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RECUPERACION DEL 2º PERIODO 8º 2014
TEMAS: PRODUCTOS NOTABLES Y COCIENTES NOTABLES.
PRODUCTOS NOTABLES
Se llana productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado
puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.
CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES
Elevar al cuadrado a + b equivale a: (a + b)2 = (a + b) (a + b).
Efectuando este producto, tenemos:
a+b
a+b
a2 + ab
ab + b2
2
a + 2ab + b2
o sea: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b2
Entonces para desarrollar (a + b) 2 no es necesario hacer la multiplicación de los polinomios sino que se debe
utilizar la fórmula: a 2 + 2ab + b2.
Veamos unos ejemplos:
(4b + 5x) 2 = (4b)2 + 2(4b)(5x) + (5x)2 = 16b2 + 40bx + 25x2
(2ab2 + 3xy3) 2 = (2ab2)2 + 2(2ab2) (3xy3) + (3xy3)2 = 4a2b4 + 12ab2xy3 + 9x2y6
(5b2 - y) 2 = (5b2)2 - 2(5b2) (y) + (y)2 = 25b4 - 10b2y + y2
Observa que lo que está en rojo hace parte de la fórmula y se debe escribir al desarrollar el binomio
siempre esto no varía, solo varia los términos del binomio, observa los signos que sucede si el
binomio entre paréntesis en positivo ¿cómo son los signos al desarrollar dicho binomio?, ¿cómo son
los signos si el binomio a desarrollar es negativo?
Desarrollar los siguientes binomios utilizando la fórmula estudiada:
1. (2a - 3)2.
2
5. (3ax-1)2.
3
3 2.
6. (a -b )
3. (3a4-5b2)2.
7. (2rn- 3n)2.
2
4. (x -1) .
2
m
2
12. (X - y) .
10. (a + h ) .
13. (11 - m)2.
11. (x8 t - 3x2)2.
14. (2a - 3b)2.
7
2. (x-7) .
2
9. (x5-3ay2)2.
7 2
5 2
8. (10x -9xy ) .
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
Sea el producto (a + b) (a - b). Efectuando esta multiplicación, tenemos:
a +b
a–b
a2 + ab
-ab - b2
a2
- b2
2
2
o sea (a + b) (a - b) = a - b
Luego, la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del
minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.
Ejemplos:
Efectuar:
1) (a + 3b) (a - 3b) = (a)2 - (3b)2 = a2 – 9b2
2) (5m3 - 2n2)( 5m3 + 2n2) = (5m3)2 - (2n2)2 = 25m6 – 4n4
Desarrollar las siguientes sumas por la diferencia de dos cantidades:
1.
2.
3.
4.
(5a + 6b) (5a - 6b)
(x+1)(x-1)
(a + 13) (a – 13)
(x4+7)(x4-11)
5. (a3- b2)(a3+b2) .
6. (m-3)(m+3)
7. (a2b2+c3)(a2b2 –c3).
8. (c + 12)(c – 12 )
9. (1-a)(a+1)
10. (x2-11)(x2-2)
11. (ax+bn ) (ax-bn )
12. (x6 – 2)(x6 + 2)
CUBO DE UN BINOMIO
Elevemos a + b al cubo.
(a + b)3 = (a)3+ 3(a)2 (b) + 3(a) (b)2 + (b)3
Lo que nos dice que el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el
triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda,
más el cubo de la segunda.
Ahora veamos cómo se desarrolla esta expresión si el signo es negativo:
3
2
2
3
Desarrollar: (x3 - 2)3 = (x3) + 3(x3) (2) + 3(x3) (2) + (2)
= x9 + 3(x6) (2) + 3(x3) (4) + 8 se desarrollan las potencias
=
Desarrollar:
1. (m+2)3.
5. (m – 3)3.
9. (4x + 6)3
3
13. (1-2n) .
x9
+ 6x6 + 12x3 + 8
2. (n-4)3.
6. (1-3y)3
10. (20x – 18X)3
14. (2x+3y)3.
se hacen las multiplicaciones debidas en cada término.
3. (x-1)3.
7. (30 – y)3
3
11. (2+y2) .
15(4n+3)3.
4. (5x+1)3.
8. (3x + 5)3
12. (a2 – 2b)3.
16. (1 - a2)3.
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (x + a) (x + b)
Ejemplos:
1- Multiplicar (x + 9) (x – 2).
Primero: multiplique x por x. que es x2
Segundo: Reste los coeficientes 9 – 2 = 7 (se restan porque los signos son contrarios) y le agrega la
variable que en este caso es la x.
Tercero: multiplique 9 x (- 2) = - 18.
Luego (x + 9) (x + 2) = x2 + 7x - 18.
2- Multiplicar (a2 + 2)(a2 + 7)
Primero: multiplique a2 por a2. Que es a4
Segundo: sumar los coeficientes 2 + 7 = 9 (se suman porque los signos son iguales) y le agrega la
variable que en este caso es la a2.
Tercero: multiplique 2 x (7) = 14
Luego (a2 + 2) (a2 + 7) = a4 + 9a2 + 14.
En este caso se cumplen las siguientes reglas:
1) El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios.
2) El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica (suma o resta) de los segundos
términos de los binomios y en este término la variable es igual a la variable del primer término del producto.
3) El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.
Desarrolla los siguientes ejercicios:
7) (x – 3) (x – 1).
8) (x-5) (x+4).
9) (a – 11) (a + 10)
10) (n – 19) (71 + 10).
11) (a2+5) (a2 – 9)
12) (x2 – 1)(x2 – 7)
1) (a + 1)(a + 2).
2) (x + 2) (x + 4).
3) (x + 5) (x – 2)
4) (m – 9) (m – 5).
5) (x + 7) (x – 3)
6) (X + 2) (x – 1)
COCIENTES NOTABLES
Se llama cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden ser
escritos por simple inspección esto quiere decir observando ciertas reglas que se dan a simple vista.
COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O LA DIFERENCIA
DE LAS CANTIDADES
Dividir: a2 – b2 entre a + b
a2 – b2 = a – b
a + b.
Dividir: 9x4 - y4 entre 3x2 + y2
9x4 - y4
3x2 + y2
3x2 - y2
De lo anterior podemos deducir que:
1) La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual a
la diferencia de las cantidades.
2) La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es
igual a la suma de las cantidades.
Hallar, el cociente de:
1- x2 – 1
x+1
2-
x2 - 4
x+2
5- 1 - x2
6- 9 – x4
1+ x
3 - x2
3-
4x2 – 9m2n4
2x - 3mn2
7- 36m2 – 49n2x4
6m
+ 7nx2
4-
x2n – y2n
xn - yn
8- a2x + 2 – 100
ax + 1
+ 10
COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O DIFERENCIA
DE LAS CANTIDADES
Ejemplo:
Dividir: 8x3 + 27y3 entre 2x + 3y
Solución: 8x3 + 0x2y + 0xy2 + 27y3
2x + 3y
3
2
-8x -12x y
4x2 - 6xy + 9y2
2
2
-12x y + 0xy
12x2y + 18xy2
+ 18xy2 + 27y3
- 18xy2 - 27y3
Luego: 8x3 + 27y3
2x + 3y
Recuerda como hacer una división de polinomios los
términos faltantes se rellanan con ceros.
4x2 - 6xy + 9y2
Sin tener que hacer la división la operación anterior se puede hacer así:
8x3 + 27y3
(2x)2 – (2x)(3y) + (3y)2 4x2 - 6xy + 9y2
2x + 3y
Lo anterior nos dice que:
1) La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de dichas cantidades es igual al cuadrado
de la primera cantidad, menos el producto de la primera por la segunda cantidad, más el cuadrado de la
segunda cantidad.
Nota: Cuando se hace referencia a la primera cantidad y la segunda cantidad se refiere a las cantidades que
están en el denominador.
Dividir: 8x12 - 729y6 entre 2x4 - 9y2
8x12 - 729y6
2x4 - 9y2
(2x4)2 + (2x4) (9y2) + (9y2)2
4x8 + 18x4y2 + 81y4
Ahora cuando es una diferencia de cubos entre la diferencia de las cantidades el proceso es el siguiente:
2) La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual al
cuadrado de la primera cantidad, más el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la
segunda cantidad.
Hallar, el cociente de:
1 + a3
1+a
64x3 + b9
4a + b3
8a9 + y9
2a3 + y3
8x3 + 27y3
2x+3y
1 + a3b3
1 + ab
x6 - 27y3
x2 - 3y4
1 - a3
1–a
27m3 - 125n3
3m - 5n
729 - 512b3
9 - 8b
a6 - b 6
a2- b 2