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Universidad Católica del Norte
Facultad de Ingeniería y Ciencias Geológicas
Departamento de Ingeniería Industrial
Ingeniería Civil Industrial
Ayudantía N° 10
II783 - Investigación Operativa II
Profesores: Pedro Reyes Norambuena, Mauricio Rodriguez
Ayudantes: Sebastían Muñoz, Estefanni Osses, Felipe Tello
Problema 1
Hay tres categorías de contribuyentes del impuesto sobre la renta en los Estados Unidos: los que nunca
evaden los impuestos, lo que en ocasiones lo hacen, y los que siempre lo hacen. Un examen de las
declaraciones de impuestos auditadas de un año al siguiente muestra quede los que no evadieron impuestos el
año pasado,95% continuará en la misma categoría este año;4% se moverá a la categoría “a veces”, y el resto
se moverá a la categoría “siempre”. Para los que a veces evaden impuestos,6% se moverá a “nunca”,90%
permanecerá igual, y 4% se moverá a “siempre”. Por lo que se refiere a los evasores de “siempre”, los
porcentajes respectivos son 0%, 10% y 90%.
a) Exprese el problema como una cadena de Markov.
b) A la larga, ¿cuáles serían los porcentajes de las categorías de evasión de impuestos de “nunca”, “a
veces” y “siempre”?
c) Las estadísticas muestran que un contribuyente en la categoría “a veces” evade impuestos que suman
aproximadamente USD $5.000 por declaración y en la categoría “siempre” suman aproximadamente
USD $12.000.Suponiendo que la población de contribuyentes es de 70 millones y la tasa del
impuesto sobre la renta promedio es 12%,determine cuál será, a la larga, la reducción anual de los
impuestos recolectados debido a la evasión.
Problema 2
Una tienda inicia una semana con al menos 3 PC. La demanda por semana se estima en 0con probabilidad de
0,15,1 con probabilidad de 0,2,2 con probabilidad de 0,35, 3 con probabilidad de 0,25,y 4 con probabilidad de
0,05.La demanda insatisfecha se deja pendiente. La política de la tienda es colocar un pedido para entregarse
al inicio de la siguiente semana siempre que el nivel del inventario se reduzca por debajo de 3 PC. El nuevo
pedido siempre regresa las existencias a 5 PC.
a) Exprese la situación como una cadena de Markov.
b) Suponga que la semana se inicia con 4 PC. Determine la probabilidad de que un pedido se coloque al
final de dos semanas.
c) Determine la probabilidad a largo plazo de que no se coloque ningún pedido en cualquier semana.
d) Si el costo fijo de colocar un pedido es de $200,el costo de retención por PC por semana es de $5,y
el costo de penalización por computadora faltante es de $20,determine el costo de inventario
esperado por semana.
Solución Problema 1
A)
Los estados posibles son los tipos de contribuyentes del impuesto a la renta, es decir:
 0: contribuyente que nunca evade los impuestos
 1: contribuyente que a veces evade los impuestos
 2: contribuyente que siempre evade los impuestos
Luego, la matriz de transición es Pes:
0
1
2
0
0,95 0,04 0,01
1
0,06 0,9 0,04
2
0
0,1 0,9
B)
Para determinar estos porcentajes, necesitamos conocer la distribución de estado estable del
sistema, de esta forma necesitamos resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
ΠΡ = Π
2
𝜋𝑗 = 1
𝑗 =0
De esta forma el sistema queda planteado como sigue:
0,95𝜋0 + 0,06𝜋1 + 0,00𝜋2 = 𝜋0
0,04𝜋0 + 0,90𝜋1 + 0,10𝜋2 = 𝜋1
0,01𝜋0 + 0,04𝜋1 + 0,90𝜋2 = 𝜋2
𝜋0 + 𝜋1 + 𝜋2 = 1
𝜋0 = 0,44118
Así, utilizando las tres últimas ecuaciones tenemos que: 𝜋1 = 0,36765
𝜋2 = 0,19118
Con lo cual, a la larga los porcentajes de contribuyentes que nunca, a veces, y siempre evaden
los impuestos serán: 44,12%, 36,76% y 19,12%
C)
La reducción anual esperada de los impuestos recolectados debido a la evasión, a la larga será
de:
0,12 × $5.000 × 0,3676 + $12.000 × 0,1912 × 70.000.000 = $𝟑𝟒. 𝟕𝟏𝟏. 𝟕𝟔𝟒. 𝟕𝟎𝟔
Solución Problema 2