcla”. Se entregan las razones entre las diferentes cantidades que se juntan para formar el todo. ¿Qué es cada parte si ya sabemos cuál es el todo?
De acuerdo con el problema anterior, cada 2 + 3 + 4 kilogramos de
los que come la vaca, 3 kilogramos corresponden a mijo. Sin embargo,
tenemos que 2 + 3 + 4 = 9. Por ende, 3 de cada 9 kilogramos son mijo, es
3
1
1
decir, 9 , lo que equivale a 3 . De los 18 kilogramos que la vaca come, 3
es
18
3
= 6. En otras palabras, una vaca come 6 kilogramos de mijo.
Por cada 2 líneas del programa de computación que Juan escribe, Oliver escribe 3. Entre los dos escribieron 550 líneas. ¿Cuántas líneas escribió Juan?
De cada 3 + 2 líneas, es decir, 5 líneas, que ambos escribieron, 2 le
2
pertenecen a Juan. Esto es 5 . Dos quintos de 550 es
2
5
x 550 =
2 x 550
5
Por ende, Juan escribió 220 líneas.
=
2 x 110
1
= 220.
Sección 3: Aritmética de primero a sexto año de educación básica 203
Una gallina y media
Vamos a terminar con un acertijo bien famoso:
Una gallina y media ponen un huevo y medio en un día y medio.
¿Cuántos huevos pone una gallina en un día?
Si una gallina y media ponen un huevo y medio en un periodo determinado, entonces una gallina pone un huevo en el mismo tiempo.
En este caso, el periodo es un día y medio. Por ende, una gallina pone
un huevo en un día y medio. Entonces en un día pondrá
1
1÷12 =1÷
3
2
=
2
3
de un huevo.
Epílogo
Puedo decir de mis clases universitarias que, aun cuando unas fueron
mejores que otras, he olvidado la gran mayoría. Mi experiencia en la educación básica ha sido completamente diferente. Llego a mi casa realmente preocupado cuando una clase no funcionó, o feliz cuando funcionan
bien, a lo menos en lo que a mí concierne. Una razón puede ser que las
reacciones de los niños son más directas que las de los estudiantes universitarios, y uno sabe bien lo que funcionó y lo que no. Sin embargo,
creo que la verdadera razón es que en una buena clase uno se conecta con
los niños. Esto pasa no sólo en el nivel emocional, sino principalmente en
el intelectual. Es uno quien lleva a los alumnos a experimentar con algún
principio, y la alegría que uno siente es el reflejo de la respuesta de ellos.
A lo largo de este libro traté de transmitir esa experiencia de la mejor
manera. En un libro no es posible abarcar toda la teoría y la práctica de
la enseñanza de la aritmética en la educación básica. Es imposible resumir seis años de educación básica en un libro. Cada lección da cabida a
un capítulo aparte; cada lección requiere distintas ideas creativas para
lograr que los niños se interesen; y además, en cada lección se enseñan
más conceptos de los que el profesor y los niños pueden percibir. Sólo
es posible describir el marco general de los contenidos y entregar unos
cuantos principios. Es esto lo que he tratado de hacer. Uno de los mensajes que traté de expresar es que las ideas matemáticas se deben compartir
con los niños por medio de la experiencia directa, sin conceptos sofisticados y respetando la complejidad de las matemáticas que se enseñan en
la educación básica.
No podemos esperar que, por leer un libro, uno vaya a saber todo lo
que hay que saber y comprender sobre las materias que se tratan en él, ni
los padres pueden esperar tener todas las respuestas a las preguntas de
sus hijos. Se necesita mucha práctica, ejercicios y experimentación, tanto
por parte de los padres como del niño. Espero haber despertado en el
lector el deseo de aprender.
Anexo
Momentos cruciales en la
historia moderna de la educación
matemática
Academización
El comunismo es una teoría maravillosa.
El único problema es que no se puede implementar.
En los últimos 50 años hemos sido testigos de mucho revuelo en el mundo de la educación. Pocas personas conocen los nuevos avances, aunque
algunos han tenido una considerable influencia en nuestros hijos y, por
ende, en nuestras vidas. Lo que hacen nuestros hijos gran parte del día
determina no sólo la calidad de sus vidas, sino también la naturaleza de
la sociedad en la que viviremos en unos cuantos años más.
Para ayudar a nuestros hijos es importante conocer las teorías educacionales que estructuran la forma como se les enseña. Uno debería saber
por qué los textos escolares se organizan de cierta manera y cuáles son
los principios que se enseñan en clase. En este capítulo se describen algunas de las nuevas tendencias educacionales.
El cambio clave ocurrió durante las décadas de 1950 y 1960. Después
de la Segunda Guerra Mundial se asignaron grandes presupuestos a la
educación en occidente, por lo que se requería un mapa de la ruta que
se debía seguir. Esta labor se les asignó a las facultades de pedagogía de
las universidades. “Aquí estamos”, ha sido el mensaje que han entregado
desde aquel entonces. Con la pasión y la fe características de los revolucionarios, delinearon no sólo los métodos de enseñanza sino también
tomaron decisiones de contenido.
Un cambio importante ocurrió en la formación de profesores, que
pasó de las manos de los profesores a las de los académicos. Una regla
importante es que el profesor enseña lo que sabe y no lo que el alumno
necesita. Un profesor universitario en un seminario, a quien se le ha enseñado matemáticas avanzadas, estará convencido de que es esto lo que
los profesores necesitan. Un profesor universitario que utiliza estadística
para sus investigaciones educacionales creerá que los profesores de ense-
208 Aritmética para padres y madres
ñanza básica necesitan saber de estadística. Claramente, todos estos contenidos se incluyen en detrimento de las matemáticas elementales que
se enseñan en la escuela básica, que es el conocimiento que los padres
realmente necesitan. Lo mismo ha ocurrido con otros avances.
Los investigadores educacionales se dieron cuenta, de la noche a la
mañana, del enorme poder que se les concedió al otorgarles la libertad de
hacer cambios a largo plazo. En las décadas que sucedieron estos tiempos de revuelo, son estos educadores los que han iniciado y organizado
muchas revoluciones educacionales. El problema es que, en educación,
las ideas innovadoras se pueden implementar en poco tiempo, aun cuando no han sido completamente examinadas. El sistema de retroalimentación tampoco es muy eficaz: los estudiantes no tienen voz ni voto en los
métodos que se utilizan para enseñarles, y los resultados que podrían
ser evaluados, por lo general, se demoran demasiado en salir a la luz y se
pueden atribuir a muchos otros factores.
Por supuesto, este problema no afecta solamente a la educación de las
matemáticas. También se introdujeron teorías innovadoras en la enseñanza de la lectura, lo que fue causa de pelea en Estados Unidos. (En Israel,
la introducción creó un revuelo público bastante menor.) Es posible que el
mayor efecto de todos sean las dos revoluciones relacionadas con el modo
básico de enseñanza. Una de ellas es la “enseñanza personalizada” y la
otra guarda relación con el orden de los asientos en la sala de clase.
La “enseñanza personalizada” significa que todos los estudiantes tienen que avanzar a su propio ritmo, de acuerdo con sus propias capacidades. El resultado es que cada estudiante se dedica a una materia diferente, lo que implica que el profesor no le puede enseñar a toda la clase.
El modo de enseñanza cambia al de enseñanza particular, por lo que se
pierde una de las herramientas de enseñanza más poderosas: el debate
donde participa toda la clase.
El segundo cambio, íntimamente relacionado, tuvo que ver con la disposición de los asientos en la sala de clases. La tradición de que los estudiantes
se tenían que sentar de frente al profesor fue reemplazada por una disposición en grupos, alrededor de mesas, donde la mitad de los niños se sientan
con sus espaldas o sus perfiles hacia el profesor. Esta disposición tuvo una
influencia determinante en la naturaleza de la clase, y en la relación entre
profesor y alumno. Un aspecto al que no se le dio la consideración que merecía es el efecto que tuvo esto en el profesor: hablarle a las espaldas de los
estudiantes puede ser un poco incómodo. Claramente, el modo de enseñanza cambia completamente la función del profesor en la clase.
Sin embargo, en este anexo nos centraremos en la educación matemática.
Los problemas comenzaron en la década de 1950 en Estados Unidos.
Anexo
209
Las “nuevas matemáticas”
Comeréis lo añejo de mucho tiempo, y pondréis fuera
lo añejo para guardar lo nuevo.
Levítico 26:10
En 1957 los rusos lanzaron el primer satélite al espacio: el Sputnik. Aquéllos eran los tiempos de la Guerra Fría, y el pánico hizo presa de los estadounidenses cuando vieron que los rusos los aventajaban en ciencias.
Dentro de un corto periodo, los profesores y los matemáticos se reunieron para crear un nuevo currículo que convertiría a los niños en científicos. “No hay necesidad de empezar por el principio”, escribió Jacques
Servan-Schreiber, cuñado del presidente Kennedy y director de los Cuerpos de Paz en la introducción a un libro donde se explicaba el programa.
“Los niños pueden comenzar desde donde están los investigadores”. La
idea es enseñar a los niños matemáticas abstractas desde los primeros
años. A esto se le llamó “las nuevas matemáticas”.
Al cabo de unos años, el nivel de conocimiento matemático de los
estudiantes norteamericanos tocó fondo. Tom Lehrer, el famoso poeta,
matemático, compositor y cantante, escribió una canción sobre niños que
saben que 3 + 2 = 2 + 3, pero que no saben qué es sumar. En 1973 Morris
Kline publicó “Por qué Johnny no puede sumar” (siguiendo los pasos del
libro de 1950 de Rudolf Flesch, Por qué Johnny no puede leer, en el que se
discutían los efectos del método de “lectura global”). Estas ideas épicas
se abandonaron completamente en la década de 1970. No obstante, no
desaparecieron: por el contrario, fueron exportadas a otros países, por
medio de estudiantes que cursaron grados superiores en Estados Unidos
y regresaron a sus tierras con nuevas noticias sobre la revolución.
Probablemente, en ningún otro país el efecto fue tan fuerte como en
Israel. Al final de la década de 1970, con la ayuda de la generosa donación
de Rothschild (las buenas intenciones de donantes combinadas con las
ideas progresistas de los educadores son la receta de un desastre), un
sistema muy extraño de libros se apoderó de la escena de la educación
matemática. Los libros se basaban en el espíritu de las nuevas matemáticas, pero llevó las ideas mucho más lejos. La idea básica era la enseñanza
indirecta: todo se enseñaba por medio de modelos, la mayoría inventados por los creadores del sistema. Se atacó el contar objetos, y utilizar
dedos para contar y calcular fue prohibido. En vez, se utilizaban palitos
llamados “varitas Cuisenaire” (por su inventor) como modelos para las
operaciones aritméticas.
210 Aritmética para padres y madres
Investigación y la guerra de las matemáticas
En Estados Unidos la tormenta de las nuevas matemáticas se calmó a
finales de la década de 1970. Sin embargo, las cosas recién estaban retornando a la normalidad cuando una nueva revolución ya se divisaba en
el horizonte. Su nombre era “investigación” o “constructivismo”, lo que
significa que un niño debe construir el conocimiento por cuenta propia.
Los niños no serán más, decían los defensores de este enfoque, un receptáculo en el cual se deposita conocimiento. Los alumnos tienen que
encontrar las cosas investigando el mundo. El profesor cumple la función
de facilitador y guía en el proceso de descubrimiento.
Este enfoque se implementó en la enseñanza de todas las áreas del
conocimiento, pero su influencia más grande fue en las matemáticas, debido a su naturaleza de conceptos altamente estructurada. Se dio por
sentado que ya no era necesario el rigor, logrando lo que los oponentes
del método denominaban “matemáticas difusas”. Por ejemplo, las fracciones se empezaron a enseñar como secciones de círculos, y como los
críticos de entonces observaron, con esta forma de representación los niños llegaban a creer que 13 + 14 = 12 .
En 1989 el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCT M por
sus siglas en inglés) redactó los principios de la revolución en un libro
titulado Los estándares. El libro aboga por la redefinición de los objetivos
de la educación matemática. Éstos no son conocimiento, dice el libro, ni
habilidades para calcular. El contenido no es la esencia. El objetivo es alcanzar habilidades investigativas y reflexiones más profundas; por ejemplo, conocer cómo hacer suposiciones o recolectar y procesar datos. Los
términos que se utilizan son gloriosos: creatividad, colocar al alumno en
el centro, la enseñanza como una experiencia conjunta entre el profesor
y el estudiante, descubrimiento propio.
California fue el primer Estado de EE.UU. en adoptar el nuevo enfoque. Sumándose a la preocupación de los educadores de este Estado, los
resultados no fueron para nada buenos. Al cabo de cinco años, California
descendió al puesto 48 en el ranking de Estados en las pruebas matemáticas comparativas realizadas en este país. El porcentaje de estudiantes
que requerían cursos de matemáticas adicionales para poder entrar a la
universidad aumentó 2,5 veces. Los gerentes de compañías de tecnología
de punta de California se dieron cuenta de que no había candidatos locales para los puestos de trabajo disponibles.
Cuando los informes de fracaso se siguieron acumulando, pasó una
cosa sorprendente: las personas dedicadas a las ciencias exactas despertaron de su sueño. Muchos experimentaron el problema por medio de
Anexo
211
sus hijos, quienes fueron los conejillos de indias del sistema. Los padres,
los matemáticos y los científicos se unieron para la batalla. Éste fue el
punto de partida de la “guerra de las matemáticas”, que ha estado sacudiendo el sistema educacional estadounidense por cerca de una década.
En una petición del secretario de educación, publicada por el Washington Post en 1998 como publicidad pagada, 220 matemáticos y científicos
reconocidos hicieron un llamado al Secretario de Educación para que
renunciara al nuevo enfoque.
En California, lugar donde partió la revolución, prevalecieron los que
se oponían al constructivismo. En 1997 se pidió a los matemáticos que
formularan un nuevo currículo, y en 1998 se instauró por ley en todas las
escuelas. El currículo se organiza de acuerdo con el formato tradicional:
en él se determina lo que los niños tienen que aprender, y no cómo se
debe enseñar. El resultado, como se refleja en las pruebas, logró maravillas dentro del corto plazo.
Israel es posiblemente el único país occidental en el que se ganó definitivamente la batalla contra el constructivismo. La determinada campaña de algunos matemáticos (entre los que me incluyo) y los profesores
persuadieron al ministro de educación de retirar el currículo hiperconstructivista y reemplazarlo con un currículo más conservador y exigente.
En aquellos días una organización de la cual soy miembro se encontraba
trabajando en más de 10% de las escuelas en lengua hebrea en Israel para
enseñar las matemáticas de acuerdo con principios similares a los descritos en este libro. En ese entonces utilizamos textos escolares importados
desde Singapur, cuyo enfoque directo y sistemático calzaba con nuestros
planes. Presenciamos cómo estos principios se filtraron, lenta pero constantemente, dentro de todo el sistema de educación de Israel.
212 Aritmética para padres y madres
Sistematización vs aleatoriedad
Cuando Shalom Aleichem regresó de su viaje por Suiza,
le preguntaron si era un país tan lindo como decían.
“El paisaje no está mal”, respondió.
“Lo malo es que está escondido entre montañas”.
Toda persona que ha puesto un pie en una escuela básica sabe que la
imagen del profesor como un embudo y de los estudiantes como receptáculos es completamente absurda. Es imposible hacer una charla en una
escuela básica. Los niños no van a escuchar ni siquiera por un instante.
A los niños se les debe enseñar interactivamente, por medio de la experimentación y la discusión. Si esto es cierto, ¿qué es lo especial en el
enfoque de investigación? El secreto reside en la enseñanza sistemática
vs aleatoria. “Investigación” significa renunciar a la sistematización. El
conocimiento no se establece de principio a fin, ya sea con la guía del
profesor o de los libros. En vez de eso, se siguen actividades aleatorias,
por medio de las cuales los niños supuestamente descubren la estructura
matemática por cuenta propia.
Creo que el verdadero origen de este enfoque es la mala comprensión
que se tiene de la complejidad de las matemáticas de la escuela básica.
En este sentido no difieren mucho de las matemáticas de la enseñanza
media o de la educación superior. Es sólo que estos principios son más
finos y más difíciles de discernir. De la misma manera que no esperamos
que los estudiantes descubran los principios de las matemáticas universitarias sin guía, no podemos esperar que los niños lo hagan con las matemáticas de la enseñanza básica.
Otra idea detrás del enfoque investigativo es el descubrimiento de
la belleza de las matemáticas. Las operaciones aritméticas sencillas, de
acuerdo con este enfoque, son aburridas. En otras palabras, constituyen
un obstáculo que se debe superar para llegar a las matemáticas reales. La
belleza de las matemáticas reside en las actividades creativas.
Como ya se mencionó en la introducción, también comencé con un
enfoque similar, y ya no me enorgullezco de admitirlo. Aprendí que tal
como un postre no puede reemplazar al plato principal, las diversiones
matemáticas no se pueden enseñar a aquellos que no entienden sus fundamentos. Además, las cuatro operaciones aritméticas y el sistema decimal no son montañas que nos impiden ver el paisaje. Por el contrario, son
el verdadero paisaje, y la belleza de las matemáticas reside en ello.