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Cálculo Diferencial
Agosto 2015
Laboratorio # 1 Desigualdades
I.- Determinar los valores de que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones dadas.
1)
2
𝑥
3
4
y 𝑥−1 >3
1
1
y 𝑥+2≥2
−3<6
2) 5𝑥 − 4 > 4
1
1
1
1
3) 7𝑥 − 7 ≤ 7 y 4𝑥 + 4 > 4
1
4) 452 + 𝑥 ≤ 451 + 2 𝑥 y
5𝑥 + 7 > 𝑥
II. - Determina los valores de que satisfagan al menos una de las condiciones.
1
1) 5𝑥 + 5 > 5 ó
1
3
+ 4𝑥 > 6
2) (𝑥 + 3)2 > 0 ó 3𝑥 > 7
3
3) 8𝑥 + 4 ≥ 2 ó 3𝑥 + 4 ≥ 2
1
9
4) 19𝑥 − 𝑥 > 10 ó 8𝑥 − 1 ≥ 3𝑥
III.- Hallar los valores de en los cuales puede cambiar de signo la expresión dada.
1) 6𝑥 2 + 16𝑥 − 6
2) 49𝑥 2 − 16
3)
𝑥 2 −36
𝑥−6
4) 9𝑥 2 − 2
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Cálculo Diferencial
Laboratorio #2
Agosto 2015
Inecuaciones
I.-Resolver la desigualdad dada. Escribir la solución con la notación de intervalos y representarla
gráficamente.
1
1
1
1) 9𝑥 − 27 < 18
11) − 5 ≤ 3𝑥 − 4 ≤ 3
2) 𝑥 2 + 16𝑥 + 64 > 0
12)
3𝑥−6
5
3) 3𝑥 2 + 6 > 9𝑥
13)
3𝑥
4
14)
4
2
+
𝑥−9
5
4)
𝑥+5
𝑥−7
>0
5) 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 > 0
6) |
3
|
4𝑥+1
≤|
1
|
𝑥+1
2
7) – 𝑥 + 3 ≥ 𝑥 + 1
5𝑥+15
5
>
10𝑥−50
5
𝑥−1
−3
1
5
𝑥
2
8)
9)
+ ≤ −3
10) |𝑥 2 − 𝑥| > 3
≤ −3
− 10 < 5
<0
15) |1 − 3𝑥| < 5
𝑥
6
𝑥
3
16) + 8 < + 5
17)
3𝑥
1
+
6−2𝑥
4
≤4
18) 3(𝑥 2 − 9) = 0
19) −4 ≤ 3𝑥 − 1 < 5
20)
5𝑥−2
3
−
𝑥−8
4
>
𝑥+9
−
2
2
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Cálculo Diferencial
Agosto 2015
Laboratorio # 3 Funciones I
I - Determina cuales de las siguientes gráficas representa una función
1)
2)
4)
5)
3)
II.- Determinar si la ecuación dada, representa una función.
1) 5𝑦 − 3𝑥 2 + 2 = 3
2) (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 0
3) (𝑥 − 2)2 − 3𝑦 + 5 = 0
4)
𝑥2
𝑎5
− 2 = 𝑦 2 (𝑥 + 1)
5) 𝑦 + 1 − √𝑥 − 1 = 2𝑥 − 𝑦
III.- Calcula las funciones
1) 𝑓(𝑥) = √5 − 𝑥
𝑔(𝑥) = √𝑥 − 3
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1
𝑔(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1
,
,
,
,
especificando el dominio en cada caso.
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3
𝑔(𝑥) = √𝑥
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2
𝑔(𝑥 = 𝑥 + 2)
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Laboratorio # 4
I.- Para la función dada obtener
1) 𝑓(𝑥) =
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Funciones II
y los valores de para los cuales
.
3𝑥 2 −1
(𝑥−2)
2) 𝑓(𝑥) = √4𝑥 − 3
3) 𝑓(𝑥) =
4) 𝑓(𝑥) =
5)
𝑓(𝑥) =
𝑥 2 +4𝑥−5
(𝑥−1)
𝑥 2 −4
+1
𝑥+2
2𝑥 2 −3𝑥+8
2𝑥
II. - Calcular
si:
1) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 5 + 8
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 + 3
3) 𝑓(𝑥) =
2𝑥−1
3−𝑥
1
4) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)−2 (3)
5) 𝑓(𝑥) =
𝑥−3
4𝑥+2
III - Determinar si la función dada es par, impar o ninguno de los dos.
1) 𝑓(𝑥) =
2) 𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑥 2 +1
𝑥2
𝑥 3 +1
6
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 2 + 5
1
4) 𝑔(𝑥) =
2
5) 𝑔(𝑥) =
𝑥(𝑥 +1)
|𝑥|
𝑥
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Laboratorio # 5 Gráfica de funciones
I.- Trazar la gráfica de la función dada señalando su dominio y rango.
1) 𝑓(𝑥) = |𝑥|
2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3
1
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2
4) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 5
5) 𝑓(𝑥) = √7 − 𝑥 − 1
6) 𝑓(𝑥) =
1
2−𝑥
√
7) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2, 𝑥 ≤ 0
1 − 𝑥, 𝑥 > 0
1
2
8) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2
9) 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 3| − 5𝑥
10) 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 2 + 1)}
𝑥2
11) 𝑓(𝑥) = 1−|𝑥|
1 + 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
1<𝑥<2
12) 𝑓(𝑥) = { 𝑥,
1
𝑥 + 1, 2 ≤ 𝑥
2
13) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3
14) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +
1
𝑥
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Laboratorio # 6 Limites
I.- Evaluar el límite indicado.
1) lim 𝑥
𝑥→5
2) lim 3𝑥 + 5
𝑥→2
3) lim 𝑥(𝑥 + 1)
𝑥→3
4) lim (5𝑥 + 7)4
𝑥→−2
𝑥 3 −1
𝑥→−1 𝑥 2 −1
5) lim
𝑥 3 −27
𝑥→3 𝑥−3
6) lim
√𝑥−2
𝑥→4 𝑥−4
7) lim
8𝑥 3 −27
8) lim3 √ 4𝑥2 −9
𝑥→
2
𝑥 2 −9
𝑥→3 𝑥−3
9) lim
10) lim √𝑥
𝑥→0
11) lim
→
𝑥 2 −2𝑥−8
𝑥→4 𝑥−4
11) lim
1
12)lim 𝑥−2
𝑥→2
13) lim
|𝑥−5|
𝑥→−∞ 𝑥−5
9𝑥 2
14) lim 7𝑥 2
𝑥→0
𝑥 3 −1
𝑥→1 𝑥−1
15) lim
1
16) lim (𝑥 + 𝑥)
𝑥→1
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17) lim1 √ln(2𝑥)
𝑥→
2
18) lim
|𝑥|
𝑥→0 𝑥
II.- Trazar la gráfica de la función por medio de asíntotas.
1
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +1
𝑥
2) 𝑓(𝑥) = 1+𝑥
3) 𝑓(𝑥) =
1−4𝑥
𝑥+3
1
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥−4
5) 𝑓(𝑥) =
9𝑥 2 −36
3𝑥+6
𝑥
𝑥−1
6) 𝑓(𝑥) = √
𝑥+7
7) 𝑓(𝑥) = 𝑥+8
8) 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 +𝑥−12
𝑥−3
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Laboratorio # 7 Continuidad
I .- Determina los valores de x para las cuales es discontinua la función dada.
1)
2)
3)
4)
II.- Determinar los valores de a y k de modo que la función dada sea continua en los reales.
1.-
2.-
3.-
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III. - Verificar las condiciones del teorema del valor intermedio para la función dada en el intervalo
indicado. Si las condiciones se cumplen, halla el valor de c que satisfaga la conclusión del teorema.
1)
2)
3)
IV. - Evaluar el limite indicado.
1)
2)
3)
4)
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Laboratorio # 8 Derivadas
I.- Obtener la derivada de las funciones siguientes y simplificar cada resultado.
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥
2) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 2 − 2𝑥)3
𝑥
𝑒 2𝑥
𝑥2
12) 𝑓(𝑥) =
13) 𝑓(𝑥) = ln(6𝑥 5 − 2𝑥 3 + 4𝑥 + 1)
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +3
14) 𝑓(𝑥) = cos(9 − 3𝑥)
4) 𝑓(𝑥) = sen 2𝑥
15) 𝑓(𝑥) = 3√sin(𝑥)
5) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 2 )
16) 𝑓(𝑥) = ln(sen 𝑥)
4𝑥
6) 𝑓(𝑥) = (2𝑥−3)3
7) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − cos(3𝑥)
8) 𝑓(𝑥) = csc(2𝑥) 4 tan(𝑥)
9) 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 4(𝑥 2 − 1)
10) 𝑓(𝑥) =
√𝑥+3
√𝑥+1
11) 𝑓(𝑥) = 𝑒
3−𝑥 2
3
17)
(7𝑥 2 −8)
𝑥2
18) cos2 (3𝑥 3 + 𝑥)
3
7𝑥 2
19) 𝑓(𝑥) = (3𝑥−𝑥 2 )
20) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − cos 2𝑥
3
3𝑥
𝑥+2
21) 𝑓(𝑥) = ln (√
)
22) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 tan 2𝑥 sen 2𝑥
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Agosto 2015
Laboratorio # 9 Aplicaciones geométricas de la Derivada y derivación implícita
I.- Resuelve los siguientes problemas.
1) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 en el punto cuya abscisa
es 3
2) Obtener el punto de la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 8 en el cual la pendiente de la recta
tangente sea igual a 8
3) Hallar el punto de cada una de las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 𝑥 y 𝑦 𝑥 = 3𝑥 2 − 6𝑥en el cual las
rectas tangentes son paralelas 𝑓´(𝑥) = 4𝑥 + 1 ; 𝑦´(𝑥) = 6𝑥 − 6
4) Hallar la ecuación a la recta tangente a la gráfica de 𝑦 = 6𝑥 2 + 8𝑥 + 7 − 𝑥 3 en el punto
cuya abscisa es 1.
II.- Usar diferenciación implícita para obtener
1) 3𝑥 3 𝑦 2 − 𝑥 + 6𝑦 3 = 7
2)
3)
1
2
+ 2=3
𝑥3
𝑦
𝑥+𝑦
+𝑥 =4
𝑥−𝑦
III - Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación dada en el punto
indicado.
1) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2 ; (2,2)
1
2) 2𝑥 −2 + 6𝑦 2 = 6 ; (4, (2))
3) 2𝑥 2 − 3𝑦 3 = 𝑒 𝑥 ; (6,3)
IV.- Obtener los puntos de la gráfica de la ecuación dada en los cuales la recta tangente es
horizontal.
1)
6𝑥 2 − 12𝑥 + 6𝑦 2 = 0
2) 3𝑥 2 + 3𝑥𝑦 − 2𝑦 2 = 4
3) (𝑦 − 6)2 + 4𝑥 = 0
V.- Hallar y simplificar
1) 6𝑦 3 − 4𝑥 2 = 4
2) 2𝑥 3 + 𝑦 3 = 15
3) 3𝑦 3 − 4𝑥 4 = 6
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Laboratorio # 10 Aplicaciones Graficas
I - Para la función dada obtener:
a) Sus valores mínimos y máximos relativos
b) Los intervalo donde es creciente y los cuales donde es decreciente.
c) Sus puntos de inflexión
d) Los intervalos donde es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo.
Trazar la gráfica correspondiente.
1)
2)
3)
4)
5)
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4
𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 5𝑥 2 + 4𝑥 + 1
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 12𝑥 3 − 64𝑥 2
𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 + 𝑥 3 − 8𝑥 2 − 𝑥 + 6
1
4
1 2
𝑥
4
4
6) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3
7) 𝑓(𝑥) =
+ 3𝑥
8) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 16𝑥
1
9) 𝑓(𝑥) = 5 𝑥 5 − 𝑥 2
II.-Trazar las gráficas de una función continua 𝑓. Que cumpla con las condiciones dadas
1. 𝑓(0) = 2
𝑓 ′ (0) = 0
𝑓 ′′ (0) > 0
3. 𝑓(0) = 2
𝑓 ′ (𝑥) > 0
𝑓 ′′ (𝑥) < 0
2. 𝑓(2) = 4
𝑓 ′ (0) > 0
𝑓 ′′ (0) < 0
4. 𝑓(−2) = 3
𝑓´(𝑥) < 0
𝑓´´(𝑥)
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Laboratorio # 11 Problemas de Optimización
I.- Resuelve los siguientes problemas.
1) Se va a cercar un terreno rectangular de 2700 de área, y se utilizará una valla
adicional para dividir el terreno a la mitad, es de
por metro colocado, y el costo
de la cerca para los lados es de $36 por metro colocado. Estime las dimensiones del
terreno de modo que el costo total del material para la cerca sea el mínimo.
2) Una página de un libro debe contener 27 pulgadas cuadradas de impresión. Los
márgenes inferior, superior y de un lado medirán dos pulgadas y el del otro lado
una. ¿De qué dimensiones debe ser la página para gastar la menor cantidad de
papel?.
3) Un fabricante de cajas desea construir una caja cerrada que tenga un volumen de
288pulg , y cuya base de forma rectangular tiene el largo igual al triple de su ancho.
Estime las dimensiones de la caja construida con la mínima cantidad de material.
4) Determine una ecuación de la recta tangente a la curva
pendiente mínima.
que tenga la
5) Se va a construir una ventana en forma de un rectángulo coronado por un
semicírculo cuyo diámetro es igual al ancho del rectángulo si el perímetro de la
ventana es de 16 pies. ¿Qué dimensiones admitirán la mayor iluminación?.
6) Una hoja de metal con perímetro de 4 metros va a ser enrollada para formar la cara
lateral de un recipiente cilíndrico. Encontrar las dimensiones del recipiente con el
máximo volumen.
7) Se va a construir una caja rectangular abierta de base cuadrada y un volumen de
32,000 unidades cúbicas. Encontrar las dimensiones que requieran la mayor
cantidad de material.
8) Una ventana ¨ normanda ¨ consiste en un rectángulo coronado por un semicírculo.
Hallar las dimensiones de la ventana con área máxima si su perímetro es de 10
metros.
9) Encontrar las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que puede
inscribirse en un cono circular recto de altura h unidades y radio de la base r
unidades
10) Encontrar las dimensiones de la lata cilíndrica cerrada que requiera la menor
cantidad de material para que contenga un volumen de 32
unidades cúbicas.
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