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A.D.E.
ESTADISTICA EMPRESARIAL II (Tercer Curso)
EJERCICIOS
Curso Académico 2009 – 2010
1.- Dada una población representada por la variable aleatoria ξ , con distribución de
probabilidad:
xi : 1 2 3
3 1 5
pi :
9 9 9
Elaborar la distribución de probabilidad de la media y la varianza muestral, supuestas m.a.s. de tamaño n = 2 .
2.- Si X , muestra aleatoria simple de tamaño n , representa la información acerca
de un fenómeno aleatorio representado por la variable ξ , obtener la distribución de
probabilidad de la variable aleatoria muestra, X , en el supuesto que el comportamiento en probabilidad de la variable aleatoria ξ resulte explicado por:
•
•
•
•
el modelo BINOMIAL
el modelo POISSON
el modelo UNIFORME
el modelo NORMAL
3.- Si X , muestra aleatoria simple de tamaño n , representa la información obtenida
acerca de un fenómeno aleatorio representado por la variable aleatoria ξ , de cuyo
comportamiento en probabilidad se sabe que:
E (ξ ) = μ
y
V (ξ ) = σ 2
determinar el valor probable y la varianza del estadístico t ( X ) en el supuesto que el
estadístico t ( X ) resulte ser:
n
t ( X ) = ∑ xi , total muestral
i =1
n
t( X ) = ∑
i =1
xi
, media muestral
n
4.- Si X , muestra aleatoria simple de tamaño n , representa la información obtenida
acerca de un fenómeno aleatorio representado por la variable aleatoria ξ , tal que en
cada realización sólo puede concretarse en dos sucesos mutuamente excluyentes
representados por los números "1" y "0", determinar el valor probable y la varianza
r
del estadístico t ( X ) = , proporción de sucesos representados por el número "1" en
n
la muestra.
5.- Si X e Y - muestras aleatorias simples de tamaños n y m respectivamente-,
representan la información obtenida acerca de dos fenómenos aleatorios representados por las variables ξ1 y ξ 2 respectivamente, de cuyo comportamiento en probabilidad se sabe que:
2
E (ξ1 ) = μ1
V (ξ1 ) = σ 12
E (ξ 2 ) = μ 2
V (ξ 2 ) = σ 22
determinar el valor probable y la varianza del estadístico t ( X , Y ) = ax − a y , diferencia
de medias muestrales.
6.- Si X , muestra aleatoria simple de tamaño n , representa la información acerca
de un fenómeno aleatorio representado por la variable ξ , obtener la distribución de
probabilidad del estadístico t ( X ) = ax , media muestral, en el supuesto de que el
comportamiento en probabilidad de la variable aleatoria ξ resulte explicado por:
•
•
•
el modelo BINOMIAL
el modelo POISSON
el modelo NORMAL
7.- Si X e Y - muestras aleatorias simples de tamaños n y m respectivamente- ,
representan la información obtenida acerca de dos fenómenos aleatorios representados por las variables ξ1 y ξ 2 respectivamente, obtener la función de probabilidad
del estadístico t ( X , Y ) = ax − a y , diferencias de medias muestrales, en el supuesto en
que el comportamiento en probabilidad de las variables aleatorias ξ1 y ξ 2 resulten
explicadas por el modelo NORMAL.
8.- De una población normal de varianza σ 2 , se extraen dos muestras de tamaño n .
Hallar cual debe ser el tamaño de ambas muestras para que la probabilidad de que
las medias maestrales difieran en mas de dos veces la desviación típica poblacional
sea, aproximadamente del 5 %.
3
1.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la media poblacional es igual a 25, y la varianza poblacional es igual a 240. Supuesto extraídas muestras de tamaño 100, muestreo aleatorio simple, determinar la probabilidad de que el estadístico media muestral ax , esté comprendido entre los valores
23’55 y 28’1.
2.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la distribución de probabilidad de la población es normal, con desviación típica igual a 10.
Determinar la probabilidad de que el estadístico media muestral supere el valor medio poblacional en por lo menos 0,2, supuesto extraídas muestras de tamaño 100,
muestreo aleatorio simple.
3.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la distribución de probabilidad viene definida por la función de densidad:
1
f ( x) =
para 0 ≤ x ≤ 4
4
f ( x) = 0
para cualquier otro valor de x
Determinar la distribución de probabilidad del estadístico media muestral, supuesto
extraídas muestras de tamaño 3.600, muestreo aleatorio simple.
4.- Se considera una población representada por la variante ξ de suerte que la distribución poblacional es una distribución N (5,0'1) . Supuesto extraídas muestras de
tamaño 16, muestreo aleatorio simple, determinar:
1) P(5 < ax ≤ 5'2)
2) P( S x ≤ 0'023)
2
5.- Se considera una población representada por la variante ξ de suerte que la distribución poblacional es la distribución N (1'7,2) . Supuesto extraídas muestras de tamaño 10, muestreo aleatorio simple, determinar el número k tal que la probabilidad
de que el estadístico desviación típica muestral sea mayor que él, sea de 0’99.
6.- Se consideran dos poblaciones tales que, en cada una de ellas, sus elementos
se hallan clasificados respecto de cierta característica c , de suerte que la proporción
de elementos que poseen tal característica es π 1 en la primera población y π 2 en la
segunda. Extraídas muestras, muestreo aleatorio simple, de tamaños n y m , de la
primera y segunda población, respectivamente, determinar:
1) El valor probable
2) La varianza
del estadístico “diferencia de proporciones maestrales”, supuesto que las muestras
obtenidas en una y otra población son independientes.
4
7.- La producción diaria de un determinado artículo, oscila entre 6.000 y 10.000 unidades. Determinar la probabilidad de que la producción media supere las 8.100 unidades, habiéndose realizado observaciones durante 320 días y, supuesto que el
número de las unidades producidas en un día es independiente de las restantes.
8.- Se considera una población representada por la variante ξ de suerte que θ y σ 2
representan los parámetros media y varianza poblacional, respectivamente. Si estimamos la media poblacional θ , a través de la media muestral a x , comprobar que dicho estimador es consistente. (Supuesto extraídas muestras de tamaño n , muestreo
aleatorio simple).
9.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que θ y
σ 2 representan los parámetros media y varianza poblacional, respectivamente. Si
estimamos la media poblacional, θ , a través de θ * , definido así:
n
θ * = ∑ λi xi
i =1
con 0 ≤ λi ≤ 1, i = 1,L , n
n
y
∑λ
i =1
i
=1
esto es, θ * es cualquier combinación lineal convexa de las componentes maestrales.
Comprobar que dicho estimador es un estimador insesgado. (Supuesto extraídas
muestras de tamaño n , muestreo aleatorio simple).
10.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución poblacional viene definida por la función de densidad:
1
para 0 ≤ x ≤ θ
f ( x) =
θ
f ( x) = 0
para cualquier otro valor de x
Si estimamos el parámetro θ a través de:
1) La media muestral a x , ¿es insesgado dicho estimador?
2) θ * = ka x . Determinar el valor de k, para que θ * sea un estimador insesgado
de θ
En ambos casos, se supone, extraídas muestras de tamaño n , muestreo aleatorio
simple.
11.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución poblacional es N ( μ , σ )
Si estimamos la media poblacional θ , a través de la media muestral a x , comprobar
que dicho estimador es eficiente. (Supuesto extraídas muestras de tamaño n , muestreo aleatorio simple).
5
12.- Si estimamos el parámetro poblacional θ , de una población N (θ , σ ) , a través
de la primera componente muestral x1 , supuesto extraídas muestras de tamaño n ,
muestreo aleatorio simple, establecer si dicho estimador:
1) Es consistente.
2) Es eficiente.
13.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución de probabilidad de la población viene definida por la función de densidad:
1
1 − x
para 0 ≤ x
f ( x, θ ) = e θ
θ
f ( x, θ ) = 0
para cualquier otro valor de x
Si estimamos el parámetro poblacional θ , a través de la media muestral, a x , comprobar que dicho estimador es:
a) Consistente
b) Insesgado
c) Eficiente
(Supuesto extraídas muestras de tamaño n , muestreo aleatorio simple).
14.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución de probabilidad de la población viene definida así:
P (ξ = x) =
θx
e−θ
para x = 0,1,2,....
x!
esto es, la distribución poblacional es una distribución de Poisson. Si estimamos el
parámetro poblacional θ , a través de la media muestral, a x comprobar que dicho
estimador es eficiente (Supuesto extraídas muestras de tamaño n , muestreo aleatorio simple).
15.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución de probabilidad de la población viene definida así:
P (ξ = x) =
θx
e−θ
para x = 0,1,2,....
x!
esto es, la distribución poblacional es una distribución de Poisson. Determinar el estimador de máxima verosimilitud del parámetro poblacional θ (Supuesto extraídas
muestras de tamaño n , muestreo aleatorio simple).
16.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución de probabilidad de la población es la distribución binomial. Determinar el
estimador, por el método de máxima verosimilitud, del parámetro poblacional θ
6
(Supuesto efectuadas n observaciones, cada una de las cuales ha consistido en extraer h elementos de la población).
17.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución poblacional viene definida así:
P (ξ = x) = θ (1 − θ ) x −1
para x = 0,1,2,....
con 0 ≤ x ≤ 1
Determinar el estimador, por el método de máxima verosimilitud, del parámetro poblacional θ (Supuesto extraídas muestras de tamaño n , muestreo aleatorio simple).
18.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución poblacional viene definida por la función de densidad:
1
1 −θ x
para 0 ≤ x
f ( x, θ ) = e
θ
f ( x, θ ) = 0
para cualquier otro valor de x
Determinar el estimador, por el método de máxima verosimilitud, del parámetro poblacional θ (Supuesto extraídas muestras de tamaño n , muestreo aleatorio simple).
19.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución poblacional viene definida por la función de densidad:
para 0 ≤ x
f ( x,θ ) = θ e−θ x
f ( x, θ ) = 0
para cualquier otro valor de x
Determinar el estimador, por el método de máxima verosimilitud, del parámetro poblacional θ (Supuesto extraídas muestras de tamaño n , muestreo aleatorio simple).
20.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución poblacional viene definida por la función de densidad:
1
para 0 ≤ x ≤ θ
f ( x, θ ) =
θ
f ( x, θ ) = 0
para cualquier otro valor de x
Determinar el estimador, por el método de máxima verosimilitud, del parámetro poblacional θ (Supuesto extraídas muestras de tamaño n , muestreo aleatorio simple).
21.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución poblacional viene definida por la función de densidad:
1 ( x −θ1 ) 2
−
1
2
f ( x, θ1 , θ 2 ) =
e
θ 2 2π
θ 22
∀x
7
donde θ1 y θ 2 representan el valor probable y la desviación típica poblacionales,
respectivamente. Determinar los estimadores, por el método de máxima verosimilitud, de los parámetros poblacionales θ1 y θ 2 (Supuesto extraídas muestras de tamaño n , muestreo aleatorio simple).
22.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución poblacional viene definida por la función de densidad:
f ( x, θ ) = 0
para x < k
f ( x, θ ) =
θk θ
xθ +1
0
para k ≤ x
con θ > 0 x
Determinar el estimador, por el método de máxima verosimilitud, del parámetro poblacional θ (Supuesto extraídas muestras de tamaño n, muestreo aleatorio simple).
23.- Con objeto de planificar su producción, una empresa supone que el artículo que
ofrece puede ser adquirido por el 40 % o por el 50% de los habitantes de una gran
ciudad. Consultado diez de estos, solo tres de ellos se muestran dispuestos a la adquisición del producto. ¿Qué proporción, de las dos contempladas, será tomada en
consideración si la elección entre ambas la efectúa la empresa, con base en el criterio de la máxima verosimilitud?
24.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución poblacional viene definida por la función de densidad:
f ( x,θ ) = θe −θx para 0 ≤ x
f ( x, θ ) = 0
para cualquier otro valor de x
Determinar el estimador, por el método de los momentos, del parámetro poblacional
θ (Supuesto extraídas muestras de tamaño n, muestreo aleatorio simple).
25.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución poblacional viene definida por la función de densidad:
1
1 − x
para 0 ≤ x
f ( x, θ ) = e θ
θ
f ( x, θ ) = 0
para cualquier otro valor de x
Determinar el estimador, por el método de los momentos, del parámetro poblacional
θ (Supuesto extraídas muestras de tamaño n, muestreo aleatorio simple).
26.- Dada la función de densidad:
2(θ − x)
para 0 ≤ x ≤ θ
f ( x, θ ) =
2
f ( x, θ ) = 0
θ
para cualquier otro valor de x
8
Determinar el estimador, por el método de los momentos, del parámetro poblacional
θ (Supuesto extraídas muestras de tamaño n , muestreo aleatorio simple).
27.- Determinar, por el método de los momentos, el estimador del parámetro poblacional θ , y comprobar si el estimador obtenido es o no un estimador insesgado, para los casos en que la distribución poblacional sea:
1) la distribución binomial B(h,θ )
2) la distribución de Poisson, de parámetro θ
3) la distribución uniforme
1
f ( x, θ ) =
para 0 ≤ x ≤ θ
θ
f ( x, θ ) = 0
para cualquier otro valor de x
4) la distribución normal, N (θ , σ )
(Supuesto extraídas muestras de tamaño n , muestreo aleatorio simple).
28.- Determinar, por el método de los momentos, los estimadores de los parámetros
θ , media poblacional, y σ 2 , varianza poblacional cuya distribución es N (θ , σ ) ( Supuesto extraídas muestras de tamaño n , muestreo aleatorio simple).
29.- La duración aleatoria de las unidades producidas de un artículo, se distribuye
según una ley normal, con desviación típica igual a seis minutos. Elegidas al azar
cien unidades, resultó ser la duración media de 14,35 minutos. Elaborar el intervalo
de confianza del 99 % para la duración media de las unidades producidas.
30.- Una empresa desea determinar la proporción de clientes dispuestos a demandar el producto que ofrece. Para ello consulta, al azar a 100 de ellos, siendo los resultados obtenidos los siguientes: el 20 % estarían dispuestos a demandar el producto, y el 80 % restante no. Establecer:
1) La estimación de la proporción poblacional.
2) Si se toma como desviación típica poblacional la que resulta de hacer uso
del resultado del apartado anterior, determinar el intervalo de confianza del
95% para la proporción poblacional.
31.- Para discutir la conveniencia de aumentar sus instalaciones una empresa desea
estimar la demanda que espera recibir. Para ello, selecciona a diez de sus clientes
habituales al azar, observando que el número de unidades demandadas en el último
año por éstos, se distribuye en la forma siguiente:
9
Nº de unidades
1.000
1.002
1.004
1.006
1.008
1.010
1.012
Nº de clientes
1
2
1
2
1
2
1
Supuesto que se confía en que la demanda siga comportándose de manera análoga
en el siguiente período, establecer:
1) Las estimaciones de la demanda media y de la desviación típica.
2) Si se toma como desviación típica de la población en el apartado anterior, determinar un intervalo de confianza para la demanda media del 95 %.
a) sin efectuar hipótesis sobre la distribución de la demanda.
b) Suponiendo que la demanda se comporte con arreglo a la ley normal.
32.- De una población representada por una variante cuya distribución de probabilidad se supone normal, se selecciona una muestra aleatoria simple, cuyas realizaciones resultan ser: 165, 162, 166, 164, 165, 170, 169, 165, 168.
Elaborar el intervalo de confianza del 98 %, para la media poblacional.
33.- Una empresa A produce un artículo cuya demanda posee desviación típica igual
a 200, en tanto que otra empresa B se dedica a la obtención de otro artículo cuya
demanda posee desviación típica igual a 100. Observados simultáneamente, 125
puntos de oferta de ambos artículos, ha resultado ser la demanda media para el artículo de la empresa A de 300 y para la empresa B de 250. Elaborar el intervalo de
confianza de 95 % para la diferencia de las demandas medias si se supone que la
ley de probabilidad que rige la demanda de ambos artículos es normal.
34.- De una población representada por una variante cuya distribución de probabilidad se supone normal se selecciona una muestra, aleatoria simple, cuyas realizaciones resultan ser:
2,70
2,71 2,70 2,76 2,74 2,78 2,73
Elaborar el intervalo de confianza del 98 % para la varianza poblacional.
35.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución poblacional de la población es N (θ , σ = 2) . Si como estimador del parámetro poblacional θ se toma el estadístico media muestral, determinar el tamaño
muestral n (número de observaciones) para que, con una probabilidad de 0’95, el
error de la estimación producido no sea superior a 0’2.
10
36.- Para la estimación del parámetro media poblacional θ de una población cuya
distribución es N (θ , σ ) con σ conocida, se elabora un intervalo de confianza del
90%. Determinar el número de observaciones necesarias para aumentar el nivel de
confianza de dicho intervalo al 95 %.
37.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución de probabilidad de la población es la distribución binomial de parámetro
θ . Efectuadas dos hipótesis H 0 : θ = θ 0 y H 1 : θ = θ1 acerca del parámetro poblacional θ , determinar la mejor región crítica al nivel de significación α , para contrastar
la hipótesis H 0 respecto de la hipótesis alternativa H 1 , supuestas extraídas muestras de tamaño n , muestreo aleatorio simple.
38.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución de probabilidad de la población es la distribución de Poisson de parámetro θ . Efectuadas dos hipótesis H 0 : θ = θ 0 y H 1 : θ = θ1 acerca del parámetro poblacional θ , determinar la mejor región crítica al nivel de significación α , para contrastar la hipótesis H 0 respecto de la hipótesis alternativa H 1 , supuestas extraídas
muestras de tamaño n , muestreo aleatorio simple.
39.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución de probabilidad de la población viene definida por la función de densidad:
f ( x,θ ) = θe −θx para 0 ≤ x
f ( x, θ ) = 0
para cualquier otro valor de x
Efectuadas dos hipótesis H 0 : θ = θ 0 y H 1 : θ = θ1 acerca del parámetro poblacional
θ , determinar la mejor región crítica al nivel de significación α , para el contraste de
la hipótesis H 0 respecto de la hipótesis alternativa H 1 , supuestas extraídas muestras de tamaño n , muestreo aleatorio simple.
40.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución de probabilidad de la población es N (θ , σ ) . Efectuadas dos hipótesis
H 0 : θ = θ 0 y H 1 : θ = θ1 acerca del parámetro poblacional θ , determinar la mejor región crítica al nivel de significación α , para el contraste de la hipótesis H 0 respecto
de la hipótesis alternativa H 1 , supuestas extraídas muestras de tamaño n , muestreo
aleatorio simple.
41.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución de probabilidad de la población es N (θ ,10) . Contrastar al nivel de signi11
ficación del 5 % la hipótesis H 0 : θ = 100 respecto de su alternativa H 1 : θ = 120 , mediante una muestra aleatoria simple de tamaño 4, siendo las realizaciones maestrales: 110, 112, 107, 111.
42.- Se considera una población representada por la variante ξ , de suerte que la
distribución de probabilidad de la población es N (θ ,5) . Efectuadas dos hipótesis sobre el valor de θ , H 0 y H 1 tales que:
H 0 : θ = θ 0 = 12
H 1 : θ = θ1 = 15
mediante una muestra aleatoria simple de tamaño 25 se contrasta la hipótesis H 0
respecto de la hipótesis H 1 , estableciéndose que si la media muestral es menor que
14 se aceptaría H 0 . Determinar:
1) La probabilidad de cometer el error de primera especie.
2) La probabilidad de cometer el error de segunda especie.
3) La potencia de contraste.
43.- Al lanzarse un nuevo producto al mercado, el oferente supone que dicho producto puede ser adquirido por el 20 % de la población, si bien cabe suponer que
también puede adquirirlo el 30 %. Seleccionada al azar una muestra de tamaño 400,
y aceptándose la regla de decisión de que si en la muestra se manifiestan dispuestos a adquirir el producto menos del 25 % de los consultados se aceptará que el
producto será adquirido por el 20 % de la población, determinar:
1) el nivel de significación del contraste.
2) la potencia de contraste.
44.- Los ingresos semanales de un grupo de nueve personas, seleccionadas al
azar, entre un gran número de individuos han resultado ser:
1.570, 1.550, 1.530, 1.520, 1.560, 1.500, 1.510, 1.540, 1.580
¿Debe rechazase la hipótesis de que la muestra procede de una población normal
cuyos ingresos semanales medios son de 1.553 €, al nivel de significación del 5 %?
45.- La demanda de un determinado tipo de artículo ha venido comportándose durante los últimos años con arreglo a una distribución N ( 200, 20 ) . A la empresa que lo
produce se le ofrece una “campaña publicitaria” del artículo, con objeto de aumentar
sus ventas. Si bien el precio de la campaña es alto, la empresa considera que si su
aplicación eleva la venta media por encima de las 250 unidades, su contratación sería rentable. Con objeto de tomar una decisión, tal campaña se aplica durante un
cierto período de prueba, obteniéndose como venta media, en dicho período 260
unidades, correspondientes a 35 de sus clientes habituales. ¿Qué decisión adoptará
la empresa, al nivel de significación del 1 %?.
12
46.- Una muestra de 200 bombillas de la marca A dio una vida media de funcionamiento de 2.280 horas, con una desviación típica de 80 horas. Otra muestra de 180
bombillas de la marca B dio una vida media de funcionamiento de 2.320 horas, con
una desviación típica de 100 horas. ¿Se puede afirmar al nivel de significación del
0.01, que es mayor la vida media para la marca B?
47.- Una fábrica viene utilizando un proceso A en la elaboración de un artículo a base de caucho. Se acaba de descubrir un nuevo proceso B de fabricación del mismo
artículo que parece que requiere menos caucho. Para decidir si ello es cierto se selecciona una muestra de nA = 15 artículos fabricados por el proceso A y otra de
nB = 17 artículos fabricados por el proceso B. La cantidad de caucho utilizado para
cada muestra, en gramos, dio como resultado a A = 400 gr , s A = 9 gr , aB = 385 gr ,
sB = 10.5 gr . Comprobar si, en efecto, el proceso B requiere menos caucho, suponiendo que la cantidad de caucho utilizada sigue, en ambos casos, una distribución
normal con la misma varianza.
48.- Un fabricante de pilas eléctricas afirma que la vida de las pilas que fabrica está
distribuida de forma normal con desviación típica 0.8 meses. Se selecciona una
muestra de 16 pilas resultando una desviación típica muestral s = 0.85 . ¿Se puede
asegurar al nivel de significación del 5 % que σ > 0.8 ?. Una muestra de 10 pilas de
otro fabricante diferente dio una desviación típica muestral de 0.70, ¿se puede concluir al nivel de significación del 2 % que la varianza para las dos muestras es la
misma?.
49.- Una fábrica dispone de una sección dedicada a empaquetar los artículos producidos que trabaja en turnos de mañana y tarde. La experiencia ha demostrado la distribución del tiempo de empaquetado de un artículo es aproximadamente normal en
los dos turnos. Una muestra de 20 tiempos de empaquetado del turno de mañana
(M) dio una varianza de 5.2 minutos y otra muestra de 16 tiempos del turno tarde (T),
dio una varianza de 6.4 minutos. Contrástese la hipótesis H 0 : σ T2 = σ M2 , frente a la alternativa H1 : σ T2 > σ M2 , al nivel de significación del 1%.
50.- En una investigación sociológica se efectúa una determinada pregunta a 5.000
personas, respondiendo todas ellas “si” o “no”. De todas estas respuestas, 2.449 son
afirmativas y 2.551 negativas. ¿Puede afirmarse, al nivel de significación del 5 %,
que la población se halla igualmente repartida en orden a su opinión sobre la pregunta formulada?
51.- El nivel de ingresos semanales de 100 familias consultadas de una población se
distribuye en la forma siguiente:
13
Nivel de ingresos (uni. monet.)
Entre 4.000 y 6.000
6.000 y 8.000
8.000 y 10.000
10.000 y 12.000
12.000 y 14.000
Número de familias
10
25
25
20
20
Establecer una hipótesis sobre el modelo de distribución de probabilidad correspondiente a dicha distribución, y contrastarlo al nivel de significación del 1 %.
52.- En una investigación sobre la demanda de un producto se consulta a 30 personas, preguntándoles el número de veces que efectúan la adquisición de dicho producto por semana. Las respuestas obtenidas son las siguientes:
ninguna vez
una vez
dos veces
tres veces
cuatro veces
9 de los consultados
10 de los consultados
7 de los consultados
3 de los consultados
1 de los consultados
Establecer una hipótesis sobre el modelo de distribución de probabilidad correspondiente a dicha distribución, y contrastarlo al nivel de significación del 5 %.
53.- Al nivel de significación del 5 % contrastar la hipótesis de que una moneda está
bien construida, sabiendo que los resultados obtenidos en 5.000 lanzamientos fueron:
Resultados
Cara
Cruz
Nº de veces
1.810
3.180
54.- Con objeto de estudiar la demanda de un producto durante los cuatro trimestres
de un año se dispone de la siguiente información:
Trimestres
1º
2º
3º
4º
Unidades demandadas
1.000
950
1.100
950
Establecer una hipótesis sobre el carácter de la distribución de la demanda, verificando la bondad del ajuste al nivel de significación del 5 %.
55.- Para conseguir determinada calificación profesional, 100 personas se someten
a dos tipos de test independientes entre sí; el resultado de cada test puede ser “fa14
vorable” (F) o “desfavorable” (D) para cada individuo. A la vista de los resultados que
figuran en la tabla, los calificadores determinan 3 grupos, resultando indiferente, a
efectos de la inclusión en el segundo, el test donde se obtuvo la calificación favorable. Contrastar, al nivel de significación del 5 %, la hipótesis de que la proporción
teórica de individuos calificados con F o con D en cada test es la que se señala:
Calificaciones
Grupo 1º
Grupo 2º
Grupo 3º
F.F.
F.D.
D.D.
Nº de individuos
30
40
30
Proporc.
Teóricas
¼
½
¼
56.- Una compañía de seguros registra los accidentes de automóvil de una ciudad
durante 100 días, obteniendo la siguiente información:
Nº de accidentes
Nº de días
0
40
1
34
2
16
3
7
4
2
5
1
6
0
Establecer una hipótesis acerca de la distribución de probabilidad que corresponda,
y contrastarla al nivel de significación del 5 %.
57.- Una empresa que provee de un cierto artículo a un gran número de pequeños
comerciantes, obtiene acerca de las unidades demandadas por 900 de éstos, la siguiente información:
Unidades demandadas Nº de clientes
2.150-2.250
4
2.250-2.350
11
2.350-2.450
39
2.450-2.550
96
2.550-2.650
181
2.650-2.750
300
Unidades demandadas Nº de clientes
2.750-2.850
155
2.850-2.950
75
2.950-3.050
30
3.050-3.150
7
3.150-3.250
2
¿Puede afirmarse, al nivel de significación del 1%, que el número de unidades demandadas se comporta con arreglo a la ley normal?.
58.- Una empresa dedicada a la venta de automóviles desea determinar si la edad
de sus clientes potenciales, puede explicar o no la preferencia por tres modelos que
va a lanzar al mercado. Consultados 200 clientes habituales, la información obtenida
es la siguiente:
Edad (años)
20-30
30-40
40-50
I
10
30
10
Tipo de modelo
II
40
30
30
III
10
20
20
15
¿Aceptaría la empresa, a la vista de esta información, que la edad explicará la preferencia por el modelo, al nivel de significación del 5%?
59.- Se observa que en un conjunto de 400 empresas se producen 4 agrupaciones
conforme a los datos que figuran en el cuadro adjunto, según que dichas empresas
tengan más o menos de 500 empleados y lleven funcionando en el sector más o
menos dos años:
Más de dos años
115
125
Más de 500 empleados
Menos de 500 empleados
Menos de dos
años
65
95
Al nivel de significación del 5%, contrastar la hipótesis de que el número de empleados y la permanencia en el sector son independientes entre sí.
60.- Para examinar las consecuencias de un conjunto de medidas de política económica, se efectúan dos sondeos, en dos momentos distintos, entre un mismo grupo
de 2.500 empresas dedicadas a la exportación, obteniéndose los siguientes resultados:
Resultados
Primer sondeo
Incremento o estabilidad
Disminución
60 %
40 %
Segundo sondeo
58 %
42 %
¿Puede afirmarse, al nivel de significación del 5 %, que se han modificado las expectativas de exportación?.
61.- Se ha dividido una población en dos grupos, solteros y casados y se han seleccionado muestras de 40 solteros y 50 casados. Se les ha pedido opinión sobre determinada ley y re han obtenido los siguientes resultados:
Solteros
Casados
Totales
A favor
En contra
Abstenciones
Totales
15
21
10
20
15
9
40
50
36
30
24
90
Contrástese al nivel de significación del 5 % si los resultados son homogéneos para
los dos grupos considerados.
16
62.- Se han aplicado a tres grupos de pacientes tratamientos distintos , A, B y C, para una misma enfermedad, obteniéndose los resultados de la siguiente tabla para el
número de pacientes con recaida (R):
Con recaída
Sin recaída
Totales
A
100
200
300
B
60
140
200
C
Totales
40
200
60
400
100
600
Contrástese al nivel de significación del 5% si pueden considerarse homogéneos los
resultados obtenidos para los tres tratamientos.
63.- Un grupo de 18 enfermos hepáticos se distribuye al azar en tres grupos, recibiendo cada uno un tratamiento distinto. Observando el tiempo (en semanas) que
tardaron en desaparecer los síntomas (que se refleja en el cuatro), queremos saber
si a un nivel de significación del 5 % existen o no diferencias significativas entre dichos tratamientos.
Tratamientos
1
2
3
12
14
20
15
19
20
Resultados
18
10
13
15
16
18
14
18
20
15
17
14
64.- De un cierto producto se tomaron 15 muestras similares y se procedió a su almacenaje, utilizando 5 métodos diferentes. Después de un cierto tiempo se determinó la cantidad de agua que contenía cada muestra y se observaron los siguientes
resultados:
Métodos
1
2
3
4
5
Contenido de agua en %
7,3
8,3
8,4
5,4
7,3
7,1
8,1
6,4
7,4
7,9
9,5
9,9
6,8
7,2
7,3
Se desea saber si los métodos de almacenaje influyen o no en el contenido de agua,
a un nivel de significación del 5 %.
65.- Hay doce personas, distribuidas en 4 grupos de tres personas cada uno. A cada
grupo se le asigna aleatoriamente tiempo distinto de entrenamiento antes de verificar
una determinada prueba. Los resultados de dicha prueba con los correspondientes
tiempos de entrenamiento son:
17
½ hora
1
3
5
1 hora
4
6
2
1,5 horas
3
5
7
2 horas
8
10
6
a) Contrastar la hipótesis de que el resultado medio es el mismo en los
distintos tiempos de entrenamiento para α = 5% y α = 10%
b) Si se aceptase la hipótesis, estimar el resultado medio poblacional.
c) Si se rechaza la hipótesis, estimar la diferencia entre los resultado medios correspondientes a los tiempos de ½ hora y 2 horas.
66.- En unos laboratorios se desea verificar la uniformidad en el envío de un medicamento con un nivel de significación del 5 %. Los envíos se efectúan en cajas y,
dado su elevado número se toma una muestra al azar de 4 cajas. La uniformidad se
mide a través del peso del medicamento, tomando de cada caja un número variable
de paquetes. Los resultados de los pesos son:
Caja 1
Caja 2
Caja 3
Caja 4
Caja 5
914
911
903
908
905
903
907
904
910
915
906
901
909
912
916
902
915
907
902
905
67.- Deseamos comprobar si la región geográfica y los ingresos familiares influyen
en las puntuaciones obtenidas en una prueba nacional de inteligencia. Para ello elegimos al azar tres personas de cada región (A, B, C) con ingresos altos y otras tres
con ingresos bajos. Los resultados obtenidos son:
Ingresos altos
Ingresos bajos
Región A
1
0
2
0
Región B
0,5 4
6
1
5
6
Región C
5
3
1
5,5 1
1
2
1
En base a esta información, ¿podemos aceptar la influencia de la región, de los ingresos, de la interacción entre ambos? (α = 0,05) .
68.- Los siguientes datos representan las unidades de producción obtenidas diariamente por cuatro máquinas de marcas diferentes utilizadas por cuatro maquinistas
diferentes.
Maquinistas
Máquinas
A
B
C
D
15
19
19
18
1
17
12
20
16
2
16
18
16
17
3
18
16
15
15
4
Contrastar al nivel de significación del 5 %:
18
a) Si existe o no diferencia entre el número de piezas que fabrican diariamente
los maquinistas, independientemente de la máquina utilizada.
b) Si existen diferencias entre las máquinas, al margen de cuál sea el maquinista que las use.
19