z - Universidad de Granada

VARIABLE COMPLEJA
L. L. Salcedo
Departamento de F´ısica At´omica, Molecular y Nuclear,
Universidad de Granada, E-18071 Granada, Spain
E-mail: salcedo@ugr.es
23 de octubre de 2014
Resumen
Apuntes completos de la asignatura de m´etodos matem´aticos. Incluye transformadas integrales y series de Fourier.
Versi´
on v5.16. 2006-2014.
Se ruega comunicar los errores o imprecisiones que puedan encontrarse.
http://www.ugr.es/local/salcedo/public/mmf3/curso.pdf
´Indice
1. N´
umeros complejos
9
1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2. El cuerpo de los n´umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Definici´on de suma y producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2. Propiedades de suma y producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1
1.2.3. C como extensi´on de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4. Unidad imaginaria. Notaci´on bin´omica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.5. Parte real, parte imaginaria, complejo conjugado . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Representaciones. El plano complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1. El plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2. M´odulo de un n´umero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3. Representaci´on polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4. Argumento. Determinaci´on principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.5. Producto, divisi´on y conjugado en representaci´on polar . . . . . . . . . . . . 16
1.3.6. Potencias enteras de un n´umero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Teorema de Moivre. F´ormula de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1. Teorema de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2. F´ormula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Ra´ıces de un n´umero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. L´ımites en el plano complejo
20
2.1. El principio de los intervalos encajados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Puntos l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Sucesiones complejas convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4. Esfera de Riemann y plano complejo extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. Funciones complejas
25
2
3.1. Variables y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Curvas y dominios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3. Continuidad de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4. Derivaci´
on en el plano complejo
33
4.1. Derivada de una funci´on compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5. Integraci´
on en el plano complejo
41
5.1. La integral de una funci´on compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2. Propiedades b´asicas de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3. Teorema de la integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4. Integrales complejas indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.5. F´ormula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.6. Derivabilidad infinita de funciones anal´ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.7. ´Indice de un camino cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.8. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6. Series complejas
56
6.1. Convergencia y divergencia de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3
6.2. Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7. Series de potencias
62
7.1. Teor´ıa b´asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.2. Determinaci´on del radio de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8. Exponencial y funciones relacionadas
67
8.1. Exponencial, coseno y seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2. Funciones hiperb´olicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.3. Derivadas de exp, cos, sen, cosh, senh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.4. Funci´on logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.5. Funci´on potencia general
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.6. Funciones trigonom´etricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9. Funciones multivaluadas
76
9.1. Dominios de univalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.1.1. Potencia y ra´ız n-´esima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.1.2. Exponencial y logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.2. Ramas y puntos de ramificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.3. Superficies de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.4. Integraci´on y funciones multivaluadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4
10.Series de Taylor
94
10.1. Desarrollo de una funci´on anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
10.1.1. Sobre el c´alculo de series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.2. Teoremas de unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.3. Principio del m´odulo m´aximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11.Series de Laurent
104
11.1. Desarrollo de Laurent de una funci´on anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.1.1. Series de potencias negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.2. Puntos singulares aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
11.3. Del c´alculo de series de Laurent: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
11.4. Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
11.4.1. C´alculo de residuos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11.4.2. Residuo en el punto del infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11.4.3. C´alculo del residuo en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
12.Aplicaci´
on del teorema de los residuos y otros resultados generales
119
12.1. Evaluaci´on de integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
12.1.1. Valor principal de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
12.1.2. Integrales impropias en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
12.1.3. Lemas de integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
12.1.4. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5
12.2. Suma de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
12.3. Residuo logar´ıtmico y principio de variaci´on del argumento . . . . . . . . . . . . . . 142
12.4. Teorema de Rouch´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
12.5. Prolongaci´on anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
12.5.1. Principio de reflexi´on de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
13.Transformada de Laplace
149
13.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
13.2. Reglas operativas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
13.3. Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
13.4. Reglas operativas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
13.5. F´ormula de inversi´on de Bronwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.Series de Fourier
156
14.1. Forma compleja de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
14.2. Forma trigonom´etrica de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14.3. Series de Fourier seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
14.4. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
15.Transformada de Fourier
163
15.1. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
15.2. Transformada inversa de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6
15.3. Propiedades de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
15.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
15.5. Transformada de Fourier multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
15.6. Funci´on escal´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
15.6.1. Regularizaciones de H(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
15.6.2. Transformada de Laplace de la funci´on de escal´on . . . . . . . . . . . . . . 169
15.6.3. Transformada de Fourier de la funci´on de escal´on . . . . . . . . . . . . . . . 170
15.7. Funci´on δ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
15.7.1. Propiedad b´asica de δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
15.7.2. Otras propiedades de δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
15.7.3. Regularizaciones de δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
15.7.4. Transformada de Laplace de δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
15.7.5. Transformada de Fourier de δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
15.8. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
15.8.1. Transformada inversa de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
15.8.2. Identidad de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
16.Bibliograf´ıa
177
A. Integrales y series
178
B. Transformada de Laplace
180
7
C. Ejercicios
181
8
1.
N´
umeros complejos
1.1.
Introducci´
on
Se suponen conocidas las definiciones y propiedades de los n´
umeros reales R. Los n´
umeros
reales no son algebraicamente cerrados, es decir, pueden escribirse ecuaciones que involucran
s´olo reales que no admiten soluci´on dentro R. Por ejemplo:
1 2
x −x+5=0
2
con soluci´on formal
x=1±
√
√
−9 = 1 ± 3 −1 .
(1.1)
(1.2)
No tiene soluci´on para x ∈ R real. Tendr´ıa soluci´on en una extensi´
on de los reales en la que
−1 tuviera ra´ız cuadrada. Tal ra´ız se suele denominar i
i2 = −1 .
(1.3)
Si x ∈ R necesariamente x2 ≥ 0, luego i no es real. i se denomina unidad imaginaria. En este
caso las soluciones ser´ıan 1 ± 3i. Si se admite esta extensi´on, tendremos n´
umeros “complejos”
del tipo
z = x + iy , x, y ∈ R .
(1.4)
Usando la propiedad i2 = −1 se puede ver que los n´
umeros complejos as´ı construidos son
cerrados bajo suma y multiplicaci´on, si se aplican las propiedades usuales v´alidas para reales:
(x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
(x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2
= (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ) .
(1.5)
(1.6)
El problema de postular propiedades es que no est´a garantizado que no se llegue a inconsistencias.1 Para evitar este problema es mejor proceder constructivamente.
1
Paradojas:
√
√
√ √
1
1
1
1
= √ implica − 1 = −1 −1 = −1
= −1 √
= +1 .
a
−1
a
−1
√
En realidad hay dos ra´ıces cuadradas, ± a. Cuando a > 0 las dos ra´ıces se distinguen bien porque una es
positiva
y la √
otra es negativa pero eso deja de ser cierto cuando a < 0 y la falacia es que se ha identificado
√
´nico que se concluye es ±1 = ±1.
+ −1 con − −1. Lo u
9
Los n´
umeros complejos tambi´en iluminan problemas puramente reales. Por ejemplo, la fun1
es perfectamente regular para todo x real, sin embargo si se considera su
ci´on f (x) =
1 + x2
desarrollo en serie de Taylor en torno a x = 0, se encuentra la serie geom´etrica 1−x2 +x4 −x6 +· · ·
que converge s´olo si |x| < 1. En R no se ve el motivo de la falta de convergencia para x > 1
´o x < −1, dado que nada especial le ocurre a la funci´on en x = ±1. Como se ver´a el motivo es
obvio cuando se considera la extensi´on de esta funci´on al plano complejo.
1.2.
El cuerpo de los n´
umeros complejos
1.2.1.
Definici´
on de suma y producto
Matem´aticamente se introduce el conjunto de n´
umeros complejos C = (R × R, +, .) como el
conjunto de pares ordenados de n´
umeros reales, R × R, z = (x, y) ∈ C, dotado de las siguientes
propiedades2
(x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) sii x1 = x2 , y1 = y2
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) := (x1 + x2 , y1 + y2 )
(x1 , y1 )(x2 , y2 ) := (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 )
1.2.2.
(igualdad),
(suma),
(multiplicaci´on).
(1.7)
(1.8)
(1.9)
Propiedades de suma y producto
De las definiciones se deduce que C es un cuerpo (es decir, aritm´eticamente los complejos
se comportan igual que los reales):
a) La suma define un grupo abeliano. El neutro de la suma es (0, 0) se representa por 0
(cero) . El inverso respecto de la suma (opuesto) de z se representa por −z
z = (x, y),
−z = (−x, −y),
z + (−z) = 0 .
(1.10)
z1 , z2 ∈ C .
(1.11)
Se define la resta en C
z1 − z2 := z1 + (−z2 ),
2
Usamos la notaci´
on a := b para indicar que a est´
a definido como b.
10
b) El producto define un grupo abeliano en C − {0}. Satisface la propiedades conmutativa
y asociativa. El neutro del producto es (1, 0), se denomina 1 (uno). Todo z = 0 tiene un
inverso que se denota z −1 (o tambi´en 1/z)
z = (x, y), z −1 = (x′ , y ′ ), zz −1 = 1
y
x
xx′ − yy ′ = 1
,
,− 2
z −1 =
′
′
2
2
xy + yx = 0
x +y
x + y2
Se define la divisi´on de complejos
z1
:= z1 z2−1 ,
z1 , z2 ∈ C , z2 = 0 .
z2
z=0
(1.12)
(1.13)
c) Propiedad distributiva: z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 .
1.2.3.
C como extensi´
on de R
Se comprueba inmediatamente que el subconjunto {(x, 0),
isomorfo a R. A partir de ahora identificamos x con (x, 0)
x = (x, 0),
x ∈ R} ⊂ C es un cuerpo
x∈R
(1.14)
de modo que R ⊂ C y los complejos son una extensi´on de los reales.
1.2.4.
Unidad imaginaria. Notaci´
on bin´
omica
Por otro lado si se define la unidad imaginaria i
i := (0, 1),
i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ,
(1.15)
cualquier n´
umero complejo z = (x, y) puede escribirse en la llamada forma bin´
omica,
z = x + iy ,
En efecto:
z ∈ C,
x, y ∈ R .
x + iy = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = (x, 0) + (0, y) = (x, y) .
(1.16)
(1.17)
Como se ve de la construcci´on, los n´
umeros reales x e y tales que z = x + iy, son u
´nicos. La
forma bin´omica es la m´as frecuentemente utilizada.
Nota: Para evitar falacias (ej. nota 1, al pie de p´agina) es importante notar que i no se
define como la ra´ız cuadrada de −1. De hecho es una de las dos ra´ıces cuadradas de −1. La
otra ra´ız es −i = (0, −1). N´otese tambi´en que i−1 = −i. En efecto: i(−i) = −i2 = −(−1) = 1.
11
1.2.5.
Parte real, parte imaginaria, complejo conjugado
Para z = (x, y), se define
x = Re (z)
y = Im (z)
z ∗ = (x, −y)
parte real de z,
parte imaginaria de z,
complejo conjugado de z. (A veces se denota z.)
(1.18)
Nota: Obs´ervese que, por definici´on, la “parte imaginaria” de z es un n´
umero real; no incluye
3
la i.
La aplicaci´on z → z ∗ es un automorfismo en C (conserva suma y producto):4
(z1 + z2 )∗ = z1∗ + z2∗ ,
(z1 − z2 )∗ = z1∗ − z2∗ ,
(z1 z2 )∗ = z1∗ z2∗ ,
(z1 /z2 )∗ = z1∗ /z2∗ ,
(1.19)
y una conjugaci´
on,
(z ∗ )∗ = z .
Se deduce
Re (z) =
z + z∗
,
2
Im (z) =
(1.20)
z − z∗
,
2i
(1.21)
y por tanto,
z ∈ R sii Im (z) = 0 o equivalentemente z ∗ = z ,
z ∈ iR sii Re (z) = 0 o equivalentemente z ∗ = −z .
(1.22)
(1.23)
Los n´
umeros de la forma iR se denominan imaginarios puros. El producto
zz ∗ = x2 + y 2 ≥ 0
(1.24)
es real (y no negativo). Esto permite calcular f´acilmente el inverso de un n´
umero complejo:
z −1 = (x + iy)−1 =
z∗
x − iy
x
−y
1
= ∗ = 2
= 2
+i 2
2
2
z
zz
x +y
x +y
x + y2
3
(z = 0) .
(1.25)
Estrictamente Im (z) es la componente de z en la direcci´on imaginaria, pero se denomina parte imaginaria
para abreviar.
4
Puesto que la definici´on b´asica es i2 = −1 y ´esta no distingue i de −i tan natural es z como z ∗ : si en una
ecuaci´on se cambian todas las i por −i la ecuaci´
on seguir´a siendo cierta.
12
y= Im z
2i
z=2+i
i
1
0
1
2 x=Re z
z* =2 i
i
Figura 1: Plano complejo.
Observaci´
on: La definici´on de suma y producto en C es tal que todas las ecuaciones de
2◦ grado con coeficientes reales tienen soluci´on en C. Tambi´en las ecuaciones con coeficientes
complejos tienen soluci´on. Es m´as todas las ecuaciones polin´omicas complejas de cualquier grado
tienen soluci´on en C (teorema fundamental del ´algebra). C es algebraicamente cerrado y
no son necesarias nuevas extensiones. De hecho no existen otros cuerpos basados en Rn , n ≥ 2.
1.3.
1.3.1.
Representaciones. El plano complejo.
El plano complejo
Ya hemos visto dos formas de representar los n´
umero complejos, (x, y) y forma bin´omica
x + iy.
C tiene estructura de espacio vectorial sobre R de dimensi´on 2 y es geom´etricamente equivalente al plano R2 : (x, y) representan las dos componentes cartesianas del punto z en el plano
eucl´ıdeo R2 en la base ortonormal formada por {1, i}. La suma de n´
umeros complejos es equi2
valente a su suma como vectores de R .
z = (x, y) se puede representar por el punto (x, y) del plano complejo (o plano de Argand),
o equivalentemente por el vector que va de (0, 0) a (x, y). El eje x se denomina eje real y el eje
y eje imaginario.5 N´otese que z ∗ es el vector reflejado de z respecto del eje real. (V´ease la fig.
1.) Las regiones {y > 0}, e {y < 0} se denominan semiplano superior y semiplano inferior,
5
Hist´
oricamente, el plano complejo, introducido por Gauss y Argand, contribuy´
o a la aceptaci´
on de los
13
respectivamente. Las regiones {x > 0, y > 0}, {x < 0, y > 0}, {x < 0, y < 0} y {x > 0, y < 0}
se denominan primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante, respectivamente.
La equivalencia geom´etrica entre C y R2 implica en particular que en C, a diferencia de R,
no existe un orden natural entre n´
umeros complejos.6 Notaci´
on: cuando se use a > b, a ≤ b,
etc, autom´aticamente se sobreentiende que a, b son reales.
1.3.2.
M´
odulo de un n´
umero complejo
El m´
odulo del n´
umero complejo z = (x, y) se define como la norma eucl´ıdea (longitud) del
vector correspondiente:
√
|z| := + x2 + y 2 = + zz ∗ ≥ 0
(1.26)
Es definido no negativo y para z real coincide con el valor absoluto. El m´odulo cumple
|z|
|z1 z2 |
|z1 ± z2 |2
|z1 | − |z2 |
=
=
=
≤
0 , sii z = 0 ,
|z1 ||z2 | ,
|z1 /z2 | = |z1 |/|z2 | ,
2
2
|z1 | + |z2 | ± 2 Re (z1 z2∗ ) ,
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
(Desigualdad triangular) .
Considerados como vectores en R2
usual).
1.3.3.
(1.27)
z1 · z2 = Re (z1 z2∗ ) (con el producto escalar eucl´ıdeo
Representaci´
on polar
Los n´
umeros complejos se pueden representar mediante coordenadas polares r y θ. r es
el m´odulo de z y θ el ´angulo que forma el vector z con el semieje real positivo. El ´angulo se
toma en sentido positivo que por definici´on es el antihorario. (V´ease la fig. 2.)
n´
umeros complejos, ya que probaba que ´estos “exist´ıan”.
6
Como conjunto, es posible definir un orden total en C (de hecho de muchas formas) pero no uno que sea
compatible con la estructura algebraica como en R. Por ejemplo, en R, si a = 0, necesariamente a > 0 ´o −a > 0
(una y una sola de las dos posibilidades), y si a > 0 y b > 0, entonces ab > 0. En C no se puede definir un orden
“>” con estas propiedades.
14
y=r sen θ
r
z=x+iy
θ
x= r cos θ
Figura 2: Coordenadas polares.
z = x + iy ,
r = |z| ,
x = r cos θ
y = r sen θ
tan θ = y/x .
z = r(cos θ + i sen θ)
(1.28)
N´otese que la u
´ltima ecuaci´on no distingue entre z y −z, es decir, entre θ y θ + π. Hace falta
conocer por ejemplo el cuadrante en el que est´a z.
1.3.4.
Argumento. Determinaci´
on principal.
El ´angulo θ se denomina argumento de z y se designa arg z. El argumento s´olo est´a definido
salvo un m´
ultiplo entero de 2π ya que cos θ y sen θ son funciones peri´odicas. Por ejemplo,
θ = 3π/2 y θ = −π/2 son ambos argumentos de z = −i. En general si θ es un argumento de z,
todos los valores
θ + 2πn = arg z ,
n∈Z
(z = 0)
(1.29)
son tambi´en argumentos de z. arg z es una funci´
on multivaluada de z. Para evitar ambig¨
uedades se puede elegir una determinaci´
on principal del argumento, que se designa Arg z.
Nosotros tomaremos
Arg z ∈ [0, 2π[ ,
arg z = Arg z + 2πn ,
n ∈ Z.
(1.30)
N´otese que esta elecci´on de la determinaci´on principal es arbitraria y no es universal. Tambi´en
se encuentra con frecuencia la elecci´on Arg z ∈ ]−π, π].7 Ninguna elecci´on produce una funci´on
7
M´as generalmente, Argα z = Arg (e−iα z) + α produce el argumento en el intervalo [α, α + 2π[.
15
continua. La funci´on arg no est´a definida para z = 0.
Algunos casos particulares son:
Arg (1) = 0,
1.3.5.
Arg (i) = π/2
Arg ( − i) = 3π/2
Arg ( − 1) = π .
(1.31)
Producto, divisi´
on y conjugado en representaci´
on polar
La representaci´on polar es particularmente pr´actica para representar la multiplicaci´on y
divisi´on de complejos:
z1 = r1 (cos θ1 + i sen θ1 ) , z2 = r2 (cos θ2 + i sen θ2 ) ,
z1 z2 = r1 r2 (cos θ1 cos θ2 − sen θ1 sen θ2 + i cos θ1 sen θ2 + i sen θ1 cos θ2 )
= r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sen(θ1 + θ2 )) ,
(1.32)
Es decir,8
|z1 z2 | = |z1 ||z2 | ,
arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) + 2πn ,
n ∈ Z,
z1 , z2 = 0 .
(1.33)
M´as generalmente, por inducci´on,9
|z1 · · · zn | = |z1 | · · · |zn | ,
arg(z1 · · · zn ) = arg(z1 ) + · · · + arg(zn )
(1.34)
( m´od 2π) .
Igualmente
z1
z1
|z1 |
= arg(z1 ) − arg(z2 ) ( m´od 2π) ,
, arg
=
z2
|z2 |
z2
|z −1 | = |z|−1 , arg(z −1 ) = − arg(z) ( m´od 2π) ,
(1.35)
y tambi´en
|z ∗ | = |z| ,
arg(z ∗ ) = − arg z
( m´od 2π) .
(1.36)
Ejemplo. El n´
umero iz corresponde al vector z rotado 90o en sentido positivo.
0,
0 ≤ Arg z 1 + Arg z 2 < 2π
.
−1 , 2π ≤ Arg z 1 + Arg z 2 < 4π
9
La notaci´on a = b ( m´od c), donde a, b, c son elementos de un grupo abeliano, indica que a − b = nc para
alg´
un n ∈ Z.
8
Arg (z1 z2 ) = Arg (z1 ) + Arg (z2 ) + 2πn(z1 , z2 ) , donde n(z1 , z2 ) =
16
1.3.6.
Potencias enteras de un n´
umero complejo
Para n ∈ Z y z ∈ C se define z n en la forma natural:

(n factores)
n > 0,
z · · · z
n = 0,
zn = 1
 −1
−1
z ···z
(−n factores) n < 0 ,
(1.37)
(z = 0) .
Esta definici´on cumple las propiedades
z n z m = z n+m ,
1.4.
(z n )m = z nm ,
n, m ∈ Z .
(1.38)
Teorema de Moivre. F´
ormula de Euler.
1.4.1.
Teorema de Moivre
Aplicando la f´ormula de suma de argumentos se deduce
(cos θ + i sen θ)n = cos(nθ) + i sen(nθ) (n ∈ Z)
(Teorema de Moivre) ,
(1.39)
es decir,
cos(nθ) = Re ((cos θ + i sen θ)n ) ,
sen(nθ) = Im ((cos θ + i sen θ)n ) .
(1.40)
Por ejemplo, usando
(cos θ + i sen θ)2 = cos2 θ − sen2 θ + 2i cos θ sen θ
(1.41)
se obtienen la conocidas relaciones trigonom´etricas
cos(2θ) = cos2 θ − sen2 θ ,
1.4.2.
sen(2θ) = 2 cos θ sen θ .
(1.42)
F´
ormula de Euler
Es conveniente usar la relaci´on
eiθ := cos θ + i sen θ
(F´ormula de Euler),
17
(1.43)
de modo que un n´
umero complejo cualquiera se puede escribir
z = reiθ ,
r ≥ 0,
θ ∈ R.
(1.44)
Cuando se defina la funci´on exponencial compleja se demostrar´a este resultado. De momento lo
tomamos como una notaci´on que puede justificarse10 mediante desarrollo en serie (formal por
ahora):
cos θ + i sen θ =
=
∞
n=0
∞
n=0
∞
(−1)n 2n+1
(−1)n 2n
θ +i
θ
(2n)!
(2n
+
1)!
n=0
(iθ)2n+1
(iθ)2n
+
(2n)!
(2n + 1)!
=
∞
n=0
(iθ)n
= eiθ .
n!
(1.45)
(r2 = 0) ,
(1.46)
Con esta notaci´on se puede escribir
r1 eiθ1 r2 eiθ2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) ,
r1 eiθ1
r1 i(θ1 −θ2 )
=
e
iθ
r2 e 2
r2
consistente con el comportamiento de la exponencial real. Igualmente
1
(reiθ )−1 = e−iθ ,
r
(reiθ )n = rn einθ
(n ∈ Z) ,
(reiθ )∗ = re−iθ .
(1.47)
Algunas f´ormulas notables:
e2πi = 1 ,
1.5.
eiπ = −1 ,
i = eiπ/2 ,
−i = e−iπ/2 .
(1.48)
Ra´ıces de un n´
umero complejo
Queremos ahora definir z 1/n para
dos ra´ıces cuadradas; la ecuaci´on
√ n ∈ Z. En R, x > 0 tiene
2
y = x tiene dos soluciones, y = ± x. En C la ecuaci´on w = z tambi´en tiene dos soluciones si
z = 0, ya que si w es una soluci´on, −w tambi´en lo es. Sin embargo, a diferencia del caso real,
un n´
umero complejo no nulo tiene tres ra´ıces c´
ubicas, cuatro ra´ıces cu´articas, etc.
2
10
Tambi´en se ve que las ecuaciones f (0) = 1 y f ′ (θ) = if (θ) se satisfacen cuando f (θ) = eiθ y cuando
f (θ) = cos θ + i sen θ.
18
Se define z 1/n , n ∈ Z, como toda soluci´on de la ecuaci´on wn = z. Si z = 0 y n = 0 hay
exactamente |n| ra´ıces distintas. Basta estudiar el caso n positivo: Si n = −m < 0, equivale a
1
resolver wm = . Suponemos n > 0. Sea
z
z = reiθ ,
w = ρeiφ ,
entonces reiθ = ρn einφ ,
(1.49)
que implica11
ρ = r1/n ,
k ∈ Z.
nφ = θ + 2πk ,
(1.50)
La soluci´on es m´
ultiple
θ + 2πk
,
k ∈ Z,
n
pero no todos los argumentos φk producen wk = ρeiφk distintos. Notando que
φ = φk =
φk+1 = φk +
2π
,
n
φk+n = φk + 2π ,
(1.51)
(1.52)
se ve que s´olo hay n soluciones distintas correspondientes a wk con k = 0, 1, . . . , n − 1. Adem´as,
si θ ∈ [0, 2π[, φk ∈ [0, 2π[ para k = 0, 1, . . . , n − 1.
wk = r1/n ei(θ+2πk)/n = w0 uk ,
uk = e2πik/n
(1.53)
donde uk son las ra´ıces n-en´esimas de la unidad. Las n ra´ıces wk est´an dispuestas en los v´ertices
de un pol´ıgono regular centrado en 0, y por simetr´ıa
n−1
k=0
wk = 0 si n ≥ 2 .
11
(1.54)
Se sobreentiende r1/n en el sentido de n´
umeros reales. Como n´
umero complejo r tiene ra´ıces complejas, una
de las cuales es real y positiva.
19
eiθ
2πi 3 i θ 3
e
e
eiθ 3
e 4πi 3e i θ 3
Figura 3: Ra´ıces c´
ubicas de eiθ .
2.
L´ımites en el plano complejo
2.1.
El principio de los intervalos encajados
Teorema. (Principio de los intervalos encajados.) Sea I1 , I2 , . . . una sucesi´on12 de intervalos
cerrados de R, In = [an , bn ], tales que:
1) Est´an encajados: In+1 ⊂ In .
2) Su longitud (bn − an ) tiende a 0 cuando n → ∞ .
Entonces hay un punto, y s´olo uno, que pertenece a todos ellos. ♦
Este teorema se generaliza f´acilmente al caso complejo:
Teorema. (Principio de los rect´angulos encajados.) Sea R1 , R2 , . . ., una sucesi´on de rect´angulos cerrados paralelos a los ejes real e imaginario: Rn = [an , bn ] × [cn , dn ] ⊂ C tales que:
1) Est´an encajados: Rn+1 ⊂ Rn .
2) Su per´ımetro tiende a 0 cuando n → ∞ .
Entonces hay exactamente un z ∈ C com´
un a todos los rect´angulos. ♦
12
Por sucesi´
on siempre entenderemos sucesi´
on infinita.
20
2.2.
Puntos l´ımite
Definici´
on. Una sucesi´
on compleja es una aplicaci´on de N en C, n → zn . A menudo la
denotaremos {zn }.
Definici´
on. Un n´
umero complejo α es un punto l´ımite o punto de acumulaci´
on de la
sucesi´on compleja
z1 , z2 , . . . , zn , . . . ,
(2.1)
si ∀ǫ > 0, la desigualdad |zn − α| < ǫ es v´alida para infinitos valores de n.
Definici´
on. Un entorno (complejo) del punto α de radio ǫ es el disco abierto
D(α, ǫ) = {z |z − α| < ǫ},
α ∈ C,
ǫ > 0.
(2.2)
An´alogamente se define entorno reducido como {z 0 < |z − α| < ǫ}, es decir, el entorno
excluyendo el propio punto α.
Por tanto α es un punto l´ımite de la sucesi´on {zn } sii en cualquier entorno de α hay infinitos
t´erminos de la sucesi´on.
Ejemplo. La sucesi´on 1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, 0, . . . tiene 0 como punto l´ımite.
Ejemplo. La sucesi´on 1, 2, 3, 4, . . . no tiene puntos l´ımite.
Ejemplo. La sucesi´on 1, 12 , 31 , 32 , 41 , 34 , 51 , 54 , 61 , 56 , . . . tiene 0 y 1 como puntos l´ımite.
Definici´
on. Una sucesi´on compleja {zn } es acotada si ∃M > 0 tal que ∀n |zn | < M . En
otro caso la sucesi´on es no acotada.
Teorema. (Teorema de Bolzano-Weierstrass.) Toda sucesi´on compleja acotada tiene al
menos un punto l´ımite.
Se demuestra usando el principio de los rect´angulos encajados. (V´ease la fig. 4.)
2.3.
Sucesiones complejas convergentes
Definici´
on. Se dice que la sucesi´on compleja {zn } es convergente y tiene por l´ımite α, y
21
Figura 4: Construcci´on para el teorema Bolzano-Weierstrass.
se denota
l´ım zn = α
n→∞
o bien
zn → α cuando n → ∞ ,
(2.3)
si ∀ǫ > 0 ∃ν(ǫ) tal que ∀n > ν |zn − α| < ǫ . ♦
Equivale a decir que cualquier entorno de α contiene todos los t´erminos de la sucesi´on salvo
un n´
umero finito de ellos.
N´otese que para que {zn } sea convergente debe tener exactamente un punto l´ımite. Pero la
afirmaci´on rec´ıproca no es cierta.
Ejemplo. La sucesi´on 1, 0, 2, 0, 3, 0, . . . tiene 0 como u
´nico punto l´ımite sin embargo no es
convergente.
Teorema. Si dos sucesiones zn → α y zn′ → α′ cuando n → ∞, entonces
α
zn
→
(α′ = 0) .
zn ± zn′ → α ± α′ ,
zn zn′ → αα′ ,
′
′
zn
α
(2.4)
♦
Teorema. (Criterio de convergencia de Cauchy.) Una sucesi´on zn es convergente sii ∀ǫ > 0,
∃ν(ǫ) tal que |zn − zm | < ǫ siempre que n, m > ν.
Definici´
on. Decimos que l´ımn→∞ zn = ∞, o bien zn → ∞ cuando n → ∞, si ∀K > 0
∃ν(K) tal que ∀n > ν |zn | > K.
Definici´
on. Se define un entorno del infinito (de radio R) como un conjunto {z |z| > R},
para cierto R > 0.
Por tanto, zn → ∞ expresa que cualquier entorno del infinito contiene todos menos un
n´
umero finito de t´erminos de la sucesi´on.
22
2.4.
Esfera de Riemann y plano complejo extendido
La esfera de Riemann es una superficie esf´erica Σ ⊂ R3 (de radio arbitrario) tangente al
plano complejo (C = R2 ⊂ R3 ) de modo que z = 0 coincide con el “polo sur” S de la esfera.
El punto diametralmente opuesto a S es el polo norte, N . Para cualquier punto P del plano
complejo se puede considerar la recta que une P y N . Dicha recta cortar´a Σ en otro punto P ′ .
Por tanto todo n´
umero complejo z tiene asociado un punto de la esfera. Viceversa, todo punto
de Σ, excepto N , tiene asociado un n´
umero complejo z. Hay una biyecci´on entre C y Σ − {N }.
(V´ease la fig. 5.)
N
Σ
P´
S
P
C
Figura 5: Proyecci´on estereogr´afica.
Si l´ımn→∞ zn = ∞ los puntos correspondientes Pn′ sobre la esfera de Riemann se aproximan
al polo norte, P ′ → N con n → ∞, luego se asocia N con z = ∞, llamado punto del infinito.
El plano complejo junto con ∞ se llama plano complejo extendido, C∗ = C ∪ {∞}. Algunas
propiedades son:
z
z
si z ∈ C z ±∞ = ∞ , ∞z = ∞ (z = 0),
= ∞ (z = 0),
= 0 , ∞∞ = ∞ . (2.5)
0
∞
N´otese que ∞ no es un elemento del plano complejo finito C. Y tambi´en que en R se suele
introducir ±∞, en cambio en C s´olo se introduce un u
´nico punto del infinito.
La correspondencia entre el plano complejo extendido y la esfera de Riemann (incluido
N ) es una biyecci´on, denominada proyecci´
on estereogr´
afica. El plano complejo extendido
es topol´ogicamente una esfera. Un entorno de N en la esfera de Riemann es un entorno del
23
infinito en el plano complejo extendido. El inter´es de la proyecci´on estereogr´afica y la esfera de
Riemann es que esta u
´ltima es una variedad compacta (subconjunto cerrado y acotado de R3 )
y por tanto mejor comportado que R2 .
24
3.
Funciones complejas
3.1.
Variables y funciones
Definici´
on. Una funci´
on compleja f (z) es una aplicaci´on
f :E → C
z → w = f (z)
(3.1)
donde E ⊂ C es el dominio de definici´
on de f . La variable z ∈ E se llama variable
independiente u original. w es la variable dependiente o imagen. El conjunto E ′ = f (E)
de valores que puede tomar w se llama recorrido de f . ♦
Las mismas definiciones se aplican cuando E y E ′ son subconjuntos del plano complejo
extendido.
La funci´on f puede especificarse dando los valores de u := Re w y v := Im w,
f
z = x + iy −→ w = u(x, y) + iv(x, y)
(forma bin´omica).
(3.2)
Las funciones as´ı definidas son funciones univaluadas ya que para z ∈ E existe exactamente un valor w. Si se consideran correspondencias m´as generales donde z puede tener m´as
de una imagen, se habla de funciones multivaluadas o multiformes. Por omisi´on, funci´
on
se refiere a funci´on univaluada.
f : E → E′
ϕ : E′ → E
, que en
, se puede considerar la funci´
on inversa
w→z
z→w
general ser´a multivaluada ya que un mismo w ∈ E ′ puede ser imagen de m´as de un original en
E. (Es decir, en general f no ser´a inyectiva. Por construcci´on, f : E → E ′ es sobreyectiva.) Si
ϕ es univaluada se dice que f es invertible y entonces f : E → E ′ es biyectiva.
Dada una funci´on
1
se puede definir con dominio E = C − {0} y recorrido E ′ = C − {0}.
z
1
Es invertible, ϕ(w) = . En el plano complejo extendido C∗ = C ∪ {∞} se puede definir f (z)
w
con dominio y recorrido C∗ , tomando f (z) = 1/z si z = 0, ∞, f (0) = ∞, f (∞) = 0.
Ejemplo. f (z) =
Ejemplo. w = |z|, z ∈ C es univaluada pero no es invertible, ya que z y eiθ z (θ real) tienen
igual m´odulo.
25
Ejemplo. f : C → C con f (z) = z 2 es univaluada pero no invertible, su inversa ϕ es
bivaluada (excepto si z = 0) ya que ±z → z 2 .
Ejemplo. f : E → C siendo f (z) = z 2 y E = {z Re (z) > 0, Im (z) > 0} (es decir, z
es un punto del primer cuadrante). f (z) es inyectiva ya que si z ∈ E, −z ∈ E. Su recorrido
es E ′ = {w Im (w) > 0}. En efecto, z = reiθ ∈ E sii r > 0 y 0 < θ < π/2. Entonces,
w = ρeiφ = z 2 tiene ρ = r2 > 0 y 0 < φ = 2θ < π, y por tanto w es un punto cualquiera de E ′ .
f : E → E ′ es invertible.
3.2.
Curvas y dominios
Definici´
on. (Curva orientada.) Sean x(t), y(t) dos funciones reales y continuas de la variable
real t con a ≤ t ≤ b. La aplicaci´on z(t) = x(t) + iy(t) es un camino en el plano complejo.
z(a) y z(b) son el punto inicial y el punto final, respectivamente. El conjunto de todos los
caminos con el mismo recorrido y el mismo punto inicial y el mismo punto final define una curva
orientada (continua) C. Por tanto, a cada curva C le corresponden infinidad de caminos, y
cada camino define una parametrizaci´
on de la curva. El sentido positivo13 de C se obtiene
cuando t va de a a b.
Definici´
on. Si z(a) = z(b) se dice que la curva es cerrada, en otro caso es una curva
abierta o arco.
Definici´
on. Un conjunto de puntos E se dice que es (arco-)conexo si cualquier par de
puntos z1 , z2 ∈ E puede unirse mediante un arco C contenido en E con z1 y z2 como puntos
inicial y final.
Definici´
on. Dado un conjunto E se dice que z es un punto interior de E si E contiene
alg´
un entorno de z (en particular z ∈ E). Se dice que E es abierto si todos sus puntos son
interiores. Se dice que E es cerrado si su complementario, E c = C − E, es abierto.
Ejemplo. El conjunto14 {0 < |z| < 1} es abierto, {|z| ≤ 1} es cerrado, {0 < |z| ≤ 1} no es
abierto ni cerrado.
Definici´
on. Un conjunto no vac´ıo G es un dominio si es abierto y conexo. (No debe
confundirse este concepto con el de dominio de definici´on de una funci´on.)
13
14
El sentido positivo para el caso especial de una curva cerrada simple se define m´as adelante.
Para aligerar la notaci´
on usamos {0 < |z| < 1} para indicar el conjunto {z 0 < |z| < 1}, etc.
26
Definici´
on. Un dominio G (o en general un conjunto E) es acotado si est´a contenido en
un entorno de cero, es decir, si ∃K > 0 tal que ∀z ∈ E, |z| < K. En otro caso es no acotado.
Definici´
on. Se dice que z es un punto exterior de E cuando z es un punto interior del
complementario de E. Los puntos que no son interiores ni exteriores a E son puntos frontera
de E. El conjunto de puntos frontera es la frontera de E. Se dice que z es un punto de
acumulaci´
on o punto l´ımite de E si en todo entorno de z hay infinitos puntos de E.
Ejemplo. Sea E = {0 < |z| < 1} ∪ {2}. Sus puntos interiores son {0 < |z| < 1}. Sus puntos
exteriores son {1 < |z|, z = 2}. Su frontera es {0, 2} ∪ {|z| = 1}. Su puntos de acumulaci´on son
{|z| ≤ 1}.
Proposici´
on. Todos los dominios tienen una frontera no vac´ıa excepto C.
Proposici´
on. Un conjunto es cerrado sii contiene su frontera. Un conjunto es cerrado sii
contiene a todos sus puntos de acumulaci´on.
Definici´
on. Un dominio G junto con ninguno, alguno o todos sus puntos frontera se deno˜ Un dominio es una regi´on abierta. Un dominio junto con su frontera es
mina una regi´
on, G.
¯
una regi´on cerrada, G.
Ejemplo. Una curva no es una regi´on: todos sus puntos son de la frontera, y si se quita
´esta queda el conjunto vac´ıo, que no es un dominio.
Definici´
on. Una curva es simple o de Jordan, si no pasa dos veces por el mismo punto
de C (no se corta a s´ı misma), es decir, si a ≤ t1 < t2 < b implica z(t1 ) = z(t2 ).
Teorema. (Teorema de la curva de Jordan.) Toda curva simple cerrada C divide el plano
complejo finito en dos dominios de los que C es frontera com´
un. Uno de ellos es acotado (llamado
interior de C) y el otro no acotado (llamado exterior de C).
Definici´
on. Se toma el sentido positivo de una curva simple cerrada de modo que su
interior est´e localmente a la izquierda de la curva (para un observador que recorra la curva).
Coincide con el sentido antihorario.
Definici´
on. En el plano complejo finito, se dice que un dominio G es simplemente conexo
si toda curva simple cerrada contenida en G tiene su interior tambi´en contenido en G. En el
plano complejo extendido se dice que G es simplemente conexo si para toda curva cerrada
simple su interior o su exterior est´an contenidos completamente contenidos en el dominio G.
27
C0
C1
G
C2
C3
Figura 6: Dominio (n + 1)-conexo (n = 3).
En otro caso G es m´
ultiplemente conexo.
Ejemplo. El dominio G1 = {|z| < r} es simplemente conexo. G2 = {r < |z|} (r ≥ 0) no es
simplemente conexo en C (pero si en C∗ ). En efecto, una circunferencia de radio ρ > r tiene
z = 0 ∈ G2 en su interior. G3 = {r < |z| < R} (0 ≤ r < R) no es simplemente conexo ni en C
ni en C∗ .
Definici´
on. Si C0 , C1 , . . . , Cn son n + 1 curvas cerradas simples tales que cada curva
C1 , C2 , . . . , Cn est´a en el interior de C0 y en el exterior de las dem´as, entonces el conjunto
formado por los puntos que son del interior de C0 y del exterior de C1 , C2 , . . . , Cn , forman un
dominio G cuya frontera est´a formada por la n + 1 curvas C0 , C1 , . . . , Cn . (V´ease la fig. 6.)
Si n = 0, G0 es simplemente conexo. Si n > 0 Gn no es simplemente conexo, se dice que es
(n + 1)-conexo.
3.3.
Continuidad de funciones complejas
Definici´
on. Sea G un dominio (regi´on abierta) y z0 ∈ G, y sea f (z) una funci´on compleja
definida en G − {z0 } (la funci´on puede estar definida en z0 o no). Se dice que f (z) tiene l´ımite
α cuando z → z0 , y se denota
l´ım f (z) = α ,
(3.3)
z→z0
si ∀ǫ > 0, ∃δ(ǫ, z0 ) > 0 tal que 0 < |z − z0 | < δ garantiza |f (z) − α| < ǫ. (V´ease la figura 7.)
Ejemplo. Sea f : C → C tal que f (0) = 1 y f (z) = 0 ∀z = 0. En este caso l´ımz→0 f (z) = 0.
N´otese que no habr´ıa l´ımite si en la definici´on se exigiera |f (z) − α| < ǫ ∀z |z − z0 | < δ, sin
excluir el caso z = z0 .
28
z
w
G
ε
w=f(z)
δ
z
α
0
Figura 7: La imagen del entorno de z0 de tama˜
no δ, en el plano z, est´a contenido en el entorno
de α de tama˜
no ǫ en el plano w = f (z).
Definici´
on. f (z) es continua en z0 si f (z0 ) = ∞ y adem´as
l´ım f (z) = f (z0 ) ,
z→z0
(3.4)
es decir, si ∀ǫ > 0, ∃δ(ǫ, z0 ) > 0 tal que |z − z0 | < δ garantiza |f (z) − f (z0 )| < ǫ.15
Ejemplo. f (z) = 1/z definida en el plano complejo extendido no es continua en z = 0
aunque l´ımz→0 f (z) = f (0) ya que f (0) = ∞.
Definici´
on. La funci´on f es continua en G (en sentido puntual) si es continua en todo
punto de G.
Ejemplo. w = 1/z es continua en todo el plano complejo excepto en z = 0:
En efecto, sean z0 , z = 0 tales que |z − z0 | < δ (y adem´as tomamos δ < |z0 |)
|w − w0 | =
1
δ
|z − z0 |
1
−
≤
< ǫ.
=
z z0
|z||z0 |
(|z0 | − δ)|z0 |
(3.5)
puede hacerse menor que cualquier ǫ > 0. Se ha usado que |z| ≥ |z0 | − δ > 0 (v´ease la fig. 8) y
por tanto 1/|z| < 1/(|z0 | − δ). ♦
Proposici´
on. Si f (z) y g(z) son continuas en z0 , tambi´en lo son las funciones f (z) ± g(z),
f (z)g(z) y f (z)/g(z) (si g(z0 ) = 0). Si ϕ(w) es continua en w0 = f (z0 ), ϕ(f (z)) es continua en
z0 .
˜ y z0 es de la frontera de G
˜ no est´a garantizado
Cuando f (z) est´a definida en una regi´on G
˜
que z ∈ G si |z −z0 | < δ (δ suficientemente peque˜
no). En este caso hay que cambiar la definici´on
15
En este caso, exigir |f (z) − f (z0 )| < ǫ tambi´en para z = z0 es irrelevante. No impone ninguna restricci´on.
29
δ
z
z0
Figura 8: Desigualdad triangular |z| ≥ |z0 | − δ.
˜ Se denota
a˜
nadiendo la condici´on z ∈ G.
l´ım f (z) = α ,
z → z0
˜
z∈G
l´ım f (z) = f (z0 ) .
z → z0
˜
z∈G
(3.6)
para indicar l´ımite y continuidad, respectivamente. An´alogamente, si f (z) est´a definida sobre
una curva C
l´ım f (z) = α ,
l´ım f (z) = f (z0 ) .
(3.7)
z → z0
z → z0
z∈C
z∈C
Definici´
on. La expresi´on l´ımz→z0 f (z) = ∞ significa
l´ım
z→z0
1
= 0.
f (z)
(3.8)
O equivalentemente, ∀K > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |z − z0 | < δ implica |f (z)| > K.
La expresi´on l´ımz→∞ f (z) = α significa
l´ım f (1/ζ) = α .
ζ→0
(3.9)
O equivalentemente, ∀ǫ > 0, ∃R > 0 tal que |z| > R implica |f (z) − α| < ǫ. ♦
Estad definiciones corresponden a la definici´on usual de l´ımite desde el punto de vista de la
esfera de Riemann de las variables w o z, respectivamente.
30
3.4.
Continuidad uniforme
Definici´
on. Una funci´on f (z) definida en un dominio G es uniformemente continua en
G si y s´olo si ∀ǫ > 0 ∃δ(ǫ) > 0 tal que para todo par de puntos z1 , z2 ∈ G, la condici´on
|z1 − z2 | < δ
garantiza |f (z1 ) − f (z2 )| < ǫ .
(3.10)
˜ o una curva C,
La misma definici´on se aplica cuando f est´e definida en una regi´on G
˜
imponiendo z1 , z2 ∈ G o C, respectivamente.
Nota: El punto clave es que δ depende s´olo ǫ (aparte de f y G), pero no de z1 , z2 . Esta
condici´on es m´as fuerte (exigente) que la continuidad en un punto z0 ∈ G ya que ah´ı δ pod´ıa
depender de z0 .
Proposici´
on. Continuidad uniforme implica continuidad en cada punto (pero no al contrario).
˜ = {0 < |z| ≤ 1} es continua en G
˜ pero
Ejemplo. La funci´on f (z) = 1/z definida en G
˜
no uniformemente continua: En efecto, la condici´on |z1 − z2 | < δ para z1 , z2 ∈ G, no garantiza
que |z1−1 − z2−1 | < ǫ. Por ejemplo, tomando z1 = δ/2 y z2 = δ, se cumple |z1 − z2 | < δ, pero
|z1−1 − z2−1 | = 1/δ que no es arbitrariamente peque˜
no (todo lo contrario).
Definici´
on. Un conjunto es compacto cuando es cerrado y acotado.
Ejemplo. Una curva es un conjunto compacto (es decir, cerrado y acotado).16 Un disco
cerrado es un conjunto compacto. C no es compacto, porque aunque es cerrado, no es acotado.
¯ con un
Teorema. (Teorema de Heine-Borel.) Un conjunto compacto (cerrado y acotado) G
17
recubrimiento {Cα } admite un subrecubrimiento finito.
¯ entonces f
Teorema. Si f (z) es continua en una regi´on compacta (cerrada y acotada) G,
¯ y acotada.
es uniformemente continua en G
Este teorema se puede demostrar mediante el teorema de Heine-Borel. (Ver por ejemplo el
libro de Silverman.)
16
La imagen de un conjunto compacto por una aplicaci´
on continua es a su vez un conjunto compacto.
En topolog´ıas generales esto se toma como definici´on de conjunto compacto. En ese caso el teorema afirma
que un subconjunto de Rn es compacto sii es un conjunto cerrado y acotado.
17
31
˜ = {0 < |z| ≤ 1} era
Ejemplo. En el ejemplo anterior, la funci´on f (z) = 1/z definida en G
˜ pero no uniformemente continua. El teorema no se aplica porque G
˜ es acotado
continua en G
pero no cerrado (z = 0 es de la frontera pero no del conjunto). f (z) tampoco est´a acotada en
˜ En efecto, l´ımz→0 1/z = ∞.
G:
Ejemplo. f (z) = z es continua en C y uniformemente continua en C, pero no acotada.
Ejemplo. f (z) = z 2 es continua en C pero no uniformemente continua ni acotada en C.
32
4.
Derivaci´
on en el plano complejo
4.1.
Derivada de una funci´
on compleja
Definici´
on. (Derivada compleja.) Una funci´on compleja f (z) definida en un dominio G se
dice que es derivable o diferenciable en el punto z ∈ G si f (z) = ∞ y el l´ımite
f (z + ∆z) − f (z)
,
∆z→0
∆z
f ′ (z) := l´ım
z, z + ∆z ∈ G
existe y es finito. f ′ (z) se llama derivada de f (z) en z. Tambi´en se denota
(4.1)
df (z)
.
dz
N´otese que una funci´on compleja derivable en un punto es necesariamente continua en ese
punto (aunque no al rev´es).
Definici´
on. (Funci´on anal´ıtica.) Una funci´on f (z) es anal´ıtica en un dominio G (o
tambi´en regular u holomorfa) si es derivable en cada punto de G. Se dice que es anal´ıtica
en un punto z si lo es alg´
un entorno de z. Todo punto de C en el que f (z) es anal´ıtica es un
punto regular de f (z). Todo punto de C en el que f (z) no sea anal´ıtica (en particular, si no
est´a definida ah´ı) es un punto singular de f (z).
Ejemplo. f (z) = z 2 es derivable en todos los puntos del plano complejo (finito):
(z + ∆z)2 − z 2
= l´ım (2z + ∆z) = 2z .
∆z→0
∆z→0
∆z
f ′ (z) = l´ım
(4.2)
Ejemplo. f (z) = Re (z) es continua en todo el plano complejo pero no derivable en ning´
un
punto:
Re (z + ∆z) − Re (z)
Re ∆z
l´ım
= l´ım
.
(4.3)
∆z→0
∆z→0
∆z
∆z
Teniendo en cuenta que ∆z = ∆x + i∆y, se ve que si se hace el l´ımite seg´
un ∆y = 0, ∆x → 0
sale 1, en cambio si se hace el l´ımite seg´
un ∆x = 0, ∆y → 0 sale 0. Luego el l´ımite no existe y
la funci´on no es derivable.
Ejemplo. Igualmente f (z) = z ∗ es continua en todo el plano complejo pero no derivable
en ning´
un punto.
33
Ejemplo. f (z) = |z|2 es derivable en z = 0 pero no en ning´
un otro punto. Por tanto no es
anal´ıtica en ning´
un punto.
Nota: La condici´on de derivabilidad en el plano complejo exige que el l´ımite ∆f /∆z sea
independiente de la direcci´on en la que ∆z → 0. La condici´on de analiticidad es a´
un m´as
restrictiva, como se ha visto en el u
´ltimo ejemplo.
Propiedades. Como la definici´on de f ′ (z) es algebraicamente id´entica a la del caso real,
satisface las siguientes propiedades:
a) (c f (z))′ = c f ′ (z), donde c es una constante y f (z) es derivable en z.
b) Si f (z) y g(z) son derivables en z,
(f (z) ± g(z))′ = f ′ (z) ± g ′ (z)
(f (z)g(z))′ = f ′ (z)g(z) + f (z)g ′ (z)
′
f ′ (z) f (z)g ′ (z)
f (z)
−
(g(z) = 0) .
=
g(z)
g(z)
g 2 (z)
(4.4)
c) Si f (z) es derivable en z y ϕ(w) es derivable en w = f (z)
(ϕ(f (z)))′ = ϕ′ (f (z))f ′ (z) .
d) (z n )′ = nz n−1 ,
(4.5)
n = 1, 2, , 3, . . .
Proposici´
on. Todo polinomio de z,
n
ak z k ,
P (z) =
k=0
ak ∈ C
(4.6)
es anal´ıtico en todo el plano complejo (finito) y toda funci´
on racional (cociente de polinomios
de z) es anal´ıtica en todo el plano complejo excepto donde el denominador se anule.
Nota: Sin embargo los polinomios o funciones racionales construidas con z y z ∗ no son funciones anal´ıticas en ning´
un punto (a menos que no dependan de z ∗ ). (Ve´anse los complementos
al final del cap´ıtulo.)
34
Definici´
on. (Diferenciales complejos.) Sea f (z) derivable en un punto z, y w = f (z),
definimos el incremento de f (z) como
∆w := f (z + ∆z) − f (z) ,
(4.7)
considerado como funci´on de ∆z. Puesto que
∆w
= f ′ (z)
∆z→0 ∆z
l´ım
(4.8)
se deduce
∆w = f ′ (z)∆z + ǫ∆z ,
donde
l´ım ǫ = 0 .
∆z→0
(4.9)
La parte lineal, f ′ (z)∆z, se denomina diferencial de w y se denota dw, dw = f ′ (z)∆z.
Teniendo en cuenta que en particular dz = ∆z (considerando z como funci´on de la propia z),
dw = f ′ (z) dz,
4.2.
f ′ (z) =
df (z)
dw
=
.
dz
dz
(4.10)
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
Definici´
on. Una funci´on real u(x, y) es derivable o diferenciable en (x, y) si el incremento
∆u = u(x + ∆x, y + ∆y) − u(x, y)
(4.11)
(considerado como funci´on de las variables independientes ∆x y ∆y) puede escribirse como
∆u = A1 ∆x + A2 ∆y + ǫ1 ∆x + ǫ2 ∆y
(4.12)
donde A1 , A2 no dependen de ∆x, ∆y y ǫ1 , ǫ2 → 0 cuando ∆x, ∆y → 0.18 De hecho A1 y A2
son las derivadas parciales de u:
A1 =
∂u
∂x
(x,y)
,
A2 =
∂u
∂y
(x,y)
.♦
(4.13)
Nota: Que ∂u/∂x y ∂u/∂y existan no basta para que u sea diferenciable. (Por ejemplo
u = |xy| tiene derivadas parciales en x = y = 0 pero no es diferenciable en ese punto.) Una
condici´on suficiente para sea diferenciable es que tenga derivadas parciales y que sean continuas.
18
Es decir, ǫ1,2 → 0 cuando (∆x)2 + (∆y)2 → 0, independientemente de la direcci´on en el plano x, y. N´
otese
tambi´en que ǫ1,2 no quedan definidos en forma un´ıvoca por la ecuaci´
on.
35
Una funci´on compleja f (z) puede especificarse dando sus partes real e imaginaria
f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ,
u, v ∈ R .
(4.14)
Si u, v son continuas, f tambi´en lo ser´a (y viceversa). En cambio, como se vio para f (z) =
Re (z), que corresponde a u(x, y) = x, v(x, y) = 0, obviamente u, v son diferenciables pero u+iv
no es diferenciable como funci´on compleja. En general u y v deben adem´as estar relacionados.
En efecto, si f (z) es derivable en z el l´ımite de ∆w/∆z no debe depender de la direcci´on en la
que ∆z → 0. En particular debe dar lo mismo si va a 0 por el eje real o por el imaginario:
f ′ (z) =
f ′ (z) =
∆u + i∆v
∂u
∂v
∆u + i∆v
= l´ım
=
+i
l´ım
∆x→0
∆x
∂x
∂x
∆x → 0 ∆x + i∆y
∆y = 0
∆u + i∆v
∆u + i∆v
1
l´ım
= l´ım
=
i∆y
i
∆y → 0 ∆x + i∆y ∆y→0
∆x = 0
∂u
∂v
+i
∂y
∂y
(4.15)
∂u
∂v
∂u
∂v
=
,
= − , conocidas como ecuaciones de Cauchy-Riemann. Podr´ıa
∂x
∂y
∂y
∂x
pensarse que el c´alculo de f ′ (z) tomando el l´ımite seg´
un otras direcciones da nuevas condiciones.
No es as´ı, como lo demuestra el siguiente teorema:
requiere
Teorema. (Ecuaciones de Cauchy-Riemann.) La funci´on compleja w = f (z) = u + iv es
derivable en el punto z0 = x0 + iy0 si y s´olo si
1) u(x, y), v(x, y) son diferenciables en (x0 , y0 ).
2) Cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann,
∂v
∂u
=
,
∂x
∂y
∂u
∂v
=− ,
∂y
∂x
en (x0 , y0 ).
(4.16)
con
(4.17)
Demostraci´
on:
a) Supongamos que f (z) es derivable en z0 , es decir,
∆w = ∆u + i∆v = f ′ (z)∆z + ǫ∆z ,
36
l´ım ǫ = 0 ,
∆z→0
f ′ (z) = a + ib (a, b reales) y ǫ = ǫ1 + iǫ2 (ǫ1,2 reales). Entonces ∆u + i∆v = (a +
ib)(∆x + i∆y) + (ǫ1 + iǫ2 )(∆x + i∆y) implica
∆u = a∆x − b∆y + ǫ1 ∆x − ǫ2 ∆y ,
∆v = b∆x + a∆y + ǫ2 ∆x + ǫ1 ∆y .
(4.18)
Teniendo en cuenta que ǫ1 , ǫ2 → 0 cuando ∆x, ∆y → 0, se deduce u, v son diferenciables
y
∂v
∂u
∂v
∂u
=
,
b=
=− .
(4.19)
a=
∂x
∂y
∂y
∂x
b) Supongamos que u, v cumplen 1) y 2), entonces:
∂u
∂u
∆x +
∆y + α1 ∆x + α2 ∆y
∂x
∂y
∂v
∂v
∆x +
∆y + β1 ∆x + β2 ∆y
+i
∂x
∂y
∂v
∂u
=
+i
(∆x + i∆y) + (α1 + iβ1 )∆x + (α2 + iβ2 )∆y
∂x
∂x
∆x
∂u
∂v
∆y
=
∆z + ǫ∆z , con ǫ = (α1 + iβ1 )
+i
+ (α2 + iβ2 )
.(4.20)
∂x
∂x
∆z
∆z
∆w = ∆u + i∆v =
Puesto que |∆x|, |∆y| ≤ |∆z|, se deduce
|ǫ| ≤ |α1 | + |β1 | + |α2 | + |β2 | → 0 cuando ∆z → 0 .
(4.21)
En consecuencia, el l´ımite
∆w
∂u
∂v
=
+i
∆z→0 ∆z
∂x
∂x
f ′ (z0 ) = l´ım
(4.22)
existe y es finito y f (z) es derivable en z0 . ♦
Proposici´
on. f (z) es anal´ıtica en un dominio G sii u, v son diferenciables y ux = vy ,
uy = −vx en todo G. En este caso
f ′ (z) = ux + ivx = ux − iuy = vy + ivx = vy − iuy ,
z ∈ G.
(4.23)
Ejemplo. La funci´on ez := ex (cos(y) + i sen(y)) es la exponencial compleja. Extiende
la funci´on exponencial real al plano complejo. Es diferenciable en todo C y tambi´en satisface
37
las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Por tanto es anal´ıtica en C. Su derivada coincide con ella
misma, como ocurre en el caso real.
Definici´
on. (Funci´on anal´ıtica en el infinito.) Se dice que f (z) es anal´ıtica en el infinito
si la funci´on ϕ(ζ) = f (1/ζ) es anal´ıtica en ζ = 0. Se define f (∞) = ϕ(0).
Definici´
on. Si f (z) = u + iv es anal´ıtica en un dominio G, f ′′ (z) existe y es continua (como
se ver´a) y adem´as ux = vy , uy = −vx . Se deduce entonces que u y v son funciones arm´
onicas,
es decir,
∂2
∂2
∂2
∂2
u
=
v = 0.
(4.24)
+
+
∂x2 ∂y 2
∂x2 ∂y 2
En efecto,19 uxx + uyy = (vy )x + (−vx )y = 0 (´ıdem v). Se dice que u y v son funciones arm´
onicas conjugadas si tienen derivadas parciales segundas continuas y cumplen las ecuaciones de
Cauchy-Riemann.
Ejemplo. f (z) = z 3 es una funci´on anal´ıtica en C.
u = x3 − 3xy 2 , v = 3x2 y − y 3 ,
ux = vy = 3x2 − 3y 2 , uy = −vx = −6xy ,
uxx = −uyy = 6x , vxx = −vyy = 6y .
(4.25)
Como se ha visto (z 3 )′ = 3z 2 . Alternativamente,
f ′ (z) =
∂f
= ux + ivx = (3x2 − 3y 2 ) + i(6xy) = 3z 2 . ♦
∂x
(4.26)
Si u, v son arm´onicas conjugadas se puede reconstruir una en funci´on de otra. Por ejemplo
y
vy (x, y ′ ) dy ′
v(x, y) = v(x, y0 ) +
y0
y
x
y0
y
x0
x
= v(x0 , y0 ) −
vy (x, y ′ ) dy ′
vx (x′ , y0 ) dx′ +
= v(x0 , y0 ) +
uy (x′ , y0 ) dx′ +
x0
ux (x, y ′ ) dy ′ .
(4.27)
y0
Esta construcci´on supone que el camino (x0 , y0 ) → (x, y0 ) → (x, y) est´a contenido en la regi´on G
de validez de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. En realidad si u, v existen (son univaluadas)
19
Si una funci´on u tiene derivadas parciales segundas continuas autom´aticamente uxy = uyx .
38
en un dominio G y son arm´onicas conjugadas, el resultado no depende de la curva suave a
trozos C (con punto inicial (x0 , y0 ) y final (x, y) y contenida en G):
v(x, y) − v(x0 , y0 ) =
(vx dx + vy dy) =
C
(−uy dx + ux dy) .
(4.28)
C
Por otro lado, si G es simplemente conexo esta f´ormula permite reconstruir v conocido u.
(Obviamente hay una f´ormula an´aloga para reconstruir u dado v.)
Teorema. (Regla de l’Hˆopital.) Sean f (z), g(z) anal´ıticas en un entorno de z0 ∈ C∗ =
C ∪ {∞}. Si f (z), g(z) tienden ambas a 0 o ∞ cuando z → z0 y si f ′ (z)/g ′ (z) tiene l´ımite
(finito o no) ´este coincide con el l´ımite de f (z)/g(z), que existe.
Este teorema se aplica y demuestra igual que en el caso real.
ez
1
ez − 1
= l´ım
= .
z→0 2
z→0
2z
2
Ejemplo. l´ım
Nota: Una funci´on real definida en R2 puede ser diferenciable en un dominio pero no
x2 si x > 0
admitir derivadas segundas continuas. (Por ejemplo, la funci´on h(x, y) =
.) O
0 si x ≤ 0
bien puede admitir un n´
umero finito de derivadas continuas pero no un n´
umero infinito. O
bien puede admitir un n´
umero infinito de derivadas continuas pero no ser anal´ıtica.20 (Por
e−1/x si x > 0
ejemplo, h(x, y) =
. Todas las derivadas de todos los ´ordenes de esta funci´on
0
si x ≤ 0
se anulan en el punto (0, 0), sin embargo la funci´on no es id´enticamente nula en un entorno de
ese punto y por tanto la funci´on no es anal´ıtica ah´ı.) Para una funci´on definida sobre R2 las
propiedades de ser derivable una vez, derivable k veces, derivable infinitas veces y anal´ıtica son
condiciones cada vez m´as fuertes (restrictivas). En cambio en el caso complejo se ha denominado
anal´ıtica a un funci´on por el hecho de tener derivada primera en un dominio. Como se ver´a, esta
denominaci´on est´a justificada: si una funci´on compleja admite derivada primera en un dominio
entonces autom´aticamente es tambi´en infinitamente derivable y anal´ıtica en el sentido de R2
en ese dominio. Este resultado es muy notable.
4.3.
Complementos
Definici´
on. Una funci´on de varias variables complejas w = f (z1 , . . . , zn ) es derivable o
20
En Rn una funci´on es anal´ıtica si admite un desarrollo en serie de Taylor con radio de convergencia no nulo.
39
diferenciable si satisface unas condiciones an´alogas a las dadas para variables reales. A saber,
∆w = f (z1 + ∆z1 , . . . , zn + ∆zn ) − f (z1 , . . . , zn )
= (A1 + ǫ1 )∆z1 + · · · + (An + ǫn )∆zn
(4.29)
donde los Ak no dependen de ∆z1 , . . . , ∆zn y los ǫk → 0 cuando ∆z1 , . . . , ∆zn → 0. Los Ak son
las derivadas parciales de f en (z1 , . . . , zn ):
∂f
Ak =
.♦
(4.30)
∂zk
Proposici´
on. Sea g(z1 , z2 ) una funci´on compleja de dos variables, anal´ıtica (respecto de
z1 y z2 ) en un dominio G12 ⊂ C × C, y sea f (z) la funci´on definida por f (z) = g(z, z ∗ ).
Entonces, f (z) es anal´ıtica en el dominio G = {z (z, z ∗ ) ∈ G12 } (supuesto no vac´ıo) sii g(z1 , z2 )
es independiente de z2 .
Demostraci´
on: Puesto que g(z1 , z2 ) es diferenciable, el incremento de f (z) para z ∈ G
puede escribirse como
∆f (z) = ∆g(z, z ∗ ) = g(z + ∆z, z ∗ + ∆z ∗ ) − g(z, z ∗ ) = g1 ∆z + g2 ∆z ∗ + ǫ∆z + ǫ′ ∆z ∗
(4.31)
donde g1,2 son las derivadas parciales de g respecto de z1 y z2 en z1 = z2∗ = z, y ǫ, ǫ′ se anulan
cuando ∆z → 0. Entonces
∆f (z)
∆z ∗
∆z ∗
= g1 + g2
+ ǫ + ǫ′
.
(4.32)
∆z
∆z
∆z
Teniendo en cuenta que |∆z ∗ /∆z| = 1 se ve que los t´erminos con ǫ, ǫ′ se anulan cuando ∆z → 0,
y para que el l´ımite exista (independientemente de la direcci´on de ∆z) es necesario y suficiente
que g2 se anule
∂g(z1 , z2 )
= 0 cuando z1 = z2∗ = z . ♦
(4.33)
∂z2
Ejemplo. La funci´on z n depende de z y no de z ∗ ; satisface las ecuaciones de CauchyRiemann (y de hecho es anal´ıtica para todo z excepto en z = 0 si n < 0). √
En cambio Re (z) =
∗
∗
(z +z )/2 depende de z y no las puede satisfacer. Igualmente f (z) = |z| = zz ∗ no es anal´ıtica.
Nota: Usando las relaciones
z + z∗
z − z∗
,
y=
,
(4.34)
2
2i
cualquier funci´on racional de x, y se puede expresar como funci´on de z y z ∗ . En este caso la
funci´on ser´a anal´ıtica (donde el denominador no se anule) sii no depende de z ∗ . El cambio de
variable tambi´en es aplicable a funciones definidas por series de potencias de x, y.
x=
40
5.
Integraci´
on en el plano complejo
5.1.
La integral de una funci´
on compleja
Definici´
on. Una curva C con ecuaci´on param´etrica z = z(t) (a ≤ t ≤ b) es suave sii z(t)
tiene derivada continua y no nula (z ′ (t) = 0) ∀t ∈ [a, b]. (En los extremos z ′ (a) se refiere a
derivada por la derecha y z ′ (b) a derivada por la izquierda.)
Definici´
on. Sean C1 , C2 , . . . , Cn un conjunto finito de curvas suaves tales que el punto final
de Ck es el punto inicial de Ck+1 , para k = 1, . . . , n − 1. La curva C obtenida uniendo dichas
curvas se denomina curva suave a trozos.
Proposici´
on. Una curva suave a trozos es rectificable (es decir, tiene longitud finita).
Demostraci´
on: En efecto, la longitud de C es
b
ℓ=
a
|z ′ (t)| dt < ∞ .
(5.1)
ℓ es finita porque z ′ (t) es continua a trozos y por tanto integrable Riemann. ♦
Definici´
on. (Integral en C.) Sea f (z) una funci´on definida en un dominio G y C una curva
suave contenida en G, con puntos inicial y final za y zb . Si z0 , z1 , . . . , zn con z0 = za , zn = zb ,
es un conjunto de puntos de C ordenados por t creciente (correspondientes as a = t0 < t1 <
· · · < tn = b), consideremos la suma
n
S=
f (ζk )∆zk
(5.2)
k=1
⌢
donde ∆zk = zk − zk−1 y ζk es un punto arbitrario del arco zk−1 zk . Sea ℓk la longitud del arco
⌢
zk−1 zk y λ = m´ax{ℓ1 , . . . , ℓn }, si el l´ımite
n
f (ζk )∆zk
l´ım
λ→0
(5.3)
k=1
existe y es finito, se dice que f (z) es integrable a lo largo de C y al l´ımite se le llama
integral de f (z) a lo largo de C, y se denota
C
f (z) dz . ♦
41
(5.4)
Notas: 1) La integral depende de C y de la orientaci´on de la curva. Cuando se diga curva
se entender´a curva orientada. 2) La integral, tal y como se ha definido, no depende de la
parametrizaci´on usada para la curva. (La parametrizaci´on debe consistente con la orientaci´on
de la curva.) 3) Como se puede ver, si f (z) es real y C es un intervalo real, la integral que se
ha definido coincide con la integral de Riemann usual.
Las siguientes manipulaciones son v´alidas
f (z) dz =
C
(u + iv) (dx + idy) =
C
C
(u dx − v dy) + i
(v dx + u dy)
(5.5)
C
entendidas como integrales reales de l´ınea en R2 . Y tambi´en
b
f (z) dz =
C
a
dz(t)
dt =
f (z(t))
dt
b
b
′
Im f (z(t))z ′ (t) dt , (5.6)
Re f (z(t))z (t) dt + i
a
a
donde z(t) es cualquier parametrizaci´on con sentido positivo de C.21 Por tanto basta calcular
integrales reales usuales. La integral compleja existe si y s´olo si las correspondientes integrales
reales existen.
1
Ejemplo. Calc´
ulese la integral de f (z) = a lo largo del segmento recto C que empieza
z
en z = 1 y acaba en z = i.
El segmento admite la parametrizaci´on z(t) = 1 + (i − 1)t, 0 ≤ t ≤ 1, con z ′ (t) = i − 1.
Entonces
1
f (z) dz =
0
C
1
=
0
1
(i − 1) dt
1 + (i − 1)t
1
iπ
1
2t − 1
dt
+
i
dt =
.♦
2
2
1 − 2t + 2t
2
0 1 − 2t + 2t
(5.7)
Teorema. Si f (z) es continua sobre una curva suave C entonces es integrable en C.
Es una consecuencia inmediata de la misma propiedad para integrales reales de l´ınea ya que
z ′ (t) tambi´en es continua por tratarse de una curva suave.
21
En efecto, si t = t(s) es una reparametrizaci´
on positiva de la curva
dz(t(s))
ds.
ds
42
dz(t)
dz(t(s))/ds dt(s)
dt =
ds =
dt
dt(s)/ds ds
La definici´on de integral se extiende al caso de curvas suaves a trozos. La integral en C =
C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn se define
f (z) dz =
C
C1
f (z) dz + · · · +
f (z) dz ,
(5.8)
Cn
que es compatible con la definici´on anterior cuando C es ella misma suave.
Ejemplo. Calc´
ulese C z n dz donde C es una curva suave a trozos que une za con zb (puntos
inicial y final), n ∈ Z, n = −1, y C no pasa por z = 0 si n < 0 (en otro caso f (z) = z n no ser´ıa
continua sobre C). Primero lo hacemos para C suave:
b
z n dz =
b
C
a
=
1 n+1
d
z (t) dt
n+1
a dt
1
=
z n+1 − zan+1 ,
n+1 b
z n (t) z ′ (t) dt =
1 n+1
z (t) dt
n+1
b
a
(n = −1) .
(5.9)
Esta integral no depende de C sino s´olo de za y zb . Cuando C es suave a trozos se aplica el
resultado anterior a cada trozo y se suma, y se obtiene exactamente la misma expresi´on.
En particular, se obtiene
z n dz = 0
C
(C cerrada, n entero y = −1)
(5.10)
si C es cualquier curva suave a trozos cerrada (que no pase por 0 si n < 0).
5.2.
Propiedades b´
asicas de la integral
Definici´
on. Si C es una curva suave a trozos, definimos C − como la curva C orientada al
rev´es, es decir, C − recorre los mismos puntos pero el punto final de C es el inicial de C − y
viceversa.
Teorema. Si f (z) es integrable sobre C entonces
C−
f (z) dz = −
f (z) dz .
C
Es inmediato notando que ∆zk → −∆zk con C → C − mientras que f (ζk ) no cambia.
43
(5.11)
Teorema. Si f y g son integrables sobre C y α, β ∈ C
α f (z) + β g(z) dz = α
f (z) dz + β
C
C
g(z) dz .
(5.12)
C
Teorema. Sea f (z) integrable sobre una curva suave a trozos C y acotada en C (es decir,
∃K tal que ∀z ∈ C |f (z)| < K) entonces
C
f (z) dz ≤ Kℓ ,
(5.13)
siendo ℓ la longitud de C.
Demostraci´
on:
n
k=1
5.3.
n
f (ζk )∆zk ≤
k=1
n
|f (ζk )| |∆zk | ≤ K
k=1
|∆zk | ≤ Kℓ . ♦
(5.14)
Teorema de la integral de Cauchy
´
Este
es uno de los teoremas clave del an´alisis complejo:
Teorema. (Teorema de la integral de Cauchy.) Sea f (z) anal´ıtica en un dominio G simplemente conexo (en el plano finito) y sea C una curva suave a trozos y cerrada contenida en G,
entonces
f (z) dz = 0 .
(5.15)
C
Se puede dar una versi´on m´as fuerte:
Teorema. (Teorema generalizado de la integral de Cauchy.) Sea C una curva simple, suave
a trozos y cerrada, y sea f (z) anal´ıtica en el interior de C y continua sobre C, entonces
f (z) dz = 0 .
(5.16)
C
Esta versi´on es m´as fuerte porque no se requiere que f (z) sea anal´ıtica sobre la curva sino
s´olo continua. Por otro lado se exige que C sea simple pero esto no es una restricci´on ya que si
C no es simple se puede descomponer en curvas cerradas que lo sean.22 (V´ease la fig. 9.)
22
El motivo de no quitar la palabra “simple” en el enunciado es que s´
olo se ha definido el interior para curvas
44
C2
G
G
C
C3
C1
Figura 9: Descomposici´on de una curva (C, a la izquierda) en curvas simples (C1 , C2 y C3 , a
la derecha). A efectos de integraci´on C1 ∪ C2 ∪ C3 es equivalente a C.
Aqu´ı se demostrar´a una versi´on mucho m´as d´ebil del teorema de la integral de Cauchy en el
que se pide adem´as que f ′ (z) sea continua en G. (Como se ver´a esta condici´on es redundante.)
Como se ha visto, sin p´erdida de generalidad se puede suponer que C es simple. En este caso
se puede aplicar el teorema de Green:
Teorema. (Teorema de Green.) Sean P (x, y) y Q(x, y) con derivadas parciales continuas
sobre la curva C (simple, cerrada y suave a trozos) as´ı como en el interior de C, entonces
(P dx + Q dy) =
C
I
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
donde C est´a orientado positivamente e I es el interior de C.
dx dy ,
(5.17)
23
Demostraci´
on: (Teorema de la integral de Cauchy. Versi´on d´ebil.) En efecto, si u, v tienen
derivadas parciales continuas,
f (z) dz =
C
C
(u dx − v dy) + i
=
G
−
∂v ∂u
−
∂x ∂y
(v dx + u dy)
C
dx dy + i
G
∂u ∂v
−
∂x ∂y
dx dy = 0 ,
(5.18)
haciendo uso de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. ♦
Proposici´
on. Sea f (z) anal´ıtica en un dominio simplemente conexo G y sean C1 y C2
dos arcos suaves a trozos contenidos en G con el mismo punto inicial y el mismo punto final,
cerradas simples.
23
Esta es una versi´on bidimensional de C dℓ · A = S dS · ∇ × A en R3 , tomando A = (P (x, y), Q(x, y), 0),
∇ × A = (∂y Az − ∂z Ay , ∂z Ax − ∂x Az , ∂x Ay − ∂y Ax ) = (0, 0, ∂x Q − ∂y P ) y dS = (0, 0, dx dy).
45
zb
C1
G
C2
_
za
Figura 10: Igualdad de integrales al cambiar de arco: La curva C1 ∪ C2− es cerrada y la integral
sobre ella se anula. La integrales sobre C1 o sobre C2 son iguales.
entonces las integrales sobre C1,2 son iguales:
f (z) dz =
C1
f (z) dz .
(5.19)
C2
Demostraci´
on: En efecto, por aplicaci´on del teorema de la integral de Cauchy a la curva
−
cerrada C1 ∪ C2 . (V´ease la fig. 10.)
Nota: M´as generalmente, si C1 y C2 son dos arcos suaves a trozos que empiezan y acaban
en los mismos puntos, C1 ∪ C2− es una curva cerrada que, o bien es simple, o bien se puede
descomponer en curvas cerradas simples. Si f (z) es anal´ıtica en los interiores de esas curvas
simples y continua en la frontera entonces C1 f (z) dz = C2 f (z) dz .
Proposici´
on. Sean C0 , C1 , . . . , Cn , n + 1 curvas suaves a trozos, simples, cerradas y con
la misma orientaci´on, tales que cada curva C1 , C2 , . . . , Cn est´a en el interior de C0 y en el
exterior de las dem´as. Sea G el dominio formado por los puntos que son a la vez del interior
de C0 y del exterior de C1 , C2 , . . . , Cn , y sea f (z) anal´ıtica en G y continua sobre su frontera
C0 ∪ C1 ∪ · · · ∪ Cn .24 Entonces
f (z) dz =
C0
24
f (z) dz +
C1
C2
f (z) dz + · · · +
f (z) dz .
Cn
Esta construcci´on se ha considerado antes en la secci´on 3.2. V´ease la figura 6.
46
(5.20)
Nota: La integral no tiene por qu´e ser 0 ya que no se exige que f (z) sea anal´ıtica en el interior
de C1 , C2 , . . . , Cn .
_
C1
_
C2
C0
Figura 11: Igualdad de integrales sobre curvas cerradas: Si f (z) es anal´ıtica en la zona sombreada
y al menos continua sobre las curvas, la integral sobre C0 ∪ C1− ∪ C2− se anula. El arco que une
C0 con C1 se recorre primero en un sentido y luego en el otro y no contribuye a la integral, y
lo mismo vale para el arco que une C0 con C2 . La integral sobre C0 es igual a la integral sobre
C1 ∪ C2 .
Demostraci´
on: Basta verlo para n = 2:
C0
f (z) dz −
C1
f (z) dz −
f (z) dz =
C2
f (z) dz +
C0
C1−
f (z) dz +
C2−
f (z) dz = 0 . (5.21)
Por el teorema de la integral de Cauchy, ya que la integral sobre C0 ∪ C1− ∪ C2− se puede asimilar
a la integral sobre un camino cerrado. (V´ease la fig. 11.) ♦
Ejemplo. Si f (z) es anal´ıtica fuera del conjunto cerrado E (v´ease la fig. 12) las integrales
sobre C1 y C2 son iguales. Se puede ver notando que ambas coinciden con la integral sobre C.
⌢
Alternativamente, se ve notando que las integrales sobre los arcos za zb de la curvas C1 y C2 son
⌢
iguales, y lo mismo para los arcos zb za .
Ejemplo. Sea C una curva suave a trozos, cerrada, simple y orientada positivamente que
1
no pasa por z = 0. Calc´
ulese
dz .
C z
Distinguimos dos casos:
47
C1
G
zb
za
E
C2
C
Figura 12: Igualdad de integrales sobre curvas cerradas: La integral sobre C1 , C2 y C son iguales
si f (z) es anal´ıtica en G − E.
a) Que C no encierre z = 0 (es decir, que z = 0 no sea del interior de C). En este caso
C
ya que f (z) =
1
dz = 0
z
(5.22)
1
es anal´ıtica en el interior de C y continua (de hecho anal´ıtica) sobre C.
z
b) Que C encierre el punto z = 0. Entonces existir´a una circunferencia γR con centro 0 y
radio R contenida en el interior de C. La funci´on 1/z es anal´ıtica entre las dos curvas C
y γR y sobre ellas, por tanto
1
1
dz =
dz .
(5.23)
C z
γR z
Para z ∈ γR , z = R(cos θ + i sen θ), dz = R(− sen θ + i cos θ) dθ = iz dθ.25
C
1
dz =
z
2π
i dθ = 2πi .
(5.24)
0
M´as generalmente (z0 ∈ C)
C
25
1
dz =
z − z0
0 si C no encierra z0
♦
2πi si C encierra z0 y est´a orientada positivamente.
(5.25)
O tambi´en d(Reiθ ) = iReiθ dθ = iz dθ cuando se defina ez y se demuestre la propiedad (ez )′ = ez en la Sec.
8.3.
48
1
Ejemplo. Calc´
ulese la integral de f (z) = a lo largo del segmento recto que empieza en
z
z = 1 y acaba en z = i.
i
C2
C1
1
0
1
Figura 13: Caminos de integraci´on equivalentes para f (z) = .
z
f (z) es anal´ıtica en todo z excepto z = 0. Sea C1 el camino indicado, y sea C2 = {eiθ , 0 ≤
θ ≤ π/2}, que une los mismos puntos. (V´ease la fig. 13.) Puesto que γ = C1 ∪ C2− es cerrado
y no encierra a z = 0 la integral sobre γ se anula. Es decir, la integral sobre C1 es igual a la
integral sobre C2 . Este es un arco de circunferencia de ´angulo π/2 y radio 1,
C1
5.4.
1
dz =
z
C2
1
dz =
z
π/2
i dθ =
0
iπ
.♦
2
(5.26)
Integrales complejas indefinidas
Definici´
on. Sea f (z) una funci´on definida en un dominio G. Toda funci´on (univaluada)
F (z) tal que F ′ (z) = f (z) es una primitiva de f (z) en G. (N´otese que una primitiva siempre
es anal´ıtica.)
Teorema. Sea f (z) anal´ıtica en un dominio simplemente conexo G, entonces la integral
z
F (z) =
f (ζ) dζ
z0
49
(5.27)
a lo largo de cualquier curva suave a trozos contenida en G, con punto inicial z0 (fijo) y final z
(variable), define una primitiva de f (z) en G, es decir, una funci´on univaluada y anal´ıtica en
G con derivada F ′ (z) = f (z).
Demostraci´
on:
a) Veamos que F (z) no depende del camino y por tanto es univaluada: Si C1 y C2 son dos
curvas que empiezan en z0 y acaban en z, C1 ∪ C2− forma un camino cerrado. Como G
es simplemente conexo, el interior I de C1 ∪ C2− est´a contenido en G y por tanto f (z) es
anal´ıtica en I. En ese caso
C1 ∪C2−
f (ζ) dζ = 0
f (ζ) dζ ,
f (ζ) dζ =
y
(5.28)
C2
C1
y F (z) no depende del camino.
b) Veamos que F ′ (z) = f (z): Sea z un punto cualquiera de G y sea z + h un punto de un
entorno de z contenido en G
z+h
F (z + h) − F (z) =
z0
z
f (ζ) dζ −
z+h
f (ζ) dζ =
z0
z, z + h ∈ G . (5.29)
f (ζ) dζ ,
z
La integral la tomamos sobre el segmento recto que va de z a z + h.
F (z + h) − F (z)
1
− f (z) =
h
h
z+h
z
f (ζ) − f (z) dζ .
(5.30)
Dado que f (z) es continua |f (ζ) − f (z)| < ǫ ∀ǫ > 0 tomando h suficientemente peque˜
no.
F (z + h) − F (z)
1
− f (z) =
h
|h|
z+h
z
f (ζ) − f (z) dζ <
1
ǫ|h| = ǫ .
|h|
(5.31)
Se deduce que
F (z + h) − F (z)
= f (z)
h→0
h
F ′ (z) = l´ım
(5.32)
y F (z) es anal´ıtica en G. ♦
Teorema. Si Φ(z) es una primitiva de la funci´on anal´ıtica f (z) en un dominio simplemente
conexo G, entonces
z
Φ(z) =
f (ζ) dζ + C
z0
50
z∈G
(5.33)
donde z0 es un punto fijo arbitrario de G y C una constante compleja (constante respecto de z
aunque depender´a de z0 ).
Demostraci´
on: Definimos
z
C(z) = Φ(z) −
f (ζ) dζ .
(5.34)
z0
Se trata de probar que C(z) es constante. Usando que la integral indefinida en un dominio
simplemente conexo es una primitiva se sigue
d
C (z) = Φ (z) −
dz
′
z
′
z0
f (ζ) dζ = f (z) − f (z) = 0 .
(5.35)
Sea C(z) = u(x, y) + iv(x, y), por las ecuaciones de Cauchy-Riemann
0 = C ′ (z) = ux + ivx = vy − iuy
(5.36)
implica ux = vx = vy = uy = 0 y u, v, C son constantes en G. ♦
Se deduce que si Φ(z) es una primitiva de la funci´on anal´ıtica f (z) en un dominio simplemente conexo G
z1
∀z1 , z2 ∈ G
Φ(z1 ) − Φ(z2 ) =
f (ζ) dζ .
(5.37)
z2
Lo que se ha visto es que en un dominio simplemente conexo una primitiva es una integral
indefinida y viceversa.
5.5.
F´
ormula integral de Cauchy
Teorema. (F´ormula integral de Cauchy.) Sea C una curva cerrada, simple y suave a trozos,
y orientada positivamente, y sea f (z) anal´ıtica sobre C y en su interior, I.26 Entonces,
∀z0 ∈ I ,
f (z0 ) =
26
1
2πi
C
f (z)
dz .
z − z0
(5.38)
Equivalentemente, C una curva suave a trozos, cerrada y simple, y orientada positivamente, f (z) es anal´ıtica
en un dominio G que contiene a C y a su interior, I.
51
Demostraci´
on: Teniendo en cuenta que
C
a
∀z0 ∈ I ,
C
1
dz = 2πi, la f´ormula a probar equivale
z − z0
f (z) − f (z0 )
dz = 0 .
z − z0
(5.39)
Dado que f (z) es anal´ıtica, el integrando tambi´en es una funci´on anal´ıtica en I − {z0 }. Por ello
C
f (z) − f (z0 )
dz =
z − z0
γR
f (z) − f (z0 )
dz ,
z − z0
(5.40)
siendo γR una circunferencia de radio R y centro z0 contenida en I. Como f (z) es continua
|f (z) − f (z0 )| < ǫ ∀ǫ > 0 eligiendo R suficientemente peque˜
no. Entonces,
γR
ǫ
f (z) − f (z0 )
dz < 2πR = 2πǫ → 0 ,
z − z0
R
(5.41)
lo cual demuestra el teorema. ♦
La f´ormula integral de Cauchy demuestra que el valor de una funci´on anal´ıtica en el interior
de una curva cerrada est´a determinado por el valor de la funci´on sobre la curva. Este resultado es
muy notable. (La afirmaci´on an´aloga no es cierta por ejemplo para funciones reales diferenciables
en R2 .)
Ejemplo. La funci´on f : R2 → R


exp
f (x, y) =

x2
1
+ y2 − 1
0,
, x2 + y 2 < 1
(5.42)
x2 + y 2 ≥ 1
es diferenciable en todo R2 , estrictamente positiva en el disco abierto x2 +y 2 < 1 e id´enticamente
0 fuera de ´el. Luego fuera del disco x2 + y 2 < 1 la funci´on es indistinguible de la funci´on 0. ♦
Por ser f (z) = u(x, y)+iv(x, y) anal´ıtica, u, v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
El teorema dice que las condiciones de contorno consistentes en especificar u, v sobre C, son
suficientes para resolver las ecuaciones en el interior de C, y (5.38) proporciona la soluci´on en
forma expl´ıcita. En realidad, como se ver´a en el cap´ıtulo 10, no hace falta conocer la funci´on
sobre toda la curva, sino que basta especificarla en un arco (abierto) de la curva, por peque˜
no
que sea, para que la funci´on quede completamente determinada.
52
5.6.
Derivabilidad infinita de funciones anal´ıticas
Teorema. En las mismas condiciones del teorema de la f´ormula integral de Cauchy, f (z)
admite infinitas derivadas en I (el interior de la curva C), que vienen dadas por
f (n) (z0 ) =
n!
2πi
C
f (z)
dz ,
(z − z0 )n+1
z0 ∈ I ,
n = 0, 1, 2, . . .
(5.43)
Demostraci´
on: La f´ormula se demuestra por inducci´on notando que para n = 0 se recupera
la f´ormula integral de Cauchy. (No presentamos aqu´ı la demostraci´on detallada. Cons´
ultese por
ejemplo el libro de Silverman.) Intuitivamente el resultado se obtiene con facilidad a partir de
d
conmuta con .27 En efecto,
la f´ormula integral de Cauchy si
dz0
C
dn f (z0 )
dn 1
f (z)
dz
=
n
n
dz0
dz0 2πi C z − z0
1
n!
dn f (z)
f (z)
dz . ♦
=
dz =
n
2πi C dz0 z − z0
2πi C (z − z0 )n+1
f (n) (z0 ) =
(5.44)
Nota: Se ha obtenido el resultado notable de que si f (z) es derivable en un abierto G
autom´aticamente tiene infinitas derivadas continuas en G, cosa que no ocurre para funciones
reales. (Por ejemplo, f (x) definida como x2 para x > 0 y 0 para x ≤ 0 es derivable en todo R
pero su derivada no lo es.) Si una funci´on es anal´ıtica en G su derivada tambi´en es anal´ıtica (y
por tanto tambi´en todas sus derivadas sucesivas).
Teorema. (Teorema de Morera.) Sea f (z) continua en un dominio G y sea
f (z) dz = 0
C
para toda curva C cerrada y suave a trozos, contenida en G. Entonces f (z) es anal´ıtica en G.
Demostraci´
on: La integral indefinida
z
F (z) =
f (ζ) dζ ,
z0
z, z0 ∈ G
(5.45)
(integrando sobre un arco en G que una z0 con z) define una funci´on univaluada ya que si C1 ,
C2 son dos arcos con punto inicial z0 y final z, la curva C1 ∪ C2− es cerrada y la integral sobre
27
Esto se cumple ya que C es un conjunto compacto y f (z) es uniformemente continua en C y de hecho
f (z)
es infinitamente diferenciable con respecto a z0 para z ∈ C, z0 ∈ C.
z − z0
53
ella se anula por hip´otesis. Usando que f (z) es continua (y siguiendo la demostraci´on usada en
el teorema de la p´agina 49) se prueba que F (z) es derivable con F ′ (z) = f (z). De aqu´ı se sigue
que F (z) y f (z) son anal´ıticas. ♦
5.7.
´Indice de un camino cerrado
Definici´
on. Sea z0 ∈ C y C una curva suave a trozos cerrada que no pase por z0 . Se define
el ´ındice de C respecto de z0 mediante la f´ormula
n(C, z0 ) =
1
2πi
C
1
dz .
z − z0
_1
1
1
2
(5.46)
0
1
Figura 14: Descomposici´on de C en dominios seg´
un el ´ındice respecto de una curva cerrada.
Ejemplo. Sea C la curva param´etrica z(t) = e−it , 0 ≤ t ≤ 4π (es decir, la circunferencia
de radio 1 recorrida dos veces en sentido negativo). Y sea z0 = 0.
n(C, 0) =
1
2πi
C
1
1 dz
dt =
z dt
2πi
4π
0
1
e−it
(−i)e−it dt = −2 . ♦
(5.47)
Propiedades. El ´ındice es un n´
umero entero que cuenta el n´
umero de veces que C rodea z0
en sentido positivo. Por tanto, es invariante si se mueve z0 sin cruzar C o bajo una deformaci´on
continua de la curva C que no pase por z0 . Adem´as el ´ındice cambia de signo si se cambia la
orientaci´on de C.
54
Ejemplo. Para la curva de la figura 14, indicamos los dominios de C con los distintos
valores del ´ındice asociado. Para obtener este resultado basta descomponer la curva en curvas
simples. Alternativamente, para obtener n(C, z0 ) basta contar cu´antas veces (con su signo) hay
que cruzar C para llevar z0 al punto del infinito.
Proposici´
on. Si f (z) es anal´ıtica en un dominio simplemente conexo G, z0 ∈ G y C es una
curva cerrada suave a trozos contenida en G y que no pasa por z0 , entonces
n(C, z0 )f (z0 ) =
1
2πi
C
f (z)
dz .
z − z0
(5.48)
Demostraci´
on: Basta descomponer C en curvas simples y aplicar la f´ormula integral de
Cauchy a cada una.
5.8.
Complementos
Teorema. Si f (z) es anal´ıtica en un dominio G excepto en un conjunto de puntos aislados
z1 , z2 , . . . ∈ G donde se sabe s´olo que es continua, entonces es anal´ıtica en todo G.
Demostraci´
on: Dado que los puntos son aislados basta demostrarlo para el caso de un
u
´nico punto z1 y G simplemente conexo. La proposici´on se sigue del teorema de Morera una
vez que se verifique que la integral de f (z) sobre cualquier curva cerrada y suave a trozos C,
contenida en G, es cero. Si la curva no tiene a z1 en su interior la integral se anula por el
teorema (generalizado) de la integral de Cauchy. Si z1 est´a en el interior de C, la integral no
cambia si se reemplaza C por una circunferencia γǫ de radio ǫ > 0 centrada en z1 contenida en
el interior de C. Esta integral tiende a 0 cuando ǫ → 0+ por ser f (z) continua en z = z1 . ♦
55
6.
Series complejas
6.1.
Convergencia y divergencia de series
Definici´
on. Una serie compleja es una suma infinita de n´
umeros complejos
∞
n=1
zn = z1 + z2 + z3 + · · · + zn + · · · ,
(6.1)
donde zn es el t´
ermino n-´
esimo. La suma finita
sn = z 1 + z 2 + z 3 + · · · + z n
(6.2)
se llama n-´esima suma parcial de la serie. ♦
Nota: Es importante enfatizar que cada serie est´a asociada un´ıvocamente a la sucesi´on {zn }
formada por sus t´erminos. Dos sucesiones distintas (por ejemplo, reordenadas28 una respecto
de otra) definen series distintas. Por otro lado, la informaci´on contenida en {zn } (sucesi´on de
los t´erminos) y en {sn } (sucesi´on de sumas parciales) es la misma ya que una sucesi´on se puede
reconstruir a partir de la otra.
Definici´
on. Una serie ∞
ımn→∞ sn existe y es finito. Este l´ımite
n=1 zn es convergente, sii l´
es la suma de la serie. En otro caso la serie es divergente. Si l´ımn→∞ sn = ∞ la serie es
propiamente divergente, y si l´ımn→∞ sn no existe la serie es oscilante.
Teorema. Una serie compleja
∞
n=1 Im (zn ) son convergentes.
∞
n=1 zn
es convergente sii las series reales
∞
n=1
Re (zn ) y
En consecuencia se pueden aplicar los criterios conocidos para el caso real. En particular,
se deduce
Teorema. Una condici´on necesaria de convergencia es que l´ımn→∞ zn = 0.
Al igual que en el caso real esta condici´on no es suficiente, por ejemplo
∞
n=1
28
1
= ∞.
n
La reordenaci´
on puede consistir en aplicar permutaciones arbitrarias de t´erminos (aplicaci´
on formal de la
propiedad conmutativa) o permutaciones arbitrarias de par´entesis (aplicaci´
on formal de la propiedad asociativa).
56
6.2.
Convergencia absoluta
Definici´
on. La serie
te.
∞
n=1 zn
es absolutamente convergente sii
∞
n=1
|zn | es convergen-
Esta condici´on es m´as exigente que la convergencia, de hecho:
Teorema. Si una serie es absolutamente convergente entonces es convergente.
Demostraci´
on: Se demuestra como en el caso real.
Definici´
on. Una serie convergente que no es absolutamente convergente es condicionalmente convergente
1 1 1
Ejemplo. La serie 1 − + − + · · · es condicionalmente convergente, ya que converge
2 3 4
1 1 1
1
1
1
a log(2) pero 1 + + + + · · · diverge. La serie 1 − 2 + 2 − 2 + · · · es absolutamente
2 3 4
2
3
4
convergente.
Teorema. Si
∞
n=1 zn
∞
′
n=1 zn
=s y
∞
= s′ y son dos series convergentes,
(αzn + α′ zn′ ) = αs + α′ s′ .
(6.3)
n=1
Demostraci´
on: Se demuestra como en el caso real.
El producto de series requiere en general convergencia absoluta:
Definici´
on. Dadas dos series
de Cauchy como la serie
∞
n=1 zn
y
∞
′
n=1 zn ,
se define su producto en el sentido
′
+ · · · + zn z1′ ) + · · ·
z1 z1′ + (z1 z2′ + z2 z1′ ) + · · · + (z1 zn′ + z2 zn−1
= z1′′ + z2′′ + · · · + zn′′ + · · ·
Es decir, la serie con t´ermino general zn′′ =
n
k=1 zk
(6.4)
zn−k+1 . ♦
∞
′
′
Teorema. Si ∞
n=1 zn y
n=1 zn son absolutamente convergentes con sumas s y s , res∞
′′
pectivamente, la serie producto en el sentido de Cauchy, n=1 zn , es a su vez absolutamente
∞
′
convergente, con suma ss′ . Si cualquiera de las series ∞
n=1 zn y
n=1 zn es condicionalmente
∞
convergente n=1 zn′′ puede ser divergente, pero si converge lo hace a ss′ .
57
∞
Nota: Si
on
n=1 zn es absolutamente convergente su valor no cambia bajo reordenaci´
arbitraria de la serie. La afirmaci´on no es cierta para una serie condicionalmente convergente.
De hecho, reordenando una serie real condicionalmente convergente se puede obtener cualquier
valor prefijado, incluido infinito.
6.3.
Convergencia uniforme
Definici´
on. Una serie de funciones es una serie cuyos t´erminos son funciones, fn (z),
definidas en un mismo dominio (de definici´on) E,
∞
n=1
fn (z) = f1 (z) + f2 (z) + · · · + fn (z) + · · · .
(6.5)
Si la serie obtenida para cada valor de z ∈ E es convergente, la serie define una funci´on s(z)
que es su suma en E,
s(z) =
∞
fn (z) ,
n=1
∀z ∈ E .
(6.6)
A la convergencia en cada punto se le denomina convergencia puntual de la serie de funciones.
♦
Obviamente s(z) es univaluada ya que las fn (z) lo son. En general s(z) no ser´a continua en
E aunque la funciones fn (z) lo sean.
Ejemplo.
z + (z 2 − z) + (z 3 − z 2 ) + · · · =
0 si |z| < 1
.
1 si z = 1
(6.7)
Las sumas parciales son sn (z) = z n . La suma de esta serie de funciones no es continua en el
intervalo real E = {0 ≤ z ≤ 1}, aunque fn (z) = z n − z n−1 es continua en E y la serie de
funciones es convergente en E. ♦
La continuidad de
fuerte:
∞
n=1
fn (z) = s(z) queda garantizada si se cumple una condici´on m´as
∞
Definici´
on. Sea
n=1 fn (z) = s(z) una serie de funciones convergente en E. La serie
se dice que es uniformemente convergente sii ∀ǫ > 0 ∃ν(ǫ) tal que ∀n > ν y ∀z ∈ E
|sn (z) − s(z)| < ǫ. (sn (z) es la n-´esima suma parcial.)
58
Nota: La diferencia con la convergencia puntual es que en ´esta ν(ǫ, z0 ) puede depender del
punto z0 y en la convergencia uniforme ν(ǫ) tiene que ser com´
un para todos los puntos de E.
Convergencia uniforme implica convergencia puntual.
n
n−1
Ejemplo. z + ∞
) no es uniformemente convergente en {|z| < 1} ya que
n=2 (z − z
n
|sn (z) − s(z)| = |z | < ǫ no est´a garantizado simplemente tomando n suficientemente grande.
Esto se debe a que l´ımz→1 |z|n = 1 y valores de z cada vez m´as pr´oximos a |z| = 1 requieren
n cada vez mayores. (Para cada n y ǫ no hay dificultad en elegir z, |z| < 1, suficientemente
pr´oximo a |z| = 1 de modo que |z n | ≥ ǫ.) En cambio esta serie de funciones s´ı es uniformemente
convergente en la regi´on {|z| ≤ R} para cualquier R, 0 < R < 1, ya que |z|n ≤ Rn → 0.
n→∞
Teorema. Si ∞
n=1 fn (z) converge uniformemente en un conjunto E y ∀n fn (z) es una
funci´on continua en E, entonces su suma s(z) es tambi´en una funci´on continua en E.
Demostraci´
on: Por ser ∞
n=1 fn (z) uniformemente convergente, para cualquier ǫ > 0 hay
un ν(ǫ) tal que
|s(z0 ) − sn (z0 )| < ǫ y |s(z) − sn (z)| < ǫ , ∀n > ν
(6.8)
siendo z, z0 ∈ E cualesquiera. Adem´as, por ser sn (z) continua en E, existe un δ(ǫ, n, z0 ) > 0
tal que
|sn (z) − sn (z0 )| < ǫ siempre que |z − z0 | < δ .
(6.9)
Por la desigualdad triangular se deduce que |s(z) − s(z0 )| < 3ǫ siempre que |z − z0 | < δ y en
consecuencia s(z) es continua en z0 . ♦
De la misma demostraci´on se deduce que si las fn (z) son uniformemente continuas en E, la
suma tambi´en.
∞
Teorema. Si
n=0 an converge, y |fn (z)| ≤ an ∀n y ∀z ∈ E, entonces
uniforme y absolutamente convergente en E.
∞
n=1
fn (z) es
Demostraci´
on: La convergencia absoluta es evidente ya que la serie de funciones est´a acotada t´ermino a t´ermino por una serie absolutamente convergente. Por otro lado, que ∞
n=0 an
a
<
ǫ.
Entonces
converja implica que ∀ǫ > 0 ∃ν(ǫ) tal que ∞
n>ν n
|s(z) − sν (z)| =
∞
n>ν
fn (z) ≤
∞
n>ν
|fn (z)| ≤
∞
an < ǫ .
n>ν
Puesto que ν(ǫ) es com´
un a todos los puntos de E la convergencia es uniforme. ♦
59
(6.10)
Teorema. (Integraci´on de series.) Sea C una curva suave a trozos, ∞
n=1 fn (z) una serie
uniformemente convergente sobre C y fn (z) continua sobre C ∀n. Entonces,
∞
C
fn (z) dz =
n=1
∞
fn (z) dz .
n=1
(6.11)
C
Demostraci´
on: La convergencia uniforme implica que ∀n > ν(ǫ) |s(z)−sn (z)| < ǫ, entonces
| C (s(z) − sn (z)) dz| < ℓǫ → 0 (siendo ℓ la longitud de C). Se deduce
n→∞
n
s(z) dz = l´ım
n→∞
C
sn (z) dz = l´ım
n→∞
C
∞
fk (z) dz =
k=1
C
n=1
C
fn (z) dz . ♦
(6.12)
Teorema. (Teorema de Weierstrass.) Si ∞
ıticas en
n=1 fn (z) es una serie de funciones anal´
un dominio G y uniformemente convergente en todo subconjunto compacto (cerrado y acotado)
de G, entonces
a)
∞
fn (z) = s(z) es anal´ıtica en G .
n=1
dk s(z)
=
b)
dz k
∞
n=1
dk fn (z)
en G, k = 1, 2, . . .
dz k
Adem´as la convergencia para las derivadas es uniforme en todo subconjunto compacto de G.
Demostraci´
on: s(z) es continua por ser suma uniformemente convergente de funciones
continuas. En consecuencia la siguiente integral existe:
∀z0 ∈ G
1
2πi
γR
s(z)
dz =
z − z0
∞
n=1
1
2πi
γR
fn (z)
dz =
z − z0
∞
fn (z0 ) = s(z0 ) .
(6.13)
n=1
(Siendo γR una circunferencia contenida en G y que encierre a z0 .) En la primera igualdad
se ha podido conmutar la integral y el sumatorio por la convergencia uniforme.29 La segunda
29
∞
Tambi´en se ha usado que si n=1 fn (z) converge uniformemente en E y g(z) est´
a acotada en E la serie de
∞
funciones n=1 g(z)fn (z) tambi´en converge uniformemente.
60
igualdad usa la f´ormula integral de Cauchy. Esto directamente implica que s(z) es anal´ıtica en
z0 , ya que la dependencia en z0 es anal´ıtica en la integral de la izquierda. Por otro lado
s(k) (z0 ) =
k!
2πi
γR
s(z)
dz =
(z − z0 )k+1
∞
n=1
k!
2πi
γR
Se demuestra30 que esta convergencia es uniforme. ♦
30
No se hace aqu´ı. V´ease, por ejemplo el libro de Silverman
61
fn (z)
dz =
(z − z0 )k+1
∞
n=1
fn(k) (z0 ) .
(6.14)
7.
Series de potencias
7.1.
Teor´ıa b´
asica
Definici´
on. Una serie de funciones de la forma
∞
n=0
centrada en z = a.31
cn (z − a)n es una serie de potencias
Estas series son de gran importancia en an´alisis complejo. A menudo se tomar´a a = 0 ya
que todos los resultados se pueden generalizar f´acilmente al caso a = 0.
Definici´
on. La regi´
on de convergencia de la serie de potencias es el conjunto de valores
z para los que converge. (Como se ver´a, generalmente la regi´on de convergencia es en efecto
una regi´on.)
En algunos casos la regi´on es s´olo z = 0, por ejemplo
n
complejo, por ejemplo ∞
n=1 (z/n) .
∞
n
n=1 (nz) ,
y en otros es todo el plano
n
Lema. Si ∞
n=0 cn z converge en z1 = 0, entonces es absolutamente convergente ∀z tal que
|z| < |z1 |. Si diverge en z2 diverge ∀z tal que |z| > |z2 |.
Demostraci´
on: Si
∞
cn z1n es convergente entonces l´ımn→∞ cn z1n = 0 y se deduce
n=0
∃K > 0 tal que ∀n |cn z1n | < K .
Entonces, si |z| < |z1 |
∞
n=0
|cn z n | =
∞
n=0
cn z1n
∞
zn
z
<K
n
z1
z1
n=0
n
=
K
.
1 − |z/z1 |
(7.1)
(7.2)
En el u
´ltimo paso se ha usado que |z/z1 | < 1 y en este caso la serie geom´etrica es convergente.
La segunda parte del lema es consecuencia inmediata de la primera. ♦
Teorema. (Radio de convergencia.) Si la regi´on de convergencia de una serie de potencias
n
no es {z = 0} o C, existe un R > 0 (finito) tal que ∞
n=0 cn z converge absolutamente si |z| < R
y diverge si |z| > R.
31
Se entiende c0 +
∞
n=1 cn (z
− a)n , de modo que en z = a queda c0 . Es decir, z 0 = 1 ∀z incluido z = 0.
62
˜ la regi´on de convergencia. Por hip´otesis, {0} G
˜ C, es decir, hay
Demostraci´
on: Sea G
˜ y puntos z2 en C − G.
˜ Del lema se sigue que 0 < |z1 | ≤ |z2 | < ∞. R es el
puntos z1 = 0 en G
supremo de los |z1 | y el ´ınfimo de los |z2 | y 0 < R < ∞. Tambi´en por el lema, la convergencia
en |z| < R es absoluta.
˜ = {0} la regi´on de convergencia es en efecto una
Definici´
on. Se deduce que cuando G
regi´on, ya que es C o el disco abierto de radio R junto con parte de su frontera (a saber, los
posibles puntos de convergencia con |z| = R). A R se le denomina radio de convergencia,
0 ≤ R ≤ ∞ (0 o ∞ si la regi´on de convergencia es {0} o C, respectivamente).
n
Teorema. Si ∞
n=0 cn z tiene radio de convergencia R no nulo, la convergencia es uniforme
¯ r = {|z| ≤ r}, r < R. (N´otese que la convergencia uniforme es
en cualquiera de los conjuntos D
¯ r .)
relativa a un conjunto, en este caso D
n
Demostraci´
on: Para |z| ≤ r < R, |cn z n | ≤ |cn |rn y la serie ∞
n=0 cn r es convergente por
∞
n
¯ r.
r < R. Por el teorema en la p´agina 59, n=0 cn z converge uniformemente en D
Corolario: La serie converge uniformemente en todo subconjunto compacto (cerrado y
acotado) de {|z| < R}.
¯ r.
Demostraci´
on: En efecto ya que el subconjunto est´a contenido en un disco D
Teorema. Dada una serie con radio de convergencia R > 0, su suma s(z) =
anal´ıtica en |z| < R, adem´as
′
s (z) =
∞
ncn z n−1 ,
∞
n
n=0 cn z
es
(7.3)
n=1
y esta serie tiene el mismo radio de convergencia.
Demostraci´
on: En efecto, aplicando el teorema de Weierstrass al dominio G = {|z| < R},
se sigue que la suma s(z) es anal´ıtica en G y que la derivada conmuta con la suma infinita.
Dado que la serie de las derivadas converge en G se deduce que R′ ≥ R (siendo R y R′ los dos
radios de convergencia). Por otro lado
|ncn z n−1 | ≥
1
|cn z n |,
|z|
(n ≥ 1)
(7.4)
implica que cuando la serie de las derivadas converge la original tambi´en, R′ ≤ R. De aqu´ı se
sigue R′ = R. ♦
63
7.2.
Determinaci´
on del radio de convergencia
Los criterios de convergencia de series reales se pueden aplicar para determinar el radio de
convergencia.
∞
an
Ejemplo. Seg´
un el criterio del cociente, si existe el l´ımite l´ım
= α, la serie
an
n→∞ an−1
n=0
converge absolutamente si α < 1 y diverge si α > 1. Para la serie an = cn z n , hay convergencia
cn
sea menor o mayor que 1, respectivaabsoluta o divergencia siempre que α = |z| l´ım
n→∞ cn−1
mente. Es decir,
1
cn
= l´ım
(7.5)
R n→∞ cn−1
si el l´ımite existe. ♦
Ejemplo. Para
∞
n=0
z n /n!, cn /cn−1 = 1/n → 0, y R = ∞.
n→∞
Un criterio especialmente u
´til en este contexto es el criterio de Cauchy de convergencia de
una serie: Sea l´ım |an |
n→∞
1/n
= α, la serie
∞
an converge absolutamente si α < 1 y diverge si
n=0
n
α > 1. Aplicando este criterio a an = cn z , se deduce que cuando existe l´ım |cn |1/n = l el radio
n→∞
de la serie viene dado por R = 1/l.
Definici´
on. Sea a1 , a2 , . . . , an , . . . una sucesi´on de n´
umeros reales no negativos. Se define el
l´ımite superior de {an }, que se denota l´ım an , como el mayor de los puntos l´ımite de {an },
n→∞
o bien +∞ si la sucesi´on es no acotada. El l´ımite superior coincide con el l´ımite usual cuando
este u
´ltimo existe. El l´ımite superior siempre existe y es no negativo.
Teorema. (Criterio de Cauchy-Hadamard.) Sea la serie de potencias
l = l´ım |cn |1/n ,
n→∞
1
entonces el radio de convergencia es R = , con 0 ≤ l ≤ +∞.
l
Demostraci´
on:
64
∞
n
n=0 cn z ,
y sea
(7.6)
a) Caso l = +∞. Entonces {|cn |1/n } es no acotada. Esto implica:
∀K > 0
|cn |1/n > K
para infinitos valores de n .
(7.7)
1
y se deduce |cn z n | > 1 para
|z|
infinitos valores de n. Por tanto la serie no converge si z = 0 y se sigue que R = 0.
En particular, para cualquier z = 0 se puede tomar K =
b) Caso l = 0. Entonces {|cn |1/n } es acotada y no negativa y al ser l = 0 el mayor punto
l´ımite debe ser tambi´en el l´ımite, l´ımn→∞ |cn |1/n = 0. Es decir,
∀ǫ > 0 ∃ν(ǫ) tal que ∀n > ν
|cn |1/n < ǫ .
(7.8)
1
1
y se sigue que |cn z n | < n
2|z|
2
∀n > ν. Por tanto la regi´on de convergencia es C y R = ∞.
En este caso, para cualquier z = 0, se puede tomar ǫ =
c) Caso l finito y no nulo. Entonces,
∀ǫ > 0 ∃ν(ǫ) tal que ∀n > ν
|cn |1/n < l + ǫ .32
(7.9)
1
En este caso, sea z1 cualquiera tal que |z1 | < . Tomando
l
ǫ=
1 − l|z1 |
> 0,
2|z1 |
|cn |1/n <
1 + l|z1 |
,
2|z1 |
|cn z1n | <
1 + l|z1 |
2
n
= rn ,
(7.10)
y la serie converge en z1 por r < 1. An´alogamente, por ser l un punto l´ımite
∀ǫ > 0 |cn |1/n > l − ǫ para infinitos valores de n.
(7.11)
1
En este caso, sea z2 cualquiera tal que |z2 | > . Tomando
l
ǫ=
l|z2 | − 1
> 0,
|z2 |
|cn |1/n >
1
,
|z2 |
|cn z2n | > 1 ,
(7.12)
1
y la serie diverge en z2 . En consecuencia R = . ♦
l
32
En otro caso, habr´ıa infinitos t´erminos por encima de l + a para cierto a > 0 y al estar la serie acotada (por
l finito) habr´ıa otro punto l´ımite mayor que l.
65
Ejemplo.
a) 1 + z + z 4 + z 9 + · · · . Los puntos l´ımite de {|cn |1/n } son 0 y 1. l = 1 y R = 1 .
b) 1 +
∞
n=1
c)
∞
n=0
d)
∞
n=0
zn
, s ≥ 0 . l = l´ım n−s/n = l´ım e−s log n/n = e0 = 1 = R .
n→∞
n→∞
ns
n!z n . l = ∞, R = 0 ya que n! > rn ∀r > 0 y ∀n > ν(r).
zn
. l = 0, R = ∞. ♦
n!
La convergencia de una serie de potencias para |z| = R depende del caso.
Ejemplo. Para la serie 1 +
∞
n=1
zn
:
ns
a) 1 + z + z 2 + z 3 + · · · (s = 0), diverge ∀z, |z| = 1.
1
1
b) 1 + z + z 2 + z 3 + · · · (s = 1), converge ∀z = 1, |z| = 1.
2
3
c) 1 + z +
1 2
1
z + 2 z 3 + · · · (s = 2), converge ∀z, |z| = 1. ♦
2
2
3
66
8.
Exponencial y funciones relacionadas
8.1.
Exponencial, coseno y seno
Definici´
on. Una funci´on compleja f (z) es entera si es anal´ıtica en todo el plano complejo
finito.
Ejemplo. Un polinomio en z, P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n , es una funci´on entera.
∞
1 n
z converge ∀z ∈ C y por tanto es entera. Para z = x ∈ R
n!
n=0
coincide con ex , por ello definimos:
Como vimos la funci´on
Definici´
on.
a) ez :=
∞
n=0
z2 z3
1 n
z =1+z+
+
+ ··· .
n!
2!
3!
b) cos(z) := 1 −
z 2k
z2 z4
+
+ · · · + (−1)k
+ ··· .
2!
4!
(2k)!
c) sen(z) := z −
z3 z5
z 2k+1
+
+ · · · + (−1)k
+ ··· .
3!
5!
(2k + 1)!
cos(z) y sen(z) coinciden con cos(x) y sen(x) cuando z = x ∈ R y tambi´en son funciones
enteras. ez tambi´en se denota exp(z). ♦
Proposici´
on. La f´ormula
ez1 ez2 = ez1 +z2
∀z1 , z2 ∈ C
v´alida para z1 , z2 reales tambi´en es v´alida en el caso complejo.
67
(8.1)
Demostraci´
on: En efecto,
e z1 e z2 =
∞
n=0
∞
∞
1 m
1 n
z1
z =
n! m=0 m! 2
1
=
N!
N =0
N
n=0
N
n
∞
∞
1
(n + m)!
n=0 m=0
z1n z2N −n
=
n+m n m
z1 z2
n
∞
1
(z1 + z2 )N = ez1 +z2 ,
N!
N =0
(8.2)
donde se ha utilizado la convergencia absoluta de las series para reordenar las series. ♦
Propiedades:
a) Dado que e0 = 1, se deduce e−z = (ez )−1 y
e z1
= ez1 −z2 .
e z2
b) La convergencia absoluta de la serie en C permite reordenar las series:
(iz)2 (iz)3
z2 z4
+
+ ··· = 1 −
+
+ ···
2!
3!
2!
4!
= cos z + i sen z
(F´
ormula de Euler)
eiz = 1 + iz +
+i z−
z3 z5
+
+ ···
3!
5!
(8.3)
c) Adem´as, como se obtiene directamente de sus series,
sen(−z) = − sen(z).
cos(−z) = cos(z),
Se deduce e−iz = cos z − i sen z, y por tanto
cos z =
1 iz
e + e−iz ,
2
sen z =
1 iz
e − e−iz .
2i
(8.4)
(8.5)
d) ez es peri´odica con periodo 2πi, es decir,
ez = ez+2πi .
∀z ∈ C
(8.6)
En efecto, ez+2πi = ez e2πi = ez (cos(2π) + i sen(2π)) = ez . Iterando la f´ormula se obtiene
∀z ∈ C ∀n ∈ Z
ez = ez+2πin .
(8.7)
e) Como sabemos, ∀z ∈ C hay una forma polar: z = r(cos θ + i sen θ), donde r ≥ 0, 0 ≤
θ < 2π. Se deduce z = reiθ , que es la forma exponencial de z. Tambi´en se obtiene la
relaci´on
ez = ex+iy = ex eiy = ex (cos y + i sen y) ,
(8.8)
que proporciona una definici´on alternativa de exp z y la reduce a funciones reales conocidas.
68
f ) ez no se anula para ning´
un valor de z. En efecto,
|ez | = ex+iy = ex eiy = |ex | eiy = ex > 0 ∀x,
(8.9)
implica ∀z ez = 0. El mismo resultado se deduce la existencia de (ez )−1 a saber, e−z
g) Las f´ormulas de adici´on y sustracci´on trigonom´etricas se aplican igualmente al caso complejo:
∀z1 , z2 ∈ C
cos(z1 ± z2 ) = cos z1 cos z2 ∓ sen z1 sen z2 ,
sen(z1 ± z2 ) = sen z1 cos z2 ± cos z1 sen z2 .
(8.10)
Se deduce de la f´ormula de Euler. Por ejemplo,
eiz1 − e−iz1 eiz2 − e−iz2
eiz1 + e−iz1 eiz2 + e−iz2
−
2
2
2i
2i
i(z1 +z2 )
−i(z1 +z2 )
e
+e
= cos(z1 + z2 ).
(8.11)
=
2
Adem´as, tomando z1 = z, z2 = 2π, se sigue que cos z y sen z son funciones peri´odicas:
cos z1 cos z2 − sen z1 sen z2 =
∀z ∈ C
cos(z + 2π) = cos z ,
Por otro lado, tomando z1 = −z2 = z
∀z ∈ C
sen(z + 2π) = sen z .
cos2 z + sen2 z = 1 .
(8.12)
(8.13)
Sin embargo, | cos z| y | sen z| no est´an acotados por 1 fuera del eje real. Finalmente,
π
tomando z1 = , z2 = −z,
2
π
(8.14)
∀z ∈ C cos z = sen( − z) .
2
h) Soluciones de ez = 1:
z
x
ez = 1 sii z = 2πin ∀n ∈ Z .
(8.15)
En efecto, 1 = |e | = e implica x = 0, entonces 1 = cos y + i sen y implica y = 2πn, n ∈
Z.
1
i) Ceros de cos z y sen z en C: 0 = sen z = (eiz − e−iz ) implica e2iz = 1 . Se deduce
2i
0 = sen z sii z = πn ∀n ∈ Z .
(8.16)
Usando cos z = sen( π2 − z) se obtiene
0 = cos z
sii z = π n +
69
1
2
∀n ∈ Z .
(8.17)
8.2.
Funciones hiperb´
olicas
Definici´
on. Extendiendo la definici´on de z real a complejo, se define
1
cosh z = (ez + e−z ) ,
2
1
senh z = (ez − e−z ) .
2
(8.18)
Estas funciones son enteras con desarrollo en serie absolutamente convergente en todo C:
cosh z =
∞
n=0
z 2n
,
(2n)!
senh z =
∞
n=0
z 2n+1
.
(2n + 1)!
(8.19)
Se deduce
cosh z = cos(iz) ,
cos z = cosh(iz) ,
senh z = −i sen(iz) ,
sen z = −i senh(iz) .
(8.20)
La funciones cosh z y senh z no est´an acotadas en R y por tanto tampoco en C.
La funciones hiperb´olicas en C satisfacen
cosh2 z − senh2 z
cosh(z1 ± z2 )
senh(z1 ± z2 )
cosh z
8.3.
=
=
=
=
1,
cosh z1 cosh z2 ± senh z1 senh z2 ,
senh z1 cosh z2 ± cosh z1 senh z2 .
cosh(z + 2πi) , senh z = senh(z + 2πi) .
(8.21)
Derivadas de exp, cos, sen, cosh, senh
Basta usar la propiedad de derivaci´on de una serie t´ermino a t´ermino. Dado que las series
son las mismas que en el caso real se obtienen las mismas relaciones
dez
= ez ,
dz
d sen z
d cos z
= − sen z ,
= cos z ,
dz
dz
d senh z
d cosh z
= senh z ,
= cosh z .
dz
dz
70
(8.22)
8.4.
Funci´
on logaritmo
En el caso real, el logaritmo33 se define como la funci´on inversa de la exponencial, es decir,
si x > 0 y x = ey , log x = y. y es la u
´nica soluci´on de x = ey . Si x ≤ 0 no hay soluci´on. El
logaritmo complejo se introduce de manera an´aloga.
Definici´
on. La funci´on inversa de z = ew se llama logaritmo (neperiano), w = log z. w es
cualquiera de las soluciones de z = ew .
Propiedades:
a) z = 0 no tiene logaritmo. Como vimos ew = 0 no tiene soluci´on en el plano complejo
finito.
b) log z es una funci´on multivaluada, ya que si w es una soluci´on, cualquier otro n´
umero de
la forma w + 2πin, (n ∈ Z) tambi´en es soluci´on. En efecto, como vimos la exponencial es
una funci´on peri´odica y ew+2πin = ew . Por tanto la multivaluaci´on del logaritmo complejo
es infinita (a diferencia de z 1/n que toma |n| valores). Por otro lado, ´esta es la u
´nica
multivaluaci´on: Si w1 , w2 son dos logaritmos de z, entonces w2 = w1 + 2πin para alg´
un
entero n. En efecto,
∀z = 0 z = ew1 = ew2 ,
1=
e w2
= ew2 −w1
e w1
implica w2 − w1 = 2πin, n ∈ Z. (8.23)
c) Si w = u + iv, (u, v ∈ R) la ecuaci´on z = ew = eu+iv = eu eiv implica |z| = |eu ||eiv | = eu ,
es decir log |z| = u, y entonces arg z = v, de donde34
w = log z = log |z| + i arg z .
(8.24)
arg z es una funci´on multivaluada y lo mismo log z. Si se elige la determinaci´on principal
del argumento, Arg z ∈ [0, 2π[, se obtiene la determinaci´
on principal del logaritmo
Log z = log |z| + i Arg z .
(8.25)
En general,
log z = log |z| + i Arg z + 2πik ,
33
k ∈ Z.
(8.26)
Designamos el logaritmo neperiano por log en vez de ln ya que no hay posibilidad de confusi´
on con el
logaritmo decimal, que no se va a usar aqu´ı.
34
Hay una ambig¨
uedad en la notaci´
on, ya que log |z| se refiere al logaritmo real (univaluado), es decir, el
definido en R+ → R. Cuando x > 0 se sobreentiende que log x es el logaritmo real.
71
Ejemplo.
Log 1 = 0,
Log ( − 1) = iπ,
3πi
,
Log ( − i) =
2
Log (2i) = log 2 +
log 1 = 2πin, n ∈ Z
log(−1) = (2n + 1)iπ, n ∈ Z
iπ
,
2
Log (1 + i) =
1
iπ
log 2 +
.
2
4
(8.27)
d) La funci´on Log z est´a definida en C − {0} pero es discontinua a lo largo del semieje real
positivo, R+ := {x ≥ 0}. En efecto, Arg z vale casi 0 si z est´a casi en R+ − {0} pero en
el semiplano superior ( Im z > 0) y 2π si z est´a casi en R+ − {0} pero en el semiplano
inferior Im z < 0:
∀a > 0 ,
l´ım Log z = log a ,
z→a
Im z>0
l´ım Log z = log a + 2πi .
z→a
(8.28)
Im z<0
(De hecho Log a = log a.) Lo mismo se puede expresar mediante (para a > 0)
l´ım Log (a − iǫ) = log a + 2πi .
l´ım Log (a + iǫ) = log a ,
ǫ→0
ǫ→0
(8.29)
ǫ>0
ǫ>0
A veces la notaci´on se simplifica y se escribe simplemente Log (a + iǫ) = log a, Log (a −
iǫ) = log a + 2πi (se sobreentiende que ǫ → 0 desde ǫ > 0.) Tambi´en se usa la notaci´on
Log (a + i0+ ) = log a, Log (a − i0+ ) = Log (a + i0− ) = log a + 2πi. M´as generalmente
f (0+ ) = l´ım f (ǫ) .
ǫ→0
ǫ>0
(8.30)
e) Por construcci´on exp(log z) = z. En cambio, en general, Log ( exp w) no coincidir´a con
w. (Por ejemplo, Log (e−iπ ) = iπ.) w ser´a uno de los logaritmos log(exp w). La relaci´on
ew1 +w2 = ew1 ew2 implica que
log(z1 z2 ) = log(z1 ) + log(z2 ) ( m´od 2πi)
(8.31)
Log (z1 z2 ) = Log (z1 ) + Log (z2 ) + 2πin(z1 , z2 )
(8.32)
o tambi´en
donde n(z1 , z2 ) =
An´alogamente
0,
0 ≤ Arg z 1 + Arg z 2 < 2π
.
−1 , 2π ≤ Arg z 1 + Arg z 2 < 4π
log(z n ) = n log(z) ( m´od 2πi)
72
n ∈ Z.
(8.33)
log z = log z + 4 π i
2
0
w
log z = log z + 2 π i
1
0
log z
0
w
w0
z z
0
z
Figura 15: Representaci´on esquem´
atica de las varias ramas w = log z. La derivada es com´
un a
w − w0
eligiendo para z0 y z la misma rama de
todas las ramas y se puede calcular como l´ım
z→z0 z − z0
log z por continuidad.
f ) La funci´on Log z es discontinua sobre el semieje real positivo, {x ≥ 0}. Fuera de esos
puntos la funci´on es anal´ıtica y su derivada se obtiene a partir de la de la exponencial
mediante la regla de la cadena, como en el caso real.35 Equivalentemente,
d Log z
dw
1
1
1
= w = w = w = ,
de
dz
de
e
z
dw
z ∈ {x ≥ 0} .
(8.34)
1
es regular en todo C excepto 0, incluido el semieje real positivo. M´as genez
ralmente, cualquiera que sea la elecci´on de arg z (por ejemplo arg z ∈] − π, π]) si se elige
de forma continua en un entorno de z que excluya 0, permite calcular la derivada y se
obtiene el mismo resultado 1/z: En efecto, las distintas elecciones difieren en un t´ermino
aditivo 2πin que es constante y no afecta a la derivada (v´ease la fig. 15)
La funci´on
d log z
1
= .
dz
z
35
(8.35)
Es decir,
z = elog z ,
1=
delog z
d log z
d log z
dz
=
= elog z
=z
,
dz
dz
dz
dz
73
d log z
1
= .
dz
z
S´olo en z = 0, ∞ la funci´on logaritmo es intr´ınsecamente no anal´ıtica (es decir, no anal´ıtica
bajo ninguna elecci´on de arg z.)
8.5.
Funci´
on potencia general
Usando el logaritmo se puede construir la funci´
on potencia general, w = z a donde z y a
son ambos complejos, z = 0, mediante
z a := exp(a log z) ,
a, z ∈ C
z = 0.
(8.36)
Es decir, si z = reiθ , z a = ea log r eiaθ , siendo θ cualquiera de los argumentos de z.
En general esta funci´on tiene multivaluaci´on infinita, heredada del logaritmo. La determinaci´
on principal es
(z a )p := exp(a Log z) ,
a, z ∈ C
z = 0.
(8.37)
y todos los dem´as valores son de la forma
z a = (z a )p e2πian ,
n ∈ Z.
(8.38)
La multivaluaci´on es finita sii a es un n´
umero racional (real). En efecto, el factor e2πian debe
tomar s´olo un n´
umero finito de valores distintos, y por tanto debe haber valores distintos de
n que den el mismo valor para e2πian . Si n1 y n2 son dos tales valores e2πian1 = e2πian2 implica
a(n1 − n2 ) = k ∈ Z y a = k/(n1 − n2 ) es racional. Por otro lado, si a = p/q, siendo q, p
enteros primos entre s´ı y q positivo, para cualquier n entero n = kq + r, 0 ≤ r < q con k y r
u
´nicos. Entonces e2πian = e2πipk e2πipr/q = e2πipr/q , y se producen q valores distintos. En efecto,
′
e2πipr/q = e2πipr /q sii pr/q − pr′ /q = m ∈ Z, entonces p(r − r′ ) = qm, dado que p no es m´
ultiplo
de q, lo debe ser r − r′ y ya que 0 ≤ r, r′ < q se deduce r = r′ .
Por otro lado z a+b toma un conjunto de valores que es un subconjunto de los valores que
a b
a+b
puede
= z 0 = 1, en cambio z a z b =
√ tomar
√ z z . (Por ejemplo, para a =ab−b = 1/2, z
(± z)(±1/ z) = ±1.) Del mismo modo, z √
es un subconjunto de (z a )b . (Por ejemplo, para
a = 2 y b = 1/2, z ab = z, en cambio (z a )b = ± z 2 = ±z.)
Casos particulares: Si a = n ∈ Z
z a |a=n = en log z = elog(z
74
n )+2πik
= zn .
(8.39)
An´alogamente, cuando a =
z a |a= 1
n
1
, (n ∈ Z − {0})
n
= exp
1
1
log z = exp (log |z| + i arg z)
n
n
= |z|1/n e(i arg z)/n = z 1/n (|n| valores distintos).
(8.40)
´
Estas
son las |n| soluciones de wn = z.
La derivada tambi´en es una funci´on multivaluada
(z a )′ = ea log z
8.6.
a
= az a−1 .
z
(8.41)
Funciones trigonom´
etricas inversas
Las funciones trigonom´etricas e hiperb´olicas inversas se pueden expresar mediante el logaritmo. Por ejemplo, la funci´on w = cos−1 z (o arc cos z) se define como cualquier soluci´on de la
ecuaci´on cos w = z. Esto produce
z = cos w =
eiw + e−iw
, y 0 = (eiw )2 − 2z eiw + 1 .
2
Esta es una ecuaci´on de segundo grado que puede resolverse en eiw y por tanto en w,
√
cos−1 z = w = −i log(z + z 2 − 1).
√
N´otese que tanto log z como z son funciones multivaluadas. An´alogamente
(8.43)
1
log
2i
1 + iz
,
1 − iz
√
senh−1 z = log z + z 2 + 1 ,
√
sen−1 z = −i log iz + 1 − z 2 .
tan−1 z =
(8.42)
75
(8.44)
9.
9.1.
Funciones multivaluadas
Dominios de univalencia
Definici´
on. Una funci´on (univaluada) w = f (z) es univalente en un dominio G si es
anal´ıtica e inyectiva.36 En este caso se dice que G es un dominio de univalencia de f (z).
Usando el teorema de Rouch´e (ver p´agina 144) es posible demostrar que en este caso f ′ (z) =
0 ∀z ∈ G. (Cons´
ultese por ejemplo el libro de Silverman.) Se deduce entonces que la funci´on
inversa, z = ϕ(w), tambi´en es derivable. En efecto:37
dϕ(w)
dz
1
1
=
=
.
= ′
dw
dw
dw
f (z(w))
dz
(9.1)
G
+
E
A
z
A
f
Γ
z
+
B
w
+
γ
+
ϕ
w
Figura 16: Si z, z ′ est´an conectados por el arco Γ ⊂ G, sus im´agenes w, w′ lo estar´an por la
imagen de Γ, γ ⊂ E. Por ser ϕ continua, todo entorno suficientemente peque˜
no B de w es la
′
imagen de un entorno de z, A ⊂ G y por tanto B ⊂ E.
Teorema. Sea w = f (z) univalente en un dominio G y sea E el recorrido asociado a G.
Entonces E tambi´en es un dominio (en el plano w) y ϕ(w) es univalente en E.
36
O equivalentemente, biyectiva, considerando f como una aplicaci´
on de G en su recorrido E.
Suponiendo que la derivada exista, se puede tambi´en calcular usando la regla de la cadena: derivando
w = f (z) = f (ϕ(w)) respecto de w resulta 1 = f ′ (ϕ(w))ϕ′ (w).
37
76
Demostraci´
on: Hay que probar que E = {w w = f (z), z ∈ G} es abierto y conexo.
(V´ease fig. 16.)
⌢
1. E es conexo: Si w1 = f (z1 ) y w2 = f (z2 ) la imagen del arco z1 z2 ⊂ G es tambi´en un arco
(curva continua por f (z) continua) contenida en E.
2. E es abierto: Sea w un punto cualquiera de E y z = ϕ(w). Dado que ϕ(w) es continua
(por ser derivable), para todo entorno de z, A ⊂ G, hay un entorno B de w tal que la
imagen de B por ϕ, A′ , est´a contenida en A y por tanto en G, esto implica B ⊂ E y w
es un punto interior.
Puesto que E es un dominio y ϕ(z) es invertible y derivable en cada punto de E, ϕ(z) es
univalente en E. ♦
9.1.1.
Potencia y ra´ız n-´
esima
Sea w = z n , n entero positivo. Dado cualquier w = 0, w = reiθ (r > 0) hay n valores z
tales que z n = w, a saber z = r1/n ei(θ+2πk) , k = 0, 1, . . . , n − 1. El conjunto {w1/n } forma un
pol´ıgono regular de n lados en el plano z. Es evidente que si se restringe arg z al intervalo
2π
c < arg z < c +
(c real)
(9.2)
n
entonces z1 = z2 implica z1n = z2n , y la funci´on z n es inyectiva. Se deduce que z n es univalente
2π
en G = {z z = 0, c < arg z < c +
}. Adem´as G es maximal, es decir, no existe un G′ G
n
tal que z n sea univalente.
En particular, para c = 0, G = {z z = 0, 0 < arg z < 2π/n} y su imagen es E = {w w =
0, 0 < arg w < 2π}. Este conjunto es C − {u ≥ 0} y se denomina plano complejo cortado
seg´
un el semieje real positivo.38 (V´ease fig. 17.)
2π
}, la funci´on w =
n
z n tiene una inversa, z = w1/n . Esta inversa es univalente en E = {w w = 0, 0 < arg w < 2π},
con derivada
−1
dw1/n
1
1
d zn
= n−1 = w−1+1/n .
=
(9.3)
dw
dz
nz
n
En un dominio de univalencia, por ejemplo, G = {z z = 0, 0 < arg z <
38
Como es usual, denotamos u = Re w, v = Im w, x = Re z e y = Im z.
77
z1 y
v
w=z 6
G
E
z0
z2
x
u
z5
z
3
z4
plano z
plano w
Figura 17: La zona sombreada en el plano z (la frontera no est´a incluida) es un dominio de
univalencia maximal para w = z 6 , G = {z = 0, 0 < arg z < 2π/6} . La zona sombreada en
el plano w (sin incluir la frontera) es el recorrido, E = {w = 0, 0 < arg w < 2π}. Es todo el
plano complejo excepto los n´
umero reales no negativos.
9.1.2.
Exponencial y logaritmo
Sea w = ez . Esta funci´on no es biyectiva en C. En efecto,
e z1 = e z2
sii z2 = z1 + 2πik
k = 0, ±1, ±2, . . .
(9.4)
Para que w = ez sea una biyecci´on basta restringir Im z. El dominio G = {z c < Im z <
c + 2π} es un dominio de univalencia maximal de w = ez y el recorrido es E = {w w = 0 , c <
arg w < c + 2π}. (V´ease la fig. 18.) La funci´on inversa es el logaritmo z = log w. Esta funci´on es
univalente en E. En el caso particular de c = 0, G = {z 0 < Im z < 2π}, el recorrido es el plano
complejo cortado seg´
un el semieje real positivo, E = {w w = 0 , 0 < arg w < 2π} y corresponde
a la determinaci´on principal del argumento de w, Arg w ∈ [0, 2π[, y a la determinaci´on principal
del logaritmo, Log w (excepto que arg w = 0 est´a excluido del dominio).
78
y
2 πi
w=e
v
z
E
G
0
x
u
plano z
plano w
Figura 18: G = {0 < Im z < 2π} es un dominio de univalencia maximal de w = ez . El recorrido
E es el plano complejo w excepto los n´
umeros reales no negativos.
9.2.
Ramas y puntos de ramificaci´
on
2(n − 1)π
2π 4π
, se obtienen n dominios de univalencia
Si en w = z n tomamos c = 0, , , . . .
n n
n
Gk :
2π(k + 1)
2πk
Gk = z z = 0,
, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 .
(9.5)
< arg z <
n
n
n−1 ¯
Estos dominios son disjuntos y su uni´on, junto con sus fronteras, es C, ∪k=0
Gk = C. Adem´as
el recorrido E = {w = 0, 0 < arg w < 2π} = C − {u ≥ 0} es com´
un a todos ellos (por
2πk < arg w = n arg z < 2π(k + 1)). (V´ease la fig. 19.) Como w = z n es univalente en cada Gk ,
se obtiene una funci´on inversa para cada k, ϕk : E → Gk , que denotamos z = (w1/n )k .
La funci´
on multivaluada w1/n (que hace corresponder a cada w el conjunto de soluciones
n
de w = z ) est´a definida en todo C∗ . Cada una de las funciones z = (w1/n )k , k = 0, . . . , n − 1,
se llama rama de la funci´on multivaluada w1/n . La frontera del dominio de definici´on de cada
rama se denomina corte de rama. En este caso el corte de rama es el semieje real positivo,
{u ≥ 0}.
An´alogamente, para la funci´on w = ez , se puede definir un conjunto de dominios
Gk = z 2πk < Im z < 2π(k + 1) ,
79
k ∈ Z.
(9.6)
y
w=z 6
v
E
G1
G
G2
0
x
G3
u
G5
G
4
plano z
plano w
Figura 19: C se descompone en 6 dominios de univalencia maximales (junto con sus fronteras)
de la funci´on w = z 6 . Todos ellos tienen el mismo recorrido E. Cada uno de estos dominios
define una rama de la funci´on.
con recorrido com´
un E = C − {u ≥ 0}, y tal que la uni´on de todos los dominios junto con sus
¯ k = C. Esto define una funci´on inversa para cada
fronteras recubren el plano complejo, ∪k∈Z G
k, z = (log w)k , w ∈ E, z ∈ Gk , todas ellas univalentes en E. (V´ease la fig. 20.) La funci´
on
z
multivaluada log w est´a definida como la inversa de e . Cada funci´on (log w)k es una rama
de la funci´on multivaluada log w y el semieje real positivo es el corte de rama.
Es importante notar que la descomposici´on de las funciones multivaluadas en ramas depende de la elecci´on de dominios de univalencia en los que se descompone C, y esta elecci´on,
denominada ramificaci´
on de la funci´on multivaluada, no es u
´nica. Por ejemplo, si para w = z n
se toman los dominios de univalencia Dk = {z z = 0, (2k − 1)π/n < arg z < (2k + 1)π/n},
k = 0, 1, . . . , n − 1, entonces el recorrido com´
un a estos dominios es E ′ = {w w = 0, − π <
arg w < π} (plano complejo cortado seg´
un el semieje real negativo). (V´ease la fig. 21.) Es decir,
se obtiene otra forma v´alida de cubrir el plano z y otro conjunto de ramas de w1/n . En este
caso el corte de rama es el semieje real negativo {u ≤ 0}.
M´as generalmente, puede tomarse como corte de rama cualquier arco simple C, que una 0
con ∞. E ′′ = C − C define un dominio maximal de univalencia para w1/n y n ramas de esta
funci´on. (Igualmente esta construcci´on define un conjunto de ramas para log w. V´ease la fig.
22.) Se ve pues que el corte de rama concreto (puntos donde la funci´on no est´a definida) no
es intr´ınseco a la funci´on multivaluada w1/n mientras que s´ı lo son w = 0 y w = ∞. En estos
puntos w1/n no es anal´ıtica independientemente de como se elija la ramificaci´on.
80
y
G1
w=e
2πi
z
v
E
G0
0
x
2πi
u
G−1
plano z
plano w
Figura 20: Descomposici´on del plano z en dominios de univalencia maximales para la funci´on
w = ez y recorrido en el plano w.
Para ver esto con m´as detalle, consideremos una curva Γ en el plano w (de la funci´on w = z n )
cerrada, simple y orientada positivamente, con punto inicial y final w0 y que no pase por w = 0.
1/n
Tomemos z0 = (w0 )k para cierto k, es decir, z0 es una de las ra´ıces n-´esimas de w. A medida
que w recorre la curva Γ de w0 a w0 , z recorrer´a una curva γ en el plano z (que no pasar´a por
z = 0) con la prescripci´on de que la rama concreta de z = w1/n (esto es, la soluci´on de w = z n )
se elige por continuidad. Puesto que z → w = z n es univaluada, γ tambi´en ser´a una curva
simple que no pasa por z = 0.
Hay dos posibilidades:
a) Que γ sea tambi´en una curva cerrada. Esto ocurre si Γ no encierra el origen w = 0. Puede
ocurrir que para mantener la continuidad de z = w1/n haya que tomar una rama distinta
de la inicial, pero despu´es se vuelve a la misma y γ es cerrada. (V´ease la fig. 23.)
b) Que γ sea una curva abierta. Esto ocurre cuando Γ encierra el origen w = 0. El argumento
de w crece de θ0 a θ0 + 2π y el argumento de z pasa de θ0 /n a (θ0 + 2π)/n. Es decir, z
pasa de z0 = (w1/n )k ∈ Gk a z0′ = ei2π/n z0 = (w1/n )k+1 ∈ Gk+1 (con el convenio Gn = G0 ).
(V´ease la fig. 24.)
M´as generalmente, si Γ es una curva cerrada pero no necesariamente simple que no pasa por 0,
y ℓ es el ´ındice de Γ respecto de w = 0, (es decir, Γ rodea ℓ veces el origen) θ0 pasa a θ0 + 2πℓ
81
y
D2
w=z 6
E
D1
D0
D3
D4
v
x
u
D5
plano z
plano w
Figura 21: Descomposici´on alternativa de w = z 6 en dominios de univalencia. El recorrido es el
plano complejo cortado seg´
un el semieje real negativo.
y se pasa de la rama k a la rama k + ℓ de w1/n . Este resultado es independiente de la elecci´on
concreta del corte de rama. Una forma pr´actica de contar ℓ es contar el n´
umero de veces (con
su signo) que Γ cruza el corte de rama C.
Definici´
on. Sea una funci´on multivaluada ϕ, con sus varias ramas, y η un punto de su
dominio de definici´on.39 Se dice que η es un punto de ramificaci´
on de ϕ si una vuelta Γ
alrededor de η produce un cambio de rama de la funci´on, siendo Γ cualquier curva cerrada
simple contenida en un entorno reducido arbitrariamente peque˜
no de η (y eligiendo la imagen
por continuidad). Si n vueltas alrededor de η llevan cada rama sobre s´ı misma, se dice que η
es un punto de ramificaci´on de orden n − 1. (Se entiende el menor n positivo para el que esto
ocurra.) Es decir, cuando al recorrer Γ n veces en el plano w la imagen es una curva cerrada en
el plano z. Los puntos de ramificaci´on son intr´ınsecos a la funci´on multivaluada y no dependen
de c´omo se elija su ramificaci´on.
Se deduce que w = 0 es un punto de ramificaci´on de la funci´on multivaluada w1/n de orden
n − 1. Tambi´en w = ∞ es un punto de ramificaci´on de esta funci´on: En la esfera de Riemann
el ∞ corresponde al polo norte N . Una curva cerrada que rodee N y que sea peque˜
na en la
esfera de Riemann define una curva cerrada grande en el plano complejo. Esta curva rodea
necesariamente w = 0 y por tanto cambia de rama de la funci´on w1/n . Se deduce que ∞ es otro
punto de ramificaci´on de la funci´on, y tambi´en de orden n − 1. Adem´as no hay otros puntos de
39
M´as exactamente, un punto tal que admita alg´
un entorno reducido contenido en el dominio de definici´on.
82
w=e z
C
c1
c0
c1
c2
plano z
plano w
Figura 22: Plano w: corte rama de log w a lo largo del arco C. Plano z: r´eplicas de C, ck que
delimitan los dominios de univalencia en esta ramificaci´on. Las curvas ck est´an desplazadas
respecto de una de ellas, c0 , por 2πik.
ramificaci´on ya que si Γ no encierra el origen no hay cambio de rama. El corte de rama une los
dos puntos de ramificaci´on, 0 e ∞.
El an´alisis de la funci´on multivaluada log w es similar: dado que z = log w = log |w|+i arg w,
si una curva cerrada Γ rodea w = 0 un n´
umero ℓ ∈ Z de veces, el argumento cambia en 2πℓ y
el logaritmo en 2πiℓ. (V´ease la fig. 25.) Se deduce que w = 0 y w = ∞ son los u
´nicos puntos
de ramificaci´on de log w. A diferencia de la funci´on w1/n , los puntos de ramificaci´on de log w
son de orden infinito (tambi´en llamados de tipo logar´ıtmico), ya que la imagen γ de la curva
cerrada Γ nunca es ella misma una curva cerrada si ℓ = 0.
√
Otra funci´on multivaluada es, por ejemplo, z = w2 − 1 con puntos de ramificaci´on w = ±1
(pero no ∞). Tiene dos ramas y el corte de rama se puede elegir a lo largo del intervalo [−1, 1].
Una curva cerrada Γ que no pase por w = ±1, rodear´a ℓ1 veces w = 1 y ℓ−1 veces w = −1. γ
es cerrado en el plano z (y por tanto no hay cambio de rama) sii ℓ1 + ℓ−1 es par. (V´ease la fig.
26.)
83
v
z=w
w0
*
1/6
y
γ
*z0
Γ
x
u
plano w
plano z
Figura 23: Camino cerrado Γ en el plano w y su imagen γ en el plano z = w1/6 . Γ no rodea
w = 0 y γ es cerrado.
9.3.
Superficies de Riemann
Una funci´on multivaluada puede considerarse univaluada generalizando su dominio de definici´on. El procedimiento se puede ilustrar mediante la funci´on log w que tiene infinitas ramas,
tantas como n´
umeros enteros. Por cada una de estas ramas, tomemos una copia de su dominio
E = C − {u ≥ 0}. Estas copias las denotamos Ek , k = 0, ±1, ±2, . . . y se denominan hojas de
Riemann. E es el plano complejo w cortado (como con una tijera) por el semieje real positivo.
El corte produce dos bordes, el superior δ + y el inferior δ − . Sean δk+ y δk− los bordes superior e
inferior de la hoja Ek . (V´ease la fig. 27.)
Con las infinitas hojas se procede a formar una nueva superficie identificando (o pegando)
+
para todos los k. La superficie S as´ı obtenida se denomina superficie de
los bordes δk− ≡ δk+1
Riemann de la funci´on log w. (V´ease la fig. 28.)
La idea es que la hoja E0 representa a los puntos con argumento entre 0 y 2π (ambos
excluidos), E1 a los puntos con argumento entre 2π y 4π, y en general, Ek a los puntos tales
que 2πk < arg w < 2π(k + 1). As´ı δk+ son los puntos con arg w = 2πk, δk− son los puntos con
+
arg w = 2π(k + 1) y naturalmente est´a identificado con δk+1
, que tambi´en son los puntos con
arg w = 2π(k + 1). Despu´es de identificar los bordes, S es una superficie perfectamente suave y
regular tambi´en en las uniones. Adem´as la misma superficie se obtiene independientemente de
84
v
Γ
z=w
w0
*
1/6
y
z0
*
γ
*z0
u
x
plano w
plano z
Figura 24: Camino cerrado Γ en el plano w y su imagen γ en el plano z = w1/6 . Γ rodea una
vez w = 0 y γ empieza en una rama de la funci´on y acaba en la rama siguiente. z0′ = e2πi/6 z0
d´onde estuviera originalmente el corte de rama.40
S est´a compuesta por las hojas de Riemann con los bordes identificados. La superficie de
Riemann extendida S ∗ se obtiene al a˜
nadir el 0 y el ∞, que son puntos comunes a todas las
hojas.
Hay una proyecci´on can´onica de S en C: a cada punto de S le corresponde un n´
umero
complejo y cada punto en C − {0} le corresponden infinitos puntos en S (llamados r´
eplicas),
una r´eplica en cada hoja de Riemann.
Localmente la superficie de Riemann del logaritmo y el plano complejo son iguales: si se
considera un entorno peque˜
no de un punto w en S o en C−{0} no se ve diferencia. Globalmente
son variedades distintas: por ejemplo, S es simplemente conexo41 mientras que C − {0} no lo
es. La diferencia esencial entre S y C − {0} es que en C − {0}, cada punto w tiene infinitos
argumentos, o equivalentemente un argumento definido m´odulo 2π. En cambio en S, cada
punto tiene exactamente un argumento θ ∈ R. En S los puntos con coordenadas polares (r, θ)
40
Identificar puntos es un m´etodo est´
andar para formar nuevas variedades a partir de otras dadas. Por ejemplo,
si en el disco cerrado {|z| ≤ 1} se identifican todos los puntos de su frontera, |z| = 1, se obtiene una superficie
topol´
ogicamente equivalente a la superficie de una esfera. A partir del plano complejo se obtuvo la esfera de
Riemann al identificar todos los puntos del infinito (en todas la direcciones). Si en la tira {z 0 ≤ Re z ≤ 1} se
identifican cada punto (0, y) con (1, y) se obtiene un cilindro.
41
En efecto, ya que cualquier camino cerrado en S se puede contraer dentro de S a un punto. Obs´ervese que
en S no hay curvas cerradas que encierren a 0.
85
y
v
z= log w
z
∗ 0 2πi
E
w0
*
0
x
u
Γ
∗ z0
2πi
plano w
plano z
Figura 25: En el plano w: curva Γ que rodea w = 0 dos veces. Plano z: su imagen bajo z = log w
(eligiendo la rama del logaritmo por continuidad) pasa del dominio de univalencia G−1 a G1 .
z= (w−1)(w+1)
Γ1
Γ2
1
γ1
γ2
1
*w0
z0
plano w
*z
0
plano z
√
Figura 26: El intervalo [−1, 1] es el corte rama de z = w2 − 1. Γ1 tiene ℓ1 = ℓ−1 = 1 y no
cambia de rama. Γ2 tiene ℓ1 = 1, ℓ−1 = 0 y pasa de una rama a la otra. En ambos casos z se
va eligiendo por continuidad a lo largo de la curva.
86
E2
δ2
δ2
δ1
+
δ0
E1
+
E0
δ1
v
+
δ0
u
Figura 27: Copias del plano w cortado a lo largo del semieje real positivo.
0
S
v
u
Figura 28: Superficie de Riemann de log w (w = 0 es com´
un a todas hojas.)
87
y (r, θ + 2πk) son puntos distintos si k = 0, ambos con la misma proyecci´on en C. Es decir,
la funci´on arg w es univaluada en S. En S se puede definir la funci´on log w de forma natural
por la f´ormula log w = log |w| + i arg w. Dado que argumentos distintos corresponden a puntos
distintos de S la funci´on log w es univaluada en S.
Con el fin de generalizar la construcci´on para otras funciones, se puede considerar el siguiente
procedimiento equivalente: se toma un punto w0 fijo cualquiera de S (que no sea 0 o ∞) y se
le hace corresponder una cualquiera de sus im´agenes z0 = log w0 . Entonces para cualquier otro
punto w ∈ S se toma un arco Γ en S que conecte w0 con w y que no pase por 0. La imagen
z = log w correspondiente a w se asigna por continuidad siguiendo la imagen γ de Γ desde
z0 hasta z. El resultado no depende del arco Γ elegido ya que la imagen final z s´olo depende
del argumento final de w. Este argumento es un valor fijo (que depende de la proyecci´on de
w en C) m´as un 2πℓ. Cada valor de ℓ corresponde a una rama distinta de log w y tambi´en a
una hoja distinta de S. De este modo la funci´on log w definida sobre S es univaluada ya que
im´agenes distintas corresponden a originales distintos. La funci´on as´ı definida42 es anal´ıtica
en S. Los puntos de ramificaci´on son puntos no regulares por definici´on. Estos son los u
´nicos
1
puntos singulares. log w : S → C es univalente, y tiene derivada .
w
Nota: La idea que se puede abstraer para una funci´on multivaluada cualquiera ϕ(w) es la
siguiente: en C para determinar el valor de la funci´on en un punto w t´omese un punto fijo w0
y una de sus im´agenes ϕ(w0 ), y consid´erese un camino que vaya de w0 a w (y que no pase por
los puntos de ramificaci´on). Los caminos que rodeen los puntos de ramificaci´on de la misma
forma son equivalentes y producen el mismo valor de ϕ(w) (eligiendo la rama por continuidad).
Caminos que rodeen los puntos de ramificaci´on de forma distinta pueden llevar a otras ramas de
la funci´on y en este caso son caminos inequivalentes al original. Por tanto en C importa el punto
w al que se llega y tambi´en c´omo se llega. En cambio, en la superficie de Riemann de ϕ(w), no
importa c´omo se llega a un punto: lo que ser´ıan dos caminos inequivalentes en C directamente
llevan a dos puntos distintos de la superficie de Riemann. La funci´on pasa a ser univaluada por
construcci´on. Adem´as esta construcci´on s´olo depende de la funci´on multivaluada y no de c´omo
se descomponga en ramas.
Para la funci´on w1/n la construcci´on de su superficie de Riemann S es an´aloga excepto que
−
+
, . . . , δn−1
≡ δ0+ . (Esto
hay n hojas E0 , E1 , . . . , En−1 con identificaci´on δ0− ≡ δ1+ , . . . , δk− ≡ δk+1
corresponde a la superficie de Riemann de log w pero identificando las hojas m´odulo n.) Despu´es
de n vueltas alrededor de w = 0 se vuelve al mismo punto de S. En este caso S recubre n veces
42
La funci´on no depende en realidad de la elecci´
on (w0 , z0 ) inicial ya que todas las hojas son id´enticas hasta
que se decide qu´e logaritmo le corresponde a w0 .
88
z
z0∗
hoja 1
γ
z
δ1
hoja 2
γ
δ2
δ2
δ1
√
Figura
29:
Hojas
de
Riemann
para
z. (La hoja 1 ha sido etiquetada arbitrariamente como
√
√
z y la hoja 2 como − z.) El borde etiquetado como δ1 de la hoja 1 est´a identificado con el
borde δ1 de la hoja 2, y lo mismo los bordes δ2 . La curva γ empieza en el punto z0 de la hoja
1, rodeando z = 0 llega al borde δ2 y pasa a la hoja 2, luego rodeando otra vez w = 0 llega al
borde δ1 y vuelve a la hoja 1 y a z0 . γ es una curva cerrada simple en la superficie de Riemann.
La proyecci´on de γ sobre C es una curva cerrada que rodea w = 0 dos veces.
al plano complejo. De nuevo w1/n : S → C − {0} es univalente, y 0, ∞ son los u
´nicos puntos
donde la funci´on no es anal´ıtica.
√
Ejemplo. Para la funci´on z, z = 0, ∞ son los puntos de ramificaci´on. Cada vez que Γ
rodea z = 0 se cambia de rama, despu´es un n´
umero par de vueltas se vuelve a la misma rama. El
corte de rama se puede tomar seg´
un el semieje real positivo. La superficie de Riemann recubre
dos veces C. Se obtiene con dos copias de C cortadas identificando el borde superior de cada
hoja con el inferior de la otra. (V´ease la fig. 29.)
√
√
Ejemplo.
La
funci´
o
n
z
−
i
+
z + i tiene cuatro hojas, correspondientes a las cuatro
√
√
opciones ± z − i y ± z + i. Los puntos de ramificaci´on son z = ±i e ∞, todos de orden
1. Los cortes de rama se pueden tomar a lo largo de los semiejes {z = x + i , 0 ≤ x ≤ +∞} y
{z = x − i , 0 ≤ x ≤ +∞}. Las cuatro hojas se pegan como se indica en la fig. 30.
89
+
z−i + z+i
z−i + z+i
1
2
i
hoja 3
z−i z+i
5
i
4
hoja 2
2
1
i
3
i
+
hoja 1
6
hoja 4
z−i z+i
i
7
8
i
8
7
i
4
3
i
6
5
√
√
Figura 30: Hojas de Riemann para z − i + z + i. Los bordes se pegan como se indica: el
borde superior 1 (en la hoja 1) se identifica con el borde inferior 1 (en la hoja 2), etc.
9.4.
Integraci´
on y funciones multivaluadas
En la Sec. 5.4 se mostr´o que una funci´on anal´ıtica f (z) en un dominio simplemente conexo
G tiene una primitiva, u
´nica salvo constante aditiva, que es su integral indefinida
z
F (z) = F (z0 ) +
f (z) dz
z0
z0 , z ∈ G
(9.7)
donde la integral es sobre una curva suave a trozos C contenida en G que una un punto fijo z0
con un punto cualquiera z de G. La integral no depende de la curva.
1
Para la funci´on f (z) = , que es anal´ıtica en todo el plano complejo excepto z = 0, podemos
z
tomar como dominio Gp = C − {x ≥ 0} que es simplemente conexo, y una curva Cp ⊂ Gp . Una
1
primitiva de f (z) = en este dominio es Log z y por aplicaci´on del teorema
z
z
Log z = Log z 0 +
z0 ,Cp
1
dz ,
z
C p ⊂ Gp .
(9.8)
Teniendo en cuenta que Arg z ∈ [0, 2π[, Log 1 = 0 se puede alcanzar tomando el l´ımite z0 → 1
90
C
1
0
C
2
C1
z
Figura 31: La curva C proporciona Log z mediante
C
Log z − 2πi, respectivamente.
1
dz. C1 y C2 producen Log z + 2πi y
z
desde el semiplano superior (es decir, el semiplano { Im z > 0})43 y se puede escribir
z
Log z = l´ım
z0 →1
Im z 0 >0
z0 ,Cp
1
dz ,
z
C p ⊂ Gp .
(9.9)
(El l´ımite es necesario ya que 1 no pertenece al dominio Gp .)44 Esto es equivalente a tomar una
curva C que empiece en 1, siga hacia arriba inicialmente y luego siga hasta un punto cualquiera
z (no nulo) sin cruzar el semieje real positivo en ning´
un momento.
(N´otese que si C empieza en 1 pero sigue hacia abajo inicialmente sin cruzar despu´es el
semieje real positivo hasta alcanzar z, se obtiene otro resultado, a saber, Log z − 2πi.) Si C se
corta seg´
un otros semiejes se obtienen otras determinaciones del arg z y del log z.
Sin en vez de restringirnos al plano complejo cortado permitimos curvas C que unan z0 = 1
con z por cualquier camino (pero excluyendo z = 0 para garantizar que la integral exista) se
43
El l´ımite z0 → 1 desde el semiplano inferior da, en cambio, Log z 0 → 2πi. La funci´on Log z no es continua
a lo largo del semieje real positivo.
44
O tambi´en
z
1
dz ,
Cp ⊂ Gp .
Log z =
z
+
1+i0 ,Cp
91
obtiene
z
1,C
1
dz = Log z + 2πin = log z
z
(0 ∈ C)
(9.10)
siendo n el n´
umero de veces (con su signo) que z = 0 es rodeado por el camino cerrado γ
que se obtiene al recorrer C y luego volver por un camino can´onico Cp (es decir, un camino
contenido en el plano cortado seg´
un el semieje real positivo).45 En resumen, si para la funci´on
1/z, univaluada pero singular en z = 0, se busca una primitiva en el dominio G = C − {0},
que no es simplemente conexo, se obtiene la funci´on primitiva multivaluada log z obteni´endose
ramas distintas al seguir caminos inequivalentes (con distinto n). (V´ease la fig. 31.)
1
definida sobre la superficie de Riemann de la funci´on logaritmo, S
z
(tomando el mismo valor en todas las r´eplicas) la f´ormula
Si se toma f (z) =
z
log z =
1
1
dz
z
(9.12)
(sobre cualquier curva C ⊂ S que una 1 con z) es directamente correcta, ya que S es un dominio
simplemente conexo: caminos en S que son inequivalentes al proyectarlos sobre C acaban en
puntos distintos en la superficie de Riemann y no hay multivaluaci´on en S. Aqu´ı 1 ∈ S es la
r´eplica de 1 ∈ C tal que log 1 = 0.
α
β
+
es similar: f (z) es anal´ıtica en G =
z−a
z−b
C − {a} − {b} que no es simplemente conexo. Gp = C − {a + t, t ≥ 0} − {b + t, t ≥ 0} es
simplemente conexo y define una primitiva univaluada, F (z) = α Log (z − a) + β Log (z − b).
Si se integra en G se obtiene F (z) = α log(z − a) + β log(z − b). La multivaluaci´on es del tipo
(αn1 + βn2 )2πi, correspondiente al n´
umero de vueltas del camino de integraci´on C alrededor
de z = a y z = b comparado con un camino Cp fijo. En la superficie de Riemann hay una hoja
por cada valor de n1 y de n2 (para α, β gen´ericos, concretamente, no conmensurables, y a = b).
El an´alisis para la funci´on f (z) =
Finalmente consideremos la integral indefinida de una funci´on multivaluada. Sea f (z) =
log z, cuya primitiva es F (z) = z log z − z. Estas funciones son multivaluadas en C pero univaluadas y anal´ıticas en S, la superficie de Riemann del logaritmo.
Consideremos la integral a lo largo de la circunferencia Cρ = {z(t) = ρ eit , 0 < t < 2π}
45
En efecto,
2πin =
γ
1
dz =
z
C
1
dz −
z
92
Cp
1
dz = log z − Log z .
z
(9.11)
(ρ > 0):
I=
f (z) dz .
(9.13)
Cρ
Cuando f (z) es anal´ıtica en Cρ y en su interior, I = 0. Cuando f (z) es anal´ıtica fuera del
1
disco |z| < r, el resultado no depende de ρ, siempre que ρ > r, (por ejemplo, para f (z) = ,
z
I = 2πi). En cambio si tomamos f (z) = Log z,
I = l´ım (z Log z − z) − l´ım (z Log z − z) = 2πiρ .
z→ρ
z→ρ
Im z<0
Im z>0
(9.14)
El resultado depende de ρ. El motivo es que o bien se trabaja con el plano cortado y Log z es
no anal´ıtica en el semieje real positivo, o bien se trabaja en la superficie de Riemann. En este
caso log z es anal´ıtica fuera de z = 0 pero entonces Cρ no es cerrado, ya que sobre la superficie
de Riemann Cρ empieza y acaba en puntos distintos. En otros casos, como por ejemplo log2 z,
el resultado depende no s´olo de ρ sino tambi´en del punto donde empieza y acaba el recorrido.
93
10.
10.1.
Sea
Series de Taylor
Desarrollo de una funci´
on anal´ıtica
∞
n=0 cn (z
− a)n una serie con radio de convergencia R > 0. Como se vio, la funci´on
∞
s(z) =
n=0
cn (z − a)n ,
(10.1)
definida en su regi´on de convergencia, es anal´ıtica en el disco |z − a| < R.
A su vez, dada la suma de la serie, s(z), podemos determinar los coeficientes, cn : Por el
teorema de Weierstrass, las derivadas sucesivas de s(z) se obtienen derivando t´ermino a t´ermino:
(k)
s (z) =
∞
n=k
n!
cn (z − a)n−k =
(n − k)!
∞
n=0
(n + k)!
cn+k (z − a)n ,
n!
(10.2)
y en particular, s(k) (a) = k! ck , es decir
cn =
y por tanto,
s(z) =
∞
n=0
s(n) (a)
.
n!
s(n) (a)
(z − a)n .
n!
(10.3)
(10.4)
Se deduce que la serie queda un´ıvocamente determinada por su suma. Obs´ervese que los coeficientes se pueden determinar tambi´en integrando, en lugar de derivando, mediante la f´ormula
integral de Cauchy (v´ease la ecuaci´on (10.6)).
Teorema. (Desigualdades de Cauchy.) Sea s(z) la suma de una serie de potencias centrada
en a con radio de convergencia R > 0. Y sea |s(z)| ≤ K en el disco |z − a| < ρ (0 < ρ ≤ R).
Entonces,
K
s(n) (a)
n = 0, 1, 2, . . .
(10.5)
≤ n,
n!
ρ
94
Demostraci´
on: Sea γr la circunferencia de radio r, 0 < r < ρ centrada en a y orientaci´on
positiva, entonces, por la f´ormula integral de Cauchy,
s(n) (a) =
n!
2πi
γr
s(z)
dz,
(z − a)n+1
n = 0, 1, 2, . . .
(10.6)
Dado que K es una cota de s(z) en el disco |z − a| < ρ que contiene a γr se deduce
|s(n) (a)| ≤
n! K
n! K
2πr
=
2π rn+1
rn
∀r < ρ,
(10.7)
y en consecuencia se obtiene (10.5) que es la mejor de las cotas. ♦
n
La serie ∞
on anal´ıtica en z = a (siempre que el radio de
n=0 cn (z − a) define una funci´
convergencia sea no nulo). Veamos un rec´ıproco:
Teorema. Sea f (z) anal´ıtica en el disco abierto Dρ = {z |z − a| < ρ} para cierto ρ > 0.
Entonces, f (z) admite desarrollo en serie de Taylor en Dρ , es decir,
∞
f (z) =
n=0
f (n) (a)
(z − a)n ,
n!
∀z ∈ Dρ .
(10.8)
Y por tanto R ≥ ρ, siendo R el radio de convergencia de la serie. Los cn = f (n) (a)/n! son los
coeficientes del desarrollo en serie de Taylor de f (z) en torno a z = a.
Demostraci´
on: Sea 0 < r < ρ, γr la circunferencia de radio r y centro a (con orientaci´on
positiva) y |z − a| < r,
f (z) =
1
2πi
1
=
2πi
=
∞
n=0
γr
γr
f (ζ)
1
dζ =
ζ −z
2πi
f (ζ)
ζ −a
∞
n=0
γr
z−a
ζ −a
f (ζ)
ζ −a
1−
n
dζ =
∞
n=0
f (n) (a)
(z − a)n .
n!
1
dζ
z−a
ζ −a
(z − a)n
1
2πi
γr
f (ζ)
dζ
(ζ − a)n+1
(10.9)
z−a
< 1 para justificar el desarrollo. Dado que f (ζ) es
ζ −a
continua en γr , est´a acotada y la convergencia es uniforme. Esto justifica integrar t´ermino a
En la tercera igualdad se usa que
95
t´ermino. La igualdad (10.9) vale para todo z tal que |z − a| < r y todo r < ρ, por tanto ∀z en
|z − a| < ρ. ♦
Notas: :
1) Toda funci´on anal´ıtica lo es en alg´
un disco por peque˜
no que sea, y se aplica el teorema.
2) El teorema no afirma que f (z) sea anal´ıtica en todo su disco de convergencia DR =
{|z − a| < R} (en cuyo caso coincidir´ıa con la suma de la serie). Por ejemplo la funci´on
f (z) =
ez , z = 1
0, z = 1
(10.10)
es analitica en el disco |z| < 1 y ah´ı coincide con la suma de su serie de Taylor, con radio de
convergencia infinito, pero no es anal´ıtica en z = 1. En general la funci´on f (z) estar´a definida
en un dominio mayor, E, tal que Dρ ⊂ E y la serie y la funci´on pueden no coincidir fuera de
Dρ . El teorema implica que si f (z) y s(z) no coinciden en todo DR , f (z) no puede ser anal´ıtica
en todo DR .
3) El teorema implica que si f (z) es derivable en el entorno de un punto como funci´on compleja, autom´aticamente tambi´en es anal´ıtica en el sentido de desarrollable en serie de potencias
con radio de convergencia no nulo. La misma propiedad no es v´alida para funciones reales.
1
Ejemplo. f (x) = e− |x| , x ∈ R, es derivable (infinitas veces) en todo R, sin embargo no
es anal´ıtica. En efecto, f (n) (0) = 0, n = 0, 1, 2, 3, . . . por tanto la suma de la serie de Taylor
alrededor de x = 0 es id´enticamente cero aunque la funci´on no es id´enticamente cero en un
entorno de x = 0.
10.1.1.
Sobre el c´
alculo de series de Taylor
En principio los coeficientes se pueden calcular sistem´aticamente tomando sucesivas derivadas de la funci´on f (z), tal como se indica en (10.3). Sin embargo, esta no es la u
´nica opci´on y
en muchos casos lo mejor es usar desarrollos de funciones conocidas que aparezcan en f (z).
cos z
. Calc´
ulese su desarrollo en serie de Taylor en torno a
1 + sen(z 2 )
z = 0 hasta orden z 3 inclusive.
Ejemplo. Sea f (z) =
96
Soluci´
on: En este caso las sucesivas derivadas producen expresiones cada vez m´as complicadas. El resultado se obtiene m´as f´acilmente usando los desarrollos conocidos de las funciones
seno y coseno:
1
1
(10.11)
sen w = w − w3 + · · · , cos w = 1 − w2 + · · · .
3!
2!
Denotando O(z n ) los t´erminos del tipo an z n + an+1 z n+1 + · · · , se tiene
1 − 21 z 2 + O(z 4 )
cos z
f (z) =
=
1 + sen(z 2 )
1 + z 2 + O(z 6 )
3
1
= (1 − z 2 + O(z 4 ))(1 − z 2 + O(z 6 )) = 1 − z 2 + O(z 4 ) .
2
2
(10.12)
En la tercera igualdad se ha usado el desarrollo de Taylor de 1/(1 − w):
1
= 1 + w + O(w2 ).
1−w
(10.13)
N´otese que O(z n ) representa distintas series en cada caso, todas ellas con am = 0 si m < n.
Por tanto, z m O(z n ) = O(z n+m ) y tambi´en O(z n )O(z m ) = O(z n+m ).
♦
Definici´
on. Si en z0 la funci´on f (z) es anal´ıtica, se dice que z0 es un punto regular de
f (z), en otro caso se dice que z0 es un punto singular de f (z) (incluidos los puntos en los que
f (z) no est´a definida.)
Ejemplo. Los puntos de ramificaci´on de una funci´on multivaluada son puntos singulares.
Los puntos a, b son puntos singulares de 1/((z − a)(z − b)).
Teorema. Sea f (z) anal´ıtica en z = a, con radio de convergencia R < ∞. Si f (z) es
anal´ıtica en todo el disco {|z − a| < R}, entonces necesariamente tiene alg´
un punto singular en
la frontera {|z − a| = R}.
Demostraci´
on: Si f (z) fuera anal´ıtica en todos los puntos |z − a| ≤ R, habr´ıa un disco
46
mayor {|z − a| < ρ}, ρ > R, en el cual tambi´en ser´ıa anal´ıtica y por tanto coincidir´ıa con su
desarrollo en serie de Taylor en un disco de radio mayor que R, en contra de la hip´otesis de que
R es el radio de convergencia.
46
Si la funci´on es anal´ıtica en todos los puntos de la circunferencia |z − a| = R lo ser´a tambi´en en entornos
de estos puntos y por el teorema de Heine-Borel la circunferencia se podr´a recubrir con un conjunto finito de
tales entornos. De ah´ı que la funci´on ser´ıa anal´ıtica en un disco mayor.
97
1
, x ∈ R, su desarrollo en serie de potencias en torno
1 + x2
a x = 0, 1 − x2 + x4 − x6 + · · · , deja de converger cuando |x| ≥ 1 sin raz´on aparente, ya que
la funci´on es perfectamente bien comportada para todo x real. Esto se entiende yendo al plano
1
complejo: f (z) =
es anal´ıtica excepto en z = ±i. Por lo tanto es anal´ıtica en el disco
1 + z2
|z| < 1 y necesariamente R ≥ 1. Si R fuera mayor que 1 la suma de la serie ser´ıa anal´ıtica
1
en el disco |z| < 1 y el l´ımite
en z = i. Eso es imposible porque la suma de la serie es
1 + z2
cuando z → i es ∞. Se deduce que R = 1.
Ejemplo. Para la funci´on real
Nota: El teorema no afirma que una funci´on f (z) anal´ıtica en z = a con radio de convergencia finito R en su serie de Taylor tenga necesariamente que ser singular en alg´
un punto de
|z − a| = R. Por ejemplo la funci´on
f (z) =
1
1−z
, |z| < 21
0,
z ≥ 12
(10.14)
anal´ıtica en z = 0 con R = 1 es tambi´en anal´ıtica en |z| = 1.
Como regla, el radio de convergencia llega hasta la singularidad m´as pr´oxima, a menos
que esa singularidad se pueda evitar redefiniendo la funci´on de modo que sea anal´ıtica en un
dominio mayor. Singularidades que no se pueden evitar son, entre otras, polos (el l´ımite existe
pero es infinito), singularidades esenciales (el l´ımite no existe) y puntos de ramificaci´on.
√
Ejemplo. Si f (z) = z con el corte de rama en el semieje R+ , y se desarrolla en torno a
z = 1 + i, la singularidad m´as pr´oxima est´a en z = 1 (el punto m´as pr´oximo sobre el corte√de
rama, sobre el cual la funci´on es singular), pero el radio de convergencia es R = |1 + i| = 2.
El desarrollo en serie no ve el corte de rama sino que se extiende por la superficie de Riemann,
y la singularidad que determina R es el punto de ramificaci´on z = 0. N´otese que aunque f (z)
tiene l´ımite en z = 0, su primera derivada ya diverge, y el radio de convergencia es com´
un a
f (z) y todas sus derivadas.
Ejemplo. Si se desarrolla en torno a z = 1 la funci´on f (z) = z/(ez − 1), las singularidad
m´as pr´oxima est´a en z = 0 ya que ah´ı la funci´on no est´a definida (indeterminaci´on de tipo 0/0),
sin embargo esta singularidad se puede eliminar definiendo f (0) = 1. El radio de convergencia
es R = |2πi − 1| (ez − 1 se anula en 2πin, n ∈ Z).
Teorema. (Teorema de Liouville.) Si f (z) es entera y acotada entonces debe tomar un valor
constante sobre todo el plano complejo.
98
Demostraci´
on: Si f (z) no tiene puntos singulares en C entonces ser´a desarrollable en serie
en torno a 0 (por ejemplo) con radio de convergencia infinito
∀z ∈ C f (z) =
∞
cn z n .
(10.15)
n=0
Adem´as por hip´otesis |f (z)| < K para cierto K > 0. Por las desigualdades de Cauchy |cn | <
pero R = ∞. Esto implica que cn = 0 para todos los n excepto c0 . Es decir, f (z) = c0 . ♦
K
,
Rn
Nota: El teorema de Liouville implica que una funci´on no puede ser regular (en el sentido
complejo) en todos los puntos, incluido el ∞, a menos que sea trivial (constante). Esto no ocurre
para funciones reales. Por ejemplo, f (x) = 1/(1 + x2 ) es regular en todo el eje real (incluido el
infinito).
10.2.
Teoremas de unicidad
Teorema. Sean f (z) y g(z) dos funciones anal´ıticas en un disco abierto D centrado en z0
y sea E ⊂ D tal que z0 es un punto de acumulaci´on de E. Entonces, si f (z) = g(z) para todo
z de E tambi´en f (z) = g(z) en todo el disco D.
Demostraci´
on: Por ser anal´ıticas, f (z) y g(z) admiten desarrollo en serie de Taylor en
D (es decir, coinciden con las sumas de sus series de Taylor en D). Se va a probar que los
coeficientes del desarrollo est´an determinados exclusivamente por el valor de las funciones en
E. Como las dos funciones coinciden en E los coeficientes del desarrollo ser´an id´enticos y por
tanto las dos funciones coincidir´an en D. En efecto,
f (z) =
∞
n=0
cn (z − z0 )n ,
z ∈ D.
(10.16)
f (z) es continua en z0 y este punto se puede alcanzar tomando el l´ımite dentro de E, es decir,
c0 = f (z0 ) = l´ım f (z) = l´ım f (z).
z→z0
z→z0
(10.17)
z∈E
Para obtener c1 definimos
f1 (z) =
f (z) − f (z0 )
=
z − z0
99
∞
n=0
cn+1 (z − z0 )n ,
(10.18)
z
C
G
z0
Figura 32: Extensi´on anal´ıtica a base de discos centrados en una curva C que une el punto fijo
z0 con un punto z cualquiera del dominio G.
f1 (z) es anal´ıtica en D, por tanto
c1 = f1 (z0 ) = l´ım f1 (z).
z→z0
(10.19)
z∈E
Los dem´as coeficientes se obtienen definiendo sucesivamente fn (z) = (fn−1 (z) − fn−1 (z0 ))/(z −
z0 ), de modo que cn = fn (z0 ) se obtiene con valores s´olo en E. ♦
Teorema. (Unicidad de funciones anal´ıticas.) Sean f (z) y g(z) dos funciones anal´ıticas en
un mismo dominio G, y supongamos que f (z) = g(z) en los puntos de un subconjunto E de G,
tal que E tiene un punto l´ımite z0 ∈ G. Entonces f (z) = g(z) ∀z ∈ G.
Demostraci´
on: Todo otro punto z ∈ G puede unirse con z0 mediante un arco C contenido
en G. Cada punto zk de C es el centro de un disco abierto Dk contenido en G y en cada disco
f (z) coincide con su desarrollo en serie de Taylor, y lo mismo g(z). La uni´on de estos discos
recubre C y por el teorema de Heine-Borel basta un n´
umero finito para hacerlo. Adem´as se
pueden elegir de modo que cada disco contenga el centro del siguiente disco,47 siendo D0 el
primer disco, con centro z0 . (V´ease la fig. 32.) En D0 la funciones f (z) y g(z) coinciden, ya que
sus desarrollos en serie son iguales. El siguiente disco, D1 , tiene intersecci´on no vac´ıa con el
47
V´ease por ejemplo el libro de Silverman.
100
primero. f (z) = g(z) en D0 ∩ D1 y adem´as este subconjunto tiene a z1 (el centro de D1 ) como
punto de acumulaci´on, por tanto f (z) y g(z) tambi´en coinciden en todo D1 . Y as´ı sucesivamente
hasta llegar al u
´ltimo disco, que contiene a z. ♦
Nota: Este resultado es muy fuerte ya que implica que una funci´on anal´ıtica en un dominio
G queda completamente determinada por su valor sobre un peque˜
no entorno de un punto, o
sobre un trozo de curva, por peque˜
no que sea. En particular, si f (z) se anula sobre un arco
ser´a id´enticamente 0 en todo G (siendo G un dominio que contenga al arco y en el que f (z)
sea anal´ıtica). La f´ormula integral de Cauchy permit´ıa reconstruir una funci´on anal´ıtica en el
interior de una curva cerrada si se conoc´ıa sobre la curva. Aqu´ı se ve que en realidad basta un
arco cualquiera de la curva para que la funci´on quede un´ıvocamente determinada. Por otra parte
el teorema tambi´en nos indica la poca flexibilidad y limitaciones de las funciones anal´ıticas.
Por ejemplo, si f1 (x) es una funci´on de [a1 , b1 ] en R infinitamente diferenciable (de clase C ∞ ) y
f2 (x) de [a2 , b2 ] en R, con b1 < a2 , tambi´en C ∞ , es posible definir f (x) C ∞ no u
´nica, en [a1 , b2 ]
tal que coincida con f1 y con f2 en sus respectivos intervalos. Una construcci´on an´aloga no es
posible en general para funciones anal´ıticas (de variable real o compleja), ya que la funci´on f1
en el primer dominio determinar´ıa f en el segundo dominio y all´ı podr´ıa no coincidir con f2 .
Definici´
on. Sea f (z) una funci´on compleja. Un punto z0 es un cero de f (z) si f (z0 ) = 0. Si
f (z) es anal´ıtica en un entorno de z0 y no id´enticamente nula, entonces no todos los coeficientes
de su desarrollo de Taylor en torno a z0 pueden se nulos. Si m es el primer valor de n tal que
cn = 0 se dice que z0 es un cero de orden m de f (z) y en este caso f (z) = cm (z − z0 )m + · · · =
(z − z0 )m g(z) siendo g(z) otra funci´on anal´ıtica con el mismo radio de convergencia y tal que
g(z0 ) = 0. Cuando m = 1 se dice que z0 es un cero simple, en otro caso es m´
ultiple. Si z0 es
un cero de orden m, f (n) (z0 ) = 0 para n < m y f (m) (z0 ) = 0.
Ejemplo. Para f (z) = z 2 (z − 1), z = 0 es un cero doble y z = 1 es un cero simple.
Teorema. Si f (z) es una funci´on anal´ıtica en un dominio G en el cual no es id´enticamente
nula, sus ceros en G son aislados. (Es decir, todo cero z0 admite un entorno en el que no hay
otros ceros de f (z).)
Demostraci´
on: Si los ceros no fueran aislados f (z) se anular´ıa en un conjunto E (el
conjunto de los ceros de f (z)) con z0 como punto de l´ımite y en este caso la funci´on ser´ıa
id´enticamente cero.
Ejemplo. Para f (z) = sen(1/z) los ceros est´an en zn = 1/(2πin), n ∈ Z, con punto de
acumulaci´on z = 0. Sin embargo, no hay contradicci´on ya que sen(1/z) no es anal´ıtica en z = 0.
101
10.3.
Principio del m´
odulo m´
aximo
Teorema. (Principio del m´odulo m´aximo.) Si f (z) es anal´ıtica y no constante en un dominio
G entonces no existe un z0 ∈ G tal que |f (z0 )| ≥ |f (z)| ∀z ∈ G. Es decir, |f (z)| no alcanza un
m´aximo en ning´
un punto de G.
Demostraci´
on: Supongamos que para cierto z0 ∈ G |f (z0 )| ≥ |f (z)| ∀z ∈ G. Podemos
suponer que f (z0 ) = 0, ya que en otro caso f (z) = 0, ser´ıa constante. Sea g(z) := f (z)/f (z0 ) =
u(z) + iv(z) (u, v reales) entonces g(z0 ) = 1 ≥ |g(z)| ≥ |u(z)|.
Por la f´ormula integral de Cauchy (siendo γR un circunferencia contenida en G centrada en
z0 , radio R y orientaci´on positiva)
1 = g(z0 ) =
1
2πi
γR
1
g(z)
dz =
z − z0
2π
2π
g(z0 + Reiθ ) dθ .
(10.20)
0
Para la parte real esto implicar´ıa
0=
1
2π
2π
0
1 − u(z0 + Reiθ ) dθ .
(10.21)
Dado que 1 − u ≥ 0 y u es continua se deducir´ıa que u = 1 sobre la circunferencia, y por tanto
v = 0 (ya que 1 ≥ |g|2 = 1 + v 2 ). Es decir, g(z) = 1 ser´ıa constante sobre la circunferencia, y
por tanto constante en todo el dominio, y lo mismo f (z). ♦
¯ la correspondiente regi´on cerrada (G junto
Corolario: Sea G un dominio acotado y sea G
¯ |f (z)| tiene un m´aximo
con su frontera). Entonces, si f (z) es anal´ıtica en G y continua en G,
en la frontera.
Demostraci´
on: Una funci´on real continua siempre alcanza un m´aximo en un conjunto
¯ tiene que estar en su frontera.
compacto. Puesto que el m´aximo no est´a en el interior de G
Corolario: (Principio del m´odulo m´ınimo.) Si f (z) es anal´ıtica en G, no se anula en ning´
un
punto y no es constante, entonces |f (z)| no puede tener un m´ınimo en G. Si f (z) es continua
¯ y esta regi´on es acotada, el m´ınimo se alcanza en la frontera.
en G
Demostraci´
on: Basta aplicar el principio del m´odulo m´aximo y los corolarios a la funci´on
1
.
f (z)
102
Dicho de otro modo, si f (z) es anal´ıtica, |f (z)| no tiene m´aximos locales. Si adem´as no se
anula tampoco puede tener m´ınimos locales.
103
11.
Series de Laurent
11.1.
Desarrollo de Laurent de una funci´
on anal´ıtica
11.1.1.
Series de potencias negativas
1
. Si queremos una aproximaci´on u
´til cuando |z| es
1+z
peque˜
no podemos usar un desarrollo en serie de Taylor en torno a z = 0
Ejemplo. Sea la funci´on f (z) =
1
= 1 − z + z2 − z3 + · · · ,
1+z
|z| < 1 .
(11.1)
La serie truncada proporciona una aproximaci´on que mejora cuanto menor es |z| y cuantos m´as
t´erminos se retengan.
Si se quiere una aproximaci´on u
´til para z grande se puede hacer un desarrollo de Taylor en
potencias de 1/z (que es peque˜
no si z es grande):
1 1
1
=
1+z
z1+
1
z
=
1
1
1
− 2 + 3 + ··· ,
z z
z
para
1
< 1 o sea |z| > 1 .
z
(11.2)
Es decir, una serie de potencias negativas. ♦
∞
1
, sea r := l´ım |cn |1/n . Entonces la serie converge
n
n→∞
(z − a)
n=0
absolutamente en |z − a| > r y diverge en |z − a| < r, siendo 0 ≤ r ≤ +∞.
Teorema. Dada la serie
cn
1
y aplicar los teoremas de la serie de Taylor a la
z−a
1
serie de potencias en ζ, teniendo en cuenta que |z − a| ≶ r implica ζ ≷ .
r
Demostraci´
on: Basta tomar ζ =
Nota: Es decir, para series de potencias negativas, hay convergencia absoluta en el exterior
de un disco y divergencia en el interior, al contrario de lo que ocurre para series de potencias
positivas. Cuando la serie de potencias negativas es finita, (es decir, todos los cn se anulan a
partir de uno dado) r = 0 y la suma es anal´ıtica en todo el plano complejo excepto quiz´a z = a.
Definici´
on. Una serie de potencias con potencias positivas y negativas se denomina serie
de Laurent. La parte de potencias no negativas es la parte regular de la serie. La parte de
104
y
z
+
r
a
x
0
Figura 33: La zona sombreada es el dominio de convergencia de la serie de potencias negativas.
potencias negativas es la parte principal.
∞
n=−∞
n
cn (z − a) :=
∞
n=0
n
cn (z − a) +
Parte regular
∞
m=1
c−m
1
.
(z − a)m
(11.3)
Parte principal
La serie de Laurent converge, por definici´on, sii las partes regular y principal convergen.
Teorema. Dada una serie de Laurent, sea R =
1
y sea r = l´ım |c−m |1/m . Entonm→∞
l´ım |cn |1/n
n→∞
ces, si r < R,
a) la serie converge absolutamente en el dominio G = {r < |z − a| < R} (corona circular
de convergencia absoluta, v´ease fig. 34).
b) la serie es uniformemente convergente en todo subconjunto compacto de G, y
c) la suma es anal´ıtica en G.
Demostraci´
on: Como series de potencias, estas propiedades se cumplen en |z −a| < R para
la parte regular y en |z − a| > r para la parte principal. Entonces se cumple en la intersecci´on,
r < |z − a| < R, para la serie de Laurent.
105
R
r
+
a
Figura 34: Corona circular de convergencia absoluta r < |z − a| < R (los bordes no est´an
incluidos).
Nota: Para una serie de Laurent siempre se supondr´a r < R. Si r = 0 la corona de
convergencia absoluta es el disco reducido de radio R, 0 < |z − a| < R. Si R = +∞ la corona
es el exterior del disco de radio r, r < |z − a|. Si r = 0 y R = +∞, hay convergencia absoluta
en todo C excepto quiz´a z = a.
Teorema. Dada una serie de Laurent con suma s(z) en r < |z − a| < R, los coeficientes
satisfacen
s(z)
1
dz,
n = 0, ±1, ±2, . . .
(11.4)
cn =
2πi γρ (z − a)n+1
siendo γρ una circunferencia (con orientaci´on positiva) centrada en a de radio ρ, r < ρ < R.
Demostraci´
on:
1
2πi
γρ
s(z)
1
dz
=
(z − a)n+1
2πi
1
=
2πi
=
∞
k=−∞
= cn .
γρ
∞
k=−∞ ck (z −
(z − a)n+1
∞
γρ k=−∞
ck
1
2πi
a)k
dz
ck (z − a)k−n−1 dz
γρ
(z − a)k−n−1 dz
(11.5)
Se ha usado la convergencia uniforme para intercambiar suma e integral. En el u
´ltimo paso se
n
usa que γρ (z − a) dz (n ∈ Z) es 2πi si n = −1 y 0 en otro caso. ♦
106
N´otese que la integral no depende de ρ. Se deduce que los coeficientes son u
´nicos en el
sentido de que no hay dos series de Laurent con distintos coeficientes que den la misma suma.
Definici´
on. Si una funci´on f (z) coincide con la suma de (11.3) en r < |z − a| < R se dice
que admite desarrollo en serie de Laurent en esa corona circular. Ese desarrollo es u
´nico
(en dicha corona) y ah´ı la funci´on es anal´ıtica.
El desarrollo de Laurent es una extensi´on del desarrollo de Taylor que puede aplicarse a
funciones no anal´ıticas en el punto en el que se desarrolla.
ez
Ejemplo. f (z) =
no admite desarrollo en serie de Taylor en z = 0 pero s´ı admite
z
desarrollo de Laurent:
1
z2 z2
1
z
z2
ez
= (1 + z +
+
+ ···) = + 1 + +
+ ··· ,
z
z
2!
2!
z
2! 3!
0 < |z| < +∞ .
(11.6)
Notablemente, las funciones que admiten desarrollo de Laurent no son excepcionales:
Teorema. Si f (z) es anal´ıtica en la corona E = {ρ1 < |z − a| < ρ2 } entonces admite
desarrollo de Laurent convergente en E,
∀z ∈ E
∞
f (z) =
n=−∞
cn (z − a)n .
(11.7)
Adem´as, E est´a contenido en el dominio de convergencia de la serie de Laurent, es decir, si r
y R denotan los radios de convergencia de la serie, se tiene r ≤ ρ1 < ρ2 ≤ R.
Demostraci´
on: La u
´ltima parte de la proposici´on, que E est´a contenido en el dominio
de convergencia de la serie, se deduce de la primera parte ya que la serie converge en E. Si
la proposici´on es cierta los coeficientes cn est´an totalmente fijados por (11.4). Entonces para
z ∈ E, hay que demostrar que f (z) = f+ (z) + f− (z) con
f+ (z) :=
∞
n=0
n
cn (z − a) ,
f− (z) :=
∞
n=1
c−n
1
.
(z − a)n
(11.8)
Sea ρ = |z−a| (ρ1 < ρ < ρ2 ). Para calcular cn usamos (11.4) integrando sobre una circunferencia
de radio ρ+ con ρ < ρ+ < ρ2 , si n ≥ 0 y una circunferencia de radio ρ− con ρ1 < ρ− < ρ, si
107
ζ
z
0
C
a
r
γρ
γρ
+
R
Figura 35: El camino γ, que empieza en ζ0 , recorre γρ+ , luego pasa por C, recorre γρ− en sentido
horario y vuelve a pasar por C al rev´es, es cerrado y contenido en un dominio de analiticidad
de la funci´on f (ζ); la f´ormula integral de Cauchy se aplica y produce f (z). (En la figura se ha
tomado ρ1 = r y ρ2 = R.)
n < 0.
f+ (z) =
f− (z) =
∞
n=0
∞
n=1
(z − a)n
2πi
γρ+
1
1
n
(z − a) 2πi
1
f (ζ)
dζ =
n+1
(ζ − a)
2πi
γρ−
γρ+
f (ζ)
dζ ,
ζ −z
f (ζ)(ζ − a)n−1 dζ = −
1
2πi
γρ−
f (ζ)
dζ .
ζ −z
(11.9)
[Obs´ervese que cn calculados integrando en (11.4), no dependen de los valores ρ± elegidos
(siempre que ρ1 < ρ± < ρ2 ), pero ρ− < ρ < ρ+ garantiza que las series en (11.9) convergen
absoluta y uniformemente, lo cual permite intercambiar suma con integral.] Si γ es el contorno
que recorre γρ+ en sentido positivo y γρ− en sentido negativo, se deduce
f+ (z) + f− (z) =
1
2πi
γ
f (ζ)
dζ = f (z) .
ζ −z
(11.10)
La u
´ltima igualdad es consecuencia de que γ equivale a un camino cerrado positivo contenido
en un dominio de analiticidad simplemente conexo de f (z) y que encierra a z (v´ease la fig. 35).
Esto demuestra la proposici´on. ♦
108
Igual que para las series de Taylor tambi´en aqu´ı se deduce que si f (z) admite desarrollo de
Laurent centrada en z = a con radios de convergencia r y R, entonces, si r > 0 necesariamente
f (z) debe tener al menos un punto singular en la circunferencia |z − a| = r, y si R < +∞
necesariamente f (z) debe tener al menos un punto singular en la circunferencia |z − a| = R.
[De otro modo la corona de convergencia se podr´ıa extender m´as all´a de r < |z − a| < R.]
Nota: Para una misma funci´on f (z) y un mismo punto a, los coeficientes del desarrollo de
Laurent de f (z) alrededor de a pueden cambiar al cambiar de corona circular.
1
es regular excepto en z = 0 y z = 1. Podemos
z(1 − z)
considerar dos desarrollos de Laurent centrados en z = 0:
Ejemplo. La funci´on f (z) =
1
a) Corona 0 < |z| < 1. f (z) =
z
1
b) Corona 1 < |z|. f (z) = − 2
z
∞
n=0
n
z =
∞
zn.
n=−1
1
1
=− 2
1
z
1−
z
∞
n=0
∞
−2
1
1
=−
=−
zn.
n
n
z
z
n=2
n=−∞
1
(regular en z = 0) igualmente se pueden considerar desa1−z
rrollos en la mismas coronas y los cn tambi´en son distintos en cada una. La diferencia con el
1
1
caso f (z) =
es que para
el desarrollo en la “corona” 0 < |z| < 1 no tiene parte
z(1 − z)
1−z
principal (potencia negativas) y de hecho vale en 0 ≤ |z| < 1. ♦
Obviamente, para la funci´on
N´otese que los desarrollos no siempre corresponden a |z − a| muy peque˜
no o muy grande.
Por ejemplo,
1
1
1
1
z
z2 z3
1
= + 2 + 3 + ··· + + 2 + 3 + 4 + ··· ,
(1 − z)(z − 2)
z z
z
2 2
2
2
1 < |z| < 2.
(11.11)
En este ejemplo la parte regular diverge is |z| > 2 y la principal diverge si |z| < 1.
Teorema. (Desigualdades de Cauchy.) Si f (z) es anal´ıtica en una corona E = {ρ1 <
|z − a| < ρ2 } y tambi´en acotada en E, |f (z)| ≤ K ∀z ∈ E, entonces
|cn | ≤
K
,
ρn2
|c−n | ≤ Kρn1 ,
109
n = 0, 1, 2, . . .
(11.12)
Demostraci´
on: Se aplica (11.4) integrando sobre la circunferencia de radio ρ, ρ1 < ρ < ρ2 ,
y mediante el teorema de la p´agina 44 (Sec. 5.2) se obtiene
|cn | ≤
K
ρn
n = 0, ±1, ±2, . . .
(11.13)
Dado que este resultado vale para cada n para todo ρ entre ρ1 y ρ2 , se deduce el enunciado,
que da la cotas ´optimas. ♦
11.2.
Puntos singulares aislados
Definici´
on. Sea z0 ∈ C y sea f (z) anal´ıtica en 0 < |z − z0 | < R (para cierto R, 0 < R ≤
+∞) y no anal´ıtica en z0 . En este caso se dice que z0 es un punto singular aislado de f (z).
N´otese que la funci´on puede o no estar definida en z = z0 .
ez
. Numerador y denominador son funciones enteras. z = 0 es
sen z
un punto singular, ya que es un cero (simple) de sen z y es punto singular aislado porque la
funci´on es anal´ıtica en 0 < |z| < π.
Ejemplo. Sea f (z) =
Ejemplo. z = 0 no es un punto singular aislado de log z porque es una funci´on multivaluada.
Tampoco lo es de Log z ya que en este caso todos los puntos z ≥ 0 son singulares. Tampoco
z = 0 en la superficie de Riemann del logaritmo (no es el plano complejo). Los puntos de
ramificaci´on no son puntos singulares aislados.
1
. Los puntos finitos en los que se anula el denominador son
sen(1/z)
singulares, zn = 1/(πn) (n = 0). Tambi´en es singular el punto l´ımite de ´estos, z = 0 (ya que
f (z) no es derivable en todos los puntos de ning´
un entorno de z = 0). Los puntos z = zn son
puntos singulares aislados, z = 0 no es un punto singular aislado (es singular, pero no aislado).
Ejemplo. Sea f (z) =
N´otese que el conjunto formado por funciones que en z0 tienen a lo sumo una singularidad
aislada es cerrado bajo suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on.
En las condiciones de la definici´on anterior, la funci´on f (z) admite un desarrollo de Laurent
f (z) =
∞
n=−∞
cn (z − z0 )n ,
0 < |z − z0 | < R .
Esto permite clasificar los puntos singulares aislados en tres clases:
110
(11.14)
a) No hay potencias negativas: cn = 0 ∀n < 0. Se denomina singularidad evitable. La
funci´on
∞
f (z) , z = z0
ϕ(z) =
cn (z − z0 )n =
(11.15)
c0 , z = z0
n=0
es anal´ıtica en z = z0 y coincide con f (z) cuando z = z0 . Es decir, f (z) admite una
definici´on (o redefinici´on) en z = z0 de modo que sea anal´ıtica.
z
z2
ez − 1
no est´a definida en z = 0 sin embargo f (z) = 1 + + + · · ·
z
2! 3!
cuando z = 0 y es anal´ıtica si se define f (0) = 1.
Ejemplo. f (z) =
Se puede demostrar que la singularidad es evitable sii existe el l´ımz→z0 f (z) y ´este es finito.
b) Hay un n´
umero finito no nulo de potencias negativas: Para cierto m > 0 c−m = 0 y
cn = 0 ∀n < −m. En este caso z0 es un polo de orden m de f (z).
m
∞
f (z) =
n=1
c−n
+
cn (z − z0 )n ,
(z − z0 )n n=0
c−m = 0
(m ≥ 1) .
(11.16)
El polo es simple si m = 1 y m´
ultiple si m > 1.
∞
La funci´on g(z) =
n=0
cn−m (z − z0 )n =
R. Como g(z0 ) = 0
(z − z0 )m f (z) , z = z0
es anal´ıtica en |z − z0 | <
c−m ,
z = z0
l´ım f (z) = l´ım
z→z0
z→z0
g(z)
= ∞.
(z − z0 )m
(11.17)
Se puede demostrar que la singularidad aislada es de tipo polo sii l´ımz→z0 f (z) existe y
´este es ∞.

 1 , z=z
m
(z − z0 )
0
es anal´ıtica en z = z0 y este punto es un
= f (z)
La funci´on
 0,
g(z)
z=z
0
cero de orden m. Y viceversa, si una funci´on h(z) es anal´ıtica y tiene un cero de orden
m en z0 , 1/h(z) tiene un polo de orden m. [En efecto, h(z) = (z − z0 )m G(z) G(z)
anal´ıtica y G(z0 ) = 0, entonces 1/G(z) tambi´en es anal´ıtica en z0 y por tanto 1/h(z) =
(1/G(z))(1/(z − z0 )m ) tiene un polo de orden m.]
1
ez
tiene un polo simple en z = 0 ya que
= e−z sen z es entera
Ejemplo. f (z) =
sen z
f (z)
con un cero simple en 0.
111
c) Hay un n´
umero infinito de potencias negativas: Para todo m < 0 existe n < m tal que
cn = 0. En este caso z0 es una singularidad esencial de f (z).
1 1
1 1
1
+ ··· +
+ · · · , converge para todo z = 0.
Ejemplo. f (z) = e1/z = 1 + +
2
z 2! z
n! z n
z
1 1
1
1
Ejemplo. f (z) =
=
1 = 1 + + 2 + 3 · · · , (|z| > 1) tiene infinitas potencias
z−1
z z
z
1− z
negativas, pero z = 0 no es una singularidad esencial de f (z), ya que este desarrollo no
tiene lugar en el anillo 0 < |z| < R. (De hecho, z = 0 es un punto regular de f (z).)
Por exclusi´on, una singularidad es esencial si el l´ımz→z0 f (z) no existe. [Si existiera ser´ıa,
bien finito (evitable) o infinito (polo).] De hecho cuando z → z0 , f (z) se puede aproximar
tanto como se desee a cualquier valor prefijado, finito o infinito:
Teorema. (Teorema de Casorati-Weierstrass.) Sea z0 una singularidad esencial de f (z)
y sea α ∈ C∗ entonces existe una sucesi´on zn con l´ımite z0 tal que l´ımn→∞ f (zn ) = α.
Demostraci´
on: (Ver, por ejemplo, el libro de Silverman.)
De hecho hay una afirmaci´on m´as fuerte:
Teorema. (Teorema de Picard.) Si z0 es una singularidad esencial de f (z), para cualquier
α ∈ C (excepto a lo sumo un punto α0 adem´as de ∞) existe una sucesi´on zn → z0 tal que
f (zn ) = α.
Ejemplo. Sea f (z) = e1/z para z = 0. La funci´on tiene una singularidad esencial en z = 0.
Para α = ∞ del teorema de Casorati-Weierstrass, tomamos zn = 1/n, e1/zn = en → ∞.
Para α = 0, tomamos zn = −1/n, e1/zn = e−n → 0. Para α cualquiera excepto 0, ∞,
elegimos z tal que e1/z = α, con soluci´on z = zn = 1/( Log α + 2πin). Entonces zn → 0 y
e1/zn = α por construcci´on. zn es la soluci´on que existe por el teorema de Picard, siendo
α = 0, ∞ los valores excluidos por el teorema.
Si z0 es una singularidad esencial de f (z) tambi´en lo es de 1/f (z), ya que tampoco 1/f (z)
tiene l´ımite en z0 .
De lo visto sobre singularidades aisladas se deduce que cuando (i) f (z) es una funci´on
anal´ıtica en la corona 0 < |z − z0 | < R, (ii) f (z) no es id´enticamente 0, y (iii) z0 no es una
singularidad esencial, entonces, f (z) = (z − z0 )m g(z) donde m ∈ Z, g(z) es anal´ıtica en el disco
|z − z0 | < R, y g(z0 ) = 0. m y g(z) son u
´nicos. Podemos decir que f (z) es de clase (z − z0 )m .
Cuando m > 0 z0 es un cero de orden m de f (z), y cuando m < 0, z0 es un polo de orden −m
de f (z). Si f (z) y h(z) son funciones de clase (z − z0 )m y (z − z0 )n , respectivamente, entonces
f (z)h(z) es de clase (z − z0 )m+n y f (z)/h(z) de clase (z − z0 )m−n .
112
Definici´
on. Se dice que una funci´on f (z) es meromorfa en un dominio G si es anal´ıtica
en G salvo singularidades aisladas de tipo polo. Una funci´on es meromorfa (sin explicitar el
dominio) si lo es en C.
El conjunto de funciones anal´ıticas en un dominio es cerrado bajo derivaci´on, suma, resta
y multiplicaci´on pero no divisi´on. El conjunto de funciones meromorfas es cerrado tambi´en
respecto de la divisi´on (excluida la divisi´on por la funci´on id´enticamente cero).
ϕ(z)
, siendo ϕ(z) y ψ(z) anal´ıticas en un
ψ(z)
dominio G (y ψ(z) no id´enticamente cero en G) son meromorfas en G. En efecto, f (z) es
anal´ıtica salvo en los ceros de ψ(z) (que son aislados). Si z0 es un cero de orden m de ψ(z) y
ϕ(z0 ) = 0, z0 es un polo de orden m de f (z). Si z0 es un cero de orden n de ϕ(z), entonces,
si n < m z0 es un polo de orden m − n de f (z), si n ≥ m z0 es una singularidad evitable:
definiendo f (z0 ) = l´ımz→z0 f (z) la funci´on es anal´ıtica en z0 . Si n > m, z0 es un cero de orden
n − m de f (z). Por otro lado toda funci´on meromorfa con un n´
umero finito de polos se puede
escribir como el cociente de una funci´on anal´ıtica dividida por un polinomio.
En particular, las funciones del tipo f (z) =
11.3.
Del c´
alculo de series de Laurent:
En principio cada coeficiente se puede obtener usando (11.4), pero esto no es pr´actico en
general para obtener expresiones expl´ıcitas (una f´ormula). A diferencia de la serie de Taylor,
no hay un algoritmo para obtener cada coeficiente de Laurent para funciones generales.
Ejemplo. f (z) = ez+1/z alrededor de z = 0. ez admite desarrollo calculable en potencias
de z y e1/z en potencias de 1/z, pero al multiplicarlas, el coeficiente de z n recibe infinitas
∞
1
contribuciones. Por ejemplo c0 =
. ♦
(n!)2
n=0
Esencialmente en los casos en los que se puede obtener una expresi´on expl´ıcita es por
reducci´on al caso de una singularidad aislada m´as c´alculo de serie de Taylor.
cos(z)
, en |z| < π. Tiene un polo triple en z = 0. La funci´on g(z) =
sen3 (z)
z 3 f (z) tiene una singularidad evitable en z = 0, por tanto admite desarrollo en serie de Taylor.
El desarrollo de Laurent de f (z) dividiendo el desarrollo de g(z) por z 3 . ♦
Ejemplo. f (z) =
113
Ejemplo. f (z) = z 2 log 1 +
1
z
en |z| > 1. Haciendo el cambio w = 1/z, la funci´on auxiliar
1
g(w) = 2 log(1 + w) tiene un polo doble en w = 0. Como antes, se puede cancelar el polo y
w
desarrollar en serie de Taylor en w. El desarrollo de Laurent original se obtiene deshaciendo el
cambio de variable. ♦
11.4.
Residuos
Definici´
on. Sea z0 un punto singular aislado de f (z),
f (z) =
∞
n=−∞
cn (z − z0 )n ,
0 < |z − z0 | < R .
(11.18)
El coeficiente c−1 se denomina el residuo de f (z) en z0 y se denota Res f (z). De acuerdo con
z=z0
(11.4) para n = −1:
Res f (z) = c−1 =
z=z0
1
2πi
f (z) dz ,
(11.19)
γρ
siendo γρ una circunferencia orientada positivamente, de centro z0 y radio ρ < R.
Nota: c−1 s´olo es el residuo de f (z) en z0 para el desarrollo referido a 0 < |z − z0 | < R, no
el coeficiente c−1 correspondiente a otras coronas circulares.
Teorema. (Teorema de los residuos.) Sea C una curva cerrada, simple, suave a trozos y
orientada positivamente. Sea f (z) anal´ıtica sobre C y tambi´en en su interior salvo por un
conjunto finito de puntos singulares aislados (interiores a C), z1 , . . . , zn .48 Entonces
n
f (z) dz = 2πi
C
Res f (z) .
k=1
z=zk
(11.20)
Demostraci´
on: Para cada uno de los puntos singulares zk sea γk una circunferencia orientada positivamente centrada en zk , tal que est´e contenida en el interior de C y que no rodee
48
En realidad, dado que C define una regi´
on cerrada acotada el hecho de que las singularidades sean aisladas
autom´aticamente garantiza que hay un n´
umero finito de ellas.
114
ning´
un otro punto singular. Entonces,
n
n
f (z) dz =
C
f (z) dz =
k=1
γk
2πi Res f (z) .
k=1
(11.21)
z=zk
La primera igualdad usa la propiedad (5.20) (v´ease Sec 5.3). La segunda, igualdad usa (11.19).
♦
Ejemplo. C´alculo de I =
|z|=2
ez
dz, n ∈ Z mediante el teorema de residuos.
(z − 1)n
Soluci´
on: Si n ≤ 0 no hay ning´
un punto singular sobre la circunferencia o su interior y la
integral se anula. Si n > 0 la u
´nica singularidad del integrando es un polo de orden n en z = 1
ez
.
que est´a rodeada por la circunferencia. Por el teorema de los residuos I = 2πi Res
z=1 (z − 1)n
Para calcular el residuo desarrollamos el integrando en serie de Laurent
e
e
ez
z−1
=
e
=
(z − 1)n
(z − 1)n
(z − 1)n
1 + (z − 1) +
El coeficiente c−1 corresponde a k = n − 1: c−1
(z − 1)2
(z − 1)k
+ ··· +
+ ···
2!
k!
(11.22)
e
=
(n − 1)!

 2πie ,
n = 1, 2, 3, . . .
I = (n − 1)!

0,
n = 0, −1, −2, . . . ♦
11.4.1.
.
(11.23)
C´
alculo de residuos
Si la singularidad es evitable el residuo se anula. Si la singularidad es esencial debe calcularse
el desarrollo en serie de Laurent. Queda el caso de una singularidad tipo polo.
a) Polo de orden m. Sea z = z0 un polo de orden m de f (z):
f (z) =
c−m
c−1
+ ··· +
+ c0 + c1 (z − z0 ) + · · · ,
m
(z − z0 )
z − z0
c−m = 0 .
(11.24)
Por tanto la funci´on
(z − z0 )m f (z) = c−m + · · · + c−1 (z − z0 )m−1 + c0 (z − z0 )m + · · ·
115
(11.25)
es anal´ıtica. Se obtiene entonces la regla
Res f (z) = “ (m − 1)-´esimo coeficiente de Taylor de (z − z0 )m f (z) en z = z0 ”.
z=z0
(11.26)
En particular, se puede usar la f´ormula
Res f (z) = l´ım
z=z0
z→z0
1
dm−1
(z − z0 )m f (z) .
(m − 1)! dz m−1
(11.27)
(Recu´erdese, sin embargo, que derivar m − 1 veces no siempre es lo m´as eficiente para
obtener el coeficiente de Taylor.)
b) Polo simple. En este caso m = 1 y (11.27) implica
Res f (z) = l´ım (z − z0 )f (z) .
z=z0
z→z0
(11.28)
Si f (z) = g(z)h(z) donde el polo lo lleva h(z), el c´alculo del residuo se puede simplificar
usando la propiedad
Res f (z) = g(z0 ) Res h(z)
z=z0
z=z0
(polo simple)
(11.29)
que es consecuencia inmediata de (11.28). La misma propiedad no se aplica en el caso de
polos m´
ultiples.
ϕ(z)
donde ϕ(z), ψ(z) son anal´ıticas en z = z0 y ψ(z) tiene un cero simple en
Si f (z) =
ψ(z)
z0 (por tanto ψ ′ (z0 ) = 0), entonces
Res f (z) = l´ım ϕ(z)
z=z0
z→z0
ϕ(z0 )
(z − z0 )
= ′
,
ψ(z)
ψ (z0 )
(11.30)
donde se ha aplicado la regla de L’Hˆopital (v´ease Sec. 4.2).
cos z
en z = πn ∈ Z. Los ceros de sen z son simples
sen z
y cos z no se anula en ellos, por tanto se trata de polos simples y se aplica (11.30):
Ejemplo. Residuo de f (z) = cotg z =
cos z
cos z
=
z=πn sen z
cos z
Res
116
z=πn
= 1. ♦
(11.31)
11.4.2.
Residuo en el punto del infinito
Sea E un subconjunto acotado de C, y sea f (z) anal´ıtica en C − E. Entonces, para un
z0 ∈ C cualquiera puede tomarse R suficientemente grande de modo que E ⊂ {|z − z0 | < R} y
f (z) ser´a anal´ıtica en R < |z − z0 | < ∞. Sea
∞
f (z) =
n=−∞
cn (z − z0 )n ,
R < |z − z0 | < ∞
(11.32)
el desarrollo de Laurent asociado. Se define el residuo de f (z) en z = ∞
Res f (z) = −c−1 .
(11.33)
z=∞
(Obs´ervese el signo menos en la definici´on.) Usando la f´ormula general (11.4)
Res f (z) = −c−1 = −
z=∞
1
2πi
f (z) dz ,
(11.34)
γρ
siendo γρ una circunferencia orientada positivamente, de radio ρ > R y centro z0 .
La relaci´on (11.34) demuestra que Res f (z) no depende en realidad del punto z0 usado para
z=∞
hacer el desarrollo de Laurent (ya que la integral sobre otra circunferencia grande centrada
en otro punto dar´a el mismo resultado) y s´olo depende de la funci´on. A menudo Res f (z) se
z=∞
obtiene eligiendo z0 = 0.
Teorema. Si f (z) es anal´ıtica en todo C excepto en un n´
umero finito de singularidades
aisladas, z1 , . . . , zN , se cumple
N
Res f (z) +
z=∞
Res f (z) = 0 .
n=1
z=zn
(11.35)
Demostraci´
on: Usando (11.34) y el teorema de los residuos
1
− Res f (z) =
z=∞
2πi
N
f (z) dz =
γρ
n=1
117
Res f (z) . ♦
z=zn
(11.36)
11.4.3.
C´
alculo del residuo en el infinito
Elegimos z0 cualquiera (t´ıpicamente z0 = 0). Entonces
c−1
c−m
+ ··· +
+ c0 + · · · + cn (z − z0 )n + · · · , R < |z − z0 | < ∞
f (z) = · · · +
m
(z − z0 )
z − z0
1
cn
(11.37)
= · · · + c−m ζ m + · · · + c−1 ζ + c0 + · · · + n + · · · , 0 < |ζ| < ,
ζ
R
donde se ha hecho el cambio de variable ζ = 1/(z − z0 ) (por tanto z = z0 + ζ −1 ). Esto implica
1
c−1 c0
cn
1
f (z0 + ζ −1 ) = · · · + c−m ζ m−2 + · · · + c−2 +
+ 2 + · · · + n+2 + · · · , 0 < |ζ| < .
2
ζ
ζ
ζ
ζ
R
De aqu´ı se deduce
1
Res f (z) = − Res 2 f (z0 + ζ −1 ) .
(11.38)
z=∞
ζ=0 ζ
Y la expresi´on a la derecha es en realidad independiente de z0 .
Nota: Alternativamente,
Res f (z) = −
1
2πi
= −
1
2πi
z=∞
γρ
f (z) dz = −
1
2πi
f (z0 + ζ −1 )
γρ−1
γ −−1
ρ
f (z0 + ζ −1 ) −
dζ
ζ2
1
dζ
= − Res 2 f (z0 + ζ −1 ) . ♦
2
ζ=0 ζ
ζ
(11.39)
z
. Esta funci´on es meromorfa con un polo simple en z = −1. El
z+1
desarrollo de Laurent en torno a z = 0 produce
1
1
1
z
=
= 1 − + 2 − ··· ,
1 < |z| < ∞ .
(11.40)
f (z) =
z+1
1 + 1/z
z z
Ejemplo. Sea f (z) =
se obtiene c−1 = −1 y Res f (z) = 1. Si hacemos el desarrollo en torno a z = −1 resulta
z=∞
1
z
=1−
,
0 < |z + 1| < ∞ .
(11.41)
z+1
z+1
(el desarrollo de Laurent tiene un n´
umero finito de t´erminos). Los coeficientes cn han cambiado,
excepto c−1 . Se obtiene el mismo residuo en ∞. Por otro lado Res f (z) = −1. Se verifica
f (z) =
z=−1
entonces que la suma de todos los residuos, incluido el residuo en el infinito, se anula. Finalmente
1
1 1
1 1
1
(eligiendo z0 = 0), 2 f (ζ −1 ) = 2
= 2 − + O(1), y por tanto, − Res 2 f (ζ −1 ) = 1. ♦
ζ=0 ζ
ζ
ζ ζ +1
ζ
ζ
118
12.
12.1.
Aplicaci´
on del teorema de los residuos y otros resultados generales
Evaluaci´
on de integrales impropias
En la Sec. 5.1 se defini´o la integral (de Riemann) sobre una curva suave a trozos. Como se
vio all´ı esta integral se pod´ıa cambiar por una integral sobre un par´ametro real t. Por tanto sin
p´erdida de generalidad discutimos el caso de integral en R.
b
Definici´
on. La integral de Riemann a f (x) dx (f (x) real o compleja y −∞ < a ≤ b < ∞)
se define como un l´ımite. Se dice que la integral existe o converge si este l´ımite existe y es finito.
En este caso f (x) es integrable Riemann en [a, b]. Si f (x) es continua en [a, b] la integral existe.
En cambio si s´olo es continua en ]a, b[ la integral puede no existir ya que f (x) podr´ıa tender a
∞ cuando x tiende a a o b, o esos l´ımites podr´ıan no existir. Si el l´ımite que define la integral de
Riemann no existe como tal o no es finito, pero s´ı lo hace tom´andolo de cierta forma particular,
a concretar, se dice que la integral es impropia. Tambi´en es impropia si al menos uno de los
l´ımites de integraci´on es infinito.
El caso m´as general que consideramos es
+∞
I=
f (x) dx
(12.1)
−∞
(Si la integral es en realidad sobre A ⊂ R basta definir f (x) = 0 para x ∈ A.) Y sea f (x)
continua en R salvo por un n´
umero finito de puntos, xk , k = 1, . . . , n en los que el l´ımite de
f (x) cuando x → xk por la derecha o por la izquierda no existe o no es finito. En este caso I
se define como el l´ımite de la integral regulada
IR =
x1 −ǫ1
−R1
x2 −ǫ2
+
x1 +ǫ′1
I := l´ım IR
+··· +
xk+1 −ǫk+1
xk +ǫ′k
R2
+··· +
f (x) dx
(12.2)
xn +ǫ′n
cuando R1,2 → +∞, ǫk , ǫ′k → 0+ .
(12.3)
Por definici´on, la integral impropia existe o converge si el l´ımite, al quitar los reguladores,
existe y es finito. El l´ımite debe existir independientemente de c´omo se quiten los reguladores.
(Es decir, los l´ımites son todos independientes entre s´ı). Si hay infinitos puntos xk (12.2) es una
serie que tambi´en ha de converger independientemente. Si el l´ımite existe pero es infinito se
119
dice que la integral es propiamente divergente. Si el l´ımite no existe se dice que la integral
es indeterminada.
b
1
. Cuando 0 < a < b < +∞,
x2
Ejemplo. f (x) =
+∞
a
R
f (x) dx = l´ım
R→+∞
1
−1
1
f (x) dx = l´ım+
ǫ→0
f (x) dx =
ǫ
f (x) dx.
f (x) dx ´o
−1
0
1
0
1
+∞
+∞ es propiamente divergente, igual que
Ejemplo.
1
f (x) dx = 1 es convergente, en cambio
1
1
1
− . Entonces
a
b
f (x) dx =
1
dx. El integrando diverge en x = 0. La integral regulada es
x
−ǫ
IR =
−1
1
dx +
x
1
ǫ′
1
1
dx = −
x
ǫ
1
dx +
x
1
ǫ′
1
dx = log ǫ − log ǫ′
x
(12.4)
La integral impropia es indeterminada ya que el l´ımite no existe (es de tipo ∞ − ∞). De
hecho puede obtenerse cualquier valor real incluido ±∞ tomando ǫ → 0+ manteniendo ǫ′ /ǫ
constante. ♦
1
Ejemplo.
0
1
√ dx. El integrando diverge en x = 0. La integral regulada es
x
1
IR =
ǫ
√
1
√ dx = 2 x
x
1
ǫ
= 2(1 −
√
ǫ) −→+ 2 .
(12.5)
ǫ→0
La integral impropia es convergente. ♦
Algunas propiedades de la definici´on son
c
a) Si a < b < c (a, c finitos o infinitos)
b
f (x) dx =
a
c
f (x) dx +
a
f (x) dx, si estas
b
integrales existen. Adem´as las integrales de la derecha convergen sii converge la de la
izquierda.
+∞
b)
+∞
f (x) dx =
−∞
−∞
f (x − a) dx, si la integral existe.
c) Si existe, la integral es invariante bajo cambios de variable, y = y(x), dy/dx > 0.
120
Teorema. Si la integral impropia converge absolutamente entonces converge. En particular,
si la integral regulada de |f (x)| admite una cota independiente de los reguladores la integral de
f (x) existe.
Definici´
on. Se dice que f (x) = O(xα ) cuando x → 0 (α real) si |f (x)| < K|x|α para alg´
un
K > 0 en un entorno reducido de x = 0. Se dice que f (x) = O(xα ) cuando x → ±∞ (α real)
si |f (x)| < K|x|α para alg´
un K > 0 en un entorno de x = ±∞.
Se deduce entonces
a) Si f (x) es continua en ]0, a] y f (x) = O(xα ) cuando x → 0 para α > −1, la integral
a
f (x) dx existe. [Obs´ervese que no basta l´ımx→0+ (xf (x)) = 0.49 ]
0
b) Si f (x) es continua en [a, +∞[ y f (x) = O(xα ) cuando x → +∞ para α < −1, la integral
+∞
f (x) dx existe. [No es suficiente l´ımx→+∞ (xf (x)) = 0.]
a
Ejemplo. Para f (x) continua en x ≥ a ≥ 1 y con l´ımite finito en x = +∞, est´
udiese la
+∞
xα (log x)β f (x) dx.
convergencia de la integral I(α, β) =
a
Soluci´
on: Hagamos el cambio de variable x = et , (dx = et dt)
+∞
e(α+1)t tβ f (et ) dt .
I(α, β) =
(12.6)
log a
La convergencia est´a dominada por la exponencial. Si α + 1 > 0 la integral diverge (la exponencial tiende a +∞ cuando x → +∞), si α + 1 < 0 la integral converge (la exponencial tiende
a 0). Si α + 1 = 0 la convergencia pasa a estar dominada por la potencia. De hecho la integral
en t es del tipo I(β, 0) y por tanto converge sii β < −1. ♦
Ejemplo. Para f (x) continua en [0, a] y f (0) = 0, estudiar la convergencia de la integral
a
I=
0
xα | log x|β f (x) dx.
Soluci´
on: Haciendo de nuevo el cambio de variable x = et
log a
I=
49
Por ejemplo,
a
0
−∞
e(α+1)t |t|β f (et ) dt .
1/(x log x) dx no converge en x = 0.
121
(12.7)
La integral converge si α + 1 > 0 (la exponencial tiende a cero en t = −∞) y diverge is
α + 1 < 0. Si α + 1 = 0 estamos en un caso an´alogo al ejemplo anterior y la integral converge
sii β > −1. ♦
12.1.1.
Valor principal de Cauchy
Definici´
on. Sea a < b < c y f (x) divergente en x = b. Se define, el valor principal de
c
Cauchy de a f (x) dx como
c
P
a
c
b−ǫ
f (x) dx := l´ım+
ǫ→0
Tambi´en se define
(12.8)
b+ǫ
a
+∞
P
f (x) dx .
f (x) dx +
R
f (x) dx := l´ım
R→+∞
−∞
f (x) dx .
(12.9)
−R
Es decir, el valor principal de Cauchy corresponde a regular la integral como en (12.2) pero con
R1 = R2 , ǫ′k = ǫk , y tomar el l´ımite. ♦
Evidentemente si la integral impropia converge tambi´en lo hace su valor principal de Cauchy,
sin embargo hay casos en los que la integral no converge pero s´ı admite un valor principal de
Cauchy.
2
Ejemplo.
−1
dx
no converge, en cambio
x
2
P
Donde se ha usado
−1
−ǫ
1
dx = l´ım+
ǫ→0
x
−ǫ
−1
1
dx +
x
−1
1
ǫ
2
1
dx +
x
ǫ
1
dx
x
2
=
1
1
dx = log 2.
x
(12.10)
1
dx = 0 cuando ǫ > 0. ♦
x
Algunas propiedades de la definici´on son
a) Si f (x) = −f (−x) (f (x) es impar) P
b) En general P
+∞
−∞
f (x) dx y P
+∞
−∞
a
−a
f (x) = 0, donde a puede ser finito o infinito.
f (x − a) dx no coinciden.
122
b
c) Cuando existe, P a f (x) dx es invariante bajo cambios de variable (no singulares), si a, b
+∞
son finitos. [En general P −∞ f (x) dx no es invariante.]
Ejemplo. Si f (x) es impar y l´ımx→+∞ f (x) → F , P
12.1.2.
+∞
−∞
f (x − a) dx = −2aF .
Integrales impropias en C
M´as generalmente si C es una curva suave z(t), a ≤ t ≤ b y f (z) es continua sobre C
excepto z = z(b),
b−ǫ
dz
f (z) dz = l´ım+
(12.11)
f (z(t)) dt
ǫ→0
dt
C
a
(si existe el l´ımite y es finito). El caso general se obtiene juntando intervalos abiertos en los que
funci´on sea continua.
Para caminos en el plano complejo, el valor principal de Cauchy se define al regular la
integral excluyendo los puntos de C tapados por un disco Dǫ = {|z − z0 | < ǫ} y se toma el
l´ımite ǫ → 0+ . Esta definici´on no depende de c´omo se parametrice la curva. Si la discontinuidad
de f (z) ocurre en z0 = z(t0 ), a < t0 < b, y t0 es un punto regular de z(t) esto equivale a
P
12.1.3.
C
f (z) dz = l´ım+
ǫ→0
t0 −ǫ
a
b
+
f (z(t))
t0 +ǫ
dz
dt .
dt
(12.12)
Lemas de integraci´
on
Lema 1. Sea γR el arco de circunferencia z = Reiθ , θ1 ≤ θ ≤ θ2 . Si l´ımR→+∞ R|f (Reiθ )| = 0
para θ1 ≤ θ ≤ θ2 , entonces l´ım
R→+∞
f (z) dz = 0.
γR
Demostraci´
on: El l´ımite implica que para R > R0 (ǫ),50 |f (Reiθ )| < ǫ/R . Entonces,
γR
50
f (z) dz ≤
ǫ
(θ2 − θ1 )R = ǫ(θ2 − θ1 ) −→ 0. ♦
R
[θ1 , θ2 ] es cerrado y por tanto la convergencia es uniforme, de ah´ı que R0 no depende de θ
123
(12.13)
La proposici´on tambi´en se satisface si γR est´a centrado en otro punto z0 cualquiera.
Lema 2. Sea γr el arco de circunferencia z = reiθ , θ1 ≤ θ ≤ θ2 . Si l´ımr→0+ r|f (reiθ )| =
0 para θ1 ≤ θ ≤ θ2 , entonces l´ım+
r→0
est´a centrado en otro punto z0 .
f (z) dz = 0. La misma proposici´on vale si el arco
γr
Demostraci´
on: An´aloga a la del Lema 1.
Lema 3. (Lema de Jordan.) Sea γR como en el Lema 1 pero contenido en el semiplano
Im z ≥ 0, es decir, 0 ≤ θ1 < θ2 ≤ π. Si l´ımR→+∞ |f (Reiθ )| = 0 ∀θ ∈ [θ1 , θ2 ], entonces
f (z)eiaz dz = 0
l´ım
R→+∞
∀a > 0.
γR
(12.14)
Demostraci´
on:
θ2
f (z) eiaz dz
γR
≤
|f (z)| |eiaz | |dz| ≤ ǫR
γR
e−aR sen θ dθ
θ1
π/2
≤ 2ǫR
e−aR sen θ dθ.
(12.15)
0
Usando que sen θ ≥ 2θ/π para θ ∈ [0, π/2] (por ser sen θ una funci´on convexa en ese
intervalo) (v´ease la fig. 36.)
1
sen θ
2θ / π
π/2
θ
Figura 36: sen θ ≥ 2θ/π para θ ∈ [0, π/2].
π/2
f (z) eiaz dz
γR
≤ 2ǫR
e−2aRθ/π dθ = 2ǫR
0
124
1 − e−aR
−→ 0. ♦
2aR/π
(12.16)
De nuevo la proposici´on se satisface si el arco γR est´a centrado en otro punto, y tambi´en se
puede adaptar a otros semiplanos, modificando la condici´on a > 0 correspondientemente.51
Lema 4. Sea z0 un polo simple de f (z) y sea γǫ el arco z = z0 + ǫ eiθ , θ1 ≤ θ ≤ θ2 , entonces
l´ım
ǫ→0+
γǫ
f (z) dz = i(θ2 − θ1 ) Res f (z).
z=z0
(12.17)
Dicho de otro modo, si el polo es simple, la integral es proporcional al ´angulo subtendido
(si la circunferencia es completa se obtiene 2πi veces el residuo, de acuerdo con el teorema de
los residuos). La proporcionalidad no se mantiene si el polo es m´
ultiple.
c−1
+ h(z) y h(z) es una funci´on regular. Por
z − z0
el Lema 2, la integral de la parte regular se anula en el l´ımite. La integral de la parte principal
es inmediata y resulta la proposici´on.
Demostraci´
on: Sea c−1 el residuo, f (z) =
Nota: La proposici´on s´olo se refiere a polos simples. Para polos m´
ultiples se tiene el siguiente
iθ
resultado. Sea γǫ el arco ǫe , 0 ≤ θ ≤ π (una semicircunferencia). Entonces
l´ım+
ǫ→0
12.1.4.
γǫ
1
dz =
zn
+∞ n = 2, 4, 6, . . .
0 n = 3, 5, 7, . . .
(12.18)
dx
,
+ a2 ) 3
(12.19)
Integrales impropias
Ejemplo 1.
+∞
I=
−∞
(x2
a > 0.
Esta integral converge ya que el integrando es O(x−6 ) cuando x → ±∞.
1
y CR la curva cerrada de la figura 37. CR est´a compuesta por el
+ a2 ) 3
segmento IR = [−R, R] y la semicircunferencia γR de radio R centrada en 0. El punto z = ia
Sea f (z) =
(z 2
51
Concretamente, si γR est´
a en el semiplano θ ∈ [θ0 , θ0 + π] la proposici´on se cumple para todo a con
arg a = −θ0 .
125
γR
ia
IR
−R
∞
dx
−∞ (x2 +a2 )3
Figura 37: Contorno para
R
+∞ cos x
dx,
x2 +a2
0
y
a > 0.
es un polo triple de f (z) y es el u
´nico punto singular contenido en C. Por el teorema de los
residuos
f (z) dz = 2πi Res f (z) .
(12.20)
z=ia
CR
1
1
1
1 3×4
3
d2 (z − ia)3
d2
l´ım 2 2
=
l´
ım
=
=
,
2
3
2
3
5
2! z→ia dz (z + a )
2! z→ia dz (z + ia)
2 (2ia)
16ia5
Res f (z) =
z=ia
f (z) dz =
CR
3π
.
8a5
(12.21)
(12.22)
Esta integral no depende de R.
Por otro lado
f (z) dz =
CR
f (z) dz +
IR
f (z) dz .
(12.23)
γR
R
I = l´ım
R→+∞
f (x) dz = l´ım
−R
R→+∞
f (z) dz =
IR
CR
f (z) dz − l´ım
R→+∞
f (z) dz .
(12.24)
γR
Para completar el c´alculo falta ver que el u
´ltimo t´ermino se anula:
l´ım
R→+∞
f (z) dz = 0 .
γR
126
(12.25)
1
En efecto, f (z) ∼ 6 y por tanto f (Reiθ ) = O(R−6 ) cuando R → +∞. El t´ermino se anula
z→∞ z
entonces por aplicaci´on del Lema 1. Se obtiene finalmente
I=
3π
,
8a5
a > 0.
(12.26)
Notas: 1) Como debe ser, verifica I > 0. 2) El integrando s´olo depende de a2 , por tanto
la integral es invariante bajo a → −a. Eso no es manifiesto en el resultado final porque hemos
elegido llamar a a la ra´ız cuadrada positiva de a2 . Se puede prescindir de esta elecci´on escribiendo
3π
. En el c´alculo se ha usado a > 0 al decir que el polo en el semiplano superior es z = ia
I=
8|a|5
en vez de z = −ia. 3) CR est´a centrado en z = 0 pero se hubiera podido usar un contorno similar
+∞
centrado en cualquier otro punto del eje real. 4) Tambi´en se puede calcular −∞ (x2 + a2 )−1 dx
y luego derivar dos veces respecto de a2 para obtener la integral pedida.
Ejemplo 2.
+∞
I=
0
cos x
dx,
x 2 + a2
a > 0.
(12.27)
El integrando es O(x−2 ) cuando x → ±∞ y la integral es convergente. La integral es real (y de
hecho positiva).
Para poder aplicar el Lema de Jordan (Lema 3) consideramos la integral
+∞
′
I =
−∞
eix
dx,
x 2 + a2
a > 0.
(12.28)
Esta integral est´a relacionada con la anterior mediante52
I=
1
Re I ′ ,
2
(12.29)
por Re eix = cos x y ser cos x una funci´on par en x.
eiz
, y sea CR = IR ∪ γR la misma curva cerrada del Ejemplo 1, figura 37. La
z 2 + a2
u
´nica singularidad de f (z) sobre o en el interior de CR es un polo simple en z = ia. Por tanto
Sea f (z) =
f (z) dz = 2πi Res f (z) =
CR
52
z=ia
π −a
e .
a
De hecho I = 12 I ′ ya que Im I ′ = 0 por Im eix = sen x y ser sen x una funci´on impar de x.
127
(12.30)
Por otro lado
R
I ′ = l´ım
R→+∞
f (x) dz = l´ım
−R
R→+∞
f (z) dz =
IR
CR
f (z) dz − l´ım
R→+∞
f (z) dz .
(12.31)
γR
El u
´ltimo t´ermino se anula por aplicaci´on del Lema de Jordan. Esto puede hacerse por f (Reiθ ) =
O(R−2 ) cuando R → +∞ para 0 ≤ θ ≤ π. Obs´ervese que el lema no se aplicar´ıa a la funci´on
eiz + e−iz
cos z
=
por el t´ermino con e−iz que crece exponencialmente en el semiplano
z 2 + a2
2(z 2 + a2 )
Im z > 0.
Se deduce
I=
π −a
e ,
2a
a > 0.
(12.32)
Se verifica que el resultado es real.
Obs´ervese que para hacer la integral se ha extendido el intervalo de integraci´on de ]0, +∞[.
a ] − ∞, +∞[. En general la integrales basadas en teorema de residuos deben tener recorridos naturales. Como regla las integrales con l´ımites arbitrarios no pueden obtenerse mediante
residuos.
γR
γ−
ε
−ε ε
−R
Figura 38: Contorno para la integral
Ejemplo 3.
+∞
I=
0
sen x
dx .
x
R
+∞ sen x
x
0
dx.
(12.33)
El integrando es O(1) cuando x → 0 y ah´ı no hay problema de convergencia, pero es O(1/x)
cuando x → +∞ y ah´ı no est´a garantizada la convergencia. Como se ver´a del c´alculo, la integral
128
converge, es decir, el l´ımite
R
l´ım
ǫ
ǫ→0+
sen x
dx
x
(12.34)
R→+∞
existe y es finito.
eiz
, y el circuito
z
C de la figura 38. C = [−R, −ǫ] ∪ γǫ− ∪ [ǫ, R] ∪ γR . γR y γǫ son semicirfunferencias centradas en
z = 0 de radios R y ǫ, con orientaci´on positiva (es decir, sentido antihorario). γǫ− es γǫ recorrido
sen z
tiene una singularidad
en sentido negativo (horario). Obs´ervese que la funci´on original
z
evitable en z = 0 y para ella bastar´ıa usar el contorno [−R, R], sin rodear z = 0 con el arco γǫ− .
eiz
, que tiene un polo
Sin embargo para poder aplicar el Lema de Jordan hemos cambiado a
z
simple en z = 0.
Con vistas a aplicar el teorema de residuos, consideramos la funci´on f (z) =
Puesto que f (z) es anal´ıtica sobre y en el interior de C
f (z) dz = 0 .
(12.35)
C
Por otro lado
−ǫ
f (z) dz =
C
R
+
+
ǫ
−R
γR
−
f (z) dz .
(12.36)
γǫ
La integral en la semicircunferencia del infinito se anula por aplicaci´on del Lema de Jordan:
l´ım
f (z) dz = 0 .
R→+∞
(12.37)
γR
Dado que el polo en z = 0 es simple, el Lema 4 es aplicable, y produce
l´ım+
ǫ→0
1
f (z) dz = 2πi Res f (z) = iπ .
z=0
2
γǫ
(12.38)
Se deduce
iπ =
=
−ǫ
l´ım+ l´ım
ǫ→0
R→+∞
−R
R
l´ım l´ım
ǫ→0+ R→+∞
ǫ
R
+
ǫ
eix
dx = l´ım+ l´ım
ǫ→0 R→+∞
x
2i sen x
dx = 2iI ,
x
129
R
ǫ
eix − e−ix
dx
x
(12.39)
es decir,
I=
π
.
2
(12.40)
Alternativamente,
+∞
1 +∞ sen x
1
sen x
dx = P
dx
2 −∞
x
2 −∞
x
+∞ ix
1
e
1
=
Im P
dx = Im l´ım+ l´ım
ǫ→0 R→+∞
2
x
2
−∞
I =
−ǫ
−R
R
+
ǫ
eix
dx .
x
(12.41)
La integral sobre [−R, −ǫ] ∪ [ǫ, R] puede entonces completarse con γǫ− y γR como antes y aplicar
+∞
sen x
dx, la integral
el teorema de residuos. Obs´ervese que, a diferencia de la integral
x
0
+∞ ix
e
dx no existe. (Existe si se a˜
nade alguna prescripci´on, tal como el valor principal de
x
−∞
Cauchy.)
e
iπ /4
R
γ
IR
R
R
Figura 39: Contorno para las integrales de Fresnel,
+∞
0
cos(x2 ) dx,
+∞
0
sen(x2 ) dx.
Ejemplo 4. (Integrales de Fresnel.)
+∞
+∞
cos(x2 ) dx ,
I1 =
sen(x2 ) dx .
I2 =
(12.42)
0
0
2
Sea f (z) = eiz , y sea C el contorno representado en la figura 39. C = [0, R] ∪ γR ∪ IR− , siendo
γR = {Reit , t ∈ [0, π/4]}
IR = {teiπ/4 , t ∈ [0, R]},
(arco de radio R y 1/8 de vuelta),
(siendo IR− el arco IR recorrido al rev´es).
130
(12.43)
(12.44)
Dado que C no encierra ninguna singularidad
R
0=
f (z) dz =
+
C
0
Claramente
+∞
e
I1 + iI2 =
ix2
γR
−
f (z) dz .
(12.45)
f (z) dz .
(12.46)
IR
R
dx = l´ım
R→+∞
0
0
Por otro lado53
R
l´ım
f (z) dz = l´ım
R→+∞
IR
e
R→+∞
0
e
iz 2
−t2 iπ/4
e
+∞
dt = e
iπ/4
l´ım
dz = 2 l´ım
w=z R→+∞
γR
dx = e
iπ/4
0
Y finalmente
R→+∞
e
−x2
γR,w
√
π
.
2
eiw
dw −→ 0 ,
R→+∞
2w1/2
(12.47)
(12.48)
donde γR,w = {R2 eit , t ∈ [0, π/2, ]} y se ha aplicado el Lema de Jordan.
Reuniendo los resultados
0 = I1 + iI2 + 0 − e
√
Usando eiπ/4 = (1 + i)/ 2,
I1 = I2 =
Ejemplo 5.
+∞
I=
−∞
1
2
eax
dx,
1 + ex
iπ/4
√
π
.
2
(12.49)
π
.
2
(12.50)
(0 < a < 1).
(12.51)
La integral converge en +∞ por a < 1 y en −∞ por a > 0. En realidad la integral existe
tambi´en para a complejo si 0 < Re a < 1.
+∞
53
2
e−x dx =
Usando
√
π
. En efecto,
2
0
2
+∞
e
0
−x2
dx
+∞
+∞
dy e−(x
dx
=
0
2
+y 2 )
+∞
π/2
0
0
131
2
drr e−r =
dθ
=
0
π
4
+∞
dξ e−ξ =
0
π
.
4
C3
2πi
C2
iπ
C4
R
C1
Figura 40: Contorno para la integral
+∞ ax
e /(1
−∞
+ ex )dx.
Sea f (z) = eaz /(1 + ez ) y sea C = C1 ∪ C2 ∪ C3− ∪ C4− el contorno representado en la figura
40. f (z) tiene polos simples en z = iπ(2n + 1), n ∈ Z. De ´estos s´olo z = iπ cae dentro de C.
eaz
= −2πieiπa .
z→iπ ez
f (z) dz = 2πi Res f (z) = 2πi l´ım
z=iπ
C
(12.52)
Veamos que las integrales a lo largo de C2 y C4 se anulan cuando R → +∞. Como estas
integrales son sobre intervalos compactos es suficiente verificar que f (z) tiende a cero sobre
ellos:
z ∈ C2
z ∈ C4
eaR eiya
e(a−1)R
−→ 0 (por a < 1) ,
=
1 + eR eiy
|e−R−iy + 1| R→+∞
e−aR
−→ 0 (por a > 0) .
|f (z)| =
|1 + e−R+iy | R→+∞
|f (z)| =
(12.53)
La integral sobre C1 tiende a I, y por otro lado la integral sobre C3 puede relacionarse con esta
R
R
f (x + 2πi) dx =
f (z) dz =
C3
−R
−R
eax e2πia
dx = e2πia
1 + ex
f (z) dz .
(12.54)
C1
Se deduce
−2πieiπa = I + 0 − e2πia I − 0 ,
y de ah´ı
I = 2πi
2πi
π
eiπa
= iπa
=
.
2πia
−iπa
e
−1
e −e
sen(πa)
La integral es positiva cuando 0 < a < 1 y diverge cuando a tiende a los valores 0 o 1.
132
(12.55)
(12.56)
γR
i
γ−
ε
−ε ε
−R
Figura 41: Contorno para la integral
R
+∞
0
log x/(x2 + 1)2 dx.
Nota: Mediante un cambio de variable esta integral puede llevarse a una del tipo del
Ejemplo 7.
Ejemplo 6.
+∞
I=
0
log x
dx.
(x2 + 1)2
(12.57)
Debido a la presencia del logaritmo, el integrando no es O(x−4 ) cuando x → +∞ pero s´ı O(xα )
para cualquier α > −4 y la integral converge en +∞ (basta α < −1). Igualmente, el integrando
es O(xα ) cuando x → 0+ para cualquier α < 0, y la integral converge en x = 0. 54
log z
, y sea C el contorno representado en la figura 41. f (z) tiene polos
+ 1)2
dobles en z = ±i y puntos de ramificaci´on en z = 0, ∞. Para el logaritmo elegimos la rama
en la que log 1 = 0. Entonces por continuidad sobre el circuito C, log z es real cuando z es
real y positivo, y log |z| + iπ cuando z es real y negativo. Esto es general cuando hay funciones
multivaluadas: El circuito debe dejar fuera los puntos de ramificaci´
on. Una vez elegido el valor
de la funci´on en un punto del circuito, el valor de la funci´on queda fijado por continuidad en
todos los dem´
as puntos del circuito y de su interior. En el presente caso el argumento de z para
el logaritmo lo tomamos en [0, π].
Sea f (z) =
(z 2
Aplicamos el teorema de residuos a la integral de f (z) sobre C:
a) Las integrales sobre γR y γǫ tienden a cero por aplicaci´on inmediata de los Lemas 1 y 2.
Como regla, un integrando que se comporte como xα logβ x cuando x = 0+ converge si (condici´
on suficiente)
α > −1. Y si se comporta como xα logβ x cuando x = +∞, converge si α < −1. Es decir, en ambos casos, si la
potencia α es tal que la integral converge, el logaritmo no modifica esa situaci´on.
54
133
b) La integral sobre [ǫ, R] tiende a I.
c) La integral sobre [−R, −ǫ] puede relacionarse con I:
−ǫ
−R
−ǫ
log z
dz =
2
(z + 1)2
−R
log |x| + iπ
dx −→ I + iπI1 ,
(x2 + 1)2
R→+∞
(12.58)
ǫ→0+
donde
+∞
I1 =
(x2
0
1
dx .
+ 1)2
(12.59)
d) La integral sobre todo C se obtiene por residuos. El u
´nico punto a tener en cuenta es que
al calcular el residuo hay que usar la misma hoja de la funci´on multivaluada que se ha
usado sobre el circuito. En el presente caso, log i = iπ/2.
1
2πi
d log z
log z
=
2
+ 1)
dz (z + i)2 z=i
1
log z
i π
−2
= + .
2
3
z(z + i)
(z + i) z=i 4 8
f (z) dz =
Res
z=+i (z 2
C
=
(12.60)
En conjunto se obtiene
2πi
i π
+
4 8
= I + 0 + I + iπI1 + 0
(12.61)
La integral I1 puede calcularse como en el Ejemplo 1. Sin embargo no es necesario. Teniendo
en cuenta que I e I1 son reales, se deduce
π
I=− ,
4
I1 =
π
.
4
(12.62)
+∞
xa−1
dx derivando
1 + x2
0
respecto de a. I ′ se obtiene por un m´etodo an´alogo al seguido en el Ejemplo 7.
′
Nota: Esta integral puede tambi´en obtenerse a partir de I =
Ejemplo 7.
+∞
I=
0
xa−1
dx,
1+x
134
0 < a < 1.
(12.63)
γ
γr
R
C1
ε
−1
C2
Figura 42: Contorno para la integral
+∞
0
xa−1 /(1 + x) dx.
La integral converge en x = 0 para a > 0 y en x = +∞ para a < 1. Para aplicar el teorema
z a−1
y el contorno C de la figura 42. En este
de residuos consideramos la funci´on f (z) =
1+z
contorno, R → +∞, y r, ǫ → 0+ . La funci´on tiene un polo simple en z = −1 y puntos de
ramificaci´on en z = 0, ∞. Para la funci´on multivaluada elegimos la rama en la que z a−1 es un
n´
umero real positivo cuando z es real y positivo (a es real). Por continuidad sobre el circuito y
su interior esto equivale a tomar el argumento de z en el intervalo [0, 2π − ǫ].
Aplicamos el teorema de residuos a la integral de f (z) sobre C:
a) Las integrales sobre γR y γr tienden a cero cuando R → +∞ y r → 0+ por aplicaci´on
inmediata de los Lemas 1 y 2 (usando 0 < a < 1).
b) La integral sobre C1 = [r, R] tiende a I.
c) La integral sobre C2 = {te−iǫ , r ≤ t ≤ R} puede relacionarse con I (en el l´ımite): Tal y
como se ha elegido la rama de la potencia, z a−1 (t) = ta−1 ei(2π−ǫ)(a−1) . Entonces
C2
z a−1
dz =
1+z
R a−1 i(2π−ǫ)(a−1)
t
r
e
1 + te−iǫ
e−iǫ dt −→ e2πi(a−1) I = e2πia I,
(12.64)
d) La integral sobre todo C se obtiene por residuos, teniendo en cuenta que hay que tomar
135
arg(−1) = π:
1
2πi
f (z) dz =
C
z a−1
= z a−1
z=−1 1 + z
Res
z=−1
= eiπ(a−1) = −eiπa .
(12.65)
En conjunto,
I=−
−2πieiπa = I + 0 − e2πia I − 0.
(12.66)
2πieiπa
2πi
π
.
= − −iπa
=
2πia
πia
1−e
e
−e
sen(πa)
(12.67)
Como debe ser, el resultado es positivo cuando 0 < a < 1, y diverge cuando el par´ametro a se
acerca a los l´ımites del intervalo. (Fuera del intervalo ]0, 1[, aunque el resultado sea finito, ya
no se corresponde con la integral, que no existe, y de hecho no es definido positivo.)
Notas: 1) En la pr´actica se suele poner directamente ǫ = 0, de modo que C1 y C2 son el
mismo intervalo [r, R] en el plano complejo (pero distintos en la superficie de Riemann) y la
funci´on toma distintos valores sobre C1 y C2 . 2) Las integrales del tipo del Ejemplo 5 se pueden
reducir a la del presente ejemplo con el cambio de variable x = log y. 3) Las integrales del tipo
del Ejemplo 6 pueden relacionarse con las del presente ejemplo: Sea R(x) una funci´on racional
+∞
+∞
dn I(a)
y sea I(a) =
xa R(x) dx, entonces
xa logn x R(x) dx =
.
dan
0
0
γ
R
i
γ
r
1
R
Figura 43: Contorno para la integral P
+∞
((x
−∞
R
Ejemplo 8.
+∞
I=P
−∞
dx
(x − 1)(x2 + 1)
136
− 1)(x2 + 1))−1 dx.
(12.68)
La integral converge en x = ±∞. El integrando tiene un polo simple en x = 1, por lo
que la integral no existe, pero s´ı admite un valor principal de Cauchy, que es el que se pide.
Para aplicar el teorema de residuos se puede usar el contorno C representado en la figura 43.
Este contorno rodea el polo en el camino de integraci´on dej´andolo fuera. Aparte, la extensi´on
anal´ıtica del integrando, f (z) = 1/((z − 1)(z 2 + 1)), tiene polos simples adicionales en z = ±i.
a) La integral sobre [−R, 1 − r] ∪ [1 + r, R] (es decir la parte del contorno que sigue el eje
real) tiende a I, cuando R → +∞ y r → 0+ .
b) La integral sobre γR tiende a 0 cuando R → +∞ por aplicaci´on del Lema 1.
c) La integral sobre γr no tiende a 0. Como z = 1 es un polo simple se puede aplicar el Lema
4.
1
1
iπ
l´ım+
dz = iπ Res
= .
(12.69)
2
2
z=1 (z − 1)(z + 1)
r→0
2
γr (z − 1)(z + 1)
b) La integral sobre todo el contorno completo se obtiene por residuos, teniendo en cuenta
que z = i es la u
´nica singularidad contenida en C.
C
π
1
1
dz = 2πi Res
= − (1 + i).
2
2
z=i (z − 1)(z + 1)
(z − 1)(z + 1)
2
En conjunto
π
iπ
− (1 + i) = I −
+ 0.
2
2
π
I=− .
2
(12.70)
(12.71)
(12.72)
La integral es real.
Nota: Igualmente se hubiera podido elegir C de modo que γr rodeara el polo z = 1 por
debajo, incluy´endolo en su interior. En este caso la integral sobre γr se sumar´ıa a la derecha
de (12.71) en vez de restarse, pero tambi´en habr´ıa que a˜
nadir 2πi veces el residuo de ese polo
a la izquierda de la ecuaci´on (ya que ahora est´a dentro de C), y por supuesto se obtiene el
mismo resultado. Como regla pr´
actica, en el c´alculo de la parte principal de Cauchy mediante
el teorema de residuos, lo m´as c´omodo es rodear los polos dej´
andolos fuera del contorno.
Ejemplo 9.
+∞
I=P
0
xα−1
dx,
x−a
137
a > 0,
0 < α < 1.
(12.73)
γ
γ
r
γ1
a
γ
R
R
I1
I
2
R
2
Figura 44: Contorno para la integral P
+∞ xα−1
x−a
0
dx.
La convergencia en x = 0 est´a garantizada por α > 0, y en x = +∞ por α < 1. El integrando
es singular en x = a (en el camino de integraci´on) y nos piden la parte principal de Cauchy.
z α−1
. Esta funci´on
z−a
tiene un polo simple en z = a y puntos de ramificaci´on en z = 0, ∞. La integral se har´a sobre el
contorno C mostrado en la figura 44. El contorno excluye los puntos singulares. Para la potencia
z α−1 en f (z) elegimos arg z ∈]0, 2π[ en el interior de C. En I1 arg z = 0 y en I2 arg z = 2π.
Para aplicar el teorema de residuos consideramos la funci´on f (z) =
a) La integral sobre todo C es cero ya que no encierra ninguna singularidad.
b) La integral sobre γR tiende a cero por aplicaci´on del Lema 1. La integral sobre γr tiende
a cero por aplicaci´on del Lema 2.
c) Sobre I1 = [r, a − r] ∪ [a + r, R], (alcanzado desde Im z > 0) f (z) =
Por tanto,
I1
f (z) dz −→ I.
d) Sobre I2 = [r, a − r] ∪ [a + r, R], (alcanzado desde Im z < 0) f (z) =
z = t). Por tanto,
I2
f (z) dz −→ e2πi(α−1) I = e2πiα I.
138
tα−1
(para z = t).
t−a
(12.74)
tα−1 e2πi(α−1)
(para
t−a
(12.75)
e) Dado que el polo en z = a es simple, las integrales sobre las semicircunferencias γ1 y γ2
se pueden obtener por aplicaci´on del Lema 4. El u
´nico punto a tener en cuenta es que en
γ1 arg z = 0 y en γ2 arg z = 2π.
= iπaα−1 .
γ1
f (z) dz −→ iπ Res f (z)
arg z=0
γ2
f (z) dz −→ iπ Res f (z)
arg z=2π
z=a
z=a
= iπaα−1 e2πi(α−1) = iπaα−1 e2πiα . (12.76)
En conjunto
0 = I + 0 − e2πiα I − 0 − iπaα−1 − iπaα−1 e2πiα .
I = iπ
1 + e2πiα α−1
a
= −π cotg(πα)aα−1 .
1 − e2πiα
(12.77)
(12.78)
C
R
I1
a
C
I2
Figura 45: Contornos para la integral
Ejemplo 10.
b
I=
a
1
(x − a)(b − x)
b
b
a
1/
dx,
(x − a)(b − x) dx.
a < b.
(12.79)
El integrando es singular en x = a, b sin embargo son singularidades de orden O(x−1/2 ) y
por tanto integrables. Tambi´en se observa que en realidad I no depende de a, b (siempre que
a < b). Haciendo un cambio de variable se puede elegir a = 0 y b = 1 sin cambiar el valor de la
integral.
139
Para aplicar el teorema de residuos consideramos la funci´on
f (z) = √
1
√
,
z−a z−b
√
donde
i
z := |z|e 2 Arg z ,
Arg z ∈ [0, 2π[
(12.80)
Tal y como est´a definida, la funci´on f (z) tiene un valor finito en todos los puntos excepto z = a
y z = b y es anal´ıtica en todo el plano complejo excepto el intervalo [a, b]. Sobre este intervalo la
funci´on tiene una discontinuidad. En su superficie de Riemann a y b son puntos de ramificaci´on
pero en cambio ∞ no es de ramificaci´on (despu´es de una vuelta completa alrededor de un
contorno que contenga a y b se vuelve al mismo valor).
Sea C el contorno mostrado en la figura 45.
a) Las integrales sobre las peque˜
nas circunferencias centradas en a y b tienden a cero (Lema
2).
+
b) I1 = [a + ǫ, b − ǫ] √(alcanzado
√ z > 0). Para
√ z ∈ I1 , z = x + i0 , Arg (z − a) = 0,
√desde Im
Arg (z − b) = π, z − a = x − a, z − b = i b − x. Se deduce
z ∈ I1 ,
f (z) = − √
i
√
,
x−a b−x
I1
f (z) dz −→+ −iI.
ǫ→0
(12.81)
+
c) I2 = [a + ǫ, b − ǫ] √
(alcanzado desde
Im√
z < 0). Para
√ z ∈ I2 , z = x − i0 , Arg (z − a) = 2π,
√
Arg (z − b) = π, z − a = − x − a, z − b = i b − x. Se deduce
z ∈ I2 ,
f (z) = √
i
√
,
x−a b−x
I2
f (z) dz −→+ iI.
ǫ→0
(12.82)
En conjunto (la integral sobre C no depende de ǫ)
f (z) dz = 2iI.
(12.83)
C
d) Como ∞ no es un punto de ramificaci´on la integral se puede obtener aplicando el teorema
de residuos calculando el residuo en el infinito (la integral sobre C es la misma que sobre
CR y s´olo se necesita f (z) para |z| = R muy grande):
f (z) dz =
C
CR
f (z) dz = −2πi Res f (z).
140
z=∞
(12.84)
1
1
1
√
(12.85)
= + O( 2 ).
z
z
z−a z−b
(f (z) est´a definida de modo que tiende a 1/z cuando z → ∞, y no a −1/z, como es f´acil
de verificar.) Se deduce Res f (z) = −1.
f (z) = √
z=∞
Finalmente
I = π.
(12.86)
El resultado verifica que es positivo y no depende de a, b (para a < b).
Notas: 1) En este tipo de integrales (el intervalo de integraci´on une dos puntos de ramificaci´on) conviene
definir f (z) de modo que tenga el corte de rama sobre
el√
intervalo de integraci´on.
√
√
√
As´ı 1/( z − a z − b) cumple esa propiedad, mientras que 1/( z − a b − z) tiene el corte de
rama en ] − ∞, a] ∪ [b, +∞[. 2) Como es f´acil perderse en la superficie de Riemann de una
funci´on multivaluada, conviene trabajar con funciones
√ multivaluadas elementales cuyas propiedades se conozcan bien (en el presente Ejemplo z definida en (12.80)) aunque sea a costa
de trabajar con una funci´on no id´entica√al integrando
(en el presente Ejemplo el integrando
√
es 1/( (x − a)(b − x)) pero f (z) = 1/( z − a z − b)). Es decir, es mejor adaptar f (z) a las
funciones multivaluadas involucradas que adaptar la funci´on multivaluada al integrando.
12.2.
Suma de series
Sean
π
π
,
F− (z) :=
.
(12.87)
tan(πz)
sen(πz)
Estas funciones tienen polos simples en z = n ∈ Z con residuos (±1)n respectivamente. Adem´as
son peri´odicas. Estas propiedades hacen que se puedan utilizar para sumar series:
F+ (z) :=
Teorema. Sea f (z) anal´ıtica en C salvo un n´
umero finito de singularidades aisladas zk ∈ Z,
k = 1, . . . , N , y tal que zf (z) → 0 cuando z → ∞. Entonces
+∞
N
n
n=−∞
(±1) f (n) = −
k=1
Res F± (z)f (z) .
z=zk
(12.88)
Demostraci´
on: (Cualitativa) Basta considerar un contorno grande Cn , por ejemplo el
cuadrado paralelo a los ejes y centrado en cero, que corte el eje real en z = n + 1/2 (que
141
evita los polos de F± (z)). En el l´ımite de contorno grande la integral Cn F± (z)f (z) dz se anula
(F± (z) est´a acotada sobre Cn y f (z) tiende a cero suficientemente deprisa). Una aplicaci´on del
teorema de residuos produce inmediatamente la proposici´on ya que las singularidades de F± (z)
est´an en z = n ∈ Z y las de f (z) en zk , k = 1, . . . , N . ♦
∞
Ejemplo. Calc´
ulese la suma
n=1
(−1)n
.
n2 + a2
+∞
Soluci´
on: Consideramos primero
1
(−1)n
. Tomando f (z) = 2
, que tiene polos
2
2
n +a
z + a2
n=−∞
en z = ±ia, el teorema implica
+∞
π
F− (z)
F− (z)
1
(−1)n
= − Res 2
− Res 2
=
.
2
2
2
2
z=ia z + a
z=−ia z + a
n
+
a
a
senh(πa)
n=−∞
+∞
Por otro lado
(12.89)
∞
(−1)n
1
(−1)n
=
+
2
, implica
2 + a2
2
2 + a2
n
a
n
n=−∞
n=1
∞
n=1
(−1)n
π
1
1
=
− 2.
2
2
n +a
2a senh(πa) 2a
(12.90)
♦
12.3.
Residuo logar´ıtmico y principio de variaci´
on del argumento
Definici´
on. Sea f (z) anal´ıtica en 0 < |z − z0 | < R y no id´enticamente nula. Se define
f ′ (z)
d
f ′ (z)
. El cociente
=
log f (z)
el residuo logar´ıtmico de f (z) en z0 como Res
z=z0 f (z)
f (z)
dz
(independiente de la rama del logaritmo) se denomina la derivada logar´ıtmica de f (z).
a) Si a es un cero de orden α de f (z) (α = 0, 1, 2, . . .), entonces f (z) = (z − a)α g(z) siendo
g(z) anal´ıtica en z = z0 y g(z0 ) = 0. En este caso
f ′ (z)
α
g ′ (z)
=
+
f (z)
(z − a)
g(z)
142
(12.91)
y por tanto
Res
z=a
f ′ (z)
= α.
f (z)
(12.92)
Es decir, el residuo logar´ıtmico coincide con el orden del cero.
b) Si b es un polo de orden β de f (z) (β = 0, 1, 2, . . .), entonces f (z) =
anal´ıtica en z = z0 y g(z0 ) = 0. En este caso
y por tanto
g(z)
siendo g(z)
(z − b)β
f ′ (z)
β
g ′ (z)
=−
+
f (z)
(z − b)
g(z)
(12.93)
f ′ (z)
Res
= −β.
z=b f (z)
(12.94)
Es decir, el residuo logar´ıtmico coincide con menos el orden del polo.
Teorema. Sea C una curva cerrada, simple, suave a trozos y con orientaci´on positiva.
Sea f (z) anal´ıtica sobre C y en su interior, excepto en un n´
umero finito de polos, b1 , . . . , bn
de ´ordenes β1 , . . . , βn (en el interior), con un n´
umero finito de ceros, a1 , . . . , am , de ´ordenes
α1 , . . . , αm , tambi´en situados en el interior de C. Entonces,
1
2πi
C
f ′ (z)
dz =
f (z)
m
k=1
n
αk −
k=1
βk =: N − P.
(12.95)
Demostraci´
on: f (z) es meromorfa, y por tanto tambi´en lo es su derivada logar´ıtmica. La
f´ormula se deduce inmediatamente del teorema de los residuos ya que las u
´nicas singularidades
del integrando est´an en ak o bk .
Teorema. (Principio de variaci´on del argumento.) Sea N el n´
umero total de ceros y P el
n´
umero total de polos (en cada caso contando cada uno con su multiplicidad) en la condiciones
del teorema anterior:
N −P =
1
2πi
C
1
f ′ (z)
dz =
f (z)
2πi
d log f (z) =
C
1
∆C arg f (z).
2π
(12.96)
Este resultado se conoce como el principio de variaci´
on del argumento. ∆C arg f (z) representa la variaci´on de arg f (z) al recorrer C. Esta variaci´on no depende de d´onde se empiece a
143
recorrer la curva cerrada ni de la rama que se elija para la funci´on multivaluada arg w que se
ha de elegir por continuidad a lo largo de la curva C.55 En la u
´ltima igualdad se ha usado que
log |f (z)| es univaluada y por tanto su variaci´on al recorrer C se anula.
Cuando C se recorre una vez en el plano z, w = f (z) recorre una curva cerrada Γ (no
1
necesariamente simple) en el plano w.
∆C arg f (z) no es m´as que el n´
umero de veces que Γ
2π
rodea w = 0, es decir, el ´ındice de Γ respecto de w = 0:
N − P = n(Γ, 0).
(12.97)
Ejemplo. Sea f (z) = z m , m ∈ Z y C la curva z(t) = Reit , 0 ≤ t ≤ 2π. En este caso Γ es
la curva w = Rm eimt . Γ rodea w = 0 m veces: n(Γ, 0) = m. (V´ease la fig. 46.) Por otro lado,


m m > 0
 0 m>0
0 m=0
P =
(12.98)
N = 0 m=0


−m m < 0
0 m<0
y en conjunto N − P = m. ♦
z
w
w
m=1
m= 1
Figura 46: A la izquierda curva C en el plano Z. A la derecha curvas Γ en el plano w para
m = ±1.
12.4.
Teorema de Rouch´
e
Teorema. (Rouch´e.) Sean f (z) y g(z) anal´ıticas sobre una curva C cerrada, simple, suave
a trozos y tambi´en en su interior. Si |f (z)| > |g(z)| para z ∈ C, entonces f (z) y f (z) + g(z)
tienen el mismo n´
umero de ceros en el interior de C.
55
Obviamente si la funci´on f (z) misma es multivaluada en el plano complejo, el principio se puede aplicar
trabajando en su superficie de Riemann. En particular, C debe ser cerrada sobre su superficie de Riemann.
144
Demostraci´
on: |f (z)| > |g(z)| ≥ 0 sobre C garantiza que f (z) no se anula sobre C, y
tampoco f (z) + g(z) se anula sobre C (por |f (z) + g(z)| ≥ |f (z)| − |g(z)| > 0.) Por otro lado,
∆C arg(f (z) + g(z)) = ∆C arg f (z) 1 +
g(z)
f (z)
= ∆C arg f (z) + ∆C arg 1 +
=
g(z)
f (z)
.
(12.99)
Como |g(z)/f (z)| < 1 para z ∈ C, w = 1 + g(z)/f (z) recorre Γ que est´a contenida en el disco
g(z)
|w − 1| < 1, por tanto Γ no encierra w = 0 y ∆C arg 1 +
= 0. Esto implica
f (z)
∆C arg(f (z) + g(z)) = ∆C arg f (z).
(12.100)
es decir, dado que no hay polos, por el principio de variaci´on del argumento se deduce
Nf +g,C = Nf,C .
(12.101)
El n´
umero de ceros de f + g en el interior de C es el mismo que el de f . ♦
Ejemplo. ¿Cu´antos ceros tiene la funci´on h(z) = z 8 − 4z 5 + z 2 − 1 en el disco |z| ≤ 1?
Soluci´
on: Sea f (z) = −4z 5 , g(z) = z 8 + z 2 − 1. Se ve que |f (z)| > |g(z)| en |z| = 1, ya que
|f (z)| = 4, |g(z)| = |z 8 + z 2 − 1| ≤ |z 8 | + |z 2 | + 1 = 3. El n´
umero de ceros de f (z) es 5 (un cero
qu´ıntuple), por tanto h(z) tambi´en tiene 5 ceros en |z| ≤ 1.
Teorema. (Teorema fundamental del ´algebra.) Todo polinomio de grado n ≥ 1 tiene exactamente n ceros (contando cada cero tantas veces como su multiplicidad).
Demostraci´
on: Sea P (z) = a0 + · · · + an z n , n ≥ 1, an = 0. Aplicamos el teorema de
Rouch´e con f (z) = an z n , g(z) = a0 + · · · + an−1 z n−1 . En la circunferencia |z| = R
g(z)
a0 + · · · + an−1 z n−1
=
≤
f (z)
an z n
n−1
k=0
|ak |Rk
−→ 0,
R→+∞
|an |Rn
|z| = R
(12.102)
por lo tanto |g(z)| < |f (z)| para |z| = R y R suficientemente grande. El n´
umero de ceros de
´
P (z) = f (z) + g(z) ser´a el mismo que el n´
umero de ceros de f (z) = an z n , a saber, n. Estos
son
todos los ceros que hay ya que P (z) → ∞ cuando z → ∞ y no hay ceros en el infinito. ♦
El mismo teorema se puede probar usando el teorema de Liouville.
145
12.5.
Prolongaci´
on anal´ıtica
Recordemos que de acuerdo con el teorema de unicidad de funciones anal´ıticas si f1 (z) y
f2 (z) son anal´ıticas en un dominio G, y coinciden en E ⊂ G tal que E tiene un punto de
acumulaci´on en G entonces coinciden en todo G. En particular, si coinciden en el entorno de
un punto de G lo hacen en todo G.
Ejemplo. ez es la u
´nica funci´on anal´ıtica (en C) que coincide con ex definida en R.
Ejemplo. La relaci´on cos2 (z) + sen2 (z) = 1 en C se deduce por unicidad de la relaci´on
cos2 (x) + sen2 (x) = 1 en R. En efecto, si cos2 (z) + sen2 (z) vale 1 sobre el eje real, debe tambi´en
ser 1 en C ya que cos2 (z) + sen2 (z) es entera y 1 es la u
´nica funci´on entera que vale 1 sobre
R. (An´alogamente, relaciones del tipo (ez )−1 = e−z , etc, se deducen de las correspondientes
relaciones en R.)
Definici´
on. Sea f0 (z) anal´ıtica en un dominio G0 , y f (z) anal´ıtica en G tal que G0 ⊂ G y
f0 (z) = f (z) en G0 , entonces f (z) es la extensi´
on (o prolongaci´
on) anal´ıtica de la funci´on
56
f0 (z) a G. Por el teorema de unicidad esta extensi´on es u
´nica.
Tambi´en se puede hablar de extensi´on anal´ıtica desde un conjunto E con punto de acumulaci´on aunque no sea un dominio. Por ejemplo, ez es la extensi´on anal´ıtica de la funci´on ex
definida en R.
1
Ejemplo. f (z) =
es la u
´nica prolongaci´on anal´ıtica de la funci´on f0 (z) =
1−z
definida en G0 = {|z| < 1} a G = C − {1}.
∞
zn,
n=0
+∞
e−zt dt. Esta integral converge en G0 = { Re z > 0}. En este
Ejemplo. Sea f0 (z) =
0
1
1
caso f0 (z) = . La funci´on f (z) = es su extensi´on anal´ıtica a G = C − {0}.
z
z
Obs´ervese que en la discusi´on anterior se sabe que f (z) es anal´ıtica en G ⊃ G0 . Otra
cuesti´on es si dada f0 (z) anal´ıtica en G0 admite alguna extensi´on a alg´
un dominio G mayor. Si
por ejemplo
f0 (z) =
∞
n=0
56
an (z − z0 )n ,
G0 = {|z − z0 | < R0 },
Todas las funciones a que nos referimos son univaluadas.
146
(12.103)
en algunos casos (es decir, dependiendo de los coeficientes an ) puede ocurrir que no haya
extensi´on fuera de G0 . (Esto requiere que todos los puntos de la frontera sean singulares). En
este caso |z − z0 | = R0 es la frontera natural de f0 (z).
n!
Ejemplo. La funci´on definida en |z| < 1 por f (z) = ∞
tiene |z| = 1 como frontera
n=1 z
natural. (Para un demostraci´on v´ease el libro de Silverman.)
zs
G
1
G0
z0
z
1
Figura 47: El desarrollo en z1 llega a puntos fuera de G0 . El punto zs es singular y determina
la frontera de ambos dominios G0 y G1 .
En otros casos, desarrollando en torno a z1 ∈ G0 puede obtenerse una nueva serie f1 (z) en
un disco G1 = {|z − z1 | < R1 } ⊂ G0 . (V´ease la fig. 47.) El radio de convergencia R1 llega hasta
la singularidad m´as pr´oxima. Se dice que (f0 (z), G0 ) y (f1 (z), G1 ) son extensi´
on anal´ıtica
directa uno de otro. En este caso se ha extendido f0 (z) definida s´olo en G0 a una funci´on
anal´ıtica f (z) definida en un dominio mayor G = G0 ∪ G1 . Usando repetidamente este m´etodo,
como en la fig. 32, p´agina 100, puede llenarse el dominio de analiticidad de la funci´on f (z)
a base de discos. Los pares (fi (z), Gi (z)) se denominan elementos de la funci´
on anal´ıtica
57
f (z).
Si el dominio G explorado por la extensi´on anal´ıtica es simplemente conexo la funci´on f (z)
que se obtenga ser´a univaluada, resultado conocido como principio de monodrom´ıa. Si el
dominio es m´
ultiplemente conexo, f (z) puede ser multivaluada. Es decir, al ir encadenando
discos Gi y volver a alcanzar el punto z0 mediante otro elemento (fn (z), Gn ) puede ocurrir que
fn (z0 ) = f0 (z0 ). En este caso la funci´on f (z) es multivaluada y la extensi´on anal´ıtica construye
autom´aticamente su superficie de Riemann.
57
Puede adoptarse el punto de vista de que la funci´on es construida por este m´etodo en regiones de C donde
no estaba definida o bien que la funci´on ya exist´ıa y est´
a siendo descubierta. El teorema de unicidad favorece el
segundo punto de vista.
147
∞
(−1)n+1
´
(z − 1)n en G0 = {|z − 1| < 1}. Este
es un elemento de
n
n=1
f (z) = log z en la rama log 1 = 0. Supongamos que se extiende a base de discos centrados en
puntos zk siguiendo la circunferencia |z| = 1 en sentido positivo. Cada disco tendr´a z = 0 en su
frontera y por tanto tendr´a radio Rk = 1. Cuando la cadena de discos llegue otra vez a z = 1
se obtendr´a log 1 = 2πi.
Ejemplo. f0 (z) =
La funci´on extendida anal´ıticamente hasta ocupar un dominio m´aximo (incluyendo quiz´a una
superficie de Riemann no trivial) se denomina funci´
on anal´ıtica completa.
12.5.1.
Principio de reflexi´
on de Schwarz
Como se ha visto, no se sabe a priori d´onde se podr´a extender una funci´on (f0 (z), G0 ) (ya
que las singularidades aparecen al explorar nuevas zonas). El siguiente teorema garantiza la
extensi´on en casos particulares.
Teorema. (Principio de reflexi´on de Schwarz.) Sea f0 (z) anal´ıtica en un dominio G0 , tal
que A = G0 ∩ R = ∅ y f0 (x) ∈ R para x ∈ A. Entonces admite extensi´on anal´ıtica a G =
{z|z ´o z ∗ ∈ G0 } = G0 ∪ G∗0 y tal que f (z ∗ ) = (f (z))∗ en G.
Demostraci´
on: En G1 = G∗0 definimos f1 (z) = (f0 (z ∗ ))∗ . Esta funci´on es anal´ıtica en G1 :
f1 (z) − f1 (z0 )
(f0 (z ∗ ))∗ − (f0 (z0∗ )∗ )
=
=
z − z0
z − z0
f0 (z ∗ ) − f0 (z0∗ )
z ∗ − z0∗
∗
∗
−→ (f0′ (z0∗ )) .
z→z0
(12.104)
El l´ımite existe luego f1 (z) es anal´ıtica. Adem´as f0 (z) real sobre el eje real implica que coincide
con f1 (z) en A. Por tanto, son extensi´on anal´ıtica una de otra y f (z) definida como f0 (z) en
G0 y como f1 (z) en G1 es anal´ıtica en G = G0 ∪ G1 . Por construcci´on es inmediato que cumple
f (z ∗ ) = (f (z))∗ en G. ♦
Ejemplo. f0 (z) = log z en G0 = {|z−1| < 1} en la rama log 1 = 0 cumple log(z ∗ ) = (log z)∗ .
148
13.
13.1.
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace
Definici´
on. La transformada de Laplace de f (t) se define
+∞
e−st f (t) dt := L{f (t)}(s)
F (s) =
0
(13.1)
La variable s es compleja en general. A menudo se simplifica la notaci´on a L{f (t)} (sin (s)) y
se sobreentiende que es una funci´on de s y no de t.
Nota: La definici´on en (13.1) corresponde a la transformada de Laplace unilateral. Tam+∞
e−st f (t) dt.
bi´en se define a veces la denominada transformada de Laplace bilateral,
−∞
Se puede considerar f (t) definida s´olo en t > 0, o bien en ] − ∞, ∞[ pero tal que f (t) = 0
para t < 0. En este u
´ltimo caso se dice que la funci´on f (t) es causal.
Definici´
on. Sea σ ∈ R y f (t) definida en 0 ≤ t < +∞. Se dice que f (t) es de orden
exponencial σ si |f (t)| < Keσt para alg´
un K > 0 y ∀t ≥ A > 0 Es decir, f (t) = O(eσt ) si no
crece m´as deprisa que eσt cuando t → +∞.
Teorema. Sea f (t) continua58 en 0 ≤ t < +∞ y de orden eσt , entonces L{f (t)} converge
para Re s > σ.
Demostraci´
on:
+∞
L{f (t)} =
A
e
−st
e
f (t) dt =
0
+∞
−st
e−st f (t) dt.
f (t) dt +
0
(13.2)
A
La primera integral existe por f (t) continua. La segunda es impropia. Si Re s < σ
+∞
+∞
A
|e−st f (t)| dt <
e− Re (s) t Keσt dt <
A
K
< +∞
Re s − σ
(13.3)
y la integral converge. ♦
58
En realidad basta que sea localmente integrable, es decir integrable Riemann en todo intervalo cerrado.
149
Ejemplo. Calc´
ulese la transformada de Laplace de f (t) = tn , n = 0, 1, . . ..
Soluci´
on: L{tn } =
+∞ −st n
e t
0
dt. Converge para Re s > 0.
+∞
L{1} =
n=0
0
1
e−st dt = − e−st
s
Por tanto, L{tn } =
C − {0}. ♦
n!
tn d(
e−st tn dt =
L{tn } =
sn+1
0
=
+∞
+∞
n>0
+∞
0
0
1
,
s
e−st
n
) = L{tn−1 } .
−s
s
(13.4)
, n = 0, 1, 2, . . .. La funci´on se puede extender anal´ıticamente a
Ejemplo. L{sen(at)} =
s2
+∞
a
para Re s > 0 y a ∈ R. En efecto,
+ a2
+∞
e−st sen(at) dt =
0
0
1
e−(s−ia)t − e−(s+ia)t
dt =
2i
2i
1
1
−
s − ia s + ia
.
(13.5)
De hecho basta | Im a| < Re s. El resultado se extiende a una funci´on meromorfa. ♦
Algunas propiedades de la transformada de Laplace:
a) F (s) es anal´ıtica en Re s > σ.
b) F (+∞) = 0. En efecto, si la integral converge para alg´
un s, f (t) debe ser de orden
exponencial para alg´
un σ y la integral debe tender a cero para s → +∞.
c) (Teorema del valor inicial.) f (0) = l´ıms→+∞ (sF (s)).
d) (Teorema del valor final.) Si F (s) es anal´ıtica en Re s > 0, f (+∞) = l´ıms→0 (sF (s)).
13.2.
Reglas operativas
n
a) Linealidad. L{
i=1
σi t
n
ai fi (t)} =
Si fi (t) = O(e ), L{
i=1
n
i=1
ai L{fi (t)}.
ai fi (t)} est´a definida en Re s > σ = m´ax(σ1 , . . . , σn ).
b) Traslaci´on. L{eat f (t)} = F (s − a). Converge en Re s > σ − Re a.
150
c) Transformada de la derivada. L{f ′ (t)} = sF (s) − f (0).
+∞
′
En efecto, L{f (t)} =
e
−st ′
f (t) dt = e
−st
f (t)
0
sF (s).
+∞
0
+∞
e−st f (t) dt = −f (0) +
+s
0
n
Iterando, L{f
(n)
n
(t)} = s F (s) −
sn−k f (k−1) (0), n = 0, 1, 2, . . .
k=1
d) Derivada de la transformada. F (n) (s) = (−1)n L{tn f (t)}.
En efecto, F (n) (s) =
dn
dsn
+∞
+∞
e−st f (t) dt =
0
(−t)n e−st f (t) dt.
0
1
dn 1
n!
Ejemplo. L{1} = implica L{tn } = (−1)n n = n+1 .
s
ds s
s
e) Transformada de la integral. L{
t
En efecto, s L{
0
f (τ ) dτ } = L{
t
0
f (τ ) dτ } =
d
dt
1
L{f (t)}.
s
t
t
0
f (τ ) dτ } +
f (τ ) dτ
0
t=0
= L{f (t)}.
+∞
1
f ) Integral de la transformada. L{ f (t)} =
F (σ) dσ (suponiendo que la integral
t
s
exista).
1
1
En efecto, Sea φ(s) = L{ f (t)}. Entonces, φ′ (s) = (−1) L{t f (t)} = −F (s), es decir,
t
t
+∞
F (σ) dσ, pero φ(+∞) = 0.
φ(s) = φ(+∞) +
s
Definici´
on. La funci´on escal´
on (o funci´on paso o de Heaviside) se denota H(x) (o
tambi´en Θ(x)) y se define como 1 si x > 0 y 0 si x < 0. Usando H(x) se puede escribir, por
ejemplo,
+∞
+∞
f (x) dx =
a
−∞
+∞
b
f (x) dx =
a
−∞
H(x − a)f (x) dx,
H(b − x)H(x − a)f (x) dx
a ≤ b.
La funci´on H(t − a) es discontinua en t = a con un salto de una unidad.
151
(13.6)
13.3.
Transformada inversa de Laplace
Definici´
on. Sea f (t) definida para t > 0. Se dice que f (t) es la transformada inversa
de Laplace de F (s), por definici´on si L{f (t)} = F (s). Se denota f (t) = L−1 {F (s)}.
La existencia de L−1 {F (s)} requiere F (+∞) = 0.
Teorema. f (t) = L−1 {F (s)} es u
´nica, excepto donde sea discontinua.
Usamos la notaci´on f1 (x) “=” f2 (x) para indicar que en cualquier intervalo finito las dos
funciones f1 (x) y f2 (x) difieren a lo sumo en un n´
umero finito de puntos. Con esta notaci´on, se
tiene que L{f1 (t)} = L{f2 (t)} sii f1 (t) “=” f2 (t) bajo condiciones muy generales sobre f1 (t) y
f2 (t).
(Obviamente si f1 (t) y f2 (t) son iguales salvo en puntos aislados la integral que define la
transformada de Laplace no cambia. Por tanto L−1 {F (s)} no puede ser u
´nica si no se invoca
continuidad.)
Ejemplo. L−1 { 1s e−sa } = H(t − a) (a > 0) no est´a definida en t = a: cualquier definici´on
de H(0) da la misma transformada de L{H(t − a)}.
13.4.
Reglas operativas
n
a) Linealidad. L−1 {
n
ai Fi (s)} =
i=1
i=1
ai L−1 {Fi (s)}.
b) Traslaci´on. L−1 {F (s − a)} = eat f (t). Y tambi´en L−1 {e−sa F (s)} = f (t − a)H(t − a) para
a > 0.
c) Transformada inversa de la derivada. L−1 {F (n) (s)} = (−t)n L−1 {F (s)}.
d) Transformada inversa del producto. Sean f1 (t) y f2 (t) las transformadas inversas de F1 (t)
y F2 (t), entonces L−1 {F1 (s)F2 (s)} = f1 (t) ∗ f2 (t).
Aqu´ı se ha usado el producto de convoluci´
on
+∞
f1 (t) ∗ f2 (t) :=
−∞
152
f1 (x)f2 (t − x) dx.
(13.7)
En nuestro caso, dado que f1 (t) y f2 (t) son causales (es decir, id´enticamente cero cuando
t < 0)
t
f1 (t) ∗ f2 (t) :=
(para L−1 {}).
f1 (x)f2 (t − x) dx
0
(13.8)
Demostraci´
on:
+∞
L{f1 (t) ∗ f2 (t)} =
t
dt e
−st
0
0
+∞
=
+∞
dx1 H(x1 )H(t − x1 )e−st f1 (x1 )f2 (t − x1 )
dt
−∞
+∞
=
−∞
+∞
dx2 H(x1 )H(x2 )e−s(x1 +x2 ) f1 (x1 )f2 (x2 )
dx1
−∞
+∞
=
dx1 f1 (x1 )f2 (t − x1 )
dx1 e
−∞
−sx1
+∞
dx2 e−sx2 f2 (x2 )
f1 (x1 )
0
0
= F1 (s)F2 (s).
Ejemplo. L−1 {
(13.9)
1
eat − ebt
1
} = eat ∗ ebt =
.
s−as−b
a−b
Ejemplo. Calc´
ulese L−1 {
1
}.
− 1)
s2 (s
Soluci´
on: Basta descomponer la funci´on en fracciones simples y usar
L−1 {
1
1
} = tn eat
n+1
(s − a)
n!
n = 0, 1, 2, . . .
(13.10)
(El mismo m´etodo se aplica al ejemplo anterior.)
1
1
1
1
= − 2− +
− 1)
s
s s−1
s2 (s
L−1 {
13.5.
1
} = −t − 1 + et
s2 (s − 1)
(t ≥ 0). ♦
(13.11)
F´
ormula de inversi´
on de Bronwich
Teorema. Sea F (z) anal´ıtica en Re z > σ y tal que F (z) → 0 cuando z → ∞ en Re z > σ,
153
y sea γ > σ, entonces
L−1 {F (s)} =
1
2πi
γ+i∞
etz F (z) dz
γ−i∞
t ≥ 0.
(13.12)
Si adem´as F (z) s´olo tiene singularidades aisladas en puntos zk de Re z ≤ σ, y l´ımz→∞ F (z) = 0,
entonces
L−1 {F (s)} =
Res (etz F (z))
t ≥ 0.
(13.13)
k
z=zk
γ+i∞
1
etz F (z) dz, t ≥ 0. Calculemos su transformada de
2πi γ−i∞
Laplace. Para Re s > σ elegimos σ < γ < Re s:
Demostraci´
on: Sea f (t) :=
+∞
L{f (t)} =
=
γ+i∞
1
1
etz F (z) dz =
2πi γ−i∞
2πi
F (z)
dz = F (s).
s−z
γ+i∞
dt e−ts
0
1
2πi
C−
γ−i∞
F (z)
dz
s−z
(13.14)
Aqu´ı C − es la curva cerrada que recorre γ + it, (−R ≤ t ≤ +R) y luego vuelve al principio
siguiendo un arco de circunferencia γR− en Re z ≥ γ, y se sobreentiende el l´ımite R → +∞
(v´ease la fig. 48(a)). El Lema 1 se aplica.
Si s´olo hay singularidades aisladas en puntos zk , a la izquierda de Re z = γ y F (z) → 0
cuando z → ∞, se puede completar el camino γ + it, (−R ≤ t ≤ +R) con el arco γR como
antes pero en Re z ≤ γ (v´ease la fig. 48(b)). Para R → +∞ la integral no cambia por el Lema
3. El teorema de residuos da entonces
Res (etz F (z))
f (t) =
k
z=zk
t ≥ 0. ♦
(13.15)
1
. Se puede elegir σ = m´ax( Re a, Re b) (u otro valor mayor).
(s − a)(s − b)
F (z) es meromorfa sin polos en Re z > σ y l´ımz→∞ F (z) = 0:
Ejemplo. F (s) =
L−1 {F (s)} = Res
z=a
eat − ebt
etz
etz
+ Res
=
z=b (z − a)(z − b)
(z − a)(z − b)
a−b
Ejemplo. Por aplicaci´on directa del teorema, L−1 {
154
(t ≥ 0). ♦
1
} = −t − 1 + et
− 1)
s2 (s
(13.16)
(t ≥ 0).
γ +iR
γ+iR
γ
γ
R
R
z2
z
s
1
γ iR
γ iR
(a)
(b)
Figura 48: (a) Aplicaci´on del teorema de residuos para demostrar (13.12). (b) ´Idem para demostrar (13.13).
Ejemplo. (Soluci´on de una ecuaci´on diferencial.) Sea N (t), t ≥ 0 tal que
dN (t)
= −λN (t),
dt
λ > 0.
(13.17)
(Describe, por ejemplo, la desintegraci´on de part´ıculas de una muestra radiactiva siendo λ la
probabilidad de desintegraci´on por unidad de tiempo.) Se puede resolver mediante transformada
˜ (s) = L{N (t)}, entonces, aplicando transformada de Laplace a la ecuaci´on
de Laplace: Sea N
se obtiene una ecuaci´on algebraica equivalente:
˜ (s) − N (0) = −λN
˜ (s),
sN
˜ (s) = N (0) .
N
s+λ
(13.18)
Aplicando (13.10) para n = 0 y a = −λ, resulta
N (t) = N (0)e−λt . ♦
155
(13.19)
14.
Series de Fourier
Sea f (x) una funci´on definida en el intervalo [c, c + 2L[. (En general f (x) puede ser compleja, de variable real.) Se trata de aproximar, o reproducir esta funci´on mediante una serie de
funciones trigonom´etricas.
Sin p´erdida de generalidad podemos cambiar f (x) por una funci´on peri´odica fP (x) de periodo 2L de modo que coincida con f (x) en [c, c + 2L[, a base copiar f (x) en cada periodo.
Hay una biyecci´on natural entre funciones definidas en un intervalo finito dado y funciones
peri´odicas en R:
fP (x) = fP (x + 2L), x ∈ R,
14.1.
fP (x) = f (x), x ∈ [c, c + 2L[.
(14.1)
Forma compleja de la serie de Fourier
Sea S(x) definida por la serie (forma compleja de la serie de Fourier)
+∞
αn einπx/L ,
S(x) =
n=−∞
x∈R
(14.2)
para ciertos coeficientes αn y L > 0. Si la suma converge,59 la correspondiente funci´on S(x) es
peri´odica
S(x) = S(x + 2L)
(14.3)
debido a la misma propiedad de las funciones b´asicas einπx/L .
Por otro lado, dada la suma S(x) los coeficientes quedan un´ıvocamente determinados mediante
c+2L
1
e−inπx/L S(x) dx.
(14.4)
αn =
2L c
(Obs´ervese que, siendo S(x) y e−inπx/L peri´odicas, el resultado de la integral no depende de
c.) Esto se deduce inmediatamente de las relaciones de ortogonalidad entre las funciones
b´asicas
c+2L
1
e−inπx/L eimπx/L dx = δnm ,
n, m ∈ Z.
(14.5)
2L c
59
En este contexto el l´ımite se define de forma sim´etrica:
156
+∞
n=−∞
:= l´ımN →+∞
N
n=−N .
Aqu´ı el s´ımbolo δnm denota la delta de Kronecker
δnm =
1 n=m
.
0 n=m
(14.6)
Usando las relaciones de ortogonalidad tambi´en es inmediato verificar la identidad de
Parseval:
+∞
c+2L
1
|S(x)|2 dx =
|αn |2 .
(14.7)
2L c
n=−∞
Otra propiedad interesante es
S(x) = (S(x))∗
(es decir, S(x) real)
sii
α−n = αn∗ .
(14.8)
Definici´
on. f (x) definida en [a, b] se dice que es continua a trozos si admite un n´
umero
finito de puntos a = x0 < x1 < · · · < xN = b tales que f (x) es continua en cada intervalo
cerrado [xn , xn+1 ]. En este caso la funci´on es continua salvo en los puntos aislados xn (con un
n´
umero finito de ellos en cada intervalo finito) para los que existen los l´ımites f (xn + 0+ ) y
f (xn − 0+ ), y ´estos son finitos.
La propiedad m´as notable es que esencialmente cualquier funci´on peri´odica se puede representar mediante una serie compleja de Fourier. Espec´ıficamente,
Teorema. Sea f (x) definida en [c, c + 2L[, continua a trozos y con derivada continua a
trozos. Y sean
c+2L
1
e−inπx/L f (x) dx,
n ∈ Z.
(14.9)
αn =
2L c
Entonces la suma de la serie compleja de Fourier, (14.2), satisface
S(x) =
1
fP (x + 0+ ) + fP (x − 0+ ) ,
2
(14.10)
donde fP (x) es la funci´on peri´odica asociada a f (x).
Esto quiere decir, que S(x) = f (x) en [c, c + 2L] excepto en los puntos de discontinuidad:

f (x)
si f (x) continua en x ∈]c, c + 2L[

1
+
+
(f
(x
+
0
)
+
f
(x
−
0
))
si
f (x) discontinua en x ∈]c, c + 2L[
(14.11)
S(x) =
1 2
+
+
(f (c + 0 ) + f (c + 2L − 0 )) si x = c ´o x = c + 2L
2
157
Demostraci´
on: (Cualitativa.) Sea Sn (x) la suma truncada, y x ∈]c, c + 2L[
n
αk eikπx/L
Sn (x) =
k=−n
n
eikπx/L
=
k=−n
1
2L
=
n
c
c+2L
e−ikπy/L f (y) dy
c
sen(π(y − x)(n + 1/2)/L)
f (y) dy,
sen(π(y − x)/2L)
(14.12)
wn+1 − w−n
wn+1/2 − w−n−1/2
=
para w = eikπ(x−y)/L .
w−1
w1/2 − w−1/2
wk =
donde se ha usado
c+2L
1
2L
k=−n
Nos interesa el l´ımite n → +∞. Para aligerar la notaci´on definimos
L
,
π(n + 1/2)
ǫ=
Ahora interesa el l´ımite ǫ → 0+
(c+2L−x)/ǫ
Sn (x) =
dξ
(c−x)/ǫ
Usando ahora, x ∈]c, c + 2L[, y l´ım
x→0
0
dξ
S(x) =
−∞
ξ=
y−x
.
ǫ
sen ξ πǫξ/2L
f (x + ǫξ).
πξ sen(πǫξ/2L)
0
dξ
−∞
de R. ♦
sen ξ
=
πξ
+∞
dξ
0
(14.14)
x
= 1, resulta, en el l´ımite60
sen x
sen ξ
f (x − 0+ ) +
πξ
+∞
dξ
0
sen ξ
f (x + 0+ )
πξ
1
f (x − 0+ ) + f (x + 0+ ) .
=
2
por
(14.13)
(14.15)
sen ξ
= 1/2. Por periodicidad x es en realidad un punto cualquiera
πξ
Con la notaci´on “=” introducida anteriormente, el teorema implica
+∞
αn einπx/L ,
f (x) “=”
n=−∞
60
c ≤ x ≤ c + 2L.
(14.16)
Este paso al l´ımite es formal. Para una demostraci´
on rigurosa v´ease, por ejemplo, el libro de Dettman.
158
Obs´ervese que la convergencia no puede ser absoluta y uniforme si f (x) es discontinua o
f (c) = f (c + 2L) ya que entonces S(x) ser´ıa una funci´on continua.
14.2.
Forma trigonom´
etrica de la serie de Fourier
Sean
an = a−n =
c+2L
1
L
bn = −b−n =
cos(πnx/L) S(x) dx,
c
1
L
c+2L
sen(πnx/L) S(x) dx.
(14.17)
c
Entonces
1
αn = (an − ibn ).
2
O tambi´en, an = αn + α−n , bn = i(αn − α−n ). Y
(14.18)
+∞
S(x) =
1
(an − ibn )(cos(πnx/L) + i sen(πnx/L))
2
n=−∞
+∞
1
=
a0 +
(an cos(πnx/L) + bn sen(πnx/L))
2
n=1
(14.19)
(donde se han utilizado las propiedades de paridad de los coeficientes y de las funciones trigo´
nom´etricas.) Esta
es la forma trigonom´
etrica de la serie de Fourier.
Una ventaja respecto de la forma compleja es que S(x) es real sii los an y bn son todos
reales.
Como se indica en (14.17) los coeficientes an y bn tambi´en pueden obtenerse directamente a
partir de S(x) (sin pasar por la forma compleja). Esto se basa en las propiedades de ortogonalidad de las funciones trigonom´etricas b´asicas. En efecto, sean u y v funciones cualesquiera
del conjunto de funciones
√
1/ 2, cos(πnx/L) (n > 0), sen(πnx/L) (n > 0) ∋ u, v,
(14.20)
entonces
1
L
c+2L
u(x)v(x) dx =
c
159
1 u=v
0 u=v
(14.21)
La identidad de Parseval toma la forma
c+2L
1
L
14.3.
c
+∞
1
(|an |2 + |bn |2 ).
|S(x)|2 dx = |a0 |2 +
2
n=1
(14.22)
Series de Fourier seno y coseno
Para simplificar, aqu´ı tomaremos c = −L, es decir, f (x) est´a definida en ] − L, L[. En este
caso se cumple que
f (x) = f (−x)
(f (x) es par)
sii bn = 0,
f (x) = −f (−x) (f (x) es impar) sii an = 0.
(14.23)
Veamos que f (x) en ]0, L[ se puede expresar usando s´olo cosenos o s´olo senos. Para ello,
definimos la funci´on
f (x)
0<x<L
fp (x) =
(14.24)
f (−x) −L < x < 0
Por construcci´on, fp (x) tiene las propiedades i) es par, y ii) coincide con f (x) en ]0, L[. Si
desarrollamos fp (x) en ] −L, L[ se obtiene
bpn = 0,
apn =
1
L
L
cos(πnx/L) f (x) dx =
−L
2
L
L
cos(πnx/L) f (x) dx.
(14.25)
0
Se deduce entonces que
+∞
f (x) “=”
cn cos(πnx/L),
0<x<L
(14.26)
n=0
con
c0 =
1
L
L
f (x) dx,
0
cn =
2
L
L
cos(πnx/L) f (x) dx (n > 0) .
(14.27)
0
´
Esta
es la serie de Fourier coseno de f (x).
An´alogamente, podemos definir
fi (x) =
f (x)
0<x<L
−f (−x) −L < x < 0
160
(14.28)
Esta funci´on es impar y coincide con f (x) en ]0, L[. Sus coeficientes de Fourier cumplen
ain
bin
= 0,
L
2
sen(πnx/L) f (x) dx =
L
−L
1
=
L
L
sen(πnx/L) f (x) dx.
(14.29)
0
Se deduce entonces que
+∞
f (x) “=”
dn sen(πnx/L),
0<x<L
(14.30)
n=1
con
dn =
L
2
L
sen(πnx/L) f (x) dx (n > 0) .
(14.31)
0
´
Esta
es la serie de Fourier seno de f (x).
2.0
1.5
1.0
0.5
3
2
1
1
2
3
Figura 49: Serie de Fourier en (14.32), sumada hasta n = 8.
Ejemplo. Sea f (x) = x + 1 en ] − 1, 1[. Entonces
f (x)
f (x)
f (x)
“=”
“=”
“=”
2
1−
π
+∞
n=1
+∞
3
4
− 2
2 π
2
π
+∞
n=1
(−1)n
sen(πnx),
n
n=0
1
cos (2n + 1)πx ,
(2n + 1)2
1 − 2(−1)n
sen(πnx),
n
−1 < x < 1 ,
0 < x < 1,
(14.33)
0 < x < 1,
(14.34)
para las series de Fourier, de Fourier coseno y de Fourier seno, respectivamente.
161
(14.32)
2
1
3
2
1
1
2
3
1
2
Figura 50: Serie de Fourier coseno en (14.33), sumada hasta n = 4.
2
1
3
2
1
1
2
3
1
2
Figura 51: Serie de Fourier seno en (14.34), sumada hasta n = 16.
14.4.
Complementos
La demostraci´on de (14.16) se puede hacer alternativamente usando la delta de Dirac.
Partiendo de (14.12) y notando la propiedad
sen(x/ǫ)
−→ δ(x)
ǫ→0+
πx
(14.35)
resulta
c+2L
S(x) =
c
= f (x),
δ(y − x)
π(y − x)/2L
f (y) dy
sen(π(y − x)/2L)
162
(14.36)
donde f (x) sea continua.
15.
15.1.
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Definici´
on. Sea f (x) definida en R, y k real. La funci´on
+∞
F (k) =
−∞
e−ikx f (x) dx =: F{f (x)}(k)
(15.1)
(si la integral converge) se denomina transformada de Fourier de f (x).
1
Nota: Esta definici´on no es universal. Tambi´en se define a veces como, √
2π
o con e+ikx ´o e−2πikx , etc.
+∞
e−ikx f (x) dx,
−∞
A menudo se escribe simplemente F{f (x)}. Tambi´en se usa la notaci´on f˜(k).
Obviamente, |eikx | = 1 (k real) implica que una condici´on suficiente para que F (k) exista
+∞
es que f (x) sea absolutamente integrable, es decir, −∞ |f (x)| dx < +∞.
La funci´on f (x) puede ser real o compleja, F (k) resulta ser compleja en general. En principio
k es real (transformada de Fourier real). Cuando se consideran k complejos, se obtiene la
transformada de Fourier compleja.
Como se ve la transformada de Fourier compleja puede relacionarse con la de Laplace
(especialmente la bilateral) o Laplace inversa mediante una rotaci´on de π/2 en el plano complejo
k.
15.2.
Transformada inversa de Fourier
Teorema. Si f (x) es continua a trozos y lo mismo su derivada, y f (x) es absolutamente
163
integrable,
+∞
eikx F (k)
f (x) “=”
En los puntos de discontinuidad F
y la izquierda.
−∞
−1
dk
=: F −1 {F (k)}(x) .
2π
(15.2)
{F (k)} proporciona la semisuma de l´ımites por la derecha
Demostraci´
on: (Cualitativa.) Este resultado se obtiene como l´ımite del correspondiente a
series de Fourier. Para f (x) definida en ]−L, L[, las relaciones (14.9) y (14.16) pueden reescribirse
como
L
e−ikn x f (x) dx
=
−L
2Lαn ,
(15.3)
+∞
f (x)
“=”
∆kn
n=−∞
2Lαn ikn x
e ,
2π
(15.4)
donde se ha definido
πn
π
,
∆kn = kn+1 − kn = .
(15.5)
L
L
Si se toma ahora el l´ımite L → +∞, kn tiende a ser una variable continua k por ∆kn → 0+ .
Entonces, en (15.3)
kn =
L
+∞
e
−L
y por tanto
En (15.4),
−ikn x
+∞
n=−∞
∆kn →
+∞
−∞
f (x) dx →
e−ikx f (x) dx
2Lαn → F (k).
(15.7)
dk y finalmente
+∞
2Lαn ikn x
f (x) “=”
∆kn
e
→
2π
n=−∞
15.3.
(15.6)
−∞
+∞
dk
−∞
F (k) ikx
e . ♦
2π
(15.8)
Propiedades de la transformada de Fourier
Obs´ervese que las operaciones F{} y F −1 {} son casi id´enticas, a saber,
1
F{f (x)}(−k),
(15.9)
2π
y en consecuencia, las propiedades que siguen valen tambi´en para F −1 {} (salvo cambios triviales).
F −1 {f (x)}(k) =
164
n
a) Linealidad. F{
n
ai fi (x)} =
i=1
i=1
ai F{fi (x)}.
b) Paridad. F{f (−x)} = F (−k). Se deduce que si f (x) es par o impar, F (k) lo mismo.
c) Conjugaci´
on. F{(f (x))∗ } = (F (−k))∗ .61 Por lo tanto si f (x) es real F (k)∗ = F (−k).
Si adem´as f (x) es par F (k) es real y par y si f (x) es impar, F (k) es imaginario puro e
impar.
d) Traslaci´on. F{eiax f (x)} = F (k − a), F{f (x − a)} = e−iak F (k).
1
e) Dilataci´on. F{f (ax)} = F (k/a), a > 0.
a
f ) Derivada. F{f ′ (x)} = ikF (k), F{xf (x)} = iF ′ (k).
Demostraci´
on:
+∞
e−ikx f ′ (x) dx = e−ikx f (x)
−∞
+∞
+∞
e−ikx xf (x) dx =
i
−∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−
′
e−ikx f (x) dx = ikF (k),
−∞
d −ikx
f (x) dx = iF ′ (k).
e
dk
(15.10)
(Suponemos f (±∞) = 0 para que la integral converja).
g) Identidad de Parseval.
+∞
+∞
2
−∞
|f (x)| dx =
−∞
|F (k)|2
dk
.
2π
(15.11)
Esta identidad implica que f (x) es de cuadrado integrable sii F (k) lo es. (S´olo transformada de Fourier real.)
Demostraci´
on: De hecho se cumple una relaci´on m´as general:
+∞
−∞
61
dk
F1 (k)F2∗ (k)
2π
+∞
=
−∞
dk
F1 (k)
2π
+∞
+∞
−∞
O m´as generalmente (F (−k ∗ ))∗ si k es complejo.
165
eikx f2∗ (x) dx
=
−∞
f1 (x)f2∗ (x) dx. (15.12)
h) Convoluci´
on.
F{f1 (x) ∗ f2 (x)} = F1 (k)F2 (k)
1
F1 (k) ∗ F2 (k).
F{f1 (x)f2 (x)} =
2π
(15.13)
Demostraci´
on:
+∞
+∞
dx e
−ikx
−∞
−∞
+∞
dy f1 (y)f2 (x − y) =
+∞
dy f1 (y)e−iky F2 (k) = F1 (k)F2 (k). (15.14)
−∞
+∞
dx e−ikx f1 (x)f2 (x) =
−∞
−∞
+∞
=
−∞
=
i) F (0) =
+∞
−∞
+∞
dx e−ikx f1 (x)
−∞
dq iqx
e F2 (q)
2π
dq
F1 (k − q) F2 (q)
2π
1
F1 (k) ∗ F2 (k).
2π
(15.15)
f (x) dx.
j) F{ F{f (x)}} = 2πf (−x).
k) Analiticidad. Si f (x) = O(e−a± x ) cuando x → ±∞, para a− < a+ , entonces F (k) es
anal´ıtica en la banda a− < Im k < a+ del plano complejo k.
Demostraci´
on: Para x → +∞, |e−ikx f (x)| = e Im k x |f (x)| < Ke Im k x e−a+ x y la integral
converger´a absolutamente si ( Im k − a+ ) < 0. An´alogamente converger´a en x → −∞ si
( Im k − a− ) > 0.
l) Continuidad y convergencia. Como regla, si f (x) tiene “buen comportamiento” localmente
(m´as regular), F (k) tiene “buen comportamiento” en k → ∞ (m´as convergente) y si f (x)
se comporta bien en el infinito F (k) lo hace bien localmente. Espec´ıficamente
1
Si f (x) tiene n derivadas continuas (n = 0, 1, 2, . . .), F (k) = O( kn+2
) cuando k → ∞.
Si f (x) es a lo sumo discontinua con salto finito, F (k) = O( k1 ) cuando k → ∞.
Si f (x) tiene un polo de orden n (en R) F (k) = O(k n−1 ) cuando k → ∞. 62
Si f (x) es infinitamente diferenciable F (k) va cero m´as deprisa que cualquier potencia inversa de k.
5) Si f (x) es anal´ıtica en una banda de anchura σ > 0 en el plano complejo x que
contenga R, F (k) = O(e−σ|k| ) cuando k → ∞.
1)
2)
3)
4)
62
El mismo comportamiento se obtiene si la singularidad en f (x) es de tipo δ (n−1) (x).
166
15.4.
Ejemplos
Ejemplo. Sea f (x) = e−x
2 /2a2
, a > 0. Calculemos F (k).
F (k) = F{e−x
2 /2a2
+∞
dx e−ikx e−x
}=
2 /2a2
.
(15.16)
−∞
Aqu´ı se usa el m´etodo de completar cuadrados :
ikx +
1 x
x2
=
+ iak
2a2
2 a
F (k) = e−a
2
+
a2 k 2
.
2
+∞
2 k 2 /2
dx e−(x/a+iak)
2 /2
(15.17)
.
(15.18)
−∞
Podemos ahora definir z = x/a + iak, dz = dx/a,
F (k) = ae−a
2 k 2 /2
+∞+iak
dz e−z
2 /2
.
(15.19)
−∞+iak
La integral en z es a lo largo del camino R + iak. Se puede cambiar a una integral a lo largo
2
de R ya que e−z /2 tiende a cero cuando Re z → ±∞ y entre los dos caminos no hay puntos
singulares:
+∞
√
2 2
2
−a2 k2 /2
(15.20)
dz e−z /2 = 2π a e−a k /2 .
F (k) = ae
−∞
2
2
Este ejemplo ilustra
citadas en 15.3. f (x) = e−x /2a es infinitamente di√ las propiedades
2
2
ferenciable y F (k) = 2π a e−a k /2 cae r´apidamente a cero cuando k → ±∞. De hecho m´as
deprisa que exponencialmente, ya que f (x) es entera en el plano complejo. Y al rev´es, f (x)
cae muy deprisa en ±∞ por lo que F (k) es infinitamente diferenciable. Tambi´en se ve que la
anchura de f (x), ∆x ∼ a, es inversamente proporcional a la anchura de F (k), ∆k ∼ 1/a, lo
cual est´a de acuerdo con la respuesta de F{} a dilataciones.
Ejemplo. Sea f (x) = e−a|x| , a > 0.
+∞
+∞
dx e−ikx e−a|x| =
F (k) =
−∞
+∞
0
dx e−ikx e−ax +
0
dx (e−ikx e−ax + eikx e−ax ) =
=
0
167
dx e−ikx eax
−∞
1
1
2a
+
= 2
.
a + ik a − ik
k + a2
(15.21)
Obs´ervese que F (k) es anal´ıtica en | Im k| < a, como consecuencia de la ca´ıda exponencial
del f (x). Por otro lado f (x) es continua pero no su derivada (en x = 0) y por ese motivo la
ca´ıda de F (k) cuando k → ±∞ es s´olo O(1/k 2 ).
Tambi´en es interesante verificar la transformada inversa expl´ıcitamente.
F −1 {
2a
} =
2
k + a2
+∞
−∞
dk ikx 2a
e
2π
k 2 + a2
(a > 0).
(15.22)
Esta integral se puede hacer usando el teorema de residuos en el plano complejo k. Si x > 0 se
aplica el lema de Jordan (Lema 3) cerrando el contorno por arriba sin que cambie el valor de
la integral. El contorno encierra el polo en k = ia. En cambio si x < 0 se cierra por abajo y el
contorno orientado negativamente encierra el polo en k = −ia:
F
15.5.
−1
2a
{ 2
} =
k + a2
2πi i(ia)x 2a
e
= e−ax ,
2π
2(ia)
2a
ei(−ia)x 2(−ia)
= eax ,
− 2πi
2π
x>0
x<0
= e−a|x| .
(15.23)
Transformada de Fourier multidimensional
Si f (x) est´a definida para x ∈ Rn , se define
F{f (x)}(k) :=
dn x e−ik·x f (x),
Rn
F −1 {F (k)}(x) :=
15.6.
Rn
dn k ik·x
e F (k).
(2π)n
k ∈ Rn ,
(15.24)
(15.25)
Funci´
on escal´
on
Definici´
on. Se puede completar la definici´on de la funci´
on escal´
on en x = 0 mediante la
prescripci´on H(0) = 1/2,

 0 x<0
H(x) = 1/2 x = 0
(15.26)

1 x>0
El convenio H(0) = 1/2 no es universal.63 Esta prescripci´on cumple H(x) + H(−x) = 1.
63
Para todo x = 0 se cumple H(x) + H(−x) = 1 y (H(x))2 = H(x), sin embargo no hay ninguna elecci´
on de
H(0) que haga que estas propiedades sean v´
alidas tambi´en en x = 0.
168
15.6.1.
Regularizaciones de H(x)
H(x) se puede obtener como el l´ımite puntual de funciones continuas:
H(x) = l´ım+ Hǫ (x) ,
Hǫ (x) := h(x/ǫ)
ǫ→0
(15.27)
siendo h(x) cualquier funci´on continua tal que h(+∞) = 1, h(−∞) = 0 y h(0) = 1/2. Por
ejemplo,
1) Hǫ (x) =
1
x
1
arctan
+
π
ǫ
2
x/ǫ
1
x
1 1
1
2
+√
e−x dx = + erf
2
2 2
ǫ
π 0

0
x < −ǫ

1
3) Hǫ (x) = 2 (1 + x/ǫ) |x| < ǫ

1
x>ǫ
2) Hǫ (x) =
4) Hǫ (x) =
1
1
−
P
2 2πi
+∞
5) Hǫ (x) = −P
−∞
1/ǫ
−1/ǫ
e−iwx
1 1
dw = +
w
2 π
1/ǫ
0
sen(wx)
dw
w
e−iwx dw
w + iǫ 2πi
Todas estas regularizaciones cumplen Hǫ (0) = 1/2.
15.6.2.
Transformada de Laplace de la funci´
on de escal´
on




+∞
1
a<0
s
−st
0
L{H(t − a)} =
e H(t − a) dt =
+∞
e−as

−st
0


e dt =
a>0
s
a
e−as
1
H(−a) +
H(a).
=
s
s
+∞
169
e−st dt =
(15.28)
15.6.3.
Transformada de Fourier de la funci´
on de escal´
on
Dado que H(x) no es absolutamente integrable usamos una regularizaci´on para calcular la
transformada de Fourier
+∞
F{H(x)} =
l´ım+ F{H(x)e−ǫ|x| } = l´ım+
ǫ→0
ǫ→0
+∞
=
=:
l´ım+
ǫ→0
0
e−ikx H(x)e−ǫ|x| dx
−∞
e−(ǫ+ik)x dx = l´ım+
ǫ→0
1
ǫ + ik
−i
.
k − i 0+
(15.29)
La transformada de Fourier de H(x) existe como distribuci´on. La prescripci´on −i 0+ no
tiene efecto si k = 0 pero hace falta para decir c´omo tratar el polo en k = 0 en integrales. Por
ejemplo, si se calcula la transformada inversa:
F −1 {
−i
} =
k − i 0+
+∞
l´ım+
ǫ→0
−∞
dk ikx −i
e
.
2π
k − iǫ
(15.30)
} en la secci´on 15.4.
Este c´alculo se hace por residuos y es an´alogo al de F −1 { k22a
+a2
F −1 {
−i
} =
k − i 0+
l´ım+
ǫ→0
e−ǫx , x > 0
0, x < 0
= H(x).
(15.31)
(H(0) = 1/2 se obtiene si se elige P para regular k → ±∞.) N´otese que se calcula la integral
con ǫ finito y se toma el l´ımite al final, y no al rev´es. Si se hubiera tomado otra prescripci´on
para el polo k = 0, por ejemplo valor principal de Cauchy, se hubiera obtenido funci´on distinta:
F −1 {P
−i
} :=
k
l´ım+ F −1 {H(|k| − ǫ)
ǫ→0
−i
1 x
1
}=
= H(x) − .
k
2 |x|
2
(15.32)
Las distintas prescripciones para tratar el polo producen funciones que difieren por una constante aditiva.
El polo en k = 0 en F{H(x)}(k) refleja que H(x) no tiende a cero en ±∞. (H(x) no es de
cuadrado integrable y su transformada de Fourier tampoco.) La ca´ıda lenta cuando k → ±∞
se debe a la discontinuidad en H(x).
170
15.7.
Funci´
on δ de Dirac
Definici´
on. La funci´on δ (delta) de Dirac se define como la derivada de la funci´on escal´on
δ(t) =
o equivalentemente
d
H(t) ,
dt
(15.33)
t
δ(τ ) dτ = H(t) .
(15.34)
−∞
De acuerdo con esta definici´on δ(t) = 0 si t = 0 mientras que δ(t) = +∞ si t = 0. En realidad
δ(t) no es propiamente una funci´on sino una distribuci´on o funci´on generalizada. Esto quiere
decir que s´olo tiene sentido en expresiones del tipo
suficientemente regular.
15.7.1.
f (t)δ(t − a) dt donde f (t) es una funci´on
Propiedad b´
asica de δ(t)
Como distribuci´on δ(t), se define por su propiedad b´
asica:
Teorema. Para cualquier funci´on f (t) continua en t = t0
+∞
−∞
f (t) δ(t − t0 ) dt = f (t0 ).
(15.35)
Demostraci´
on:
+∞
−∞
d
f (t) δ(t − t0 ) dt = −
dt0
+∞
−∞
d
f (t) H(t − t0 ) dt = −
dt0
+∞
f (t) dt = f (t0 ).
(15.36)
t0
La propiedad b´asica tambi´en puede expresarse
b
a
f (t) δ(t − t0 ) dt =
f (t0 ) t0 ∈]a, b[
0
t0 ∈]a, b[
para a < b.
(15.37)
En efecto, obviamente (15.37) implica (15.35), y tambi´en al rev´es: si a < b,
+∞
b
a
f (t) δ(t − t0 ) dt =
−∞
H(b − t)H(t − a) f (t) δ(t − t0 ) dt = H(b − t0 )H(t0 − a) f (t0 ) (15.38)
171
que vale f (t0 ) si a < t0 < b y 0 si t0 < a ´o b < t0 . ♦
Nota: Obs´ervese que ninguna funci´on ordinaria D(x) puede cumplir f (x)D(x)dx = f (0)
para toda funci´on continua f (x), ya que f (x) podr´ıa tomar valores arbitrarios en x = 0 sin
cambiar la integral y eso requerir´ıa D(x) = 0 ∀x = 0. Cualquiera que fuera el valor de D(0)
saldr´ıa f (x)D(x)dx = 0 siempre.
M´as generalmente, si f (t) es continua a trozos y habiendo elegido H(0) = 1/2,
+∞
−∞
1
f (t) δ(t − t0 ) dt = (f (t0 + 0+ ) + f (t0 − 0+ )),
2
(15.39)
que coincide con (15.35) si f (t) es continua en t = t0 . De nuevo, esta prescripci´on no es universal
y no forma parte de la definici´on de δ(t).
15.7.2.
Otras propiedades de δ(t)
Algunas propiedades de la δ de Dirac:
a) δ(−x) = δ(x). Se deduce derivando H(x) + H(−x) = 1.
1
b) δ(ax) = δ(x) para a > 0. Se deduce derivando H(ax) = H(x).
a
15.7.3.
Regularizaciones de δ(t)
Definici´
on. Una familia de funciones δǫ (t) es una regularizaci´
on de la delta de Dirac si
para cualquier f (t) continua en [a, b],
b
l´ım+
ǫ→0
a
δǫ (t − t0 )f (t) dt = f (t0 ),
Si Hǫ (t) −→+ H(t) entonces δǫ (t) =
ǫ→0
a < t0 < b.
(15.40)
d
Hǫ (t) es una regularizaci´on de δ(t), es decir,
dt
δǫ (t) −→+ δ(t).
ǫ→0
Usando las regularizaciones de H(t) anteriores se obtiene:
172
(15.41)
1) δǫ (t) =
ǫ 1
,
π t 2 + ǫ2
1
2
2) δǫ (t) = √ e−(t/ǫ) ,
ǫ π
3) δǫ (t) =
1
H(ǫ − |t|),
2ǫ
4) δǫ (t) =
sen(t/ǫ)
.
πt
+∞
5) δǫ (t) = P
−∞
dw
w
e−iwt
w + iǫ
2π
Todas estas regularizaciones δǫ (t) cumplen (15.39) al tomar el l´ımite. (De hecho, todas son
funciones pares de t excepto la (5).)
Nota: A menudo se ve en libros de texto la afirmaci´on de que una regularizaci´on de la
0
t=0
y (2)
delta es aceptable sii cumple las dos propiedades siguientes: (1) δǫ (t) −→+
+∞ t = 0
ǫ→0
+∞
δǫ (t) dt = 1.
−∞
En realidad estas condiciones no son necesarias ni suficientes.

t<ǫ
0
sen(t/ǫ)
son regularizaciones
Ejemplo. Tanto δǫ (t) = 1/ǫ ǫ ≤ t ≤ 2ǫ, como δǫ (t) =

πt
0
t > 2ǫ
v´alidas y no cumplen (1). Obviamente (2) tampoco es necesaria (no hace falta que la integral
valga 1 antes de tomar el l´ımite ǫ → 0+ ).
Las propiedades m´as relajadas (1′ ) l´ımǫ→0+ δǫ (t) = 0 si t = 0 y (2′ ) l´ımǫ→0+
1, tampoco son suficientes.
+∞
δ (t) dt
−∞ ǫ
=
Ejemplo. Por ejemplo,
dǫ (t) :=
1+
d
dt
ǫ 1
π t 2 + ǫ2
=
ǫ 1
ǫ
2t
−
−→
2
2
2
πt +ǫ
π (t + ǫ2 )2 ǫ→0+
173
0
t=0
+∞ t = 0
(15.42)
y tambi´en
+∞
+∞
f (t)dǫ (t) dt =
−∞
−∞
(f (t) − f ′ (t))
ǫ 1
dt −→ f (0) − f ′ (0),
π t2 + ǫ2 ǫ→0+
(15.43)
que vale 1 si f (t) = 1, y por tanto dǫ (t) est´a normalizada a uno. Sin embargo, dǫ (t) no tiende
a δ(t) (ya que entonces dar´ıa f (0) en (15.43)) sino a δ(t) + δ ′ (t). ♦
Un m´etodo pr´actico de construir una regularizaci´on de la delta (aunque no la m´as general)
es partir de una funci´on D(t) tal que
+∞
D(t) dt = 1
(15.44)
1
δǫ (t) := D(t/ǫ),
ǫ
(15.45)
−∞
Entonces
proporciona una regularizaci´on v´alida.64
En efecto, para a > 0 y f (t) continua en [−a, a],
a
a/ǫ
δǫ (t) f (t) dt =
−a
15.7.4.
ǫ→0
D(t) dt = f (0).
(15.46)
−∞
Transformada de Laplace de δ(t)
L{δ(t − a)} =
15.7.5.
−a/ǫ
+∞
D(t) f (ǫt) dt −→+ f (0)
+∞ −st
e δ(t
0
− a) dt = H(a)e−as .
Transformada de Fourier de δ(t)
+∞
F{δ(x)} =
e−ikx δ(x) dx = 1.
(15.47)
−∞
Esto permite la definici´on alternativa de la delta de Dirac como
F −1 {1} = δ(x),
64
(15.48)
En realidad, dada δǫ (t) basta que exista D(t) normalizada a 1 tal que l´ımǫ→0+ (ǫδǫ (ǫt) − D(t))/ǫ → 0.
174
o expl´ıcitamente:
+∞ ikx dk
e 2π
−∞
= δ(x) que proporciona la importante identidad
+∞
eikx dk = 2πδ(x).
(15.49)
−∞
Propiedades relacionadas:
F{eiax } = 2πδ(x − a),
F{cos(ax)} = π(δ(x − a) + δ(x + a)),
F{sen(ax)} = −iπ(δ(x − a) − δ(x + a)).
15.8.
Complementos
15.8.1.
Transformada inversa de Fourier
(15.50)
La demostraci´on de (15.2) es sencilla usando la representaci´on
+∞
e−itw
−∞
dw
= δ(t)
2π
(15.51)
de la delta de Dirac. En efecto,
+∞
−∞
15.8.2.
dk ikx
e F (k) =
2π
+∞
−∞
dk ikx
e
2π
+∞
+∞
e−ikt f (t) dt =
−∞
−∞
δ(t − x)f (t) dt = f (x).
(15.52)
Identidad de Weierstrass
1
1
= P ∓ iπδ(x).
+
x ± i0
x
(15.53)
En efecto: La primera identidad es la conjugada de la segunda y ´esta equivale a
F −1 {
1
1
} = F −1 {P } + iπ F −1 {δ(k)}.
+
k − i0
k
175
(15.54)
Esta identidad se sigue de (15.31), (15.32): F −1 { k−i1 0+ } = iH(x) y F −1 {P k1 } = i(H(x) − 12 ),
junto con F −1 {2πδ(k)} = 1.
N´otese que esta f´ormula es compatible con el Lema 4 de integraci´on. Por ejemplo, si f (x)
es anal´ıtica en R y se quiere calcular
a
P
−a
f (x)
dx,
x
a>0
(15.55)
se puede rodear el polo por arriba con una semicircunferencia γǫ− centrada en cero y luego
sustraer esta contribuci´on:
a
P
−a
f (x)
dx = l´ım+
ǫ→0
x
−ǫ
−a
a
+
+
f (x)
dx + l´ım+
ǫ→0
x
γǫ−
ǫ
γǫ
f (x)
dx
x
(15.56)
En el l´ımite ǫ → 0+ , la primera integral se puede cambiar por una integral a lo largo del eje
real moviendo el polo hacia abajo y la segunda se puede hacer con el Lema 4:
a
P
−a
f (x)
dx = l´ım+
ǫ→0
x
es decir,
P
a
−a
f (x)
dx + iπf (0)
x + iǫ
1
1
=
+ iπδ(x).
x
x + i0+
176
(15.57)
(15.58)
16.
Bibliograf´ıa
- T.M. Apostol, An´
alisis matem´atico, Ed. Revert´e.
- J.W. Dettman, Applied complex variables, McMillan Company (1984).
- J. Pe˜
narrocha et al., Variable complexa, Universitat de Val`encia (2006).
- R.A. Silverman, Complex analysis with applications, Dover Publications Inc. (1984).
- M.R. Spiegel, Variable compleja (serie Schaum), McGraw-Hill (1991).
- M.R. Spiegel, Transformadas de Fourier (serie Schaum), McGraw-Hill (1991).
- M.R. Spiegel, Transformadas de Laplace (serie Schaum), McGraw-Hill (1991).
- A.D. Wunsch. Variable compleja con aplicaciones, Addison-Wesley Iberoamericana (1997).
177
A.
Integrales y series
Tablas proporcionadas por J. Nieves.
1:
∞
dxx2
0 (x2 +a2 )3
=
3:
∞ dx
0 1+x3
=
2π
√
3 3
4:
∞
x2 −x+2
dx
−∞ x4 +10x2 +9
5:
∞ dx
0 1+x4
=
π
√
2 2
6:
∞
dx
−∞ (x2 +a2 )(x2 +b2 )2
7:
∞
dxx6
−∞ (x4 +a4 )2
8:
∞ sen xdx
x
0
9:
∞ sen2 xdx
x2
0
π
,
16a3
=
=
(a > 0)
√
3 2π
,
8a
2:
(a > 0)
π
2
11:
∞ sen3 xdx
x3
0
=
13:
∞ x sen xdx
1+x4
0
= π2 e
15:
∞ sen(πx)dx
x(1−x2 )
0
=π
17:
π
0
19:
∞ x sen xdx
0 (a2 +x2 )2
21:
∞ cos xdx
0 (1+x2 )3
23:
2π
dx
0 a+b cos x+c sen x
3π
8
−1
√
2
sen √12
sen2n xdx = π (2n−1)!!
(2n)!!
=
=
πe−a
,
4a
(a > 0)
7π
16e
=
2π sig(a)
√
a2 −b2 −c2
2
2
∞
dx
−∞ 1+x2
=π
=
2π
0
27:
∞ xdx
0 1+x5
29:
dθecos θ sen(nθ − sen θ) = 0
∞ x2 dx
−∞ 1+x6
=
=
π
5 sen
π
3
2π
5
=
πe−m (m+1)
,
4
∞ dx cos(mx)
(x2 +1)2
0
=
12:
∞ cos xdx
0 x2 +a2
πe−a
,
2a
14:
∞
sen xdx
−∞ (x2 +1)(x+2)
16:
2π
dx
0 a+b sen x
18:
γ
20:
∞
cos xdx
0 (x2 +a2 )(x2 +b2 )
22:
∞ cos axdx
0 1+x2 +x4
24:
2π
dx
0 (a+b cos x)2
26:
2π
0
28:
∞ x sen axdx
x2 +m2
0
=
(a, b > 0),
a=b
=
(m > 0)
(a > 0)
= π5 (cos 2 − 1/e)
2π
1
(a2 −b2 ) 2
, (a > 0, a2 > b2 )
1
= −πi, γ : |z − 2| = 4
dzz cos z−1
2
30:
π(a+2b)
,
2ab3 (a+b)2
π
2
10:
(a > b + c )
25:
5π
12
=
=
=
√π
3
=
e−a
a
π
2(b2 −a2 )
sen
a
2
178
e−b
b
√
3
2
π
6
+
3
, (a > b > 0)
2πa
(a2 −b2 ) 2
dθecos θ cos(nθ − sen θ) =
∞
−∞
−
e−a
2π
,
n!
, (a, b > 0),
(a = b)
, (a > 0)
(n = 0, 1, 2, . . .)
= sig(a) π2 e−|a|m , (a, m ∈ R)

 0, |p| > 1
sen t ipt
π, |p| < 1 , p ∈ R
e
dt
=
t
 π
, |p| = 1
2
31
∞
0
∞
sen x2 dx
0 √
= 2π
cos x2 dx =
Ayuda:
∞
0
dre
−r 2
37:
∞ cos mxdx
= mπ π −mπ
−∞ ex +e−x
e 2 +e 2
√
∞
x
dx = − π2
0 1−x2
√
∞
3π 2
1
√
dx
=
8
0
x(1+x2 )2
39:
b
a
33:
35:
dx
√
(x−a)(b−x)
x
a+b
2
=π
=
−
π
2
1
2
√
ab
32
∞
−∞
∞ log x
dx
0 x2 +a2
43:
∞
log x
dx
0 (x3 +1)(x−1)
45:
∞
√ log x 2 2 dx
0
x(1+x )
47:
5
1
dx
3 x(x−1)
49:
a
x
0 x2 +a2
π
2|a|
=
√
∞
x
dx
0 (1+x)2
36:
∞ xp−1
dx
0 1−x
38:
1
1
0 (1+x2 )[x(1−x)] 12
40:
∞
x−p dx
0 1+2x cos λ+x2
=
π
,
tan πp
44:
∞ log2 x
dx
0 1+x4
=
√
3π 3 2
64
46:
∞ log2 x
dx
0 1+x2
=
π3
8
48:
1
1
0 (1+x)[x2 (1−x)] 13
50:
a x2
0 x2 +a2
2
1
3
π4
√
3
dx =
a−x
dx
x
1
= 2 4 πa cos 5π
+
8
(a > 0)
51:
∞ log2 x
dx
0 x2 +a2
53:
∞
0
1:
∞
1
n=1 n2
3:
∞
(−)n
n=−∞ (n+a)2
5:
∞
(−1)n
n=1 (4n2 −1)2
7:
∞
1
n=0 (2n+1)2
9:
∞
1
n=1 n4
11:
=
+ log2 |a|
π4
15
3
dx exx−1 =
=
π2
4
π
2|a|
=
=
π
8
=
=
π 2 cos(πa)
sen2 (πa)
−
1
2
π2
8
π4
90
n=∞
1
n=−∞ n4 +n2 +1
52:
∞ cosh(ax)
dx
cosh(x)
0
√
√π tanh( π 3 )
2
3
−1
2πi
=
∞
−∞
π
,
2 cos(aπ/2)
−iωt
dω eω+iǫ
|a| < 1

 1, t > 0
1/2, t = 0 , t ∈ R
=

0, t < 0
2:
∞
1
n=−∞ n2 +a2
= πa cotanh(πa)
4:
∞
(−)n
n=2 n2 −1
1
4
6:
∞
1
n=1 4n2 −1
8:
∞ (−)n−1 n sen(nθ)
n=1
n2 +α2
10:
=
πa
2
(a > 0)
54: l´ımǫ→0+
π2
6
cos π8
1
(|p| < 1, |λ| < π, p, λ ∈ R)
19π 2
108
√
− π162 (3π
1
π
24
sen(pλ)
π
sen(πp) sen λ
=
= − 8π√2
= π 2 4 cos π8 − 1
(0 < p < 1)
dx =
∞ log x
dx
0 1+x4
+ 4)
(0 < a < 1)
π
2
42:
= log 56
a−x
dx
x
=
log |a|
=
=
π
,
sen(πa)
34:
(0 < a < b)
41:
ax
e
dx 1+e
x =
179
=
∞ (−1)n
n=1 n4
=
=
1
2
−7π 4
720
=
π sinh(αθ)
,
2 sinh(απ)
(|θ| < π)
B.
Transformada de Laplace
(http://www.engineering.com/Library/ArticlesPage/
tabid/85/articleType/ArticleView/articleId/129/Laplace-Transforms.aspx )
180
C.
Ejercicios
1. Calc´ulense las siguientes expresiones:
3 + 4i
,
1−i
√
2 − i,
(3 + 4i)(2 + i)
,
(1 + 2i)(3 − 4i)
1 − iz
z+i
(z = −i).
2. Demu´estrense las siguientes propiedades
a) |z1 z2∗ + z1∗ z2 | ≤ 2|z1 z2 |,
b) La ecuaci´on de la recta que pasa por z1 y z2 (z1 = z2 ) es Im
z − z1
= 0.
z2 − z1
√
√
√
3. Calc´ulese el argumento principal de ( 3 + i)/(− 2 + i 2).
4. Sea Arg z el argumento de z tomado en [0, 2π[ y Argα z el argumento tomado en [α, α + 2π[.
Pru´ebese que Argα z = α + Arg (e−iα z).
5. Demu´estrese la propiedad Im (z1 z2 · · · zn ) =
n
k=1 z1
∗
· · · zk−1 Im z k zk+1
· · · zn∗ .
√
6. Calc´ulese (−2 − i2 3)1/3 expresando el resultado en coordenadas polares.
7. Obt´engase tan(3θ) en funci´on de tan θ aplicando el teorema de Moivre.
8. Sean wk , k = 0, 1, . . . , n − 1, las n ra´ıces n-´esimas distintas del n´umero complejo z. Pru´ebese
n−1
que
wk = 0 ,
para n = 2, 3, 4, . . .
k=0
9. H´allense los puntos l´ımite de las siguientes sucesiones:
a) zn = 1 + (−1)n
n
,
n+1
n
,
n+1
n
c) zn = e((iπ/n) ) .
b) zn = 1 + in
181
10. Encu´entrense los puntos de acumulaci´on (o puntos l´ımite) de los siguientes conjuntos de
puntos:
i
1
+ , (m, n = ±1, ±2, ...)
m n
p
q
b) z =
+ i , (m, n, p, q = ±1, ±2, ...)
m
n
c) |z| < 1
a) z =
11.
a) Demu´estrese que una sucesi´on compleja zn = xn + iyn converge al l´ımite α = a + ib si
y s´olo si l´ımn→∞ xn = a, l´ımn→∞ yn = b.
b) Pru´ebese que si zn → α para n → ∞, entonces |zn | → |α| para n → ∞. Demu´estrese
que el rec´ıproco no es cierto.
z∗
.
z→0 z
12. Mu´estrese que no existe el l´ımite l´ım
n
13. Sea P (z) un polinomio con coeficientes reales, P (z) =
k=0
ck z k , ck ∈ R . Demu´estrese que
la soluciones en C de P (z) = 0, o son reales o aparecen en pares complejos conjugados.
14. Expr´esese la funci´on f (z) = 2x + y + i(x2 + y 2 ) como un polinomio en z y z ∗ .
15. Demu´estrese que z 2 es uniformemente continua en {z |z| < 1} pero no en C.
16. Sea f (z) = 1/z 2 . Esta funci´on no es invertible si se define sobre C − {0}. Encu´entrese
alg´un dominio de definici´on E ⊂ C − {0}, tal que (a) E sea un dominio (regi´on abierta) y
(b) la funci´on inversa sea univaluada (o equivalentemente, f restringida a E sea inyectiva).
Obt´engase el recorrido correspondiente, E ′ = f (E).
17. H´allese la imagen de la banda 1 ≤ x ≤ 2 en el plano z bajo la transformaci´on ω = z 2 .
αt + β
, −∞ ≤ t ≤ +∞, es una circunferencia (quiz´a degeγt + δ
nerada, sup´onganse valores gen´ericos para los coefcientes α, β, γ, δ). Determ´ınese la posici´on
de su centro y su radio.
18. Demu´estrese que la curva z(t) =
182
iz 2 + 3
.
z→∞ z 2 − iz
19. Apl´ıquese la regla de l’Hˆopital para calcular l´ım
(x + y)2
. Demu´estrese que l´ım l´ım f (z) = l´ım l´ım f (z) y sin embargo no
x→0 y→0
y→0 x→0
x2 + y 2
existe el l´ımite l´ım f (z).
20. Sea f (z) =
z→0
21. Demu´estrese que la funci´on u =
diferenciable en ese punto.
|xy| tiene derivadas parciales en x = y = 0 pero no es
1
en forma bin´omica u(x, y) + iv(x, y) y verif´ıquese que se satisfacen las
z
ecuaciones de Cauchy-Riemann, excepto para z = 0. Calc´ulese f ′ (z) usando la forma bin´omica
1
y verif´ıquese que coincide con − 2 .
z
22. Expr´esese f (z) =
23. La exponencial compleja se define como ez := ex (cos y + i sen y). Verif´ıquese que se
satisfacen la ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo C (y por tanto ez es una funci´on anal´ıtica
en C, ya que u y v son diferenciables). Calc´ulese su derivada.
24. Obt´enganse las √
ecuaciones de Cauchy-Riemann en funci´on de las variables polares r y θ.
Verif´ıquese que z es derivable, excepto en r = 0.
25. (a) Verif´ıquese que las condiciones de Cauchy-Riemann pueden expresarse como (∂x +i∂y )f (z) =
0. (b) Sea F (z1 , z2 ) anal´ıtica como funci´on de las dos variables complejas z1 y z2 . Demu´estrese
que f (z) := F (z, z ∗ ) satisface las ecuaciones de Cauchy Riemann sii F (z1 , z2 ) no depende de
z2 .
26. Sean f1 (z) = u1 + iv1 y f2 (z) = u2 + iv2 dos funciones anal´ıticas. Verif´ıquese en forma
expl´ıcita que f3 (z) = f1 (z)f2 (z) tambi´en satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Lo
mismo para f4 (z) = f1′ (z).
y
es arm´onica excepto en el origen. Encu´entrese
+ y2
una funci´on arm´onica conjugada, u, y la correspondiente funci´on anal´ıtica f (z) = u + iv.
27. Verif´ıquese que la funci´on v(x, y) = y −
28. H´allese el valor de la integral
positivamente).
C
x2
(z 2 − z ∗ ) dz, siendo C la circunferencia |z| = 2 (orientada
(Sol. − 8πi.)
183
(2,8)
29. Calc´ulese la integral
(1,2)
x2 − iy 2 dz a lo largo de
a) la par´abola y = 2x2 .
(Sol.
b) la l´ınea recta que une los dos puntos.
(Sol.
511
3
511
3
−
49
i.)
5
− 14i.)
Demu´estrese que la parte real de la integral no depende del camino.
|z|2 dz alrededor del cuadrado con v´ertices en los puntos
30. Calc´ulese el valor de la integral
(Sol. −1 + i.)
0, 1, 1 + i, i y orientaci´on positiva.
31. Sea C la curva y = x3 − 3x2 + 4x − 1 que une los puntos 1 + i y 2 + 3i. Calc´ulese el valor
de la integral
C
12z 2 − 4iz dz .
(Sol. −156 + 38i.)
1
dz, n = 1, 2, . . ., siendo C una curva simple
n
C (z − a)
cerrada suave a trozos y orientada positivamente, y z = a un punto de su interior.
(Sol. I = 2πi si n = 1, I = 0 si n ≥ 2.)
32. Obt´engase el valor de la integral
zb
33. Calc´ulese el valor de la integral
trozos que no pasen por z = 0.
34. Obt´engase el valor de la integral
|z − 1| = 1.
za
1
dz, siendo za = −i y zb = i, sobre curvas suaves a
z
(Sol. i(π + 2πk), k entero.)
(z ∗ )2 dz alrededor de las circunferencias (a) |z| = 1 y (b)
(Sol. (a) 0, (b) 4πi.)
1
dz donde C es el cuadrado con v´ertices en los puntos
+ 2z + 2
C
0, −2, −2 − 2i y −2i y orientaci´on positiva. (Sugerencia: descomp´ongase el integrando en
fracciones simples.)
(Sol. − π.)
35. Calc´ulese la integral
z2
36. Obt´engase el ´ındice de la curvas (a) {z(t) = cos(t) eit , 0 ≤ t ≤ 2π} y (b) {z(t) = cos(t) +
i sen(2t), 0 ≤ t ≤ 2π}, respecto de un punto arbitrario del plano complejo que no sea de la
curva.
184
37. Encu´entrese el dominio de convergencia de las series
(a)
∞
z 2k+1 ,
k=0
(b)
∞
k=0
zk
√ ,
k!
(c)
∞
k=1
zk
.
k(k + 1)
(Sol. (a) |z| < 1, (b) |z| < ∞, (c) |z| < 1.)
38. H´allense todas las soluciones de las ecuaciones (a) exp z = i , (b) cos z = 2 , (c) log z = i .
39. Der´ıvense las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares usando que log(z) es
una funci´on anal´ıtica.
40. Se usa la notaci´on f (0+ ) (donde f (z) es una funci´on cualquiera) con el significado f (0+ ) :=
l´ım f (ǫ) . Calc´ulese (a) Log (R ± i0+ ), (b) [(R ± i0+ )i ]p (donde [z w ]p denota la deterǫ→0
ǫ>0
minaci´on principal de z w , z, w ∈ C). En ambos casos R > 0.
41. Calc´ulese z i , iz , z z , ii y en particular sus correspondientes determinaciones principales.
42. Encu´entrese la expresi´on de tan−1 z en funci´on del logaritmo.
43. Determ´ınense las superficies de Riemann de las funciones (a) f (z) = log((z − a)(z − b)),
(b) f (z) = log((z − a)/(z − b)), donde a, b ∈ C, a = b. Buscar los puntos de ramificaci´on,
elegir cortes de rama, etc.
44. Encu´entrese el desarrollo en serie de Taylor de
−1
a) (1 + z 2 ) , alrededor de z = 0.
(Sol.
b) z −1 , alrededor de z = 1
(Sol.
∞
n 2n
n=0 (−1) z .)
n
n
∞
n=0 (−1)
(z − 1) .)
45. Sea α un n´umero complejo arbitrario. Desarr´ollese en serie de Taylor la funci´on (1 + z)α
alrededor de z = 0, para la rama en la que la funci´on toma el valor ei2παk en z = 0.
z 2 + · · · + α(α−1)···(α−n+1)
z n + · · · , |z| <
(Sol. f (z) = ei2παk 1 + αz + α(α−1)
2
n!
1 si α no es natural, si lo es, f (z) es entera.)
46. Consideremos la rama de log w que toma el valor 0 cuando w = 1. (Por ejemplo, tomando
arg w ∈] − π, π[.)
185
a) Desarr´ollese log(1 + z) en serie de Taylor alrededor de z = 0 y determ´ınese el radio de
∞
zn
convergencia.
(Sol.
(−1)n−1 , R = 1.)
n
n=1
1+z
b) H´agase lo mismo para la funci´on f (z) = log
.
1−z
(Sol. 2
∞
n=0
z 2n+1
, R = 1.)
2n + 1
47. H´allese el desarrollo en serie de Taylor de sech z = 1/ cosh z en torno a z = 0 hasta orden z 4
inclusive, y determ´ınese el radio de convergencia de la serie.
48. Sea f (z) anal´ıtica en 1 ≤ |z| ≤ 2 y tal que |f (z)| < 3 sobre |z| = 1 y |f (z)| < 12 sobre
|z| = 2. Demu´estrese que |f (z)| < 3|z|2 en 1 ≤ |z| ≤ 2.
49. Sea f (z) una funci´on entera y no constante. Pru´ebese que M (r) = m´ax{|f (z)|, |z| = r} es
una funci´on estrictamente creciente, esto es, si r1 < r2 entonces M (r1 ) < M (r2 ).
50. H´allense los valores m´aximo y m´ınimo del m´odulo de la funci´on f (z) = eiz cuando z est´a en
la regi´on cerrada y acotada cuya frontera es la curva 9x2 + y 2 = 9.
51. Est´udiense las singularidades de la funci´on
(z 2 − 1) (z − 2)3
.
f (z) =
sen3 (πz)
(Sol. Polos triples en z ∈ Z excepto z = 2 que es evitable y z = ±1 que son polos dobles.)
52. Obt´enganse los desarrollos en serie de Laurent de las funciones siguientes alrededor de los
puntos indicados:
exp(2z)
, z = 1.
(z − 1)3
z − sen z
, z = 0.
b)
z3
1
c) (z − 3) sen
z+2
(Sol. e2
a)
∞
2n+3
n=−3 (n+3)! (z
(Sol.
− 1)n , 0 < |z − 1| < ∞.)
∞
(−1)n 2n
n=0 (2n+3)! z ,
|z| < ∞.)
, z = −2.
(Sol.
∞
(−1)n
n=0 (2n+1)!
186
1
(z+2)2n
−
5
(z+2)2n+1
, 0 < |z + 2| < ∞.)
d)
1
1
cosh , z = 0.
z
z
∞
1
1
n=0 (2n)! z 2n+1 ,
(Sol.
53. Desarr´ollese la funci´on f (z) =
0 < |z| < ∞.)
1
en serie de Laurent para
(z + 1)(z + 3)
a) |z| < 1
(Sol.
1
2
∞
n=0
(−1)n (1 − 3−n−1 )z n .)
∞ (−1)n n
∞
n −n
].)
n=0 3n+1 z +
n=1 (−1) z
∞
(Sol. 21 n=2 (−1)n (3n−1 − 1)z −n .)
1 n
n
(Sol. − 14 ∞
n=0 (− 2 ) (z + 1) .)
(Sol. − 12 [
b) 1 < |z| < 3
c) 3 < |z|
d) 0 < |z + 1| < 2
54. Obt´engase la parte principal del desarrollo de Laurent de
decir, para el desarrollo v´alido en 0 < |z − 2πi| < R).
55. Obt´engase el residuo en z = 0 de f (z) =
56. Demu´estrese que cosh(z+z −1 ) = b0 +
(ez
1
alrededor de z = 2πi (es
− 1)2
ez − 1
.
z 3 (z − 1)2
∞
n
−n
)
n=1 bn (z +z
siendo bn =
1
2π
2π
0
cos(nθ) cosh(2 cos θ) dθ.
57. Calc´ulense las integrales 4, 25, 26, 16, 3, 15, 11, 46, 39, 52 y 40, indicadas en el ap´endice
A.
58. Calc´ulense las series indicadas en el ap´endice A.
59. Calc´ulense las siguientes integrales usando m´etodos de variable compleja:
2π
a)
cos2n θ dθ.
(Sol.
2π
22n
2n
.)
n
sen2n θ dθ.
(Sol.
2π
22n
2n
.)
n
0
2π
b)
0
2π
c)
0
2π
d)
0
1
dθ,
a + b sen θ
1
dθ,
(a + b cos θ)2
a, b reales, |b| < |a|.
0 < b < a.
(Sol.
2π
a
(Sol.
187
√
1
.)
1−(b/a)2
2πa
.)
(a2 −b2 )3/2
60. Eval´uense las integrales
+∞
a)
0
∞
b)
1
dx.
1 + x4
1
dx.
2
(x + 4x + 5)2
−∞
+∞
c)
x4
0
+∞
d)
0
(Sol.
π
√
.)
2 2
(Sol. π2 .)
1
dx.
+ x2 + 1
(Sol.
1
dx,
(x2 + a2 )(x2 + b2 )
a, b > 0.
(Sol.
π
√
.)
2 3
π
.)
2ab(a+b)
61. Encu´entrese el valor de las integrales siguientes
+∞
a)
−∞
+∞
b)
0
+∞
c)
−∞
x sen(bx)
dx,
x 2 + a2
(Sol. πe−ab .)
a, b > 0.
sen x
dx.
x
(Sol. π/2.)
sen2 x
dx.
x2 (π 2 − x2 )
(Sol. 1/π.)
62. Calc´ulense las integrales (con valor principal de Cauchy en su caso)
a)
b)
1
2πi
1
2πi
∞
c)
−∞
exp(zt)
dz, siendo C el cuadrado con v´ertices en ±1 ± i. (Sol. 1 − cos(t)/2.)
z (z 2 + 1)
C
a+i∞
exp(zt)
√
dz, a > −1, t > 0.
z+1
a−i∞
exp(ax)
dx, 0 < a < b.
1 + exp(bx)
(Sol.
e−t
√
.)
πt
(Sol.
π
1
.)
)
b sen( πa
b
(Sol.
π
1
.)
2 cos( π2 a)
63. Eval´uense las integrales siguientes
+∞
a)
0
+∞
b)
0
+∞
c)
0
x−a
dx,
1 + x2
|a| < 1.
x−a
dx,
x2 + 2x cos α + 1
|a| < 1, |α| < π.
log x
dx.
1 + x2
(Sol.
π sen αa
.)
sen α sen πa
(Sol. 0.)
188
∞
d)
0
log2 x
dx.
1 + x2
+∞
e)
0
+∞
f)
0
+∞
g)
0
b
h)
a
b
i)
a
1
j)
0
1
k)
0
(Sol. π 3 /8.)
log x
dx,
(x − a)2 + b2
0 < b < |a| reales.
(Sol.
1
[π
2b
− arctan ab ] log(a2 + b2 ), con 0 < arctan ab < π.)
cosh ax
dx,
cosh x
−1 < a < 1.
xα log x
dx,
x 2 + a2
a > 0, −1 < α < 1.
((x − a)(b − x))−1/2 dx,
((x − a)(b − x))1/2 dx,
1
1
1 + x 1 + λx
1
1+x
x
dx,
1−x
(Sol.
(Sol.
π/2
.)
cos(πa/2)
πaα−1
π
π
tan α].)
π [log a +
2 cos 2 α
2
2
a < b.
(Sol. π.)
(Sol. (b − a)2 π/8.)
a < b.
λ > 0.
(Sol.
x
dx.
1−x
π
λ−1
√1
2
−
1
1+λ
.)
√1
2
.)
(Sol. π 1 −
64. Sea la funci´on compleja de variable compleja: f (z) =
z2 + π2
.
senh z
a) Decir qu´e singularidades tiene y de qu´e tipo son.
b) H´allese el desarrollo de Laurent en un entorno reducido de z = 0 hasta orden z 4 inclusive.
¿Cu´al es el dominio de convergencia de dicho desarrollo?
c) Calc´ulese el valor principal de la integral
f (z) dz donde C es la curva cerrada orientada
C
en direcci´on positiva formada por la semicircunferencia C1 y el tramo de recta C2 . C1
est´a centrada en iπ y va del punto 0 al punto 2πi por el semiplano derecho. C2 es el
segmento recto que une 2πi con 0.
(Sol.: (a) Singularidades evitables: ±iπ, polos simples: iπk con k = 0, ±2, ±3, . . . .
2
2
(b) π 2 z1 + (1 − π3! )z + 3!1 ( 7π
− 1)z 3 + O(z 5 ) con 0 < |z| < 2π. (c) −iπ 3 .)
60
+∞
2
√
65. Sabiendo que 0 e−x dx =
+∞ cos x
+∞
√ dx,
a) 0
b) 0
x
π
encu´entrese
2
sen
√ x dx.
x
189
el valor de las integrales
(Sol. a)
π
,
2
b)
π
2
.)
+∞
66. Calc´ulese la suma
n=1
1
. (Sugerencia calc´ulese primero
n2
+∞
n=−∞
n2
1
.)
+ a2
1
zP ′ (z)
dz
2πi C P (z)
es la suma de las ra´ıces de P (z) con su multiplicidad, siendo C una circunferencia muy grande
orientada positivamente.
67. Demu´estrese que si P (z) es un polinomio no id´enticamente nulo, entonces
68. Usando el principio del argumento, determ´ınese el n´umero de ra´ıces de z 4 + z 3 + 4z 2 + 2z + 3
en cada uno de los cuatro cuadrantes.
(Sol. 0, 2, 2, 0.)
69. Apl´ıquese el teorema de Rouch´e para determinar el n´umero de soluciones que tienen las ecuaciones siguientes en los dominios especificados:
a) z 8 − 4z 5 + z 2 − 1 = 0 en |z| < 1.
(Sol. 5.)
b) z 4 − 5z + 1 = 0 en 1 < |z| < 2.
(Sol. 3.)
c) z 2 − cos z = 0 en |z| < 2.
(Sol. 2.)
d) f (z) = z en |z| < 1, si f (z) anal´ıtica y |f (z)| < 1 en |z| ≤ 1.
z
n
e) e = 3z en |z| < 1.
70.
(Sol. 1.)
(Sol. n.)
∞
a) Demu´estrese que f1 (z) = 0 (1 + t)e−zt dt converge u´nicamente si Re z > 0. H´allese
la funci´on que prolonga anal´ıticamente f1 (z) al resto del plano complejo.
n
∞
1
z+i
n
b) Sea f2 (z) = 1+i
y f3 (z) = ∞
on definida en su
n=0 z (estando cada funci´
n=0 1+i
dominio de convergencia). Pru´ebese que una funci´on es prolongaci´on anal´ıtica directa de
la otra.
71. Usando el principio de reflexi´on de Schwarz: a) Sea f1 (z) anal´ıtica en Re (z) ≥ 0 e imaginaria
pura sobre el eje real. Si f1 (1 + i) = 15 − 4i, determ´ınese el valor de su extensi´on anal´ıtica
en z = 1 − i. b) Demostrar que f2 (z ∗ ) = (f2 (−z))∗ siendo f2 (z) definida y anal´ıtica en
un dominio G sim´etrico respecto el eje imaginario (y con intersecci´on no vac´ıa con el eje
imaginario) y f2 (z) toma valores reales sobre el eje imaginario.
72. Usando las propiedades generales de la transformada de Laplace, encu´entrense las transformadas de las siguientes funciones:
(Sol. n!/(z − a)n+1 .)
a) Θ(t)tn eat , n = 1, 2, 3, . . .
(Sol. z/(z 2 − ω 2 ).)
b) Θ(t) cosh(ωt).
(Sol. eab e−az (z − b)−1 [(z − b)−1 + a].)
c) tΘ(t − a)ebt , a > 0 .
190
d)
t −τ
e
0
(Sol. z/[(z + 1)(z 2 + ω 2 )].)
cos(ω(t − τ )) dτ .
73. Resu´elvase la siguiente ecuaci´on integro-diferencial:
dy
+
dt
t
y(τ )dτ = e−t ,
0
t ≥ 0,
y(0+ ) = a.
1
(Sol. y(t) = [(1 + 2a) cos t + sen t − et ].)
2
74. Resu´elvase la ecuaci´on diferencial y ′′ + 3y ′ + 2y = e−t , t > 0, con las condiciones y(0+ ) =
a, y ′ (0+ ) = b, usando transformada de Laplace.
(Sol. yp = −e−t + te−t + e−2t , yc = (b + 2a)e−t − (a + b)e−2t , y = yp + yc .)
75. Resu´elvase el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ + y ′ − x + y = e−t ,
x′ − y ′ + x + y = e−2t ,
para t > 0 con las condiciones x(0+ ) = a, y(0+ ) = b.
(Sol. x = 35 + a cos t +
3
3
3 −2t
y = a + 5 sin t + b − 10 cos t + 10
e .)
3
10
− b sin t − 21 e−t −
1 −2t
e ,
10
76. H´allese la transformada de Fourier real de f (t) = e−at Θ(t), donde Θ(t) es la funci´on escal´on
1
.)
y a > 0. Compru´ebese la transformaci´on inversa directamente por integraci´on. (Sol.
a + ix
77. H´allese la transformada de Fourier compleja de Θ(t) cos(ωt). Demu´estrese que la transformaci´on es anal´ıtica para Im (z) < 0. Invi´ertase la transformaci´on mediante una integral de
iz
contorno.
(Sol. 2
.)
ω − z2
78. Demu´estrese que la transformada de Fourier compleja de e−t
2 /2
es e−z
2 /2
.
79. Obt´engase la transformada de Fourier de Θ(x) y sign(x) y verif´ıquense las transformadas
inversas.
80. H´allense las siguientes transformadas complejas: F{Θ(t) cosh(ωt)}, F{Θ(t) senh(ωt)}.
iz
ω
(Sol. − 2
, − 2
.)
2
z +ω
z + ω2
81. H´allense las siguientes transformadas complejas: F{Θ(t)t cosh(ωt)}, F{Θ(t)t senh(ωt)}.
2ωzi
ω2 − z2
, 2
.)
(Sol. 2
2
2
(z + ω ) (z + ω 2 )2
191
82. Encu´entrese una soluci´on de
dy
d2 y
+
3
+ 2y = e−|t| usando la transformada de Fourier.
dt2
dt
et
2
1
(Sol. y(t ≤ 0) = , y(t > 0) = e−2t − e−t + te−t .)
6
3
2
192